8-5直接由平衡条件建立位移法基本方程
结构力学中的位移法
QBA
23
QBA 1.5iB 0.75i 6
QDC MDC
QCD
QCD
3i 42
（4）解位移法方程
10iB 1.5i 4 0...........(1) 6iB 3.75i 24 0........(2)
B
0.737 i
7.58 i
（5）弯矩图
MAB= -13.896 kN·m
由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出 求解结点位移的基本方程。
3
1 2 i 3 4 5
B
B
P
B
A i
Ai ,li
B
B
ui
Ni
ui sini
i B
B
选择 基本 未知
物N理i 条件ElAi i ui
ui sini
变形条件
Ni
EAi li
sin i
Ni
EAi li
l
3ql 2 16
§8-5 有侧移刚架复的习计角算变位移方程中的杆端剪力：
M
AB
3i l
QmAABB
33llii1qA6l3i 3l q2i8l2Q51qAF6Bl2
C
MQBCAD
3i l
3ql2
QBA16
3i l
A
3i l2
QBFA
B
D
i1
q
i
i
A
C
x 0 QBA QDC 0
其中
C 9.
8
D
M图 (kN m)
1.7
17
E
4.89 F
无侧移刚架位移法分析小结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
01-结构力学 位移法知识点小结
第8章 位移法（知识点小结）一、杆端内力正负号规定（图8-1）杆端弯矩AB M 、BA M ：以绕杆端顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言，截面弯矩以逆时针为正。
杆端剪力SAB F 、SBA F ：以绕微段隔离体顺时针转动者为正，反之为负。
结点转角（杆端转角）A θ、B θ：顺时针转动为正。
两端垂直杆轴的相对线位移AB ∆：以使杆件顺时针转动为正，反之为负。
图8-1 杆端内力及杆端位移的正负号规定二、等截面直杆的转角位移方程—位移法计算的基础1、由杆端位移求杆端力——形常数考虑三种不同情况：两端固定直杆、一端固定另一端铰支的直杆及一端固定另一端滑动支承的直杆。
由杆端位移求杆端内力的公式（刚度方程），如表8-1所示，这里/i EI l =。
由杆端位移求出杆端弯矩后，杆端剪力可由平衡条件求出。
表8-1中，杆端内力是根据图示方向的位移方向求得的，当计算某一结构时，应根据其杆件所受的实际位移方向，判断其杆端内力的正负号及受拉侧。
2、由荷载求固定内力——载常数对三种等截面直杆，在荷载作用、温度改变作用下的杆端弯矩和剪力，称为固端弯矩和固端剪力（载常数）。
常见荷载作用下的载常数可查表所得。
3、等截面直杆的转角位移方程对等截面直杆，既有已知荷载作用，又有已知的杆端位移，可根据叠加原理，写出其杆端力的一般表达式，这即为等截面直杆的转角位移方程。
三、位移法的基本未知量包括独立的结点角位移和独立的结点线位移。
独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。
结点线位移的数目可通过增设支杆法（或铰化体系法）来确定。
铰化体系法就是将原结构中所有刚结点和固定支座均改为铰结点形成铰接体系，此铰接体系的自由度数就是原结构的独立结点线位移数。
然后分析该铰接体系的几何组成：如果它是几何不变的，说明结构无结点线位移；相反，如果铰接体系是几何可变的，再看最少需要增设几根附加支杆才能确保体系成为几何不变，或者说使此铰接体系成为几何不变而需添加的最少支杆数就等于原结构的独立结点线位移数目。
结构力学第五章位移法.ppt
NDA
NDB
2
2
NDC FNDB 2 FNDC 2 FNDA FP
建立力的 平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2) FP
由方程解得： 2PL
(2 2)EA
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FNDB
2FP 2 2
FNDA
FNDC
P 2
发生一个顺时针的转角 A。
A
A EI,L B
由力法求得：
MAB
MBA
M AB
3
EI L
B
3iB
M BA 0
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端
发生一个向下的位移 。
A MAB
EI,L
B
△
由力法求得：
M
AB
3EI L2
3i L
MBA
M BA 0
两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端
弯矩表达式：
M AB
4i A
2iB
6i
L
M
F AB
M BA
4iB
2i A
6i
L
M
F BA
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M AB
3iA
6EI L2
BC
qL2 12
M AB
位移法
F B 端为铰支座固端弯矩 M AB 由上式得： F M BA F F 铰 支 M AB M AB (c) 2 B 端为滑动支座：q B FQBA 0
P M A 0 FQBAl M AB M BA M A 0
把式(a) 、(b)代入上式，得：
D F F P 6iq A 12i M AB M BA M A P M AB M BA M A l FQBA 0 l l F F P 6iq Al M ABl M BAl M A l 1 l F F P D q Al ( M AB M BA M A ) (d) 12i 2 12i
§8-3 无侧移刚架的计算
1、无侧移刚架基本未知量的判定：
其位移法基本未知量数目
结构上刚结点的独立角位移数 等于结构上的自由刚结点数 。
(a)
1 D E 2 C F
A
(b)
B
D
EA=
C
1 C
B
1 A
2 B
A
(c)
(d)
说明：
1）强调位移法基本未知量是结 构中自由结点上的独立结点位移。 结点上的独立角位移是自由刚结 点上的角位移。
(2) B 端为铰支座
式(8-5)中
M BA 0
，得：
