2013届高考数学一轮复习讲义：第五章 5[1].3 平面向量的数量积
审题路线图 图形有一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点)
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令|AB|＝1，|AC|＝1 ↓(一副三角板的两斜边等长) |DE|＝|BC|＝ 2 ↓(非等腰三角板的特点) 3 6 |BD|＝|DE|sin 60° 2× ＝ ＝ 2 2 ↓(注意∠ABD＝45° ＋90° ＝135° ) → → AD在AB上的投影即为 x 6 2 3 ↓x＝|AB|＋|BD|cos 45° ＝1＋ × ＝1＋ 2 2 2 → → ↓AD在AC上的投影即 y 6 2 3 ↓y＝|BD|· 45° sin ＝ × ＝ . 2 2 2
一轮复习讲义
平面向量的数量积
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要点梳理
1．平面向量的数量积
忆一忆知识要点
已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量 |a||b|cos θ
b＝|a||b|cos θ . 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
b＝0 ， 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a· 两个非零向量 b＝± a 与 b 平行的充要条件是 a· |a||b| .
答案 (1)－3 (2) 3
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向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)· (2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； → → (3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a· a.
解 (1)∵(2a－3b)· (2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a· b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a· b－27＝61，∴a· b＝－6. －6 a· b 1 ∴cos θ＝ ＝ ＝－ . |a||b| 4×3 2
设向量 a＋b＋c 与向量 a 的夹角为 θ， 3 a＋b＋c· －2 a 3 则 cos θ＝ ＝ ＝－ ，即 θ＝150° ， 2 |a＋b＋c||a| 3 故向量 a＋b＋c 与向量 a 的夹角为 150° .
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平面向量的垂直问题
例 3 已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a＋b 与 a－b 互相垂直； (2)若 ka＋b 与 a－kb 的模相等，求 β－α.(其中 k 为非零实数)
解 (1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又 α⊥(α－2β)， ∴α· (α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0. 1 ∴α·β＝ . 2 ∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝ 10.
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(2)由已知得(a＋b＋c)· 2＋a· a＝a b＋a· c 3 ＝1＋2cos 120° ＋3cos 120° ＝－ ， 2 |a＋b＋c|＝ a＋b＋c2 ＝ a2＋b2＋c2＋2a· b＋2a· c＋2b· c ＝ 1＋4＋9＋4cos 120° ＋6cos 120° ＋12cos 120° 3. ＝
2．平面向量数量积的几何意义 数量积 a· 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ 的 b 乘积．
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要点梳理
忆一忆知识要点
3．平面向量数量积的重要性质 (1)e· a＝a· e＝ |a|cos θ ； (2)非零向量 a，b，a⊥b⇔
a· b＝0
；
a· a
(3)当 a 与 b 同向时，a· |a||b| ； b＝ 当 a 与 b 反向时，a· －|a||b ，a· 2，|a|＝ b＝ a＝a (4)cos θ＝ (5)|a· ≤ b|
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[难点正本
疑点清源]
1．向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量， 这个数量的大小与两个向量 的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题 时，一定要注意两向量夹角的范围． 2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但 不满足向量间的结合律，即(a· 不一定等于 a(b· b)c c)．这是由 于(a· 表示一个与 c 共线的向量， a(b· b)c 而 c)表示一个与 a 共 线的向量，而 c 与 a 不一定共线．
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平面向量的数量积的运算
例 1 已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a－c)· (b－c)＝0，则|c|的最大值是________．
方法一 由题意，得|a|＝|b|＝1，a· b＝0.
又(a－c)· (b－c)＝0，所以|c|2＝c· (a＋b)＝|c||a＋b|· θ，其 cos 中 θ 是 c 与 a＋b 的夹角，所以|c|＝|a＋b|cos θ＝ 2cos θ. 又 θ↔[0，π]，所以|c|的最大值是 2.
方法三 因为(a－c)· (b－c)＝0，所以 a－c 与 b－c 互相垂直． 又 a，b 是两个互相垂直的单位向量，所以 a，b，a－c，b－c 构 成的四边形是圆内接四边形，c 为其对角线．
所以当 c 是直径时，|c|达到最大值，这时圆内接四边形是以 a，b 为邻边的正方形，所以|c|的最大值是 2.
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2π 又 0≤θ≤π，∴θ＝ . 3 (2)可先平方转化为向量的数量积．
|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a· b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a＋b|＝ 13.
