第二章 距离空间

同理，点列{xn}
{(1
1)n}是
n
Q
中的
Cauchy
点列，但
不是收敛点列。
例
2，设空间
X=(0,
1)，则点列{xn}
{ 1 } n 1
X
按定义
(x, y) x y 是 X 中的 Cauchy 列，但在 X 中不收
特别的，当 p=2 时， L2[a,b]称为平方可积的空间。
例 5 设l p (P 1) 是所有 p 方可和的数列所成的集合，
即x { xi } 满足 xi p ， i 1
p 1/ p
对于 x {xi}, y {yi}l p ,定义(x, y) i1 xi yi ，
则l p 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。
如果在 R2 中，定义 d(x, y) x1 y1 x2 y2 ，
验证得知 R2 按 d 也是距离空间，但与欧氏空间是不同
的度量空间。
例3 设C[a,b]表示定义在[a,b]上的所有连续函数的
全体。x(t), y(t)C[a,b]，定义
(x, y) max x(t) y(t) t[ a ,b ]
空间
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不 同的距离空间。
例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn ) R n
n
定义 (x, y) (xi yi )2 i 1
证明：Rn 在 下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间。
Cauchy 点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列
证明：设 n 时, (xn, x) 0，
(xn, xm ) (xn, x) (xm, x)
则 n,m 时, (xn, xm ) 0 。 例 1 在有理数空间 Q 中，点列
1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … 2 Q 是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
（即 n 时, (xn, x) 0）
则称点列 x n 在 X 中按距离 收敛于 x，记作
lim
n
xn
x
或 xn
x(n
)
此时，称 x n 为收敛点列，x 为 x n 的极限点。
定理 1（极限唯一性）在距离空间 X 中，收敛点列 x n 的极限是唯一的。
定理 2（极限存在的有界性）在距离空间 X 中的收敛 点列 x n 必有空间。
Remarks: 对不同的对象（集合），应根据对象的性质定义适当 的、有意义的距离。 对同一个集合定义不同的距离，构成不同的距离空 间。
§2.2 收敛概念
1) 定义（收敛点列） 设 X 是一个距离空间，{x n}是 X
中点列， x X 。若
0, N, 当n N时, (xn, x)
则 C[a, b]是距离空间。
例4 设 Lp[a,b] (P 1) 表示[a,b]上 p 方可积的所有函数的
全体，即
Lp
[a,
b]
x(t
)
b a
x(t)
p
dt
。
x(t), y(t) Lp , 定义 (x, y) b x(t) y(t) p dt 1/ p a
则 Lp[a,b]是距离空间，常称为 p 方可积的空间。
2）举例 例 1 设 R1 是非空实数集合，x, y R1，
① 若定义 (x, y) x y ，
验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 为距
离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。
②
若定义
1(x,
y
)
1
x
x
y
y
，验证知三条距离公理
成立，所以，R1 按定义 1也是距离空间
③ 若定义 2(x, y) x y2 ， 验证不满足第三条公理，所以 R1 按定义 2 不是距离
Rn , x (x1, x2, , xn ) , y ( y1, y2,
3(x, y)
max
1in
xi
yi
，
4(x, y)
min
1in
xi
yi
, yn ) Rn
思考： 4 (x, y)能否定义 Rn 上的距离？
特别的，当 n=1 时， (x, y) x y ， 当 n=2 时， (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2
(x, y) (x, z) (z, y)
则称实数 (x, y)为元素 x 与 y 之间的距离，称 X 为距 离空间或度量空间，记作(X , )或 X 。距离空间中的元 素也称为“点”，用“·”表示。
距离 (•,•)是集合 X×X（称为乘积空间或笛卡尔
积空间）到实数集合 R1 上的二元泛函（或称函数）。
第2章 距离空间
§2.1 定义和举例 §2.2 收敛概念 §2.3 稠密性与完备性 §2.4 可分性与列紧性 §2.5 连续映射
在数学分析中 研究对象——函数 基本工具——极限，是分析理论的基础 定义极限的基础——距离
在泛函分析中将上述内容推广 研究对象——算子、泛函 （空间到空间的映射） 首先引入度量工具——距离 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的理
论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。
§2.1 定义和举例
1）定义（距离空间） 设 X 是非空集合，若 x, y X 按规一则定 (x, y) 0，且满足（距离公理）
（1）非负性 (x, y) 0,当且仅当x y时, (x, y) 0 （2）对称性 (x, y)(y, x) （3）三角不等式 x, y, z X , 有
则称 x n 为基本点列或 Cauchy 点列。 例如在 R1 中，点列{xn} {1n}，是 Cauchy 列，也是收敛 点列。
注：R1 中有结论：{x n}是收敛数列 {x n}是 Cauchy 数列。
但在一般的距离空间中，该结论不成立。
定理 若{x n}是（X , ）中的收敛点列，则{x n}一定是
即 x0 X , 及实数r 0, 使得xn, 都有(xn, x0 ) r
定理 3（距离的连续性）在距离空间 X 中，距离 (x, y)
是两个变元 x, y 的连续泛函。即当 xn x0, yn y0 时 (xn, yn ) (x0, y0 )(n )
2） 柯西点列（Cauchy）
定义 设{x n}是距离空间 X 中的一个点列，若 0, N, 当n, m N时, (xn, xm ) （即 n, m 时，(xn, xm) 0）