整合提升密码50
整合提升密码(86)
专训1 事件的认识名师点金：判断一个事件的类型的方法：判断一个事件是不可能事件、必然事件还是随机事件，其标准在于结果是否在试验前预先确定，与这个试验是否进行无关，一般来说，描述已被确定的真理或客观存在的事实的事件是必然事件，描述违背已被确定的真理或客观存在的事实的事件是不可能事件，否则是随机事件．随机事件又分为等可能事件和非等可能事件．确定事件不可能事件1．下列事件中，属于不可能事件的是( )A．某投篮高手投篮一次就进球B．打开电视机，正在播放世界杯足球比赛C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6D．在1个标准大气压下，90 ℃的水会沸腾2．下列事件中，哪些是不可能事件？①度量三角形的内角和，结果是360°；②随意翻一本书的某页，这页的页码是奇数；③一个袋子里装有红、白、黄三种颜色的小球，从中摸出黑球；④如果＝，那么a＝b；⑤测量青岛某天的最低气温，结果为－180 ℃.必然事件3．(中考·怀化)下列事件中是必然事件的是( )A．地球绕着太阳转B．抛一枚硬币，正面朝上C．明天会下雨D．打开电视，正在播放新闻4．(中考·徐州)一只不透明的袋子中装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．这些事件是确定事件吗？①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；②367人中至少有2人的生日相同；③没有水分，种子也会发芽；④奥运会上百米赛跑的成绩是5秒；⑤同种电荷，相互排斥；⑥通常情况下，高铁比普通列车快；⑦用3 ，5 ，8 长的三条线段围成三角形．【导学号：78802074】随机事件6．下列事件是随机事件的是( )A．太阳从东边升起B．一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解C．明天是晴天D．两直线相交，对顶角相等7．“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是事件(填“随机”或“必然”)．8．指出下列随机事件中，哪些是等可能事件，哪些是非等可能事件．①在一个装着3个白球、3个黑球(每个球除颜色外都相同)的不透明袋中随机摸出一个球，摸出白球与摸出黑球；②掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数分别为1，2，3，4，5，6；③从4张背面相同的扑克牌中(4张牌的花色分别为红桃、方块、梅花、黑桃)随意抽取一张，这张牌分别是红桃、方块、梅花、黑桃；④掷一枚图钉，钉尖着地与钉尖朝上．专训2 概率的四种求法名师点金：概率可以通过大量重复试验中频率的稳定性来估计，它反映了事件发生的可能性的大小，需要注意的是：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并不一定出现在每次试验中．常见的计算概率的方法有公式法(仅适用于等可能事件)、列表法、画树状图法和频率估算法等．用公式法求概率1．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？用列表法求概率2．(中考·潍坊)某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成如下不完整的统计图表：阅读本数本123456789 人数/名126712x 7y 1 请根据以上信息回答下列问题：(1)分别求出统计表中的x，y的值；(2)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；(3)从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．(第2题)用画树状图法求概率3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小是相同的，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率．(1)三辆车全部继续直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转；(3)至少有两辆车向左转．用频率估算法求概率4．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来数的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，然后将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6 000次．(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少？(2)请你估计袋中红球有多少个？【导学号：78802075】专训3 利用概率判断游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是不是公平是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．利用概率判断摸球游戏的公平性1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．利用概率判断转盘游戏的公平性2．如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x ，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为(x，y)．记S＝x＋y.(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标．(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？若不公平，对谁有利？请说明理由．(第2题)利用概率判断掷骰子游戏的公平性3．“五一”假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：(1)若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图．(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李．试用列表法或画树状图法分析，这个规则对双方是否公平．(第3题)专训4 概率应用的四种类型名师点金：概率的应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等．概率在方程和不等式中的应用1．(中考·成都)有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后(背面相同)，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为．2．甲、乙两名同学投掷一枚骰子，用字母p，q分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数．(1)满足关于x的方程x2＋＋q＝0有实数解的概率是．(2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是．概率在函数中的应用放回事件3．在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋中任取一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P(x ，y)落在直线y＝－x＋5上的概率为．不放回事件4．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率．(2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x，y满足>6，则小明胜；若x，y 满足<6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．概率在几何中的应用5．如图(1)为4张背面完全相同的纸牌(分别用①、②、③、④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形(如图(2))是平行四边形的概率．【导学号：78802076】(第5题)概率在物理学中的应用6．如图所示，有一条电路由图示的开关控制，任意闭合两个开关．(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；(2)请你求出使电路形成通路的概率．(第6题)专训5：全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是近年来中考的必考内容，主要考点是事件的类型、用列表法或树状图法计算概率、用频率估计概率及概率的应用．其考查形式既有单一考查，又有与平面直角坐标系、几何、统计知识等综合考查．其热门考点可概括为一个判断、两个方法、两个思想．一个判断——事件类型的判断1．下列事件中，是必然事件的是( )A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上B．成都平原7月份某一天的最低气温是－2 ℃C．在标准大气压下，通常加热到100 ℃时，水沸腾D．打开电视，正在播放节目《中国好声音》2．下列事件，是随机事件的是( )A．四边形的内角和为180°B．袋中有2个黄球和3个绿球，随机摸出一个球是红球C．2020年日本举办奥运会D．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限两个方法求随机事件概率(第3题)3．小球在如图的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是．4．(中考·宜昌)901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每名学生必须参加且只参加一个)．为了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成如图所示不完整的扇形统计图．已知参加“读书社”的学生有15人．请解答下列问题：(1)该班的学生共有名；(2)若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀成员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．(第4题)用频率估计概率5．小军和小刚两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下表：向上点数 1 2 3 4 5 6出现次数7 9 6 8 20 10(1)计算2点朝上的频率和5点朝上的频率．(2)小军说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率是.”小军的这一说法正确吗？为什么？(3)小刚说：“如果掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小刚的这一说法正确吗？为什么？两个思想数形结合思想(第6题)6．一个均匀的正方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图如图，抛掷这个正方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面的数字的2倍的概率是( )方程思想7．一个口袋中放有红球、白球和黑球若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别，已知红球比黑球多1个，比白球少3个．(1)小王通过大量重复试验(每次取1个球，放回搅匀后再取第二个)发现，取出黑球的频率稳定在14左右，请你估计口袋中黑球的个数．(2)若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取出1个球，取出红球的概率是多少？答案专训11．D2．解：不可能事件：①③⑤.3．A45．解：必然事件：①②⑤⑥；不可能事件：③④⑦，这些事件都是确定事件．6．C7.随机8．解：等可能事件：①②③；非等可能事件：④.专训21．解：(1)P(摸出一个球是黄球)＝＝.(2)设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，由题意得≥，解得x≥.∵x为正整数，∴x最小取9，则至少取出了9个黑球．2．解：(1)由图表可知被调查学生中“一般”档次的有13名，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%＝50(名)，则调查学生中“良好”档次的有50×60%＝30(名)，所以x＝30－(12＋7)＝11，y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3.(2)由样本数据可知“优秀”档次所占的比例是＝0.08＝8%.所以，估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数为400×8%＝32 (名)．(3)用A，B，C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读本数是9的学生，列表如下：A B C DA (A，B)(A，C)(A，D)B (B，A)(B，C)(B，D)C (C，A)(C，B)(C，D)D (D，A)(D，B)(D，C)由列表可知，共有12种等可能情况，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种．所以，抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率P＝＝.3．解：用树状图表示出三辆车经过该十字路口时所有可能出现的情况如图：(第3题)由树状图可以看出，三辆车经过该十字路口时所有等可能出现的情况共有27种．(1)三辆车全部继续直行的结果只有一种，所以P(三辆车全部继续直行)＝.(2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3种，所以P(两辆车向右转，一辆车向左转)＝＝.(3)至少有两辆车向左转的结果有7种，所以P(至少有两辆车向左转)＝.4．解：(1)∵20×400＝8 000(次)，∴摸到红球的频率为＝0.75.∵试验次数很大时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.(2)设袋中红球有x个，根据题意，得＝0.75，解得x＝15.经检验，x＝15是原方程的解且符合题意．∴估计袋中红球有15个．专训31．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为＝.(2)画树状图如图：(第1题)∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，∴两个球上的数字之和为偶数的概率为＝.(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，∴P(甲胜)＝＝，P(乙胜)＝＝，∴P(甲胜)＝P(乙胜)，∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．