2π 2π π → → (3)∵AB与BC的夹角 θ＝ ，∴∠ABC＝π－ ＝ . 3 3 3 → → 又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3， 1→ → 1 3 ∴S△ABC＝ |AB||BC|sin∠ABC＝ ×4×3× ＝3 3. 2 2 2
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探究提高
(1)当向量 a 与 b 是坐标形式给出时， 若证明 a⊥b， 则只需证明 a· b ＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)当向量 a，b 是非坐标形式时，要把 a，b 用已知的不共线向量 作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角， 从而进行运 算证明 a· b＝0. (3)数量积的运算中，a· b＝0⇔a⊥b 中，是对非零向量而言的，若 a＝0，虽然有 a· b＝0，但不能说 a⊥b.
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变式训练 3
已知平面向量 a＝( (1)证明：a⊥b； (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka ＋tb，且 c⊥d，试求函数关系式 k＝f(t)．
1 3 (1)证明 ∵a· b＝ 3× －1× ＝0，∴a⊥b. 2 2
(2)解 ∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且 c⊥d， ∴c· d＝[a＋(t2－3)b]· (－ka＋tb)
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变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a| ＝|b|＝1，则(－3a)· (a＋b)＝______.
→ (1)如图所示，由已知，作OA＝a， → → → OB＝b，OA、OB的方向分别是正南、正东方 → 向，且|a|＝|b|＝1，则OC＝－3a 的方向是正北 → → → → 方向，|OC|＝|－3a|＝3|a|＝3，OD＝OA＋OB＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)， → → 且OC与OD的夹角是∠COD＝135° ，所以(－3a)· (a＋b)＝3× 2 2 ×cos 135° ＝3 2×－ ＝－3. 2
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→ → (2)如图，在△ABC 中，AD⊥AB，BC＝ 3 BD， → → → |AD|＝1，则AC· ＝________. AD
(2)设 BD＝a，则 BC＝ 3a，作 CE⊥BA 交 的延长线于 E，可知∠DAC＝∠ACE，
1 1 在 Rt△ABD 中，sin B＝BD＝a.在 Rt△BEC 1 中，CE＝BC· B＝ 3a·＝ 3， sin a 3 ∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝AC. 3 → → → → ∴AD· ＝|AD|· |cos∠DAC＝AD· AC＝ 3. AC |AC AC·
1 3，－1)，b＝ ， 2
3 . 2
＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a· b＝0， 又 a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a· b＝0， t3－3t ∴c· d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝ (t≠0)． 4
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审题路线图
三审图形抓特点
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探究提高
(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹 角等公式，尤其对|a|＝ a· a要引起足够重视，它是求距离常用 的公式． (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的 运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．
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变式训练 2
(1)已知平面向量 α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β| 的值； (2)已知三个向量 a、 c 两两所夹的角都为 120° |a|＝1， b、 ， |b|＝2， |c|＝3，求向量 a＋b＋c 与向量 a 的夹角．
(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题， 数量积为零即得证． (2)由模相等，列等式、化简．
(1)证明 ∵(a＋b)· (a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0， ∴a＋b 与 a－b 互相垂直．
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(2)解
ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)，
a－kb＝(cos α－kcos β，sin α－ksin β)， |ka＋b|＝ k2＋2kcosβ－α＋1， |a－kb|＝ 1－2kcosβ－α＋k2.
∵|ka＋b|＝|a－kb|， ∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)．
又 k≠0，∴cos(β－α)＝0. π 而 0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝ . 2
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.3 平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积，记作a ·b投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影|b |cos θ叫做向量b 在a方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 符号表示 坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a·b )·c ＝a·(b·c )．( × ) 教材改编题1．(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )B ．a·b ＝b·c ，则a ＝cC ．a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0D ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 D2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________． 答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0， 故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝______；a ·b ＝______. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·邹城模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →|＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316 AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝__________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b |a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b|＝|a ＋b|(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则c ＝(7，2)， ∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73， ∴sin 〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73， ∴sin 〈a ，c 〉＝23. (2)(2021·新高考全国Ⅰ改编)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则 ①|OP 1—→|＝|OP 2—→|； ②|AP 1—→|＝|AP 2—→|； ③OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→； ④OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→.以上结论正确的有________．(填序号) 答案 ①③解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故①正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故②错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故③正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA →·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故④错误．题型三 平面向量的实际应用例5 (2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论不正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 B解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ， 则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线， 则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°，故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·四川乐山第一中学模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·宜昌模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋－32＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )C．a·b≤|a||b|D．|a－b|≤|a|＋|b|答案 B解析根据数量积的分配律可知A正确；选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影为－2 2C．2m＋n＝4D．mn的最小值为2答案 C解析对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝15×2＝1010，所以向量a在b上的投影为|a |cos θ＝5×1010＝22，故B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，故C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，故D 错误．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方， 得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·南昌模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233， 在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·恩施质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( )A ．12B ．－12C ．20D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD →＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的角平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的角平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ，∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________．答案 1 1120 解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ，∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( )A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≥|a |＋1答案 A解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 错误．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 (1)m·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ，又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12， 又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
解答.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
7
8
8.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量
的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理
学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W= |F||s|cos θ (θ
即|a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 5.