D M AB 4iq A 2iq B 6i L D 0 2iq A 4iq B 6i L
整理上式得：
M AB
D 3iABq A 3i L
(8-9)
(3) B 端为滑动支座
代入(8-5)式，得：
D 1 qA 式(8-6)中 q B FQAB FQBA 0 ，得： L 2
(8-10)
直接利用平衡条件建立位移法方程
=12Z1+30
MBC=2iBC(2Z1+Z2)+0=2×4(2Z1+Z2)=16Z1+8Z2
MCB=2iCB(2Z2+Z1)+0=2×4(2Z2+Z1)=16Z2+8Z1
MBE=2iBE×2Z1+0=2×3×2Z1=12Z1
MEB=2iBEZ1+0=2×3Z1=6Z1
MCD=3iCDZ2+0=3×4Z2=12Z2
M A1 27.79 kN m
M1A 8.82 kN m
M12 8.82 kN m
M 21 0 M2B 0
MB2 11.37 kN m
与例15.3的计算结果相同。
目录
位移法\直接利用平衡条件建立位移法方程 【例15.6】 试直接利用平衡条件建立图a所示刚架的位移法方
程，计算各杆端弯矩，并绘制弯矩图。 【解】 1）确定基本未知量。图a所示刚架为无侧移刚架，有
直接利用平衡条件建立位移法典型方程时，需要对每个杆 件进行受力、变形分析，找出杆端内力与杆端位移及荷载之 间的关系表达式。此关系式称为转角位移方程。
目录
位移法\直接利用平衡条件建立位移法方程
图a所示两端固定梁， 受荷载作用，并在A端产
生了一转角 A ，B端产 生了一转角 B ，同时A、
B两端还产生一相对线位 移ΔAB ，变形如虚线所示。 由叠加原理，该梁的受 力、变形情况可看成由 图b、c、d、e各因素单 独作用叠加而成。
M 21 0
M2B 0
M B2
3iB2 3）建立位移法方程并求解。由以
上关系式可见，只要求出结点位移Z1 、 Z2 ，则可得出全部杆端弯矩。
目录
位移法\直接利用平衡条件建立位移法方程
结构力学(龙驭球)第八章
第八章 位移法总结
(2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程； (3) 解方程求出结点位移； (4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。
2.基本体系法 基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典 型方程。 步骤： (1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的 结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附 加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量； (2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kijj+Fi p=0 (i,j=1,2,…,n)； (3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单 位位移Δj =1下的弯矩图 M 及荷载作用下的弯矩图MP j
BB3= ⊿B sin45°= ⊿2
第八章 位移法总结
A
(b ) F B C F
2 EI l
1P
l/ 2
(c)
2P
k
M
P
F 4i k F (2) 作M2图。由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移BB3 ， EI 2 因此在图f中 l (d ) 6(e ) i
B
2 EI l l/ 2 M
1 1 F /5 6 A 3 F /5 6 B
(b ) F B l/ 2 C F B
(c ) F C D 3 F /2 8
(d )
解：本题中刚架ECFHG是基本部分，CBA是附属部 分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故 可将CBA化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所 示。
第八章 位移法总结
(4) 从材料性质看，只能用于弹性材料。
第八章 位移法总结
2、位移法基本未知量的选取原则 位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数 加上独立结点线位移数。 (1) 独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生 角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数等于全 部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结 点的角位移不作为基本未知量。例如图a中，A为刚结点， B为半铰结点，故有两个独立角位移；而图b中B为刚结 点，A为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。
第8章 位移法
第8章 位移法§8-1 概述§8-2 等截面直杆的转角位移方程§8-3 位移法的基本未知量和基本结构§8-4 位移法的典型方程及计算步骤§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程§8-6 对称性的应用2021-5-1212021-5-12 1§8-1 位移法的基本概念内力对于线弹性结构位移位移内力两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。
用位移法分析结构时，先将结构拆分成单个的杆件，进行杆件受力分析（建立杆件的转角位移方程）；再将杆件组装成原结构，利用结点和截面平衡条件建立位移法方程，解出结点位移，再由转角位移方程求出内力。
2021-5-121一、引例1. 确定基本位移未知量图a所示两跨常刚度连续梁，抗弯刚度为EI。
忽略二杆的轴向变形，B结点不会发生线位移，而仅会产生角位移，设此角位移为Z1。