2．解：(1)列表如下：转盘B2 4 6转盘A1 (1，2) (1，4) (1，6)2 (2，2) (2，4) (2，6)3 (3，2) (3，4) (3，6)4 (4，2) (4，4) (4，6)由表格可知P点坐标有12种可能，分别如表格所示．(2)由表格可知，S＝x＋y的值有12种等可能的结果，其中S＜6的情形有4种，故P(甲获胜)＝＝，所以乙获胜的概率为，因此这个游戏不公平，对乙有利．3．解：(1)设D地车票有x张，则x＝(x＋20＋40＋30)×10%，解得x＝10，即D地车票有1 0张，补全统计图如图所示：(2)小胡抽到去A地的概率为＝.[第3题(1)](3)列表如下：小李掷得数字小王掷得数字123 4 1(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)[第3题(3)]或画树状图如图：可知共有16种等可能的结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种，分别为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)；所以小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为＝；则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－＝，因为≠，所以这个规则对双方不公平．专训41点拨：若不等式组有解，则不等式组的解集为3≤x＜，且必须满足条件＞3，解得a＞5，∴满足条件的a的值为6，7，8，9，∴不等式组有解的概率为.2．(1) (2)3点拨：画树状图如图：(第3题)∴点P的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，( 2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种等可能的结果，其中落在直线y＝－x＋5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴点P(x，y)落在直线y＝－x＋5上的概率为＝.4．解：(1)方法一：列表如下：y1 2 3 4x1 (1，2) (1，3) (1，4)2 (2，1) (2，3) (2，4)3 (3，1) (3，2) (3，4)4 (4，1) (4，2) (4，3)∵共有12种等可能的结果，在函数y＝－x＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3 )，(3，2)，(4，1)，共4种结果，∴P(点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上)＝＝.方法二：画树状图如图：(第4题)∵共有12种等可能的结果，在函数y＝－x＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3 )，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴P(点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上)＝＝；(2)不公平．理由如下：∵x，y满足＞6的有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x，y满足＜6的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，( 4，1)，共6种情况，∴P(小明胜)＝＝，P(小红胜)＝＝.∵≠，∴游戏不公平．公平的游戏规则可改为：若x，y满足≥6，则小明胜，若x，y满足＜6，则小红胜．(公平的游戏规则不唯一)5．解：(1)画树状图如图：(第5题)(2)由(1)知共有12种等可能的结果．其中能判定四边形是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，共8种情况，∴能判定四边形是平行四边形的概率为＝.6．解：(1)画出树状图如图：(第6题)(2)由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中使电路形成通路的有，，，，，，，，，，，，共12种情况，所以P(使电路形成通路)＝＝.专训51．C234．解：(1)60(2)参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例为＝10%，所以“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为360°×10%＝36°.(3)画树状图如图：(第4题)或列表如下：甲乙丙甲(甲，乙)(甲，丙)乙(乙，甲)(乙，丙)丙(丙，甲)(丙，乙)由树状图(或表格)可知，共有6种等可能的情况，其中恰好选中甲和乙的情况有2种，故P(恰好选中甲和乙)＝＝.5．解：(1)2点朝上的频率＝＝；5点朝上的频率＝＝.(2)小军的说法不正确，因为3点朝上的频率为，不能说明3点朝上这一事件发生的概率就是，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率．(3)小刚的说法是不正确的，因为随机事件的发生具有随机性，所以6点朝上出现的次数不一定是100次．6．C点拨：根据表面展开图，得出三组相对的面分别是6对3、4对2、8对1.故P(朝上一面的数字恰好等于朝下一面的数字的2倍)＝＝.故选C.7．解：(1)设袋中红球有x个，则黑球有(x－1)个，白球有(x＋3)个，共有球x＋(x－1)＋( x＋3)＝3x＋2(个)．根据题意，得＝，解得x＝6.经检验x＝6是原方程的解且符合题意．所以x－1＝5.因此估计口袋中有5个黑球．(2)6＋5＋6＋3＝20(个)．口袋中共有球20个，小王取出第一个球后不放回，还剩下19个球，红球仍是6个，所以小王从袋中余下的球中任意取出1个球是红球的概率是9 16 .。
沪科版七年级数学上册整合提升密码
专训一：求代数式值的技巧名师点金：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算符号，计算出的结果就是代数式的值.如果要求值的式子比较简单，可以直接代入求值；如果要求值的式子比较复杂，可考虑先将式子化简，然后代入求值；有时我们还需根据题目的特点，选择特殊的方法求式子的值，如整体代入求值等.直接代入求值1.（2015·大连）若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为Ｗ.2.当a＝3，b＝2或a＝－2，b＝－1或a＝4，b＝－3时，（1）求a2＋2ab＋b2，（a＋b）2的值.（2）从中你发现怎样的规律？先化简再代入求值3.已知A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，求多项式A－2[A－B－2（B－C）]的值，其中x＝－1.特征条件代入求值4.已知|x－2|＋（y＋1）2＝0，求－2（2x－3y2）＋5（x－y2）－1的值.整体代入求值5.已知2x－3y＝5，求6x－9y－5的值.6.已知当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，那么当x＝－1时，多项式12ax－3bx3－5的值是多少？整体加减求值7.已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求代数式2x2＋4xy－3y2的值.8.已知m2－mn＝21，mn－n2＝－12.求下列代数式的值：（1）m2－n2；（2）m2－2mn＋n2.取特殊值代入求值9.已知（x＋1）3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c的值.专训二：与数有关的排列规律名师点金：1.数（式）中的排列规律，关键是找出前面几个数（式）与自身序号数的关系，从而找出一般规律，进而解决问题.2.数阵中的排列规律的探究一般都是先找一个具有代表性的数（设为某个字母）作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用字母表达式写出来，从而解决相关问题.数式的排列规律1.（2015·淄博）从1开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（）A.21B.22C.23D.992.（2015·包头）观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ）A .2531B .3635C .47D .62633.下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是（ ）（第3题）A .M ＝mnB .M ＝n （m ＋1）C .M ＝mn ＋1D .M ＝m （n ＋1）数阵中的排列规律类型1长方形排列4.如图是某月的日历.（第4题）（1）带阴影的长方形框中的9个数之和与其正中间的数有什么关系？（2）不改变长方形框的大小，如果将带阴影的长方形框移至其他几个位置试一试，你还能得出上述结论吗？你知道为什么吗？（3）这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？类型2十字排列5.将连续的奇数1，3，5，7，9，…按如图所示的规律排列.（第5题）（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.类型3斜排列6.如图所示是2016年6月份的日历.（第6题）（1）平行四边形框中的5个数的和与其中间的数有什么关系？（2）（1）题中的关系对任意这样的平行四边形框都适用吗？设中间这个数为a，请将这5个数的和用含有a的式子表示出来.专训三：图形中的排列规律名师点金：图形中的排列规律都与它所处位置的序号有关，所以解题的切入点是：先设法列出关于序号的式子，再用关于序号的式子表示图形的变化规律.图形变化规律探究1.从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征（）（第1题）2.一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出第2 016支“穿心箭”是Ｗ.（第2题）图形个数规律探究类型1三角形个数规律探究3.（2015·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……依此规律，第n个图案有个三角形（用含n 的代数式表示）.（第3题）类型2四边形中个数规律探究4.（2014·重庆）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有2个，第2个图形中面积为1的正方形有5个，第3个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第6个图形中面积为1的正方形的个数为（）（第4题）A.20B.27C.35D.405.（2014·金华）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图所示方式进行拼接.（第5题）（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？（2）若用餐的有90人，则需要这样的餐桌多少张？类型3点阵图形中个数规律探究6.观察如图的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：①4×0＋1＝4×1－3；②4×1＋1＝4×2－3；③4×2＋1＝4×3－3；④；⑤Ｗ.…（第6题）（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式；（2）通过猜想，写出与第n（n为正整数）个图形相对应的等式.专训四：整体思想在整式加减中的应用名师点金：整式化简时，经常把个别多项式作为一个整体（当作单项式）进行合并；整式的化简求值时，当题目中含字母的部分可以看成一个整体时，一般用整体代入法，整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时可使复杂问题简单化.应用整体思想合并同类项1.化简：4（x＋y＋z）－3（x－y－z）＋2（x－y－z）－7（x＋y＋z）－（x－y－z）.应用整体思想去括号2.计算：3x2y－[2x2z－（2xyz－x2z＋4x2y）].直接整体代入3.设M＝2a－3b，N＝－2a－3b，则M＋N＝（）A.4a－6bB.4aC.－6bD.4a＋6b4.当x＝－4时，代数式－x3－4x2－2与x3＋5x2＋3x－4的和是（）A.0B.4C.－4D.－25.已知A＝2a2－a，B＝－5a＋1.（1）化简：3A－2B＋2；（2）当a＝－12时，求3A－2B＋2的值.添括号后再整体代入6.（中考·威海）若m －n ＝－1，则（m －n ）2－2m ＋2n 的值是（ ）A .3B .2C .1D .－1 7.已知3x 2－4x ＋6的值为9，则x 2－43x ＋6的值为（ ）A .7B .18C .12D .98.已知－2a ＋3b 2＝－7，则代数式9b 2－6a ＋4的值是 Ｗ. 9.已知a ＋b ＝7，ab ＝10，则式子（5ab ＋4a ＋7b ）－（4ab －3a ）的值为 Ｗ.10.已知14x＋5－21x2＝－2，求式子6x2－4x＋5的值.11.当x＝2时，多项式ax3－bx＋5的值是4，求当x＝－2时，多项式ax3－bx＋5的值.特殊值法代入12.已知（2x＋3）4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，求：（1）a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值；（2）a0－a1＋a2－a3＋a4的值；（3）a0＋a2＋a4的值.专训五：整式加减常见的热门考点名师点金：本章的主要内容有整式的定义及其相关概念，整式的运算等，学好这些内容为后面学习整式乘法打好基础.而在中考命题中，对这些内容的考查常与其他知识相结合，主要以填空、选择题的形式出现.整式的概念1.下列说法正确的是（ ）A .整式就是多项式B .π是单项式C .x 4＋2x 3是七次二项式D .3x －15是单项式2.若5a 3b n 与－52a mb 2是同类项，则mn 的值为（ ）A .3B .4C .5D .63.－13πx 2y 的系数是 ，次数是 Ｗ.整式的加减运算4.下列正确的是（）A.7ab－7ba＝0B.－5x3＋2x3＝－3C.3x＋4y＝7xyD.4x2y－4xy2＝05.当a＝－2，b＝－1时，代数式1－|b－a|的值是（）A.0B.－2C.2D.46.把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是（）（第6题）A.4m cmB.4n cmC.2（m＋n）cmD.4（m－n）cm7.化简：（1）5x－（2x－3y）；（2）－3a＋[2b－（a＋b）].8.先化简，再求值：（1）43a－⎝⎛⎭⎪⎪⎫2a－23a2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23a＋13a2，其中a＝－14；（2）2（2x－3y）－（3x＋2y＋1），其中x＝2，y＝－1 2 .9.