-28考点1
考点2
考点3
解题心得1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
b+|b|2,把向量的模
的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作
出向量,再利用余弦定理等方法求解.
为( B )
5
A.-8
1
B.8
1
C.4
11
D. 8
-16考点1
考点2
考点3
(2)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分
7
点, ·=4, · =-1,则 ·的值是
.
8
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
cos∠ABC=
= 1×1
||||
=
3
,
2
关闭
所以∠ABC=30°,故选 A.
A
解析
答案
-13知识梳理
1
双基自测
2
2013届高考北师大版数学总复习课件：5.3平面向量的数量积
知识梳理 1．两个向量的夹角
(1)定义 → ＝a，OB → ＝b，则∠AOB＝ 非零 向量 a 和 b，作OA 已知两个_____ θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
(2)范围
，π]，a 与 b 同向时，夹角 θ＝__ 向量夹角 θ 的范围是[0 ______ 0 ；a
与 b 反向时，夹__ 在__
(3)平面向量数量积的几何意义
|b|cosθ 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影_______
的乘积．
3．平面向量数量积的重要性质
|a|cosθ； (1)e· a＝ a · e＝_______ a· b＝0 ； (2)非零向量 a，b，a⊥b⇔_________
[解析] 该题考查向量的坐标运算，向量的共线及向量的数 量积． ∵a＝(1，k)，b＝(2,2)，∴a＋b＝(3，k＋2) ∵(a＋b)∥a，∴1· (k＋2)＝3k，∴k＝1， ∴a＝(1,1)，∴a· b＝2＋2＝4.
2．已知下列各式： ① a ＝ | a| ＋ b2 其中正确的有________个．( A． 1 C． 3
λ(a·b)＝a·(λb) (λ 为实数)； (2)(λa)· b＝_______________
a· c＋b· c (3)(a＋b)· c＝________.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝__________ x1x2＋y1y2 ，由此得 到
1 1 3．(2010· 安徽)设向量 a＝(1,0)，b＝( ， )，则下列结论中正 2 2 确的是( ) 2 B ． a· b＝ 2 D ． a∥ b
A ． | a| ＝ | b | C．a－b 与 b 垂直
2013届高考理科数学一轮复习课件5.3平面向量的数量积
【解析】 ①∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝12，
又∵|a|＝1，∴|b|＝
2 2.
1
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝|aa|··b|b|＝
2
＝ 2
22，
1·2
∴θ＝45°.
②∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，
∴|a－b|＝
2 2.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，
－b)＝0，则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．(2011·江西)已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3π， 若向量 b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
④中当|a|＝|b|但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时， 就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命 题④是假命题．
⑤如图②，∵|a|＝|b|＝|a－b|， ∴△OAB 为等边三角形， 而 a＋b＝O→C，∴a 与O→C夹角为 30°. 失分警示 解决向量问题常常要数形结合，a·b 等于 a 乘以 b 在 a 方向上的投影，或等于 b 乘以 a 在 b 方向上 的投影．
②中∵a·b＝|a|·|b|·cos θ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及 a、b 为非 零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0 或 π，∴a∥b 且以上各步 均可逆，故命题②是真命题．
③中当 a⊥b 时，将向量 a、b 的起点确定在同一点， 则以向量 a、b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必 为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a＋b|＝|a－b|. 反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以 a、b 为邻边的四边形为 矩形，所以有 a⊥b，因此命题③是真命题．
2013届高三数学一轮复习第五章平面向量平面向量的数量积与综合应用课件文
要掌握此类问题的处理办法:(1)|a|2=a2=a·a,(2)|a±b|2=a2±2a·b+b2,(3)若 a=(x,y)则|a|= x2 y2 .
3.在证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行的充要条件:a ∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0(b≠0). 在证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
4.要注意向量应用的综合性,即向量和其他数学内容的结合,如和函 数、数列、三角、解析几何等结合.这类题目往往综合度要求比较 高.
