第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程 流体课件
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第三章 一维定常流动的基本方程 气体动力学 教学课件
果曲线C是条封闭的非流线，则该流面形成为流管。如果流管
的横截面积足够小，则这条流管就叫基元流管。基元流管的任
一截面上流体参数都是均匀的。并且流体质点不能穿越流管。
对无粘性流体，其固体壁面即可视为流面。
例
设已知流体运动的速度分量为 Vx 求过点M（1，1）的流线方程。
x2
x
y2
，Vy
x2
y
y2
，试
3.1.3随流导数
一、随流导数 在流动过程中，流体质点的各物理量随时间的变化率称为相
应物理量的随流导数，也称为随体导数或质点导数。
在拉格朗日法中，物理量的随流导数是跟随质点（a,b,c）的
物理量随时间的导数，这时（a,b,c）是不变的。如速度是矢径 r
对时间的偏导数，加速度是速度对时间的偏导数，即
V (a,b, c,t) r (a,b, c,t) t
立的，因为流体质点在场中的空间位置与时间 t有关，不同的时
间 t ，流体质点有不同的空间坐标 x, y, z 。因此对于任一个流体 质点的位置变量 x、 y、 z 是时间 t 的函数，即
x x(t) y y(t)
(3.4)
z z(t)
设 则Vx 、Vy 和 Vz 分别代表流体质点的速度在 x, y, z轴上的分量，
第三章 一维定常流动的基本方程
➢3.1 描述流体运动的两种方法及基本概念 ➢3.2 流体微团运动分析 ➢3.3 适合于系统的基本方程及雷诺输运定理 ➢3.4 连续方程 ➢3.5 动量方程 ➢3.6 动量矩方程 ➢3.7 能量方程 ➢3.8 柏努利方程
3.1 描述流体运动的两种方法及基本概念
• 研究流体运动的两种方法
流，该项等于零。第二项 (V )N 表示物理量N在空间分布不均
《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程
截面1-1和2-2：垂直于流动方向，为什么? 侧面1-2：平行于流动方向，为什么？
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
3-流体运动学ppt课件
V1= 24.8×10/7=35.4（m/s） V2= 11×10/7 =15.7(m/s) V3= 6.2×10/7 =8.86(m/s)
不可压缩流体 分流时 合流时
c
QQi Qi Q
Q1 Q2
v1A1v2A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用连续性方程注意事项：
①流体必须是稳定流动； ②流体必须是连续的； ③分清是可压缩流体还是不可压缩流体，以便采用相应的公式； ④对中途有流体输入或输出的分支管道，连续性方程有不同的表达式。
例1 水泵汲入管外径为88.5mm，壁厚4mm，压出管外径为75.5mm，壁厚 3.75mm，汲入管的流速为1.2m/s，试求压出管中水的流速。
6.流量
体积流量 质量流量 不可压缩流体
7.断面平均流速
Q udA
A
Qm udA
A
Qm Q
m3 / s kg/ s
v Q A
Q vA
三、连续性方程
v1 A1
1
A2 v2 2
在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的 流体质量，则
1Q1d t 2Q2d t 1Q 12Q2
1v1A1 2v2A2 ——连续性方程的积分形式
z(a,b,c,t) uz t
ax
ux(a,b,c,t) t
ay
uy(a,b,c,t) t
az
uz(a,b,c,t) t
2.欧拉法（设立空间观察点） 某瞬时，整个流场各空间点处的状态
uxux(x,y,z,t)
uyuy(x,y,z,t) uzuz(x,y,z,t) pp(x,y,z,t)
(x,y,z,t)
流体运动学
一、研究流体运动的两种方法 二、欧拉法的基本概念 三、连续性方程
不可压缩流体 分流时 合流时
c
QQi Qi Q
Q1 Q2
v1A1v2A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
应用连续性方程注意事项：
①流体必须是稳定流动； ②流体必须是连续的； ③分清是可压缩流体还是不可压缩流体，以便采用相应的公式； ④对中途有流体输入或输出的分支管道，连续性方程有不同的表达式。