有这样一道题目：计算13x2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x2＋3xy－35y2＋（83x2＋3xy＋25y2）的值，其中x＝－12，y＝2.甲同学把“x＝－12”错抄成了“x＝12”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？整式的应用10.可以表示“比a的平方的3倍大2的数”的是（）A.a2＋2B.3a2＋2C.（3a＋2）2D.3a（a＋2）211.某养殖场2015年底的生猪出栏价格是每千克a元，受市场影响，2016年第一季度出栏价格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均每千克比第一季度又上升了20%，则第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（）A.（1－15%）（1＋20%）a元B.20%（1－15%）a元C.（1＋15%）（1－20%）a元D.15%（1＋20%）a元12.大客车上原有（4a－2b）人，中途下车一半人，又上车若干人，这时车上共有（8a－5b）人，那么上车乘客是人.（用含a，b的代数式表示）13.某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人，两种都会的有7人.设会弹古筝的有m人，则该班同学共有人.（用含m的代数式表示）14.若一个长方形的长是a＋b，它的宽比长短a－b（a＞b），则这个长方形的周长是Ｗ.15.某服装厂有三个加工车间，9月份的生产情况是：第一车间加工服装x 套，第二车间加工的服装套数比第一车间的3倍少8套，第三车间加工的服装套数是第一车间的一半，你能求出9月份三个车间共加工多少套服装吗？当x＝600时，三个车间共加工多少套服装？数学思想方法的应用类型1整体思想16.若a2＋2a＝1，则2a2＋4a－1＝Ｗ.17.已知当x＝1时，2ax2＋bx的值为3，则当x＝2时，ax2＋bx的值为Ｗ.18.已知2x2－5x＋4＝5，求式子（15x2－18x＋4）－（－3x2＋19x－32）－8x的值.类型2数形结合思想19.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|c－b|的结果是（）（第19题）A.a＋cB.c－aC.－a－cD.a＋2b－c20.观察图中正方形四个顶点所标数的规律，可知2 016应标在（）（第20题）A.第503个正方形的左下角B.第503个正方形的右下角C.第504个正方形的左上角D.第504个正方形的右下角21.若单项式－3x a－b y5与单项式2xy5a＋b的和仍是单项式，则a＋b＝Ｗ.类型3转化思想22.已知A＝－3x2－2mx＋3x＋1，B＝2x2＋2mx－1，且2A＋3B的值与x无关，求m的值.探究规律23.观察下列等式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为Ｗ.24.用黑、白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖块.（第24题）25.用如图（a）所示的三种不同花色的地砖铺成如图（b）的地面图案.（1）用①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨的方法计算地面面积，请列出整式并化简.（2）你有更简便的计算方法吗？请你列出式子.（3）你认为由（1）（2）两种方法得到的两个式子有什么关系？为什么？（第25题）答案专训一1．4 9002．解：(1)当a＝3，b＝2时，a2＋2ab＋b2＝32＋2×3×2＋22＝25，(a＋b)2＝(3＋2)2＝25；当a＝－2，b＝－1时，a2＋2ab＋b2＝(－2)2＋2×(－2)×(－1)＋(－1)2＝9，(a＋b)2＝[(－2)＋(－1)]2＝9；当a＝4，b＝－3时，a2＋2ab＋b2＝42＋2×4×(－3)＋(－3)2＝1，(a＋b)2＝(4－3)2＝1.(2)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.3．解：原式＝A－2A＋2B＋4(B－C)＝A－2A＋2B＋4B－4C＝－A＋6B －4C.因为A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，所以原式＝x2－1＋6x2－24x－18－4(5x2＋4)＝－13x2－24x－35.当x＝－1时，原式＝－13×(－1)2－24×(－1)－35＝－13＋24－35＝－24.4．解：由条件|x－2|＋(y＋1)2＝0，得x－2＝0且y＋1＝0，所以x＝2，y ＝－1.原式＝－4x＋6y2＋5x－5y2－1＝x＋y2－1.当x＝2，y＝－1时，原式＝2＋(－1)2－1＝2.5．解：6x－9y－5＝3(2x－3y)－5＝3×5－5＝10. 6．解：因为当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，所以8a－2b＋1＝－17.所以8a－2b＝－18.当x＝－1时，12ax－3bx3－5＝－12a＋3b－5＝(－12a＋3b)－5＝－32 (8a－2b)－5＝－32×(－18)－5＝22.7．解：由x2－xy＝－3，得2x2－2xy＝－6①；由2xy－y2＝－8，得6xy －3y2＝－24②.①＋②，得(2x2－2xy)＋(6xy－3y2)＝(－6)＋(－24)＝－30，即2x2＋4xy －3y2＝－30.8．解：(1)因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，所以m2－n2＝(m2－mn)＋(mn－n2)＝21－12＝9.(2)因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，所以m2－2mn＋n2＝(m2－mn)－(mn－n2)＝21－(－12)＝21＋12＝33.9．解：令x＝0，得(0＋1)3＝d，所以d＝1.再令x＝1，得(1＋1)3＝a＋b ＋c＋d，所以a＋b＋c＋d＝8.所以a＋b＋c＝8－1＝7.专训二1．A点拨：由题意知这列数为1，2，4，8，16，22，24，28，36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，…，故小于100的个数为21.2．C点拨：观察数据，发现第n个数为n22n－1，再将n＝6代入计算即可求解．3．D4．解：(1)带阴影的长方形框中的9个数之和是其正中间的数的9倍．(2)带阴影的长方形框中的9个数之和仍是其正中间数的9倍，理由如下：设带阴影的长方形框的正中间的数为x，则其余8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8，带阴影的长方形框中的9个数之和为(x －8)＋(x－7)＋(x－6)＋(x－1)＋x＋(x＋1)＋(x＋6)＋(x＋7)＋(x＋8)＝9x，所以带阴影的长方形框中的9个数之和是其正中间的数的9倍．(3)这个结论对于任何一个月的日历都成立．5．解：(1)十字框中的五个数的平均数与15相等．(2)这五个数的和能等于315.设正中间的数为x，则上面的数为x－10，下面的数为x＋10，左边的数为x－2，右边的数为x＋2.令x＋(x－10)＋(x＋10)＋(x－2)＋(x＋2)＝315.解得x＝63.这五个数分别是53、61、63、65、73.6．解：(1)平行四边形框中的5个数的和是平行四边形框中间的数的5倍；(2)适用．因为中间的数为a，所以其余4个数分别为a－12，a－6，a＋6，a＋12，它们的和为(a－12)＋(a－6)＋a＋(a＋6)＋(a＋12)＝5a.专训三1．B 2.3．(3n＋1) 点拨：方法1：因为4＝1＋3×1，7＝1＋3×2，10＝1＋3×3，…，所以第n个图案有1＋3×n＝3n＋1(个)三角形．方法2：因为4＝4＋0×3，7＝4＋1×3，10＝4＋2×3，…，所以第n个图案有4＋(n－1)×3＝3n＋1(个)三角形．4．B5．解：(1)1张长方形餐桌的四周可坐4＋2＝6(人)，2张这样的餐桌拼接起来，四周可坐4×2＋2＝10(人)，3张这样的餐桌拼接起来，四周可坐4×3＋2＝14(人)，…n张这样的餐桌拼接起来，四周可坐(4n＋2)人．所以4张这样的餐桌拼接起来，四周可坐4×4＋2＝18(人)，8张这样的餐桌拼接起来，四周可坐4×8＋2＝34(人)．(2)设需要这样的餐桌x张，由题意得4x＋2＝90，解得x＝22.答：需要这样的餐桌22张．6．解：(1)④4×3＋1＝4×4－3 ⑤4×4＋1＝4×5－3(2)4(n－1)＋1＝4n－3(n为正整数)．点拨：结合图形观察①、②、③中等式左右两边，发现有规律可循．等式左边都是比式子顺序数少1的数的4倍，再加上1；而等式右边，恰好是式子顺序数的4倍减3，这样④、⑤中的等式可以写出，进而我们可以归纳出第n个图形相对应的等式为4(n－1)＋1＝4n－3(n为正整数)．专训四1．解：原式＝－3(x＋y＋z)－2(x－y－z)＝－3x－3y－3z－2x＋2y＋2z＝－5x－y－z.2．解：原式＝3x2y－2x2z＋(2xyz－x2z＋4x2y)＝3x2y－2x2z＋2xyz－x2z＋4x2y＝7x2y－3x2z＋2xyz.3．C 4.D5．解：(1)3A－2B＋2＝3(2a2－a)－2(－5a＋1)＋2＝6a2－3a＋10a－2＋2＝6a2＋7a.(2)当a＝－12时，原式＝6a2＋7a＝6×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－122＋7×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－2.6．A点拨：原式＝(m－n)2－2(m－n)＝(－1)2－2×(－1)＝3. 7．A8．－17 点拨：9b2－6a＋4＝3(3b2－2a)＋4＝3×(－7)＋4＝－17.9．5910．解：因为14x ＋5－21x 2＝－2，所以14x －21x 2＝－7，所以3x 2－2x ＝1.所以6x 2－4x ＋5＝2(3x 2－2x)＋5＝7.11．解：当x ＝2时，23×a －2b ＋5＝4，即8a －2b ＝－1.当x ＝－2时，ax 3－bx ＋5＝(－2)3×a －(－2)×b ＋5＝－8a ＋2b ＋5＝－(8a －2b)＋5＝－(－1)＋5＝6.点拨：求多项式的值时，有时给出相应字母的值，直接求值；有时不能求出字母的值，就需要观察已知与所求之间的关系，有时可将已知条件和所求式子经过适当变形后，运用整体代入的方法求解．12．解：(1)将x ＝1代入(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4＝625.(2)将x ＝－1，代入(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝1.(3)因为(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝2(a 0＋a 2＋a 4)， 所以625＋1＝2(a 0＋a 2＋a 4)，所以a 0＋a 2＋a 4＝313.点拨：直接求各项系数所组成的式子的值是行不通的，通过观察各式的特点，通过适当地赋予x 特殊值可以求出．专训五1．B 2.D 3.－13π；3 4.A 5.A 6．B 点拨：设小长方形的长为a cm ，宽为b cm ，则上面的长方形周长为：2(m －a ＋n －a) cm ，下面的长方形周长为：2(m －2b ＋n －2b) cm ，则总周长为[4m ＋4n －4(a ＋2b)] cm .因为a ＋2b ＝m(由题图可知)，所以周长和＝4m ＋4n －4(a ＋2b)＝4n(cm )．7．解：(1)原式＝5x －2x ＋3y ＝3x ＋3y.(2)原式＝－3a ＋(2b －a －b)＝－3a ＋b －a ＝－4a ＋b.8．解：(1)原式＝43a －2a ＋23a 2＋23a －13a 2＝13a 2. 当a ＝－14时，原式＝13a 2＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－142＝148. (2)原式＝4x －6y －3x －2y －1＝x －8y －1.当x ＝2，y ＝－12时，原式＝x －8y －1＝2－8×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12－1＝5. 9．解：原式＝13x 2－3x 2－3xy ＋35y 2＋83x 2＋3xy ＋25y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13－3＋83x 2＋(－3＋3)xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35＋25y 2＝y 2，由于化简的结果中不含字母x ，故原多项式的值与x 的值无关，因而无论甲把x 的值错抄成什么数，只要y 值没错，结果都是正确的．10．B 11.A12．(6a －4b) 13.(2m ＋3) 14.2a ＋6b15．解：x ＋(3x －8)＋12x ＝x ＋3x －8＋12x ＝92x －8(套)当x ＝600时，92x －8＝92×600－8＝2 692. 答：9月份三个车间共加工⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫92x －8套服装，当x ＝600时，三个车间共加工2 692套服装．16．1 17.618．解：因为2x 2－5x ＋4＝5，所以2x 2－5x ＝1.所以(15x 2－18x ＋4)－(－3x 2＋19x －32)－8x＝18x 2－45x ＋36＝9(2x 2－5x)＋36＝9×1＋36＝45.19．A 20.D 21.122．解：2A ＋3B ＝2(－3x 2－2mx ＋3x ＋1)＋3(2x 2＋2mx －1)＝(2m ＋6)x －1.因为2A ＋3B 的值与x 无关，所以2m ＋6＝0，即m ＝－3.23．(n ＋2)2－n 2＝4(n ＋1)24．(4n ＋2)25．解：(1)x ＋1＋x ＋1＋x ＋1＋x ＋1＋x 2＝x 2＋4x ＋4.(2)有．因为题图(b )是正方形，边长为x ＋2，所以面积为(x ＋2)2.(3)x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.因为图形的面积不变．初中数学试卷。
沪科版数学七年级上册：第四章直线与角整合提升密码
