Matlab 数值解法
Matlab中常用的数值计算方法
Matlab中常用的数值计算方法数值计算是现代科学和工程领域中的一个重要问题。
Matlab是一种用于数值计算和科学计算的高级编程语言和环境，具有强大的数值计算功能。
本文将介绍Matlab中常用的数值计算方法，包括数值积分、数值解微分方程、非线性方程求解和线性方程组求解等。
一、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数的定积分。
在Matlab中，常用的数值积分函数是'quad'和'quadl'。
'quad'函数可以用于计算定积分，而'quadl'函数可以用于计算无穷积分。
下面是一个使用'quad'函数计算定积分的例子。
假设我们想计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
我们可以使用如下的Matlab代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```运行这段代码后，我们可以得到定积分的近似值，即1/3。
二、数值解微分方程微分方程是描述自然界各种变化规律的数学方程。
在科学研究和工程应用中，常常需要求解微分方程的数值解。
在Matlab中，可以使用'ode45'函数来求解常微分方程的数值解。
'ode45'函数是采用基于Runge-Kutta方法的一种数值解法。
下面是一个使用'ode45'函数求解常微分方程的例子。
假设我们想求解一阶常微分方程dy/dx = 2*x，初始条件为y(0) = 1。
我们可以使用如下的Matlab代码：```fun = @(x, y) 2*x;[x, y] = ode45(fun, [0, 1], 1);plot(x, y);```运行这段代码后，我们可以得到微分方程的数值解，并绘制其图像。
三、非线性方程求解非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
在很多实际问题中，我们需要求解非线性方程的根。
重要：MATLAB常微分方程(组)数值解法
Matlab常微分方程求解问题分类
边值问题：
初值问题：
• 定解附加条件在自变量 的一端
• 一般形式为： y' f (x, y)
y(a)
y0
• 初值问题的数值解法一 般采用步进法，如 Runge-Kutta法
➢ 在自变量两端均给定附加 条件
y' f (x, y)
➢ 一般形式：y(a)y1, y(b)y2
1.根据常微分方程要求的求解精度与速度要求
求解初值问题：
y
'
y
2x y
y ( 0 ) 1
(0x1)
比较ode45和ode23的求解精度和速度
ode45和ode23的比较-1
function xODE clear all clc
format long
y0 = 1; [x1,y1] = ode45(@f,[0,1],y0); [x2,y2] = ode23(@f,[0,1],y0); plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'b--') xlabel('x') ylabel('y')
rD = k(3)*C(2)-k(5)*C(4);
rE = k(4)*C(3)+k(5)*C(4);
% Mass balances dCdt = [rA; rB; rC; rD; rE];
三个串联的CSTR等温反应器（例4-3）
function IsothermCSTRs clear all clc CA0 = 1.8; % kmol/m^3 CA10 = 0.4; % kmol/m^3 CA20 = 0.2; % kmol/m^3 CA30 = 0.1; % kmol/m^3 k = 0.5; % 1/min tau = 2; stoptime = 2.9; % min [t,y] = ode45(@Equations,[0 stoptime],[CA10 CA20 CA30],[],k,CA0,tau); disp(' Results:') disp(' t CA1 CA2 CA3') disp([t,y]) plot(t,y(:,1),'k--',t,y(:,2),'b:',t,y(:,3),'r-') legend('CA_1','CA_2','CA_3') xlabel('Time (min)') ylabel('Concentration') % -----------------------------------------------------------------function dydt = Equations(t,y,k,CA0,tau) CA1 = y(1); CA2 = y(2); CA3 = y(3); dCA1dt = (CA0-CA1)/tau - k*CA1; dCA2dt = (CA1-CA2)/tau - k*CA2; dCA3dt = (CA2-CA3)/tau - k*CA3; dydt = [dCA1dt; dCA2dt; dCA3dt];
使用Matlab进行微分方程求解的方法
使用Matlab进行微分方程求解的方法引言微分方程是数学中非常重要的一部分，广泛应用于物理、经济、工程等领域。
对于大部分微分方程的解析解往往难以求得，而数值解法则成为了一种常用的解决手段。
Matlab作为一种强大的科学计算软件，也提供了丰富的工具和函数用于求解微分方程，本文将介绍一些常见的使用Matlab进行微分方程求解的方法。