例1 水泵汲入管外径为88.5mm，壁厚4mm，压出管外径为75.5mm，壁厚 3.75mm，汲入管的流速为1.2m/s，试求压出管中水的流速。
6.流量
体积流量 质量流量 不可压缩流体
7.断面平均流速
Q udA
A
Qm udA
A
Qm Q
m3 / s kg/ s
v Q A
Q vA
三、连续性方程
v1 A1
1
A2 v2 2
在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的 流体质量，则
1Q1d t 2Q2d t 1Q 12Q2
1v1A1 2v2A2 ——连续性方程的积分形式
z(a,b,c,t) uz t
ax
ux(a,b,c,t) t
ay
uy(a,b,c,t) t
az
uz(a,b,c,t) t
2.欧拉法（设立空间观察点） 某瞬时，整个流场各空间点处的状态
uxux(x,y,z,t)
uyuy(x,y,z,t) uzuz(x,y,z,t) pp(x,y,z,t)
(x,y,z,t)
流体运动学
一、研究流体运动的两种方法 二、欧拉法的基本概念 三、连续性方程
第三章 流体流动的基本方程 副本PPT课件
表示流体质点的初始时刻的位置
海南大学机电学院
工程流体力学
1.1 描述流体运动的方法
x=x (a，b，c，t) 1. 流体质点的位置坐标： y=y (a，b，c，t) 流体质点的运动方程
z=z (a，b，c，t)
ux(a,b,c,t)u(a,b,c,t) t
2. 速度：
vy(a,b,c,t)v(a,b,c,t) t
流体的出流
工程流体力学
1.2 描述流体运动的基本概念
一、流动的分类
•一维流动、二维流动和三维流动
1. 定义
流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。
一维流动
vv(x)
二维流动
vv(x,y)
三维流动
vv(x,y,z)
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
海南大学机电学院
不可能出现折点。 （3）定常流动时流线形状不变，
非定常流动时流线形状发生变化。
（4）流线簇的疏密反映了速度的大小；
强调的是空间连续质点而不是某单个质点 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线
v1 交点 v2
s1
s2
v1 折点 v2
s
海南大学机电学院
工程流体力学
质量交换
动量和能 量交换
系统
无 有 单纯界面相互作用
海南大学机电学院
控制体
有
有 界面相互作用 流体流入流出作用
工程流体力学
海南大学机电学院
工程流体力学
2 连续性方程
流体连续地充满所占据的空间，当流体流动时在其内部不形成空隙， 这就是流体运动的连续性假设。
质量守恒定律(conservation of mass) ：
海南大学机电学院
工程流体力学
1.1 描述流体运动的方法
x=x (a，b，c，t) 1. 流体质点的位置坐标： y=y (a，b，c，t) 流体质点的运动方程
z=z (a，b，c，t)
ux(a,b,c,t)u(a,b,c,t) t
2. 速度：
vy(a,b,c,t)v(a,b,c,t) t
流体的出流
工程流体力学
1.2 描述流体运动的基本概念
一、流动的分类
•一维流动、二维流动和三维流动
1. 定义
流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。
一维流动
vv(x)
二维流动
vv(x,y)
三维流动
vv(x,y,z)
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
海南大学机电学院
不可能出现折点。 （3）定常流动时流线形状不变，
非定常流动时流线形状发生变化。
（4）流线簇的疏密反映了速度的大小；
强调的是空间连续质点而不是某单个质点 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线
v1 交点 v2
s1
s2
v1 折点 v2
s
海南大学机电学院
工程流体力学
质量交换
动量和能 量交换
系统
无 有 单纯界面相互作用
海南大学机电学院
控制体
有
有 界面相互作用 流体流入流出作用
工程流体力学
海南大学机电学院
工程流体力学
2 连续性方程
流体连续地充满所占据的空间，当流体流动时在其内部不形成空隙， 这就是流体运动的连续性假设。
质量守恒定律(conservation of mass) ：
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