【解析】若a·b=a·c,则不能推出b=c.反过来b=c,可以得到a·b=a·c,所 以是必要不充分条件.
【答案】 B
2.(山东省莱阳市2011届高三上学期期末)已知平面向量a=(1,-3),b=
(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=
.
【解析】λa+b=(λ+4,-3λ-2),λa+b与a垂直,则(λ+4)×1+(-3λ-2)×(-3)=0, ∴10λ=-10,∴λ=-1.
一、两个向量的夹角
1.定义:已知两个非零向量a和b,作
OA=a,
OB
=b,则∠AOB=θ叫做向量a
与b的夹角. 2.范围:向量夹角的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时,夹角θ=0°,a与b
反向时,夹角θ= 180.
3.向量垂直:如果向量a与b的夹角是90°,则a与b垂直,记作:a⊥b. 二、平面向量数量积的意义 1.a,b是两个非零向量,它们的夹角为θ,则数量|a|·|b|·cos θ叫做a与b的
【答案】(-3,6)
1.在求夹角的过程中,当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得a· b及|a|,|b|或得出它们的关系,若已 θ=
高考数学一轮复习第五章第三讲平面向量的数量积课件
c 上的投影相等.切记不可对“a·c＝b·c”两边同时除以c得到a＝b， 不可对向量的数量积除以向量.
【考法全练】
1.(考向 3)已知向量|O→A|＝3，|O→B|＝2，O→C＝mO→A＋nO→B，若O→A
与O→B的夹角为 60°，且O→C⊥A→B，则实数mn 的值为( )
4 5×
5＝45.故选 D.
答案：D
(2)若向量 a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知 2a－3b 与
c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是________. 解析：因为 2a－3b 与 c 的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，
即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，所以 4k－6－6＜0，所以 k＜3.若 2a－ 3b 与 c 反向共线，则2k－2 3＝－6，解得 k＝－92，此时夹角不是钝 角，综上所述，k 的取值范围是－∞，－92∪－92，3.
答案：5
考向 2 求向量的夹角 通性通法：求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝|aa|·|bb|，θ 的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 cos θ＝
x21
x1x2＋y1y2 ＋y12 · x22 ＋y22
.
(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.
答案：24
图 D22
考点二 平面向量数量积的应用 考向 1 求向量的模 通性通法： 求解平面向量模的方法，a＝(x，y) (1)利用公式|a|＝ x2＋y2. (2)利用|a|＝ a2.
[例 2](1)已知平面向量 a，b 的夹角为π6，且|a|＝ 3，|b|＝2， 在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 中点，则|A→D| 等于( )
高三数学(理)一轮总复习课件第五章第三节 平面向量的数量积与平面向量应用ppt版本
即(| AB|·| AC |)2＝( AB·AC )2＋(| AB|·| AC |·
sin〈 AB， AC 〉)2，
∴| AB|·| AC |·sin〈 AB， AC 〉＝2－ 3，
∴S△ABC＝12| AB|·| AC |·sin〈 AB， AC 〉＝1－
3 2.
答案：1－
3 2
角度三：平面向量的垂直 5．(2014·重庆高考改编)已知向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝
所以 a·b＝－1×－12＋2×1＝52.
答案：52
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为 ________．
解析：∵|a＋b|＝1，∴a2＋2a·b＋b2＝1. 又|a|＝|b|＝1，∴cos〈a，b〉＝－12. 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝23π. 答案：23π
AF ＝ AB＋ BC ＋CF ＝－BA＋BC ＋152BA＝－172BA＋BC ，
∴ AE ·AF ＝23
BC － BA
·－172
BA ＋ BC
＝172| BA|2－2158 BA·BC ＋23|BC |2
＝172×4－2158×2×1×12＋23 ＝2198.
答案：梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC， AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE ＝23BC ， DF ＝16 DC ，则 AE ·AF 的值 为________．
解析：取 BA， BC 为一组基底，
则 AE ＝ BE － BA＝23BC －BA，
[方法归纳] 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝|aa|··b|b|，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥ b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝ a·a. ②|a±b|＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2. ③若a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
2013届高三数学第一轮复习课件5-3平面向量的数量积
a· b 2 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝ ＝ ＝ ， |a||b | 2 2 1· 2 ∴θ＝ 45° .