因B结点刚结两梁段于B端，从而保证两梁段在B端有相同的角位移，均为Z1。
2021-5-1212. 分列各组成杆的转角位移方程AB和BC二杆在B端具有相同的角位移和零线位移后，因此可将二杆在B端处分开，单独分析。
2021-5-1211）AB杆2）BC杆2021-5-1213. 通过B结点的平衡条件求出Z1由B结点的平衡可得2021-5-1214. 将Z1代回转角位移方程，求出各杆端弯矩2021-5-1212021-5-121二、其他示例（a） 若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，因而结点A没有线位移，而只有角位移。
对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量q A的值。
2021-5-1212021-5-121三、位移法计算原理思路小结1. 把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相应的单跨超静定梁。
第08章 位移法 思考题
思考题8-1式（8-2）中为什么没有包含B端的转角θB？式（8-3）中为什么没有包含杆件两端的相对线位移∆？试由式（8-1）导出式（8-3）。
8-2试绘出思考题8-2图所示各单跨梁在杆端发生单位位移时的弯矩图。
各梁EI 为常数，杆长为l。
8-3杆件铰结端的角位移和滑动支承端的线位移为什么可不作为位移法的基本未知量？如果把它们也作为基本未知量，会出现什么情况？8-4在确定超静定刚架的位移法基本未知量时，刚架中的静定部分应如何处理？8-5在位移法中，人为施加附加刚臂和附加链杆的目的是什么？8-6从基本未知量、基本结构、基本方程、计算结果的校核、适用范围等方面，将位移法与力法进行比较。
8-7例8-1中求得的Z1的数值是结点C的真实转角吗？为什么？8-8“因为位移法的典型方程是平衡方程，所以在位移法中只用平衡条件就可求解超静定结构的内力，而没有考虑结构的变形条件”。
这种说法正确吗？8-9“结点无线位移的刚架只承受结点集中荷载时（参见思考题8-9图），其各杆无弯矩和剪力。
”这种说法正确吗？试用位移法的典型方程加以说明。
8-10 用力法计算思考题8-10图a所示超敬定结构，若取图b所示超静定的基本体系，是否可行？a) b)8-11 思考题8-11图a、b所示两结构的EI相同，试分别写出其位移法方程，并求出方程中的系数和自由项。
8-12 思考题8-12图所示排架，考虑横梁的轴向变形（EA≠∞）和不考虑横梁的轴向变形（EA=∞），柱的内力有什么不同？8-13 试推导思考题8-13图所示刚架柱的侧移刚度系数（柱两端发生单位相对侧移时，柱中产生的剪力值。
），用剪力分配法求出各柱柱高中点处的剪力并作出弯矩图。
8-14 思考题8-14图所示三种结构的各杆长均为l，柱的EI=常数。
试分析它们的内力及柱顶侧移的差别？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.16 i
2
21.05 i
25.26
30.79
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。
FP FP
1
i
l
EI1=∞ EI1=∞
i
2
i
i
l
基本结构 解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
（3）利用隔离体的平衡方程求结点位移。 取B点为隔离体，建立B点的力矩平衡方程
M BA
B
M BC
M BA M BC 0
6 1 7i
7i 1 6 0
解得
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
（4）将结点位移代回杆端弯矩表达式。
6 M AB 2i 15 16.72kN m 7i 6 M BA 4i 15 11.57kN m 7i 6 M BC 3i 9 11.57kN m 7i
k21 26.7 26.7
10
MP 图
10
F1P=-36.7
30
F2P=-3.3
★结点集中力偶不影响MP图, 但影响F1P。 将系数和自由项代入方程，解得 35.5 2.9 13 M图 （4）利用叠加原理，做弯矩图 6.5 1
1 3.24/ i
2 0.534/ i
2.1
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
M AC 120.87kN m M DB 52.17kN m M DC 52.17kN m M BD 106.96kN m
（5）按照区段叠加法作出弯矩图
60
52.17 40
120.87 106.96
M图(kNm)
由
M M1Z1 M
【例题】试做图示刚架的弯矩图。
20kN/m 40kN 2EI 4m Δ1 Δ2
10kNm
EI
2EI EI 4m
2m
2m
基本结构
解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
4
EI 设 i l
i AC i
则
iBC
8i 3
解：刚架的基本未知量：结点C的角位移Z1，基本体系如图b。
典型方程为
r11Z1 R1 0
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
绘弯矩图c、d。取结点C为隔离体。
r11 12i
代入典型方程解得
R1 6i
Z1 R1 r11 2
M AC 20 42 3i 2 / 4 3i 2 / 4 40 8 3i 1 30
A 4m
B
2m
60kNm 20kN/m C
30kN D
M DC
M DB 4i 1 6i 2 / 4
A B
M DB 2i 1 6i 2 / 4
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
（5）按照区段叠加法 作出弯矩图
5ql 2 16
3ql 2 16
M图
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/4。
30kN 20kN/m C 30kN D 4m
【解】 （1）基本未知量 D点的转角位移Δ1 C、D点水平位移Δ2 （2）杆端弯矩