第三章一元流体动力学基础ppt
注意：流线和迹线微分方程的异同点。
dx ux dy uy dz uz
——流线方程
第四节 一元流动模型
一.流管、元流与流束 流管—在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通 过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的 管状空间称为流管。 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的 一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于 流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限 制在管内流动。
u x u x x, y , z , t
写成分量形式
u y u y x, y , z , t u z u z x, y , z , t
（x,y,z,t）——欧拉变量
(2) 欧拉加速度
流体质点，某一时刻，处于流场不同位置，速度是坐标及时 间的函数，所以流速是t 的复合函数，对流速求导可得加速度: du x, y , z , t a dt
流体质点速度为：
x a，b，c，t vx t y a，b，c，t vy t z a，b，c，t v z t
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如： p=p(a，b，c，t) ρ=ρ(a，b，c，t)
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日数。 所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数。
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
d2
d1
d3
2) 各断面流速比例保持不变， Q=8L/s,即流量增加为2倍， 则各断面流速亦加至2倍。即
大学课程《工程流体力学》PPT课件：第三章
§3.1 研究流体运动的方法
➢ 欧拉法时间导数的一般表达式
d (v ) dt t
d ：称为全导数，或随体导数。
dt
：称为当地导数。
t
v
：称为迁移导数。
例如，密度的导数可表示为： d (v )
dt t
§3.1 研究流体运动的方法
3.1.2 拉格朗日法
拉格朗日法的着眼点：特定的流体质点。
lim t0
(
dV
III
)
t
t
t
CS2 vndA
单位时间内流入控制体的物理量：
z
Ⅲ
Ⅱ’
Ⅰ
y
lim
t 0
(IdV )t t t CS1vndA
x
§3.3 雷诺输运方程
➢ 雷诺输运方程
dN dt
t
CV dV
CSvndA
雷诺输运方程说明，系统物理量 N 的时间变化率，等于控 制体该种物理量的时间变化率加上单位时间内经过控制面 的净通量。
d dt
V
dV
t
CV
dV
CS
vndA
0
因此，连续性方程的一般表达形式为：
t
CV
dV
CS
vndA
0
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表现形式。
对定常流动，连续性方程简化为：
CS vndA 0
§3.4 连续性方程
对一维管流，取有效截面 A1 和 A2，及
v2
管壁 A3 组成的封闭空间为控制体：
ay
dv y dt
v y t
vx
v y x
vy
v y y
vz
v y z
az
第3章流体运动学ppt课件
t
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u )dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
➢ 根据流线的定义，可以推断：流线不能相交，也 不能转折；
➢ 在恒定流情况下，迹线与流线重合。
➢迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格 朗日观点对应); 流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应)。
例：已知速度ux=x+t，uy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
微团的角变形：1
2
1 2
u y x
ux y
dt
xydt
xy
1 2
u y x