沪科版数学七年级上册：第四章直线与角整合提升密码小等问题时，由于题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，就应不重不漏地分情况加以讨论，这种思想称为分类讨论思想．需要进行分类讨论的题目，综合性一般较强．)分类思想在线段的计算中的应用1．已知线段AB＝12，在AB上有C，D，M，N四点，且AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，AM＝12AC，DN＝14DB，求线段MN的长．2．如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.(1)若点P在数轴上(不与A，B重合)，且PA＋PB＝6，求点P对应的数；(2)若点M在数轴上(不与A，B重合)，且MA∶MB＝1∶3，求点M对应的数；(3)若点A的速度为5个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，点O的速度为1个单位长度/秒，A，B，O同时向右运动，几秒后，点O恰为线段AB的中点？(第2题)分类思想在角的计算中的应用3．如图，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°.(1)求∠AOB的度数；(2)过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数．(第3题)4．已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.(1)如图，若OC在∠AOB内部，探究∠MON与∠AOB的数量关系；(2)若OC在∠AOB外部，且OC不与OA，OB重合，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系．(提示：分三种情况讨论)(第4题)专训三：几种常见的热门考点名师点金：本章知识从大的方面可分为两部分，第一部分是立体几何的初步知识，第二部分是平面图形的认识，这些都是几何学习的基础．本章主要考查立体图形的识别，图形的展开与折叠，直线、射线、线段及角的有关计算．立体图形的平面展开图是中考中常见考点，通常以选择，填空形式呈现．立体图形的识别1．在①球体；②柱体；③圆锥；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体(指由四个或四个以上多边形所围成的立体图形)的是()A．①②③④⑤B．②和③C．④D．④和⑤2．如图所示的立体图形中，是柱体的是________．(填序号)(第2题)图形的展开与折叠3．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒(如图)，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的表面展开图可能是()(第3题)4．如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体(第4题)的容积是(包装材料厚度不计)()A．40×40×70B．70×70×80C．80×80×80D．40×70×80直线、射线、线段5．下列关于作图的语句中正确的是()A．画直线AB＝10厘米B．画射线OB＝10厘米C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交6．如图，已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的长度之比为()(第6题)A．3∶4B．2∶3C．3∶5D．1∶27．开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为________________________．8．乘火车从A站出发，沿途经过4个车站方可到达B站，那么需要安排________种不同的车票．9．如图，已知AB和CD的公共部分BD＝13AB＝14CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10 cm，求 AB，CD的长．(第9题)角及角的有关计算10．有下列说法：(1)两条射线所组成的图形叫做角；(2)一条射线旋转而成的图形叫做角；(3)两边成一条直线的角是平角；(4)平角是一条直线．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．411．4点10分，时针与分针的夹角为()A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对12．如图所示，两块三角板的直角顶点O重合在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是________度．(第12题)13．若一个角的余角比它的补角的12少20°，则这个角的度数为________．14．如图，O是直线AB上一点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE 平分∠AOC，∠BOC∶∠AOE∶∠AOD＝2∶5∶8，求∠BOD的度数．(第14题)数学思想方法的应用a．数形结合思想15．往返于A，B两个城市的客车，中途有三个停靠站．(1)共有多少种不同的票价(任何两站票价均不相同)?(2)要准备多少种车票？b．方程思想16．互为补角的两个角的度数之比是5∶4，这两个角的度数分别是多少．17．如图，C，D，E将线段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N 分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN＝21，求线段PQ的长度．(第17题) c．分类讨论思想18．已知同一平面内四点，过其中任意两点画直线，仅能画4条，则这四个点的位置关系是()A．任意三点不在同一条直线上B．四点在同一条直线上C ．最多三点在同一条直线上D ．三点在同一条直线上，第四点在这条直线外19．已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 和OC ，使∠AOB ＝80°，∠BOC ＝40°，若OD 平分∠AOC ，则∠BOD 等于________．d ．转化思想20．如图所示，一观测塔的底座部分是四棱柱，现要从下底面A 点修建钢筋扶梯，经过点M ，N 到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB ＝BC ＝CD ，试确定使扶梯的总长度最小的点M ，N 的位置．(第20题)答案专训一1．解：(1)3；2；1；3；2；1；6 (2)4；3；2；1；4；3；2；1；10 (3)n （n －1）2(4)七年级进行辨论赛的有6个班，类似于一条直线上有6个点，每两个班赛一场，类似于两点之间有一条线段，那么七年级这6个班的辩论赛共要进行6×（6－1）2＝15(场)． (5)从A 站出发，中间经过5个车站后方可到达B 站，类似于一条直线上有7个点，此时共有线段7×（7－1）2＝21(条)，即A ，B 两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A ，B 两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．2．解：(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5(2)45；56(3)当直线条数为n(n ≥2)时，最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2(个)交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2＋1部分．3．解：(1)显然这条射线会和∠BAC的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角．(2)再在图①的角的内部增加一条射线，即为图②，显然这条射线会和图①中的三条射线再组成三个角，所以图②中共有1＋2＋3＝6(个)角．(3)在角的内部作三条射线，即在图②中再增加一条射线，同样这条射线会和图②中的四条射线再组成四个角，所以图③中共有1＋2＋3＋4＝10(个)角．(4)综上可知，如果在一个角的内部作n条射线，则图中共有1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝（n＋1）（n＋2）2(个)角．专训二1．解：因为AB＝12，AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，所以AC＝16AB＝12×16＝2，CD＝13AB＝12×13＝4，DB＝12AB＝12×12＝6.因为AM＝12AC，DN＝14DB，所以MC＝12AC＝2×12＝1，DN＝14DB＝6×14＝32.①当点N在点D右侧时，如图①，MN＝MC＋CD＋DN＝1＋4＋32＝132；(第1题)②当点N在点D左侧时，如图②，MN＝MC＋CD－DN＝1＋4－32＝72.综上所述，线段MN的长为132或72.点拨：首先要根据题意，画出图形．由于点N的位置不确定，故要考虑分类讨论．2．解：(1)①当点P在A，B之间时，不合题意，舍去；②当点P在A点右边时，点P对应的数为2；③当点P在B点左边时，点P对应的数为－4.(2)①当点M在线段AB上时，点M对应的数为0；②当点M在线段BA的延长线上时，点M对应的数为3；③当点M在线段AB的延长线上时，不合题意，舍去．(3)设运动x秒时，点B运动到点B′，点A运动到点A′，点O运动到点O′，此时O′A′＝O′B′，点A′，B′在点O′两侧，则BB′＝2x，OO′＝x，AA′＝5x，所以点B′对应的数为2x－3，点O′对应的数为x，点A′对应的数为5x＋1，所以O′A′＝5x＋1－x＝4x＋1，O′B′＝x－(2x－3)＝3－x，所以4x＋1＝3－x，解得x＝0.4.即0.4秒后，点O恰为线段AB的中点．3．解：(1)设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，由题意得90°－2x＋30°＝x，解得x＝40°.所以∠BOC＝40°.因为∠AOC＝2∠BOC，所以∠AOB＝∠BOC＝40°.(2)情况一：当OD在∠AOC内部时，如图①，由(1)易得∠AOC＝80°.因为∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝80°－20°＝60°.(第3题)情况二：当OD在∠AOC外部时，如图②，由(1)易得∠AOC＝80°.因为∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，所以∠COD＝∠AOD＋∠AOC＝20°＋80°＝100°.综上所述，∠COD的度数为60°或100°.4．解：(1)因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC.所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝12∠AOC＋12∠BOC＝12(∠AOC＋∠BOC)＝12∠AOB.(2)情况一：如图①，因为OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC ＝12∠AOC ＝12(∠AOB ＋∠BOC)，∠NOB ＝12∠BOC. 所以∠MON ＝∠MOB ＋∠NOB ＝∠MOC －∠BOC ＋12∠BOC ＝∠MOC －12∠BOC ＝12(∠AOB ＋∠BOC)－12∠BOC ＝12∠AOB. (第4题)情况二：如图②，因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠AOM ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC ＝12(∠AOB ＋∠AOC)＝12∠AOB ＋12∠AOC. 所以∠MON ＝∠AOM ＋∠AON ＝12∠AOC ＋(∠NOC －∠AOC)＝∠NOC －12∠AOC ＝12∠AOB ＋12∠AOC －12∠AOC ＝12∠AOB. 情况三：如图③，因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠MOC ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC. 所以∠MON ＝∠MOC ＋∠NOC ＝12∠AOC ＋12∠BOC ＝12(∠AOC ＋∠BOC)＝12(360°－∠AOB)＝180°－12∠AOB. 综上所述，∠MON 与∠AOB 的数量关系是∠MON ＝12∠AOB 或∠MON ＝180°－12∠AOB. 专训三 1．D 2.②③ 3.C 4.D 5.D 6.A7．两点确定一条直线 8.309．解：因为BD ＝13AB ＝14CD ，所以CD ＝43AB. 因为F 是CD 的中点，所以DF ＝12CD ＝12×43AB ＝23AB.因为E是AB的中点，所以EB＝12AB，所以ED＝EB－DB＝12AB－13AB＝16AB.所以EF＝ED＋DF＝16AB＋23AB＝56AB＝10 cm，所以AB＝12 cm，所以CD＝43AB＝16 cm.10．A11.B12.13513.40°14．解：设∠BOC＝2x°，则∠AOE＝5x°，∠AOD＝8x°.因为O是直线AB上一点，所以∠AOB＝180°，所以∠COE＝(180－7x)°.因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠COE，即5x＝180－7x，解得x＝15，所以∠AOD＝8×15°＝120°，所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°.15．解：(1)根据题意画出示意图，如图所示，线段有AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共有10条，因此有10种不同的票价．(2)同一路段，往返时起点和终点正好相反，所以要准备20种车票．(第15题)16．解：设这两个角的度数分别为5x°、4x°.由题意得5x＋4x＝180，9x＝180，x＝20.5x＝100，4x＝80.答：这两个角的度数分别为100°和80°.17．解：设AC＝2x，则CD＝3x，DE＝4x，EB＝5x，由M，N分别是AC，EB的中点，得MC＝x，EN＝2.5x.由题意，得MN＝MC＋CD＋DE＋EN＝x＋3x＋4x＋2.5x＝21，即10.5x＝21，所以x＝2，则PQ＝12CD＋12DE＝3.5x＝7.点拨：解答此题的关键是设出未知数，利用线段长度的比及中点建立方程，求出未知数的值，进而求解．体现了方程思想在解题中的应用．18．D19.60°或20°20．解：画出四棱柱的侧面展开图，点M，N的位置如图(2)所示，则M，N的位置在四棱柱的位置如图(1)所示．(第20题)。
国产密码改造方案
国产密码改造方案单位办公系统国产密码改造方案1.国产密码算法背景随着国家信息化建设的不断推进，信息安全问题越来越受到重视。
为了加强信息安全保障，国家提出了推广使用国产密码算法的目标。
在此背景下，本单位决定对办公系统进行国产密码改造。
2.网络及业务现状分析在进行密码改造前，我们对办公系统的网络及业务进行了分析。
根据分析结果，我们发现系统存在一些安全隐患，需要加强保障。
同时，系统的业务量也在不断增加，需要更高效的密码算法来支持。
3.单位密码应用现状分析3.1 单位密码应用现状我们对本单位的密码应用现状进行了详细调查，发现目前存在一些问题。
例如，密码强度不够，易被破解；密码管理不规范，存在泄露风险等。
3.2 面临的问题在密码改造过程中，我们还面临着一些问题。
例如，如何保证密码算法的安全性和可靠性；如何进行系统的平滑升级等。
4.建设原则为了确保密码改造的顺利进行，我们制定了一系列建设原则。
例如，保证密码算法的安全性和可靠性；注重用户体验，确保密码使用的便利性等。
5.建设目标我们的建设目标是，通过密码改造，提升系统的信息安全保障能力，提高密码算法的效率和安全性，为单位的业务发展提供更好的支持。
6.设计依据在制定国产密码改造方案时，我们遵循了一系列设计依据。
例如，XXX发布的密码算法标准，以及国内外密码算法的研究成果等。
7.国密改造方案7.1 技术路线选择在国密改造方案中，我们选择了国产SM2、SM3、SM4算法作为密码算法。