1 2
1 1 1 (2)∵(a－ b) ＝ a － 2a· b＋ b ＝ 1－ 2× ＋ ＝ ， 2 2 2
2 2 2
2 ∴|a－ b|＝ ， 2 1 1 5 (a＋b)2＝ a2＋ 2a· b＋b2＝ 1＋ 2× ＋ ＝ . 2 2 2 ∴|a＋ b|＝ 10 ，设 a－ b 与 a＋ b 的夹角为 α， 2 1 2
解析：(1)因为 a 与 b－ 2c 垂直， 所以 a· (b－ 2c)＝ 4cosαsinβ－ 8cosαcosβ＋ 4sinαcosβ＋ 8sinαsinβ ＝ 4sin(α＋ β)－ 8cos( α＋ β)＝ 0， 因此 tan(α＋ β)＝ 2. (2)由 b＋ c＝ (sinβ＋ cosβ， 4cosβ－ 4sinβ)，得 |b＋ c|＝ sinβ＋ cosβ2＋ 4cosβ－ 4sinβ2 ＝ 17－ 15sin2β ≤4 2. 所以 |b＋ c|的最大值为 4 2. (3)由 tanαtanβ＝ 16，得 4cosα sinα ＝ ，所以 a∥b. sinβ 4cosβ
x2＋y2 .
→| (2)设 A(x1，y1) ，B(x2，y 2)，则 A， B 两点间的距离 |AB|＝ |AB ＝ . (3)设 a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y 2)，则 a⊥b⇔x 1x2＋y1y 2＝ 0.
考点精练 1．下列四个命题中真命题的个数为( ①若a·b＝0，则a⊥b； ②若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c； ③(a·b)·c＝a·(b·c)； ④(a·b)2＝a2·b2. A．4 B．2 D．3
a－b· a＋ b 5 则 cosα＝ ＝ ＝ . |a－ b||a＋ b| 2 10 5 × 2 2
高考数学一轮复习 第五章 第3讲 平面向量的数量积课件 理 苏教版
4．平面向量数量积的重要性质
• •
((12))e非·a零＝向a·量e＝a，|_a_|cb_o，_s_aθ_⊥__b_⇔_；__________；
a·b＝0
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝ －|a||b|；特别地，a·a＝__|a_|_2 _；|a|＝ a·a；
• 答案 4
• 2．(2012·扬州第二次调研)已知单位向量a，b的夹角为 • 120°，那么|2a－xb|(x∈R)的最小值是________．
解析 因为(2a－xb)2＝4a2－4xa·b＋x2b2＝4＋2x＋x2＝(x ＋1)2＋3≥3，所以|2a－xb|≥ 3. 答案 3 3．(2012·苏州第一次调研)在等边三角形 ABC 中，点 P 在线
2．平面向量的数量积 • 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量 |a||b|·cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作 • ___________________. • 规a定·b＝：|零a||向b|·量cos与θ任一向量的数量积为___.
• 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方0向上的投影 3．平面__向__量__数__量的积乘的积几．何意义
5．如图，在菱形 ABCD 中，若 AC＝4， 则C→A·A→B＝________. 解 析 A→B ＝ A→O ＋ O→B ， 故 C→A ·A→B ＝ C→A·(A→O＋O→B)＝C→A·A→O＋C→A·O→B. 而A→O＝－12C→A，C→A⊥O→B.所以C→A·A→B＝ －12CA2＝－8.
第3讲 平面向量的数量积
考点梳理
• 1．两个向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角，当 θ＝0°时，a 与 b_同__向__；当 θ＝180° 时，a 与 b_反__向__；如果 a 与 b 的夹角是 90°，我 们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b___.
高三数学一轮复习精品课件5：§5.3平面向量的数量积
6.已知点 O 为△ABC 的外心,且||=4,||=2, ·=
.
【答案】6
【解析】因为点 O 为△ABC 的外心,且|| = , || = , 所以 ·
= ·( − ) = · − · = |||| <
,
,即命题 p 真,则命题 q 假,所以 p∨q 为真命题.
4已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”
是“(a-mb)⊥a”的 (
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题可得|a|=1,a·b=|a||b|cos 60°=1,而(a-mb)·a=|a|2ma·
查数量积的运算、
几何意义、模长与
夹角求法、平行与
垂直的应用为主,
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。
君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。
天生我材必有用，千金散尽还复来。
烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。
岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。
化归思想.
1.已知|a|=5,|b|=4,<a,b>=120°,则向量 b 在向量 a 上的投影为 (
A.-2
C.
B.2
D.-
【答案】A
【解析】b 在向量 a 上的投影为|b|cos<a,b>=4cos 120°=-2.