ux y
是微团在xoy平面上的角变形速度
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u )dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
➢ 根据流线的定义，可以推断：流线不能相交，也 不能转折；
➢ 在恒定流情况下，迹线与流线重合。
➢迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格 朗日观点对应); 流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应)。
例：已知速度ux=x+t，uy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
微团的角变形：1
2
1 2
u y x
ux y
dt
xydt
xy
1 2
u y x
ux y
是微团在xoy平面上的角变形速度
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流体力学主要任务：研究流场中的流动。 定量描述流场中大量流体质点的运动特性，有两种方法： 1.拉格朗日(Lagrange)方法 2.欧拉(Euler)法
1.拉格朗日(Lagrange)方法 流体运动：是许多流体质点运动的综合 采用理论力学：质点动力学方法 研究每个流体质点运动参数：随时间的变化 得到整个流体：运动规律 流体质点系：是极易变形的连续介质 描述流体质点位移：对不同质点加以区别
例：运动初始时刻：to 某质点坐标：(a,b,c) 经过时间：t后 该质点沿运动轨迹的位移：
x
Байду номын сангаас
y
f1(a , b, c, t) f2 (a , b, c, t)
z f 3 ( a , b , c , t )
对某个质点： 初始位置：一定，即(a,b,c)不变
t：变数
\该质点运动轨迹的参数方程，或位移分量：
Vy=Vy(x, y, z, t) Vz=Vz(x, y, z, t)
二维流：流动参数是两个空间坐标函数, Vx=Vx(x, y, t) Vy=Vy(x, y, t) Vz=0
一维流：流动参数是一个空间坐标函数，Vx=Vx(x, t) Vy=0 Vz=0
哪个是三维、二维、一维流动？
管直径<<管长 管截面上流动参数：取平均值 坐标系：图示
V xV yV zpT0
t t t t t t
流体所有流动参数都只与坐标有关，与时间无关。
Vx Vx x,y,z
V
y
V
y
x,
y,
z
Vz p
V z x, y,z p x,y,z
x,y,z
T
T
x, y,z
水箱中水位不变，A、B两点运动参数：
不随 ？ 变化，但随 ？ 变化，
x
y
f1(a , b, c, t) f2 (a , b, c, t)
z f 3 ( a , b , c , t )
速度分量：位移(x,y,z)对时间t的一阶导数
Vx
x t
f1(a, b, c, t) t
Vx
a,b,c,t
Vy
y t
f2 (a,b, c, t) t
Vy
a,b,c,t
rr
VVx,y,z,t
是空间点的坐标，在不同时刻， 有许多不同流体质点流过，只需 关心某空间点的速度等参数即可。
\用欧拉法研究流体运动时，数学上比较容易处理，因而 在流体力学中得到广泛应用，以后采用的就是欧拉法。
回到原来问题： 有20人上课，如何研究这些人在两节课中在教室所处的 位置？
二、流体运动的分类： 对欧拉法，按流体运动所依赖变数的数目对流动加以分类。 1.定常流： 流场中任一空间点的运动参数，都不随时间而改变。
运动参数： 流体运动空间中：充满连续不断运动流体质点(或微团) 每一质点都具有表征其运动特征物理量：运动参数 如流速、压强、密度、温度等
流场：流体运动空间必然形成各种运动参数连续的场，如 速度场、温度场、密度场、压强场等
流场：这些向量场和标量场的总和
问题： 有20人上课，如何研究这些人在两节课中在教室所处的 位置？
a,b,c,t
a a
x y
ax ay
a,b,c,t a,b,c,t
a
z
az
a,b,c,t
拉格朗日法物理概念明确，但用它来研究质点运动时，必 包含该质点运动历程，即质点的位移，因而采用不普遍。
2.欧拉(Euler)方法 欧拉法：着眼于流场中各空间点 不关心：流体质点运动历程 研究经过每个空间点(x,y,z)处：流体质点运动参数随时间t 的变化情况
例如：压强 p=p(x,y,z,t)表示 在时刻t，空间点(x,y,z)上流体质点的压强.