同时，我们采用了一系列安全技术手段，如密钥管理、加密传输等，来保障密码算法的安全性和可靠性。
7.2 总体架构在本章节中，我们将会介绍整个国产密码改造项目的总体架构。
该架构包括了可信密码认证机制、数据存储保护机制、数据传输保护机制以及运行维护保护机制等多个方面。
7.3 改造方案为了保障信息安全，我们需要对原有的密码系统进行改造。
本节将会介绍我们的改造方案，包括可信密码认证机制、数据存储保护机制、数据传输保护机制以及运行维护保护机制等多个方面。
最新北师大版八年级下册数学整合提升密码 (3)
专训1.因式分解的七种常见应用名师点金：因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm2.请你求这两个正方形的边长．用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….你发现了什么规律？请用含有字母n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．专训2.因式分解的六种常见方法名师点金：因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．提公因式法题型1公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是() A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x2．(2015·广州)分解因式：2mx－6my＝__________．3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.题型2先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x－1)＋b2(1－x)；(2)－3x7＋24x5－48x3.题型3先局部再整体法7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．题型4先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x(x＋4)＋4；(2)4x(y－x)－y2.分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.拆、添项法10．分解因式：x 4＋14.整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a(x ＋y －z)－b(z －x －y)－c(x －z ＋y)．题型2 “当”整体12．分解因式：(x ＋y)2－4(x ＋y －1)．题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.专训3.全章热门考点整合应用名师点金：本章的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式，在各类考试中，既有单独考查因式分解的，也有利用因式分解的知识进行化简求值的，题型有选择题和填空题，也有探索与创新题，命题难易度以基础和中档题为主．本章主要考点可概括为：一个概念，两个方法，三个应用，三个技巧，一种思想．一个概念——因式分解1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是() A ．(a ＋5)(a －5)＝a 2－25B ．mx ＋my ＋2＝m(x ＋y)＋2C ．x 2－9＝(x ＋3)(x －3)D ．2x 2＋1＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x 2两个方法方法1 提公因式法2．求下列代数式的值：(1)x 2y －xy 2，其中x －y ＝1，xy ＝2 018；(2)8x 3(x －3)＋12x 2(3－x)，其中x ＝32；(3)a 2b ＋2a 2b 2＋ab 2，其中a ＋b ＝23，ab ＝2.方法2 公式法3．把下列各式因式分解：(1)16x 2－25y 2；(2)x 2－4xy ＋4y 2；(3)(a ＋2b)2－(2a －b)2；(4)(m 2＋4m)2＋8(m 2＋4m)＋16；(5)81x 4－y 4.三个应用应用1 应用因式分解计算4．计算：(1)2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11002； (3)－101×190＋1012＋952.应用2 应用因式分解解整除问题5．对于任意自然数n ，(n ＋7)2－(n －5)2是否能被24整除？应用3 应用因式分解解几何问题6．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2－b 2＝ac －bc ，试判断△ABC 的形状．7．若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2ab －2bc ＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由．三个技巧技巧1 分组后用提公因式法8．因式分解：(1)a 2－ab ＋ac －bc ； (2)x 3＋6x 2－x －6.技巧2 拆、添项后用公式法9．因式分解：(1)x 2－y 2－2x －4y －3； (2)x 4＋4.技巧3 换元法10．因式分解：(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4.一种思想——整体思想11．已知a ＋b ＝1，ab ＝316，求代数式a 3b －2a 2b 2＋ab 3的值．答案专训11．解：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．解：2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.3．解：(1)∵x －2y ＝3，∴x 2－4xy ＋4y 2＝9，∴(x 2－2xy ＋4y 2)－(x 2－4xy ＋4y 2)＝11－9，即2xy ＝2，∴xy ＝1.(2)x 2y －2xy 2＝xy(x －2y)＝1×3＝3.4．解：所得的差一定能被9整除．理由如下：设该两位数个位上的数字是b ，十位上的数字是a ，且a>b ，则这个两位数是10a ＋b ，将十位数字与个位数字对调后的数是10b ＋a ，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a ＋b)－(10b ＋a)＝9a －9b ＝9(a －b)，所以所得的差一定能被9整除．5．解：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0.即a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋a 2－2ac ＋c 2＝0.∴(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0.又∵(a －b)2≥0，(b －c)2≥0，(a －c)2≥0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，a －c ＝0，即a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．6．解：B －A ＝a 2＋a －7－a －2＝a 2－9＝(a ＋3)(a －3)．因为a ＞2，所以a ＋3＞0，从而当2＜a ＜3时，a －3＜0，所以A ＞B ；当a ＝3时，a －3＝0，所以A ＝B ；当a ＞3时，a －3＞0，所以A ＜B.点拨：根据a 的取值范围分类讨论是正确解此题的关键．7．解：设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎨⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，②由①得x －y ＝24，③由②得(x ＋y)(x －y)＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤由③⑤得方程组⎩⎨⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝8. 答：大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm .点拨：根据目前我们所学的知识，还无法解方程组⎩⎨⎧4x －4y ＝96，x 2－y 2＝960，但是我们可以利用因式分解，把这个问题转化为解关于x ，y 的二元一次方程组的问题．8．解：规律：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n(n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n(n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n(n ＋1)]2＋2n(n ＋1)＋1＝[n(n ＋1)＋1]2.专训21．B 2.2m(x －3y)3．解：(1)原式＝x(2x －y)．(2)原式＝－4m 2n(m 2－4m ＋7)．点拨：如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．4．解：(1)原式＝a(b －c)－(b －c)＝(b －c)(a －1)．(2)原式＝15b(2a －b)2＋25(2a －b)2＝5(2a －b)2(3b ＋5)．点拨：将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．5．解：(1)原式＝x 4y 4－16＝(x 2y 2＋4)(x 2y 2－4)＝(x 2y 2＋4)(xy ＋2)(xy －2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy)(x 2＋y 2－2xy)＝(x ＋y)2(x －y)2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.点拨：因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x 2＋y 2＋2xy)(x 2＋y 2－2xy)就结束了．6．解：(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b)(1－b)．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.7．解：原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)．点拨：解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．8．解：(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y)2.点拨：通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法因式分解．9．解：(1)原式＝(m 2－mn)＋(mx －nx)＝m(m －n)＋x(m －n)＝(m －n)(m ＋x)．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y)2＝(2＋x －y)(2－x ＋y)．10．解：原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122－x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)． 点拨：此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x 2与－x 2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．11．解：原式＝a(x ＋y －z)＋b(x ＋y －z)－c(x ＋y －z)＝(x ＋y －z)(a ＋b －c)．12．解：原式＝(x ＋y)2－4(x ＋y)＋4＝(x ＋y －2)2.点拨：本题把x ＋y 这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.13．解：原式＝abc 2＋abd 2＋cda 2＋cdb 2＝(abc 2＋cda 2)＋(abd 2＋cdb 2)＝ac(bc ＋ad)＋bd(ad ＋bc)＝(bc ＋ad)(ac ＋bd)．点拨：本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．14．解：原式＝(x 2－4x ＋4)－(y 2－6y ＋9)＝(x －2)2－(y －3)2＝(x ＋y －5)(x －y ＋1)．点拨：这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x 2－4x ＋4)和(y 2－6y ＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．15．解：(1)设a 2＋2a ＝m ，则原式＝(m －2)(m ＋4)＋9＝m 2＋4m －2m －8＋9＝m 2＋2m ＋1＝(m ＋1)2＝(a 2＋2a ＋1)2＝(a ＋1)4.(2)设b 2－b ＝n ，则原式＝(n ＋1)(n ＋3)＋1＝n 2＋3n ＋n ＋3＋1＝n 2＋4n ＋4＝(n ＋2)2＝(b 2－b ＋2)2.专训31．C2．解：(1)x 2y －xy 2＝xy(x －y)．把x －y ＝1，xy ＝2 018代入上式，原式＝xy(x －y)＝2 018.(2)8x 3(x －3)＋12x 2(3－x)＝8x 3(x －3)－12x 2(x －3)＝4x 2(x －3)(2x －3)．当x ＝32时，原式＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫322×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32－3＝0. (3)a 2b ＋2a 2b 2＋ab 2＝ab(a ＋2ab ＋b)＝ab[(a ＋b)＋2ab]．把a ＋b ＝23，ab ＝2代入上式，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2×2＝913. 3．解：(1)原式＝(4x ＋5y)(4x －5y)．(2)原式＝(x －2y)2.(3)原式＝[(a ＋2b)＋(2a －b)]·[(a ＋2b)－(2a －b)]＝(3a ＋b)(3b －a)．(4)原式＝[(m 2＋4m)＋4]2＝[(m ＋2)2]2＝(m ＋2)4.(5)原式＝(9x 2－y 2)(9x 2＋y 2)＝(3x ＋y)(3x －y)(9x 2＋y 2)．4．解：(1)原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)＝31.4×10＝314.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100 ＝32×12×43×23×54×34×…×101100×99100＝12×101100＝101200.