统计学之抽样与总体参数的估计

设X1,X2,…,Xn为某总体中抽取的随机样本, X1,X2,…,Xn为相 互独立,且与总体有相同分布的随机变量.
(1)当总体为正态分布N(, 2)时,X的抽样分布仍为正态分
布,
E(X ) , X
D(
X
)
2 X
2
n
,
X
~
N
,
2
n
当ｎ越来越大时,X的 离散程度越来越小, 即用X估计越准确。
(2)当总体的分布不是正态分布时，只要样本容量ｎ足 够大时，样本均值的分布总是近似正态分布，此时要 求总体方差2有限。
1
( 2 2 ... 2 ) n 2
2
n2
n2
n
2 D(X )
X
n
中心极限定理(Central Limit theorem): 设从均值为，方差为2(有限)的任意一个总体中抽 取大小为ｎ的样本,当ｎ充分大时(n30),样本均值X 的抽样分布近似服从均值为，方差为2/ｎ的正态分 布。
假定总体均值为，方差为2
E X
E
n
Xi
i 1
n
1 n
EX1
X2
...
Xn
1 n
E( X1)
E( X 2 )
...
E(X n )
1 n
(
...
)
n
n
D( X )
D
n
Xi
i 1
n
1 n2
n
D(
i 1
Xi)
1 n2
D( X1)
D( X 2 ) ...
D(X n )
x
X
什么叫ｎ充分大呢？
总体偏离正态越远，则要求ｎ就越 大。在实际应用中常要求ｎ30。
例6.1 从一个均值=8，=0.6的总体中随机选取容 量为ｎ＝25的样本。假定该总体不是很偏的，
求：(1) 样本均值 X 小于7.9的近似概率;
(2) X 超过7.9的近似概率; (3) X 在总体均值=8附近0.1范围内的概率.
6.1 抽样与抽样分布
6.1.1 总体、个体和样本
总体(Population)--要研究的事物或现象的总体。 个体(Item unit)--组成总体的每个元素(成员)。 总体容量(Population size)--一个总体中所含个体的数量。 样本(Sample)--从总体中抽取的部分个体。 样本容量(Sample size)--样本中所含个体的数量。 抽样(Sampling)--为推断总体的某些重要特征，需要从总体
在整群抽样中,总体首先被分成称作群的独立的元素组,总体中的每一 元素属于且仅属于某一群。抽取一个以群为元素的简单随机样本， 样本中的所有元素组成样本。在理想状态下，每一群是整个总体小
范围内的代表。
（4）系统抽样(Systematic sampling)
又称等距抽样。从前k个元素中随机选一个，然后在样本框中每隔一 定距离抽取一个。
(2)
P( X 7.9) 1 P( X 7.9) 1 P( X 7.9) 1 0.2033
0.7967
(3)Βιβλιοθήκη P(7.9 X 8.1) P(7.9 8 X 8 8.1 8) P(0.83 Z 0.83)
0.12 0.12 0.12
2P(0 Z 0.83) 2 0.2967 0.5934
解: 根据中心极限定理,在总体不很偏的情况下,
8, X
0.6 0.12,
X n 25
X ~ N ( , 2 ) N (8,0.122 ), XX
(1)
P( X 7.9) P( X 8 7.9 8) P(Z 0.83)
0.12 0.12
P(Z 0.83) 0.5 P(0 Z 0.83) 0.5 0.2967 0.2033
完全随机地选取样本,要求有一个完美的抽样框或有总体中每一个个 体的详尽名单。可以采取抽签或随机数字表的办法实现。
（2）分层抽样(Reduced sampling)
先将总体分成不同的“ 层”, 然后,在每一“ 层”内进行简单随机 抽样。可防止简单随机抽样造成的样本构成与总体构成不成比例的 现象。
（3）整群抽样(Cluster Sampling)
抽样方法分为两类：概率抽样和非概率抽样
1、概率抽样 •根据已知的概率选取被调查者； •最理想、最科学的抽样方法； •能保证样本数据对总体的代表性； •能有效控制抽样误差，将其限制在一定范围内； •缺点是：相对非概率抽样，花费较大。 概率抽样的几种形式:
（1）简单随机抽样(Simple random sampling)
6.1.3 样本均值的分布与中心极限定理
1、样本均值X分布的含义
采用随机抽样的方法，从总体中抽取大小为n的一个样本,计 算出它的平均值X1,然后将这些个体放回总体去,再抽取n个个 体,又可以计算出平均值X2,… 再将n个个体放回去,再抽取n个 个体,如此可以计算出无限个X,这些样本均值X所有可能值的 概率分布叫均值X的抽样分布.
2、非概率抽样
不是完全按随机原则选取样本。
（1）方便抽样(Convenience sampling)
由调查人员自由、方便地选择被调查者的非 随机选样。
（2）判断抽样(Judgement sampling)
通过某些条件过滤选择某些被调查者参与调 查的判断抽样法。
建议使用概率抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、整群抽样或系统 抽样。从所估总体特征与样本结果的接近程度上讲，公式可用于估计 抽样结果的“ 优良性”。而用方便抽样和判断抽样方法不能对该“ 优 良性”进行估计。因而，当解释由非概率抽样方法得到的结果时，要 特别小心。
第六章 抽样与总体参数的估计
统计推断是统计学研究的重要内容。抽样是进行统计 统计推断的基础工作。参数估计是统计推断的重要内 容之一。 6.1 抽样与抽样分布 6.2 参数的估计方法 6.3 总体均值和总体比例的区间估计 6.4 两个总体均值及两个总体比例之差的估计 6.5 正态总体方差及两个正态总体方差比的区间估计 6.6 相关系数的区间估计
中按一定抽样技术抽取若干个体的过程。 统计量(Statistic)--由样本构造,用来估计总体参数的函数。统
计量是样本的函数，只依赖于样本；统计量不含任何参数。 样本均值、样本方差等都是统计量。
6.1.2 抽样方法 抽样设计与全面调查相比有如下特点:
(1)节省人力及费用; (2) 节省时间,提高调查研究的时效性; (3)保证研究结果的准确性。