M M 1Z1 M F
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
a图所示刚架，13杆和24杆有侧移产生，称为有侧移结构。基本体系如图b。
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
例8-5 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。
解：结构的基本未知量：结点B的角位移Z1、 竖向位移Z2，基本体系如图b。
6i Fl 7iZ1 Z 2 0 l 8 6i 15i F Z1 2 Z 2 0 l l 2
Z1、Z2
各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
2 有侧移结构 【例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。
E1A=∞ D C
【解】 （1）基本未知量 C、B点水平位移Δ1
l
i A
i B
q
（2）杆端弯矩
ql 2 3i 1 / l 8
F M AC 3i AC 1 / l M AC
MBD 3iBD 1/ l 3i 1/ l
由杆端弯矩求得杆端剪力
FQ CA 3ql 3i 1 / l 8
F1 0
F2 15kN
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
（4）求基本未知量。 10i1 1.5i 2 0
3.16 1 i
1.5i1 0.9375 i 2 15 0
(5) 作弯矩图
21.05 2 i
1
M M11 M 22 M
r12
12i l
R1P 0
R2P F
代入典型方程解得
Fl Fl 2 Z1 ， Z2 52i 39i
由
M M1Z1 M 2 Z 2 M P
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
例 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座 B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
3.16 3 21.05 M AC 2i i 25.26kN m i 2 i 3.16 3 21.05 M CA 4i i 18.94kN m i 2 i 3.16 M CD 6i 18.96kN m i 3 21.05 M BD i 15 30.79kN m 4 i
由杆端弯矩求得杆端剪力
FQ CA 3i 2 / l 2 3ql 3i 2 / 16 30 8
FQ DB 6i 1/ l 12i 2 / l 2 3i 1/ 2 3i 2 / 4
（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量
M DC
D
MDC MDB 0
（5）绘制最后弯矩图：用叠加法。
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
解： （1）选取基本结构 （2）作载荷弯矩图和 单位位移弯矩图 （3）求系数和自由项
2 2 FSBA 3 i / l 6 i / l BA s3A
FS 2 A FS 3 A 3i / l 2 由： Fx 0
B点转角位移Δ1
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
（2）写出杆端弯矩
FP A B
Δ1
Δ1 B
q
C
20 6 M AB 2i 1 2i 1 15 8 20 6 M BA 4i 1 4i 1 15 8
M BC
2 62 3i 1 3i 1 9 8
（5）按照区段叠加法作出弯矩图
16.72 11.57 3.21
15.85
M图（kNm）
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0
M12 M13 0
如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0
2
FP l 2 12i
2
FP l / 2
(5) 利用叠加法作出弯矩图
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/6。 FP=20kN，q=2kN/m。
FP A 3m Δ1 B Δ1 B q
B
3m 6m q
C
FP A
C
【解】 （1）基本未知量
(3)求系数和自由项，解方程 k11 4i k21 k11 8i 8i 4i k21
1 1
4i
M 1图
2i
4i k11=12i k21=4i k22 4i
k12
8i
k22
k11
2 1
4i 4i 6i
8i
4i
6i
M 2图
2i
k12=4i
k21=18i
F1P
26.7
26.7 F2P
30
F2P
7i 1 3i 2 30 0 2 (a)
M DB
30
FQCA FQDB
FQCA FQ DB 30 0
15i 2 3i 1 60 0 2 16
(b)
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
630 1 23i 2480 1 23i
（4）求杆端弯矩
FS13 FS24 0
设Z1为顺时针方向，Z2向右，可得
6i Fl M 13 4iZ1 Z 2 l 8 M 12 3iZ1
6i 12i F FS13 Z1 2 Z 2 l l 2 3i FS12 2 Z 2 l
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
由平衡条件可得
(3)求系数的自由项
6i/l
6i/l
1 1
k11 k21
k11= 24i/l 2 12i/l 2 12i/l 2 12i/l 2 12i/l 2 k21=- 24i/l 2
M 1图
6i/l 6i/l 6i/l
k12
k12= -24i/l 2
2 1
k22
12i/l 2
12i/l 2
12i/l 2
r11 Z1 r12 Z 2 R1P 0 典型方程为 r21 Z1 r22 Z 2 R2P 0