(3)原式＝1012－2×101×95＋952＝(101－95)2＝36.5．解：(n ＋7)2－(n －5)2＝[(n ＋7)＋(n －5)][(n ＋7)－(n －5)]＝(n ＋7＋n －5)(n ＋7－n ＋5)＝(2n ＋2)×12＝24(n ＋1)．因为24(n ＋1)中含有24这个因数，所以(n ＋7)2－(n －5)2能被24整除．6．解：因为a 2－b 2＝ac －bc ，所以(a －b)(a ＋b)＝c(a －b)．所以(a －b)(a ＋b)－c(a －b)＝0.所以(a －b)(a ＋b －c)＝0.因为a ，b ，c 是△ABC 的三边长，所以a ＋b －c ≠0.所以a －b ＝0.所以a ＝b.所以△ABC 为等腰三角形．7．解：此三角形是等边三角形．理由如下：∵a 2＋2b 2＋c 2－2ab －2bc ＝0，∴a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0.即(a －b)2＋(b －c)2＝0.∴a －b ＝0且b －c ＝0.∴a ＝b 且b ＝c.∴a ＝b ＝c.∴此三角形是等边三角形．8．思路导引：(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a ，第三、四项有公因式c ，各自提取公因式后均剩下(a －b)；(2)按系数特点分组，由系数特点知第一、三项为一组，第二、四项为一组．解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)．(2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1)＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x ＋6)．9．解：(1)原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)＝(x－1)2－(y ＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)]·[(x－1)－(y＋2)]＝(x＋y＋1)(x－y－3)．(2)原式＝x4＋4x2－4x2＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．点拨：拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”后再分组，以达到最终因式分解的目的．10．解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.将y＝m2－2m代入上式，则原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.11．解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2＝ab[(a＋b)2－4ab]．因为a＋b＝1，ab＝316，所以原式＝316×⎝⎛⎭⎪⎫12－4×316＝364.点拨：恒等变形的最后一步应用(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a＋b)2－4ab，这一变形的目的是使所求的式子里含a＋b这样的项．。
整合提升密码(87)
专训一：分式求值的方法名师点金：分式的求值既突出了式子的化简计算，又考查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点，灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果．常见的分式求值方法有：设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值等．直接代入法求值1．(2015·鄂州改编)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a2－1÷a a －1，其中a ＝5.活用公式求值2．已知x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x4的值．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x2＋3xy ＋y2x2y ＋xy2的值．整体代入法求值4．已知xy＋z＋yz＋x＋zx＋y＝1，且x＋y＋z≠0，求x2y＋z＋y2x＋z＋z2x＋y的值．巧变形法求值5．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋12x的值．设参数求值6．已知x2＝y3＝z4≠0，求x2－y2＋2z2xy＋yz＋xz的值．专训二：六种常见的高频考点名师点金：本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现．分式方程是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．分式的概念及分式有、无意义的条件1．在式子2x ，13(x ＋y)，x π－3，5a －x ，x ＋3（x ＋1）（x －2）中，分式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．若分式2x －5有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠5 B ．x ≠－5C ．x ＞5D ．x ＞－53．若分式x2－13x －3的值为0，则( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝1 C ．x ＝±1 D ．x ＝04．如果一个分式含有两个字母a ，b ，但不论a ，b 为何值，分式始终有意义，这样的分式可以是________(只填一个符合条件的分式即可)．5．若当x ＝1时，分式x ＋ax －b 的值为0；当x ＝3时，分式x ＋a x －b无意义，则a ＋b 的值等于________．分式的基本性质6．若将分式2aa ＋b 中，a ，b 的值同时扩大到原来的5倍，则此分式的值( ) A ．是原来的10倍 B ．是原来的5倍C ．是原来的15 D ．不变 7．约分：(1)a2－4a2－4a ＋4； (2)x －1x2－2x ＋1.8．通分：(1)8－3m2n ，35mn2； (2)a －1a2＋2a ＋1，4a2－1.分式的有关运算9．下列运算中，正确的个数是( ) ①m4n3·n4m2＝m n ； ②x －y x ＋y ÷(y －x)·1x －y ＝－1x2－y2；③m a －n b ＝m －n a －b ； ④a －2a2－4＋1a ＋2＝2a －2.A ．0B ．1C ．2D ．310．计算a ＋1a2－2a ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a －1的结果是( ) A .1a －1 B .1a ＋1C .1a2－1D .1a2＋111．(2015·临沂)计算：a a ＋2－4a2＋2a ＝__________．12．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m ＋1(m ＋1)＝________．13．计算下列各题．(1)4a a2－1＋1＋a 1－a －1－a 1＋a ；(2)m m ＋3－69－m2÷2m －3.14．先化简x2＋2x x －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，然后请自选一个你喜欢的x 的值代入原式的值．整数指数幂15．下列计算正确的是( )A ．x 2·x －3＝2xB ．x 2÷x 6＝1x4 C ．(－x－3)2＝x 6D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝1916．下列说法正确的是( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2与22互为相反数 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2与－22互为相反数 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2与2－2互为相反数 D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－220的值为1 17．计算(π－3)0＋(－2)－3＝________．18．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10－5 cm ，则由2×105个这样的细胞排成的细胞链的长是________ cm .可化为一元一次方程的分式方程及其应用19．分式方程x x －1＝23x －3的解是( ) A ．x ＝－16 B ．x ＝23 C ．x ＝13 D ．x ＝5620．若关于x 的方程x ＋2x －1＝1＋ax －2的解为x ＝3，则a 等于( )A ．1B .32C ．0D ．－1221．(2015·菏泽)解分式方程：2x2－4＋xx －2＝1.22．进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务，这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：(第22题)通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．数学思想方法的应用a 数形结合思想23．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，2x ＋23x －5，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值．(第23题) b 整体思想24．已知实数a满足a2＋4a－8＝0，求1a＋1－a＋3a2－1·a2－2a＋1a2＋6a＋9的值．c 消元思想25．已知2x－3y＋z＝0，3x－2y－6z＝0，且z≠0，求的值．答案专训一1．解：原式＝[2a＋1＋a＋2（a＋1）（a－1）]·a－1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1.当a ＝5时，原式＝35＋1＝12.2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x ≠0，∴x ＋1x ＝5. ∴x 4＋1x4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1x22－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－22－2＝527.点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．3．解：x2＋3xy ＋y2x2y ＋xy2＝x2＋2xy ＋y2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xyxy （x ＋y ） 因为x ＋y ＝12，xy ＝9，所以原式＝122＋99×12＝1712. 4．解：因为x ＋y ＋z ≠0，所以给已知等式的两边同时乘(x ＋y ＋z)，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，即x2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z.所以x2y ＋z ＋y2z ＋x ＋z2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z.所以x2y ＋z ＋y2z ＋x ＋z2x ＋y ＝0.点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0，∴(2x －1)2＝0，∴2x ＝1.∴原式＝1＋11＝2.6．解：设x 2＝y 3＝z4＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k.所以x2－y2＋2z2xy ＋yz ＋xz＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）22k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k＝27k226k2＝2726. 专训二1．B 2.A 3.A4.ba2＋1(答案不唯一) 5．2 6.D7．解：(1)原式＝（a ＋2）（a －2）（a －2）2＝a ＋2a －2.(2)原式＝x －1（x －1）2＝1x －1. 8．解：(1)最简公分母是15m 2n 2.∴8－3m2n ＝－40n 15m2n2，35mn2＝9m 15m2n2. (2)最简公分母是(a ＋1)2(a －1)． ∴a －1a2＋2a ＋1＝（a －1）2（a ＋1）2（a －1）， 4a2－1＝4（a ＋1）（a ＋1）2（a －1）. 9．B 10.A 11.a －2a 12.m 13．解：(1)原式＝4a（a ＋1）（a －1）－（a ＋1）2（a －1）（a ＋1）－（a －1）（1－a ）（a ＋1）（a －1）＝4a －（a ＋1）2＋（a －1）2a2－1＝0.(2)原式＝m m ＋3－6（3－m ）（3＋m ）·m －32 ＝m m ＋3＋3m ＋3＝1.14．解：原式＝x （x ＋2）x －1·x －1x ＝x ＋2.由题知x 不能取0，1，x 不妨取5，当x ＝5时，原式＝x ＋2＝7.15．B 16.B 17.78 18．10 19.B 20.B21．解：方程两边同时乘x 2－4，得2＋x(x ＋2)＝x 2－4，解得x ＝－3. 经检验，x ＝－3是原方程的解． 22．解：设原来每天加固x 米，根据题意得600x＋4 800－6002x＝9，解得x ＝300.检验：当x ＝300时，2x ≠0(或分母不等于0)，∴x ＝300是原方程的解，故该地驻军原来每天加固300米．点拨：解决与对话有关的实际问题，应根据对话的内容确定相等关系，根据相等关系列出方程．23．解：由题意得2x ＋23x －5＝4.去分母，得2x ＋2＝4(3x －5)．解得x ＝2.2，经检验，x ＝2.2是原方程的根．所以x 的值是2.2.点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件“点A ，B 到原点的距离相等”可知，A ，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x 的值．24．解：原式＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋3）2＝1a ＋1－a －1（a ＋1）（a ＋3）＝4（a ＋1）（a ＋3）＝4a2＋4a ＋3.由a 2＋4a －8＝0得a 2＋4a ＝8，故原式＝411.点拨：本题根据已知条件求出a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子．25．解：由2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，z ≠0，得到⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝－z ，3x －2y ＝6z.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4z ，y ＝3z.所以，原式＝16z2＋9z2＋z232z2＋9z2－z2＝.点拨：本题将z 看成已知数，解方程组求出x 与y ，然后代入原式消去x ，y 这两个未知数，从而简便求值，体现了消元思想．。
