抽象集合与新定义集合归类

新定义集合与抽象集合归类
所谓“新定义集合”，就是在现有的运算法则和运算规律的基础上，定义一种新的运算。

“抽象集合”只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力。

由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现，甚至将大学集合论中的有关概念移植到考题中，例如08年福建：数域的判断，06年四川：融洽集判断。

下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性。

一、新运算问题
例1 定义集合A 与B 的运算：A ⊙B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{3，4，5，6，7}，则(A ⊙B )⊙B 为( )
(A) {1，2，3，4，5，6，7} (B) {1，2，3，4} (C) {1，2} (D) {3，4，5，6，7}
解法一 利用韦恩图，知(A ⊙B )⊙B 为阴影所示部分，即为{1，2，3，4}，而选(B)． 解法二 直接由新运算分步计算，由新定义，得A ⊙B ＝{1，2，5，6，7}，则
(A ⊙B )⊙B ＝{1，2，5，6，7}⊙{3，4，5，6，7}＝{1，2，3，4}，而选(B)．
例2 设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M －P ＝{x |x ∈M 且x ∉P }，则M －(M －P )等于（ ）
(A) P (B) M ∩P (C) M ∪P (D) M
分析 这是集合新定义题，“M －P ”是学生在中学不曾学过的一种集合运算，应紧扣集合中元素的属性来解题．
解 当M ∩P ≠∅时，由韦恩图知，M －P 为图形中的阴影部分，则M －(M －P )显然为M ∩P ．
当M ∩P ＝∅时，M －P ＝M ，则M －(M －P )＝M －M ＝{x |x ∈M 且x M }＝∅．
综上，应选(B)．
二、元素或集合的个数问题
例3 设P ＝{3，4，5}，Q ＝{4，5，6，7}，定义P ※Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P ※Q 中元素的个数为( )
(A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 12
解 理解新定义集合P ※Q 的特征是平面上的点集，横坐标为P 集合中元素，而纵坐标为Q 集合中元素．则由分类计数原理知P ※Q 中元素的个数为3×4＝12，选(D)．
例4 设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M －P ＝{x |x ∈M 且x P }．已知A ＝{1，3，5，7}，B ＝{2，3，5}，则集合A －B 的子集个数为( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解 由题意，集合A －B ＝{1，7}，因此A －B 的子集个数为4，选(D)． 三、元素的和问题
例5 定义集合A ，B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2}，则A *B 中的所有元素之和为( )
(A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 21
解 A *B ＝{2，3，4，5}，因此A *B 中的所有元素之和为14．故选(B)．
例6 对集合A ＝{1，2，3，…，2001}及每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果。

例如，集合{1，2，4，7，10}的“交替和”为10－7＋4－2＋1＝6，集合{7，10}的“交替和”为10－7＝3，{5}的“交替和”为5，等等，试求A 的所有子集的“交替和”的总和．
解：集合A ＝{1，2，3，…，2001}的子集中，除了集合{2001}，还有2
2001
－2个非空子集．将
其分为两类，第一类是含2001的子集，第二类是不含2001的子集，而且这两类各自所含子集的全体相互构成一一映射，从而这两类所含子集的个数相同．因为若A i 是第二类的，则必有A i ∪{2001}是第一类的集合；如果B i 是第一类的集合，则B i 中除2001外，还应用1，2，3，…，2000中的做其元素，即B i 中除2001外是非空的，而是第二类的集合；令A i 与A i ∪{2001}对应，则这种“成对的”的集合的“交替和”都为2001，从而可得A 的所有子集的“交替和”的总和为12
(22001
－2)×2001＋2001＝2
2000
×2001．
四、集合的分拆问题
例7若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a 1,a 2,a 3} 的不同分拆种数是 （ ）
A .27
B .26
C .9
D .8
【解】集合A 的子集为{}{}{}{}{}{}{}123121323123,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a ∅共8个，
共有27个，选A
五、集合长度问题
例8 设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋
34}，N ＝{x |n －3
1
≤x ≤n }，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )
(A)
31 (B) 23 (C) 112 (D)5
12
解 由题意，知集合M 的“长度”是34，集合N 的“长度”是1
3
，由集合M 、N 是{x |0
≤x ≤1}的子集，知当且仅当M ∪N ＝{x |0≤x ≤1} 时，集合M ∩N 的“长度”最小，最小值是
3
4
＋13－1＝1
12
，故选(C)． 提示: 0≤m ≤31,41≤n ≤1,当M={4
1x ≤x ≤1}, N={x ≤x ≤}31
时,
M ∩N={4
1x ≤x ≤}31, 121
4131=-
六、理想配集问题
例9 设I ＝{1，2，3，4}，A 与B 是I 的子集，若A B ＝{1，3}，则称（A 、B ）为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（A 、B ）与（B 、A ）是两个不同的“理想配集”）( )
A ．4
B ．8
C ．9
D ．16
解 元素1、3既在A 中又在B 中．考虑元素2，有3种可能：①2∈A ，2∉B ；②2∉A ，2
∈B；③2∉A，2∉B；再考虑4，也有3种可能，故共有9种可能．建立排列组合模型，将“理想配集”用排列组合的语言“翻译”过来，问题便迎刃而解．。