拉格朗日法中(x,y,z)： x
y
f1(a , b, c, t) f2 (a , b, c, t)
z f 3 ( a , b , c , t )
是同一流体质点(a,b,c)在空间位置 的坐标。
欧拉法中(x,y,z)：
2z t2
2 f3(a,b,c,t) t2
az a,b,c,t
若a,b,c为常数，t为变数： 表示某给定质点(a,b,c)的速度、加速度随时间t的变化情况
若t为常数，a,b,c为变数： 表示某瞬时t流场中各质点的速度分布和加速度分布
V V
x y
Vx Vy
a,b,c,t a,b,c,t
V
z
Vz
水箱中水位不断下降，A、B两点运动参数：
随 ？ 变化， 也随
？ 变化
时间
空间位置
为非定常流
V x V x x, y,z,t
V
y
V
y
x,
y , z,t
Vz p
V z x, y,z,t p x, y,z,t
x, y,z,t
T
T
x, y,z,t
3. 三维流：流动参数是三个空间坐标函数, Vx=Vx(x, y, z, t)
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
时间
空间位置
为定常流
Q定常流：不考虑时间因素，问题简化。 \ 对随时间变化缓慢问题进行简化，近似认为定常问题。
2.非定常流： 流场中运动参数（全部或部分）随时间而改变。 下面式子全部或部分成立：
V x 0 , V x 0 , V x 0 , p 0 , 0 , T 0
t t t t t t
第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程 流体动力学：主要研究流速和压强的空间分布。
流体运动时，出现了两个力与流速有关： 惯性力 粘性力
这两个力产生原因： 惯性力：质点本身流速变化所产生 粘性力：质点或流层间存在流速差异所引起的
第一节 研究流体运动的方法和一些基本概念 一、研究流体运动的两种方法：
假设：流体是连续介质 速度、压强、密度等运动参数：是坐标(x,y,z)和时间t的
连续 函数
rr
速度场：V V x, y, z,t
VVyx
Vx Vy
x, x,
y, z,t y, z,t
Vz Vz x, y, z,t
压强场：p px, y, z,t 密度场： x, y, z,t 温度场：T T x, y, z,t
Vz
z t
f3(a,b, c, t) t
Vz
a,b,c,t
加速度分量：位移(x,y,z)对时间t的二阶导数
ax
Vx t
2x t2
2 f1(a,b,c,t) t2
ax a,b,c,t
ay
Vy t
2 y t2
2
f2 (a, b, c, t) t2
ay a,b,c,t
az
Vz t
1.拉格朗日(Lagrange)方法 流体运动：是许多流体质点运动的综合 采用理论力学：质点动力学方法 研究每个流体质点运动参数：随时间的变化 得到整个流体：运动规律 流体质点系：是极易变形的连续介质 描述流体质点位移：对不同质点加以区别
例：运动初始时刻：to 某质点坐标：(a,b,c) 经过时间：t后 该质点沿运动轨迹的位移：
x
Байду номын сангаас
y
f1(a , b, c, t) f2 (a , b, c, t)
z f 3 ( a , b , c , t )
对某个质点： 初始位置：一定，即(a,b,c)不变
t：变数
\该质点运动轨迹的参数方程，或位移分量：
Vy=Vy(x, y, z, t) Vz=Vz(x, y, z, t)
二维流：流动参数是两个空间坐标函数, Vx=Vx(x, y, t) Vy=Vy(x, y, t) Vz=0
一维流：流动参数是一个空间坐标函数，Vx=Vx(x, t) Vy=0 Vz=0
哪个是三维、二维、一维流动？
管直径<<管长 管截面上流动参数：取平均值 坐标系：图示
V xV yV zpT0
t t t t t t
流体所有流动参数都只与坐标有关，与时间无关。
Vx Vx x,y,z
V
y
V
y
x,
y,
z
Vz p
V z x, y,z p x,y,z
x,y,z
T
T
x, y,z
水箱中水位不变，A、B两点运动参数：
不随 ？ 变化，但随 ？ 变化，
x
y
f1(a , b, c, t) f2 (a , b, c, t)
z f 3 ( a , b , c , t )