最新北师大版七年级下册数学整合提升密码 (5)
专训1变量之间的关系的表示法名师点金：1.变量之间的关系的表示方法共有三种：表格法，关系式法，图象法，它们分别从数、式和形的角度反映了变量之间的关系的本质．2．根据图象读取信息时，要先读懂题意，弄清图象横、纵轴所表示的实际意义，看图象上反映的是哪个变量随哪个变量变化，再将题意和图象结合起来进行分析，注意对图象中特殊的点、线段等的分析．表格法1．地表以下的岩层的温度和它处的深度有以下关系：深度/km 1 2 3 4 5 6 7温度/℃55 90 125 160 195 230 265(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)深度每增加1 km，温度增加多少摄氏度？(3)估计10 km深处的岩层温度是多少摄氏度．关系式法2．已知池中有水600 m3，每时抽出50 m3.(1)写出剩余水的体积Q(m3)与时间t(h)之间的关系式．(2)8 h后，池中还有多少水？(3)几时后，池中还有100 m3的水？3．如图，在长方形MNPQ中，MN＝6，PN＝4，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，三角形MNR的面积为y.(1)当x＝3时，y＝______；当x＝12时，y＝______；当y＝6时，x＝________．(2)分别求当0＜x＜4，4≤x≤10，10＜x＜14时，y与x的关系式．【导学号：60052024】(第3题)图象法4．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们生产的零件数量y(个)与生产时间t(h)之间的关系如图所示．(1)根据图象填空：①甲、乙中，________先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，________因机器故障停止生产________h.②当t＝________时，甲、乙生产的零件个数相等．(2)谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内他每时生产零件的个数．(第4题)专训2全章热门考点整合应用名师点金：变量之间的关系是初中数学的重要内容，是学习函数知识的基础，是各类考试常考内容，题型常以填空题、选择题的形式出现．本章考点可概括为：三个关系，一种思想．三个关系关系1表格与变量之间的关系1．2016年1～12月份某地的大米价格如下表所示：月份/月 1 2 3 4 5 6平均价格/(元/千克) 4.6 4.8 4.8 5.0 4.8 4.4月份/月7 8 9 10 11 12平均价格/(元/千克) 4.0 3.8 3.6 3.6 3.8 4.0(1)表中列出的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？(2)自变量是什么值时，因变量的值最小？自变量是什么值时，因变量的值最大？(3)该地区哪一段时间大米平均价格在上涨？哪一段时间大米平均价格在下跌？(4)从表中可以得到该地区大米平均价格变化方面的哪些信息？年底的平均价格比年初是降了还是涨了？关系2关系式与变量之间的关系2．小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖．乙超市的优惠条件是从第1本开始就按标价的85%卖．(1)当小明要买20本时，到哪个超市购买较省钱？(2)写出甲超市中，收款y甲(元)与购买本数x(本)(x>10)的关系式．(3)小明现有24元钱，最多可买多少本？关系3图象与变量之间的关系3．一辆汽车行驶在某一直路上，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：(1)汽车共行驶了多少千米？(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？(3)汽车在每段行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回时用了多长时间？(第3题)一种思想——数形结合思想4．某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示．根据图象解答下列问题：(1)洗衣机的进水时间是多少？清洗时洗衣机中的水量是多少？(2)已知洗衣机的排水速度为19 L/min.如果排水时间是2 min，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．(第4题)答案专训11．解：(1)反映了地表以下的岩层的温度和它处的深度之间的关系，深度是自变量，温度是因变量．(2)深度每增加1 km，温度增加35 ℃.(3)估计10 km深处的岩层温度是370 ℃.2．解：(1)Q＝600－50 t(0≤t≤12)．(2)当t＝8时，Q＝600－50×8＝200.即8 h后，池中还有水200 m3.(3)当Q＝100时，100＝600－50 t，解得t＝10.即10 h后，池中还有100 m3的水．3．解：(1)9；6；2或12(2)当0<x<4时，y＝12×6x＝3x；当4≤x≤10时，y＝12×6×4＝12；当10<x<14时，y＝12×6×(14－x)＝42－3x.4．解：(1)①甲；甲；2②3或5.5(2)甲在4～7 h内的生产速度最快；因为40－107－4＝10(个)，所以他在这段时间内每时生产10个零件．专训21．解：(1)表中列出的是该地区大米平均价格与月份两个变量之间的关系，月份是自变量，大米的平均价格是因变量．(2)自变量是9月，10月时，因变量的值最小，平均价格为3.6元/千克，自变量是4月时，因变量的值最大，平均价格为5.0元/千克．(3)从1月至4月，10月至12月大米的平均价格在上涨，从4月至9月大米的平均价格在下跌．(4)大米的平均价格随时间(月份)的变化而变化，价格随市场的需求而变动，年底比年初的平均价格降了．点拨：观察因变量随自变量变化而变化的趋势，实质是观察自变量增大时，因变量是随之增大还是减小．(4)题从表格中获取的信息不唯一，合理即可．2．解：(1)买20本时，在甲超市购买需用10×1＋10×1×70%＝17(元)， 在乙超市购买需用20×1×85%＝17(元)， 所以买20本到两家超市购买花的钱一样． (2)y 甲＝10×1＋(x －10)×1×70%＝0.7x ＋3(x >10)．(3)由题意知乙超市收款y 乙(元)与购买本数x (本)间的关系式为y 乙＝x ×1×85%＝1720x .当y 甲＝24时，24＝0.7x 甲＋3，x 甲＝30；当y 乙＝24时，24＝1720x 乙，x 乙≈28.2，因此在乙超市最多可买28本． 所以拿24元钱最多可以买30本练习本(在甲超市购买)． 点拨：注意关系式与方程的综合应用． 3．解：(1)240 km .(2)汽车在行驶途中停留了2－1.5＝0.5(h )．(3)AB 段的行驶速度为80÷1.5＝1603(km /h )；BC 段的行驶速度为0；CD 段的行驶速度为(120－80)÷(3－2)＝40(km /h )；DE 段的行驶速度为120÷(4.5－3)＝80(km /h )．(4)4.5－3＝1.5(h )．点拨：根据图象获取信息，应正确把握横轴、纵轴表示的意义，准确地观察图象的变化及图象各部分所表示的实际意义．4．解：(1)洗衣机的进水时间是4 min ，清洗时洗衣机中的水量是40 L . (2)剩余水量为40－2×19＝2(L )．。
密码电报使用管理制度 gov
密码电报使用管理制度一、背景介绍随着信息技术的快速发展，电子通讯在政府和企业机构中的重要性日益凸显。
密码电报作为一种安全可靠的通讯方式，在国家机密信息传输中发挥着重要作用。
为了加强对密码电报的管理，保障国家机密信息的安全，制定密码电报使用管理制度具有重要意义。
二、制度目的1. 本制度的制定旨在规范和加强对密码电报的管理，保障国家机密信息传输的安全和可靠性；2. 提高密码电报的使用效率，提升工作效率和保密能力；3. 防范密码电报使用过程中可能出现的风险和安全隐患，保护国家机密信息不受泄露和篡改。
三、适用范围本管理制度适用于所有使用密码电报系统的政府部门、国有企事业单位及其他相关单位，包括密码电报使用人员、管理人员和技术运维人员。
四、管理责任1. 各级政府部门应建立健全密码电报管理机构和管理人员，明确管理责任和工作职责；2. 加强对密码电报使用人员的培训和管理，提高其安全意识和责任意识。
五、密码电报使用流程1. 开机登入：密码电报使用人员在使用密码电报系统前，应进行个人身份验证和审批程序；2. 通讯传输：密码电报使用人员在传输信息时，应遵守相关保密规定和操作规程；3. 关机退出：密码电报使用人员在使用结束后，应及时退出系统并进行关机操作。
六、安全保障措施1. 系统安全：加强密码电报系统的安全防护措施，防范黑客攻击和病毒感染；2. 信息保密：严格遵守国家保密法规，保护机密信息的安全和完整性；3. 应急处置：建立密码电报应急处置预案，及时有效地应对各类突发事件。
七、违规处理对于违反密码电报使用管理制度的行为，将按照相关规定进行处理，严肃追究相关人员的责任。
八、附则本管理制度由国家机构密码管理部门负责解释和修订，自公布之日起正式执行。
通过上述制度的规范管理，可以有效提高密码电报的使用效率，防范潜在的安全隐患，保障国家机密信息的安全传输。
强化密码电报使用人员的安全意识和责任意识，为国家机密信息的安全传输提供坚实保障。
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专训1.利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．在?中，＝6，＝8，∠B是锐角，将△沿对角线所在直线折叠，点D落在△所在平面内的点E处．如果恰好经过的中点，那么?的面积是．处，恰好经过边的中点2．如图，将平行四边形纸片沿对角线所在直线折叠，点D落在点E 6，求∠B的度数．．若＝3，＝(第2题)矩形的折叠问题3．(中考·衢州)如图①，将矩形沿折叠，使顶点A落在上的点A′处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点A落在折痕上的点G处．再将矩形沿折叠，此时顶点B恰好落在上的点H处．如图②.(1)求证：＝；(2)已知＝，求和的长．(第3题)菱形的折叠问题(第4题)4．如图，在菱形中，∠A＝120°，E是上的点，沿折叠△，点A恰好落在上的F点，连接，那么∠的度数是( )A．60°B．70°C．75°D．80°5．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为.若菱形的边长，求的长．120°＝A，∠2为(第5题)正方形的折叠问题(第6题)6．如图，正方形纸片的边长＝12，E是上一点，＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为，则的长为．7．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G 处，交于H，折痕为，连接，.(1)求证：∠＝∠.(2)当点P在边上移动时，△的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第7题)专训2.利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在?中，E，F两点在对角线上运动(E，F两点不重合)，且保持＝，连接，.请你猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．已知，在矩形中，＝4 ，＝8 ，的垂直平分线分别交，于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接，，试说明四边形为菱形，并求的长；(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△和△各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 ，点Q的速度为4 ，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形中，∠B＝60°，动点E在边上，动点F在边上．(1)如图①，若E是的中点，∠＝60°，求证：＝；(2)如图②，若∠＝60°，求证：△是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形的边长为8 ，E，F，G，H分别是，，，上的动点，且＝＝＝.(1)求证：四边形是正方形；(2)判断直线是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型名师点金：本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点．特殊平行四边形中的折叠问题1．如图，将一张长为10，宽为8③图的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线()剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )中的虚线22．A．10 20 B22．．40 80 DC(第1题)(第2题)·2．(中考泰安)如图，在矩形中，E是的中点，将△沿直线折叠后得到△，延长交于点F，若＝6，＝4，则)( 的长为2．A．2 B．4 D3．如图，将正方形纸片折叠，使边，均落在对角线上，得折痕，，则∠的大小为( )A．15°B．30°C．45°D．60°(第3题)(第4题)特殊平行四边形中的动点问题，∠A＝60°.点D90°4．如图，在△中，∠B ＝，＝60从点C出发沿方向以4的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以2的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0≤t≤15)．过点D作⊥于点F，连接，.若四边形为菱形，则t的值为( )A．5 B．10C．15 D．205．如图，正方形的边长为4，∠的平分线交于点E.若点P，Q分别是和上的动点，则＋的最小值是( )A．2 B．4 C．2 D．4)题5第((第6题)特殊平行四边形中的中点四边形问题6．如图，在四边形中，＝a，＝b，且⊥，顺次连接四边形各边中点，得到四边形ABCD111，再顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形ABCD，…，如此进行下去，得到四221211211边形.下列结论正确的是( )①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD是矩形；③四边形ABCD的周长为；④773374374344四边形的面积为.A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④7．(中考·广安)如图，已知E，F，G，H分别为菱形四边的中点，＝6 ，∠＝60°，则四边形的面积为．