安徽省淮北一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题

安徽省淮北一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题第I 卷 选择题一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.{}{}等于，则，已知集合N M x x N x x M I 1log |11|2<=<<-=( ) A.{}10|<<x x B.{}21-|<<x x C.{}01-|<<x x D.{}11-|<<x x2.的定义域为函数1log 1)(2-=x x f （ ）A. ()20，B.(]2,0C.()∞+，2D.[)∞+，23.设7log 3=a，3.32=b ，8.0=c ，则（ ）A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. a<c<b4.在ABC ∆中，已知c B a =cos 2， 212sin )cos 2(sin sin 2+=-C C B A ，则ABC ∆为（ ）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角非等边三角形D.钝角三角形5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A.48B.17832+C.17848+D.806.若某程序图如图所示，则该程序 运行后输出的k 的值是（ ）A.4B.5C.6D.77.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)[]17,1616,15,15,1414,1313,12，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）（第7题图）A6 B 8 C12 D 188.已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是( ) A. )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B. )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππC.)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππD. )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ9. 已知函数f （x ）=丨x ﹣2丨+1，g （x ）=kx ．若方程f （x ）=g （x ）有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛210，B.⎪⎭⎫⎝⎛121， C.()21，D.()∞+，210. 已知∆ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若033=++GC c GB b GA a ，则角A 为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11、在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于 _____________．12.已知向量a,b 满足(a+2b)·(a-b)=-6，且|a |=1,|b |=2，则a 与b 的夹角为______________.13.若函数))(12()(a x x xx f ++=的图像关于原点对称，则=a __________________.14函数()()πϕπϕ<≤-+=,2cos x y 的图像向右平移2π个单位后，与函数)32sin(π+=x y 的图像重合，则ϕ=____________.15．已知函数()f x 与()g x 的定义域为R ，有下列5个命题： ①若(2)(2)f x f x -=-，则()f x 的图象自身关于直线y 轴对称； ②(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称； ③函数(2)y f x =+与(2)y f x =-的图象关于y 轴对称；④()f x 为奇函数，且()f x 图象关于直线12x =对称，则()f x 周期为2； ⑤()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()1g x f x =-，则()f x 周期为2。

其中正确命题的序号是______________________.三．解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答写在答题卡的指定区域内。

16.（本题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·πsin 4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．17.（本题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12，求P A ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .（第17题图）18.（本题满分12分)下图是淮北市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择6月1日至6月15日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）若设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，请分别求当x=0时，x=1时和x=3时的概率值。

（3）由图判断从哪天开始淮北市连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）19.（本题满分13分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .20.（本题满分13分)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1. (第19题图）(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．21.（本题满分13分)如图，已知圆心坐标为)1,3(M 的圆M 与x 轴及直线x y 3=均相切，切点分别为A 、B ，另一圆N 与圆M 、x 轴及直线 x y 3=均相切，切点分别为C 、D 。

（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过B 点作MN 的平行线，求直线被圆N 截得的弦的长度； x（第21题图）参考答案（水平有限，仅供参考）CB DNyM15.① ② ③ ④三，简答题16.解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝2sin ωx ·cos ωx ＋222ωx 2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )2π2sin 224x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ .............................3分因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1. .................................6分 (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 224x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若0≤x ≤π2，则ππ5π2444x ≤+≤.当πππ2442x ≤+≤，即π08x ≤≤时，f (x )单调递增； 当ππ5π2244x ≤+≤，即ππ82x ≤≤时，f (x )单调递减． .............................10分综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． ................12分17解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝11732cos 30424+-︒=.故P A . ...........................5分 (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan α，即tan ∠PBA . .............................12分 18、解：设i A 表示事件“此人于6月日到达该市”（ =1,2，…，13）.根据题意, 1()13i P A =,且()i j A A i j =∅≠I . （1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58B A A =U , 所以58582()()()()13P B P A A P A P A ==+=U . ...........3分 (2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)=513, P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)=413, P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 413, ............9分（3）从6月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. ............12分 19、【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。

因为PH 为△PAD 中AD 边上的高， 所以PH AD ⊥。

因为AB AD A =I ，所以PH ⊥平面ABCD 。

................................4分 （2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。

因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH 。

因为PH ⊥平面ABCD ，所以EG ⊥平面ABCD 。

则1122EG PH ==，111332E BCF BCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=212。

.........................8分（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。

因为E 是PB 的中点， 所以1//2ME AB =。

因为1//2DF AB =， 所以//ME DF =，所以四边形MEDF 是平行四边形， 所以//EF MD 。

因为PD AD =， 所以MD PA ⊥。

因为AB ⊥平面PAD ， 所以MD AB ⊥。

因为PA AB A =I ， 所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB 。