速度分量：位移(x,y,z)对时间t的一阶导数
Vx
x t
f1(a, b, c, t) t
Vx
a,b,c,t
Vy
y t
f2 (a,b, c, t) t
Vy
a,b,c,t
rr
VVx,y,z,t
是空间点的坐标，在不同时刻， 有许多不同流体质点流过，只需 关心某空间点的速度等参数即可。
\用欧拉法研究流体运动时，数学上比较容易处理，因而 在流体力学中得到广泛应用，以后采用的就是欧拉法。
回到原来问题： 有20人上课，如何研究这些人在两节课中在教室所处的 位置？
二、流体运动的分类： 对欧拉法，按流体运动所依赖变数的数目对流动加以分类。 1.定常流： 流场中任一空间点的运动参数，都不随时间而改变。
运动参数： 流体运动空间中：充满连续不断运动流体质点(或微团) 每一质点都具有表征其运动特征物理量：运动参数 如流速、压强、密度、温度等
流场：流体运动空间必然形成各种运动参数连续的场，如 速度场、温度场、密度场、压强场等
流场：这些向量场和标量场的总和
问题： 有20人上课，如何研究这些人在两节课中在教室所处的 位置？
a,b,c,t
a a
x y
ax ay
a,b,c,t a,b,c,t
a
z
az
a,b,c,t
拉格朗日法物理概念明确，但用它来研究质点运动时，必 包含该质点运动历程，即质点的位移，因而采用不普遍。
2.欧拉(Euler)方法 欧拉法：着眼于流场中各空间点 不关心：流体质点运动历程 研究经过每个空间点(x,y,z)处：流体质点运动参数随时间t 的变化情况
例如：压强 p=p(x,y,z,t)表示 在时刻t，空间点(x,y,z)上流体质点的压强.
拉格朗日法中(x,y,z)： x
y
f1(a , b, c, t) f2 (a , b, c, t)
z f 3 ( a , b , c , t )
是同一流体质点(a,b,c)在空间位置 的坐标。
欧拉法中(x,y,z)：
2z t2
2 f3(a,b,c,t) t2
az a,b,c,t
若a,b,c为常数，t为变数： 表示某给定质点(a,b,c)的速度、加速度随时间t的变化情况
若t为常数，a,b,c为变数： 表示某瞬时t流场中各质点的速度分布和加速度分布
V V
x y
Vx Vy
a,b,c,t a,b,c,t
V
z
Vz
水箱中水位不断下降，A、B两点运动参数：
随 ？ 变化， 也随
？ 变化
时间
空间位置
为非定常流
V x V x x, y,z,t
V
y
V
y
x,
y , z,t
Vz p
V z x, y,z,t p x, y,z,t
x, y,z,t
T
T
x, y,z,t
3. 三维流：流动参数是三个空间坐标函数, Vx=Vx(x, y, z, t)
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
时间
空间位置
为定常流
Q定常流：不考虑时间因素，问题简化。 \ 对随时间变化缓慢问题进行简化，近似认为定常问题。
2.非定常流： 流场中运动参数（全部或部分）随时间而改变。 下面式子全部或部分成立：
V x 0 , V x 0 , V x 0 , p 0 , 0 , T 0
t t t t t t
第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程 流体动力学：主要研究流速和压强的空间分布。
流体运动时，出现了两个力与流速有关： 惯性力 粘性力
这两个力产生原因： 惯性力：质点本身流速变化所产生 粘性力：质点或流层间存在流速差异所引起的
第一节 研究流体运动的方法和一些基本概念 一、研究流体运动的两种方法：
假设：流体是连续介质 速度、压强、密度等运动参数：是坐标(x,y,z)和时间t的
连续 函数
rr
速度场：V V x, y, z,t
VVyx
Vx Vy
x, x,
y, z,t y, z,t
Vz Vz x, y, z,t
压强场：p px, y, z,t 密度场： x, y, z,t 温度场：T T x, y, z,t
Vz
z t
f3(a,b, c, t) t
Vz
a,b,c,t
加速度分量：位移(x,y,z)对时间t的二阶导数
ax
Vx t
2x t2
2 f1(a,b,c,t) t2
ax a,b,c,t
ay
Vy t
2 y t2
2
f2 (a, b, c, t) t2
ay a,b,c,t
az
Vz t