(第7题)(第8题)特殊平行四边形中的图形变换问题·中考．(枣8庄)如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转45°得到正方形CD，边BC与交于点O，则四边11111)的面积是形( 11D1 －．＋9．如图，四边形是正方形，点G是边上任意一点，⊥于点E，∥，交于点F.(1)求证：－＝；(2)将△绕点A逆时针旋转，使得与重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离．(第9题)灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明10．如图，在?中，E，F分别是，的中点，连接，.(1)求证：△≌△；(2)连接，当＝时，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．(第10题)11．(中考·漳州)如图，在矩形中，点E在边上，将该矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，过点F作∥，交于点G，连接.(1)求证：四边形为菱形；(2)若＝8，＝4，求的值．(第11题)12．如图①，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且⊥.(1)求证：＝.(2)如图②，在正方形中，M，N，P，Q分别是边，，，上的点，且⊥与是否相等？并说明理由．(第12题)专训4.全章热门考点整合应用名师点金：正方形有关的计算和、菱形、矩形、本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形．证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似(以后学到)、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个性质，两个定理，四个图形，三个技巧，三种思想．一个性质——直角三角形斜边上的中线性质1．如图，在△中，点D，E，F分别是，，的中点，是边上的高．求证：(1)四边形是平行四边形；(2)∠＝∠.(第1题)两个定理三角形的中位线定理2．如图，已知在四边形中，＝且⊥，点E，F，G，H，P，Q分别是，，，，，的中点．求证：(1)四边形是矩形；(2)四边形是菱形．(第2题)多边形的内角和与外角和定理3．如果一个多边形的内角和等于1 260°，那么这个多边形的边数为( ) A．7 B．8 C．9 D．105．如图，一张多边形纸片按图所示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( )A．13 B．14 C．15 D．16(第4题)(第5 题)5．如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于度．6．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时：(1)整个行走路线是什么图形？一共走了多少米？(2)．(第6题)四个图形平行四边形7．如图，E，F分别是?的，边上的点，且＝.(1)求证：△≌△；(2)若M，N分别是，的中点，连接，，试判断四边形是什么特殊的四边形，并证明你的结论．(第7题)矩形8．如图，在?中，点O是与的交点，过点O的直线与的延长线，的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△≌△.(2)连接，，则与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．(第8题)菱形9．如图，在△中，D，E分别是，的中点，过点E作∥，交于点F.(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当△满足什么条件时，四边形是菱形？为什么？(第9题)正方形10．(中考·甘孜分别为边，的中点时，有：F，E，当G分别为正方形的边，上的点，，相交于点F，E已知)州①＝；②⊥成立．试探究下列问题：(1)如图①，若点E不是边的中点，点F不是边的中点，且＝，上述结论①，②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明)(2)如图②，若点E，F分别在的延长线和的延长线上，且＝，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)如图③，在(2)的基础上，连接和，若点M，N，P，Q分别为，，，的中点，请判断四边形是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并说明理由．(第10题)11．如图，已知在△中，∠＝90°，先把△绕点B顺时针旋转90°后至△，再把△沿射线平移至△，，相交于点H.(1)判断线段，的位置关系，并说明理由；(2)连接，求证：四边形是正方形．(第11题)三个技巧解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)12．如图所示，在矩形中，＝10，＝5，点E，F分别在，上，将矩形沿折叠，使点A，D分别落在矩形外部的点A，D处，求阴影部分图形的周长．11(第12题)解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)13．如图，正方形的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第13题)解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)14．如图，在边长为10的菱形中，对角线＝16，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，⊥于E，⊥于F.(1)求对角线的长及菱形的面积．(2)如图①，当点O在对角线上运动时，＋的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线的延长线上时，＋的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系，并说明理由．(第14题)三种思想方程思想15．如图，四边形是平行四边形，⊥于点E，⊥交的延长线于点F，＝4 ，＝5 ，四边形的周长为36 .求，的长．(第15题)16．如图，在矩形纸片中，，相交于点O，∶＝1∶2，＝，将纸片折叠使点B与点D重合，求折叠后纸片重合部分的面积．(第16题)转化思想17．如图，在?中，对角线，相交于点O，过点O作直线交于点E，交于点F，若?2，求阴影部分的面积．30 的面积为(第17题)分类讨论思想18．已知四边形是正方形，△是等边三角形，求∠的度数．答案1．12点拨：如图，设，的交点为O，连接，已知O是的中点．∵在△和△中，＝，＝，＝，∴△≌△，则△≌△，∴∠＝∠，同时，＝，即在四边形中，两条对角线相等．∵在△中，∠＝∠，∴＝，易得O是的中点．∴四边形是矩形，在△中，＝＝6，＝＝8，由勾股定理得＝＝＝2 .∴?的面积＝·＝6×2 ＝12 .(第1题)(第2题)，如图．解：设与相交于点F．23.1＝∠∴∠∵四边形为平行四边形，∴∥.∵平行四边形纸片沿对角线所在直线折叠，点D落在点E处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴＝.3.＝6，∴＝＝＝×6为边的中点，＝F∵．又∵＝3，∴△是等边三角形．∴∠B＝60°.3．(1)证明：由折叠知＝＝，＝.∵四边形是矩形，∴＝.∴＝.(2)解：∵∠＝45°，∠＝∠A＝90°，＝，∴＝，＝2.∴＝2＋.如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠＝90°，∴∠3＝∠.又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，＝，∴△≌△.∴＝.∴＝＋＝＋＝2＋＋＝2＋2 .(第3题)(第5题)C4．.．5解：如图，连接，.∵四边形是菱形，∴⊥，平分∠. 90°－60°＝30°，∴∠＝∵∠＝120°60°.∴∠＝1. ＝90°，∴＝＝×2∵∠＝.由勾股定理，得＝＝. 重合，∴⊥，平分沿折叠与点O∵点A ∵⊥，∴∥，易得为△的中位线，.)＝∴＝＝×(＋6．13 点拨：如图，过点F作⊥，垂足为M，连接，，设交于点N，由折叠的性质知⊥，∴∠C＝∠＝90°，∴∠＝∠.易知＝，∠＝∠C，∴△≌△，∴＝＝5，由勾股定理得＝＝13.(第6题))题7 第(.(1)7．证明：∵＝，∴∠＝∠，∴∠－∠＝∠－∠，90°又∵∠＝∠＝即∠＝∠.又∵∥，∴∠＝∠，∴∠＝∠.(2)解：△的周长不变且为定值8.证明如下：过B作⊥，垂足为Q.如图．由(1)知∠＝∠，又∵∠A＝∠＝90°，＝，∴△≌△.∴＝，＝.又∵＝，∴＝.又∵∠C＝∠＝90°，＝，∴△≌△，∴＝.∴△的周长为：＋＋＝＋＋＋＝＋＝8.1．解：＝，∥.证明如下：∵四边形是平行四边形，∴＝，∥.∴∠＝∠.在△和△中，∵＝，∠＝∠，＝，∴△≌△.∴＝，∠＝∠.∵∠＋∠＝∠＋∠＝180°，∴∠＝∠.∴∥.2．解：(1)∵四边形是矩形，∴∥.∴∠＝∠，∠＝∠.∵垂直平分，垂足为O，∴＝.∴△≌△.∴＝.∴四边形为平行四边形．又∵⊥，∴四边形为菱形．设＝＝x ，则＝(8－x)，(第2题)222，解得xx＝＋(8－x)5. 4 在△中，＝，由勾股定理得4＝∴＝5 .(2)显然当P点在上，Q点在上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在上，Q点在或上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在上，Q点在上时，才能构成平行四边形，如图，连接，，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时＝.∵点P的速度为5 ，点Q的速度为4 ，运动时间为t s，∴＝5t ，＝(12－4t).∴5t＝12－4t，解得t＝.∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.：明证．3．(1)连接.∵在菱形中，∠B＝60°，∴＝＝，∠＝180°－∠B＝120°.∴△是等边三角形．又∵E是的中点，∴⊥.∵∠＝60°，∴∠＝90°－∠＝30°.∴∠＝180°－∠－∠＝180°－30°－120°＝30°.∴∠＝∠.∴＝.∴＝.知△是等边三角形，由连接.(1)(2). ∴＝，∠＝∠＝60°. 又∵∠＝60°，∴∠＝∠60°，120°∵∠＝，∠＝B. 60°＝∠∴∠＝.∴△≌△∴△是等边三角形．∴＝.(第3题)(第4 题)证明：如图，∵四边形为正方形，4．(1). 90°，＝＝＝∴∠A＝∠＝∠C＝∠＝. ∵＝＝＝，∴＝＝＝. ∴△≌△≌△≌△∴四边形为菱形．∴∠1＝∠2，＝＝＝.∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠＝90°.∴四边形为正方形．(2)解：直线经过一个定点．理由如下：如图，连接，，，.设与交于O点．∵綊，∴四边形为平行四边形．∴，互相平分．∴＝.∴点O为正方形的中心．∴直线必过正方形的中心．1．A234．B点拨：在△中，∠＝90°，∠C＝30°，＝4t ，所以＝2t .又因为＝2t ，所以＝.因为∥，所以可推出四边时，四边形为菱形．10＝t所以当10.＝t解得2t.＝4t－60形为平行四边形．令＝，则．5．C点拨：连接交于点O，由图可知，＋的最小值即为的长，由正方形的边长为4可知，的长为2 ，所以＋的最小值为2 .6．A(第7题)2点拨：连接，，设，相交于点O9 ，如图，7．易知，四边形是矩形．由四边形是菱形，∠＝60°，可得∠＝30°，又∵∠＝90°，∴＝＝3 .∴＝6 .在△中，＝＝3 ()，∴＝6 .∵＝，＝，∴＝3 ，＝3 .2)．＝3 9 ( ∴矩形的面积＝·＝3×8．C9．(1)证明：∵四边形是正方形，(第9题)∴＝，∠＝∠＋∠＝90°.∵⊥，∴∠＝∠＝90°.∴∠＋∠＝90°.∴∠＝∠.又∵∥，∴∠＝∠＝90°.在△和△中，∵∴△≌△()．∴＝.∵－＝，∴－＝.(2)解：如图，由题意知将△绕A点旋转得到△′，B与D重合，连接F′E，由.易得＝(1) 90°，＝＝′，＝根据题意知：∠′. F′＝∠＝90°∴∠. 180°F′即∠＋∠＝.∴′∥′为平行四边形．∴四边形是矩形．′，∴四边形90°又∠＝∵＝3，∴′＝＝3.10．(1)证明：∵四边形为平行四边形，∴＝，∠B＝∠D，＝.∵E，F分别是，的中点，∴＝.∴△≌△()．(2)解：四边形是矩形，理由：∵＝，＝，＝，∴＝.∵∥，∴四边形是平行四边形．当＝时，⊥，∴∠＝90°.∴四边形是矩形．(第11题)11．(1)证明：如图，由折叠的性质可知：＝，＝，∠1＝∠2，∵∥，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴＝.∴＝＝＝.∴四边形为菱形．(2)解：设＝x，则＝＝x，＝8－x，222222，xx) ，即4＝＋(8在△中，＋－＝解得x＝5.∴＝8－x＝3.∴＝. 12．(1)证明：∵四边形是正方形，∴＝，∠D＝∠＝90°，∴∠＋∠＝90°.∵⊥，∴∠＋∠＝90°.∴∠＝∠.∴△≌△()．∴＝.(2)解：易证四边形.知＝E，∵⊥，∴⊥，由(1)F与相等．理由如下：过点A作∥交于，过点B作∥交于.，四边形都是平行四边形，∴＝，＝，∴＝分别是，的中点，，ED．1证明：(1)∵点∴四边形是平行四边形．.∴∥.同理可得∥. 由(2)(1)知四边形是平行四边形，∴∠＝∠是的中点，∴＝＝，在△中，∵D. ∴∠＝∠同理可得＝＝，. ∴∠＝∠.∴∠＋∠＝∠＋∠.∴∠＝∠.∴∠＝∠．2．证明：(1)∵点E，F，G，H分别为，，，的中点，∴∥，∥，∥，∥，∴∥，∥，∴四边形是平行四边形．又∵⊥，∴⊥.∴?是矩形．(2)∵点E，P，G，Q分别为，，，的中点，∴＝，＝，＝，＝.∵＝，∴＝＝＝，∴四边形是菱形．点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．3．C45.726．解：(1)正九边形．(2)9×8＝72(米)．答：一共走了72米．7．(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴＝，∠A＝∠C. 又∵＝，∴△≌△()．(2)解：四边形是平行四边形．证明：由(1)知△≌△，∴＝，∠＝∠.∵M，N分别是，的中点，∴＝，＝.∴＝.又∵四边形是平行四边形，∴∥.∴∠＝∠.∴∠＝∠.∴∥.∴四边形是平行四边形．8．(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴＝，∥，∴∠＝∠.在△和△中，∴△≌△()．(2)解：当＝时，四边形是矩形．理由如下：由(1)知△≌△，∴＝.∵＝，∴四边形是平行四边形．又∵＝，∴四边形是矩形．9．(1)证明：∵D，E分别是，的中点，∴是△的中位线，∴∥.又∵∥，∴四边形是平行四边形．(2)解：答案不唯一，下列解法供参考．当＝时，四边形是菱形．理由：∵D是的中点，∴＝.∵是△的中位线，∴＝.又∵＝，∴＝.又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．10．解：(1)上述结论①，②仍然成立．(2)上述结论①，②仍然成立．证明：∵四边形为正方形，∴＝，∠＝∠＝90°.在△和△中，∴△≌△()．∴＝，∠＝∠.. 90°，∴∠＋∠＝90°∵∠＋∠＝。