一、数值求解方法1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值求解微分方程的方法，它将微分方程的微分项用差分的方式进行近似。
具体的公式为：y(n+1) = y(n) + hf(x(n), y(n))其中，y(n)表示近似解在第n个点的值，h为步长，f(x, y)为微分方程的右端项。
在Matlab中使用欧拉方法进行求解可以使用ode113函数，通过设定不同的步长，可以得到不同精度的数值解。
2. 中点法中点法是较为精确的一种数值求解微分方程的方法，它的计算公式为：k1 = hf(x(n), y(n))k2 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k1/2)y(n+1) = y(n) + k2中点法通过计算两个斜率的平均值来得到下一个点的值，相较于欧拉方法，中点法能提供更精确的数值解。
3. 4阶龙格库塔法龙格库塔法是一类高阶数值求解微分方程的方法，其中4阶龙格库塔法是最常用的一种。
它的计算公式为：k1 = hf(x(n), y(n))k2 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k1/2)k3 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k2/2)k4 = hf(x(n) + h, y(n) + k3)y(n+1) = y(n) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/64阶龙格库塔法通过计算多个斜率的加权平均值来得到下一个点的值，相较于欧拉方法和中点法，它的精度更高。
二、Matlab函数和工具除了可以使用以上的数值方法进行微分方程求解之外，Matlab还提供了一些相关的函数和工具，方便用户进行微分方程的建模和求解。
(完整)拟一维喷管流动的数值解法(MATLAB)代码
拟一维喷管流动的数值解法（MATLAB）代码数值计算代码％拟一维喷管流动的数值解%亚声速—超声速，非守恒形式function main(）clear;clc;r=1。
4；％绝热指数N=1001; %时间步长i=31; ％网格数目L=3； %喷管长度C=0.5； %柯朗数dx=L/（i—1)；％空间步长dt(N）=0；％时间步长x=linspace(0,L,i）; ％网格点横坐标A=1+2.2*（x—1.5).^2; ％喷管面积%赋值M(N，i)=0；T(N,i)=0;V（N,i)=0；%初始条件M(1,：）=1—0.3146＊x;T(1，：）=1-0。
2314*x；V(1，：)=（0。
1+1.09*x).*（1—0。
2314*x)。
^0.5；％按时间步长推进for k=1:N—1%预估偏导数M_t（1：i-1)=—V(k,1:i-1）。
*（M（k，2：i)-M（k，1：i—1）)/dx-M（k,1：i-1）。
＊（V(k，2:i)—V （k,1:i—1))/dx-M(k,1:i-1）。
＊V(k，1：i-1）.＊log(A(2：i）./A(1:i-1))/dx;V_t（1：i—1)=-V（k,1：i-1)。
＊(V(k，2:i)-V(k，1:i—1)）/dx—1/r.＊（(T(k,2：i）—T（k，1:i—1)）/dx+T（k,1:i-1)./M（k，1：i—1).＊（M（k,2：i)-M(k，1:i—1））/dx)；T_t（1:i-1)=—V（k,1:i-1）。
*（T(k，2:i）-T（k,1：i—1））/dx-(r-1）。
*T（k,1:i-1）。
＊（(V(k,2:i)—V(k,1:i—1))/dx+V(k,1：i-1）.＊log（A（2：i)./A（1：i-1)）/dx)；%求取内部网格点处最小时间步长t=C＊dx。
/（V(k,2:i-1)+sqrt（T(k,2:i-1））);dt(k)=min（t)；%预估值M1（1:i-1）=M(k,1：i-1）+M_t(1：i-1）*dt(k）;V1(1：i—1）=V(k,1:i—1）+V_t(1:i—1)*dt（k);T1(1:i-1)=T(k，1：i—1)+T_t（1：i—1）＊dt（k）;%校正偏导数M_t_1(2：i—1）=-V1（2：i—1）。
matlab方程组数值解法
matlab方程组数值解法Matlab方程组数值解法随着科学技术的发展，数值计算在科学研究和工程实践中的应用越来越广泛。
对于复杂的数学模型，通过解析方法求得准确的解析解往往是困难的甚至不可能的。
因此，数值解法成为了求解这些问题的重要手段之一。
Matlab作为一种强大的数值计算工具，提供了多种数值解法来解决方程组的数值求解问题。
在Matlab中，求解方程组的数值解法主要包括直接法和迭代法两种。
直接法是指通过一系列直接计算来求解方程组的解，常见的方法有高斯消元法和LU分解法。
迭代法则是通过迭代计算来逼近方程组的解，常见的方法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
高斯消元法是一种经典的直接法，它通过消元和回代的方式将方程组化为简化的三角方程组，然后通过回代计算得到解。
Matlab中提供了直接调用的函数，如"linsolve"函数，可以直接求解线性方程组。
对于非线性方程组，可以通过牛顿法等迭代法来求解。
LU分解法是另一种常用的直接法，它将方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代计算得到解。
在Matlab中，可以使用"lu"函数进行LU分解，并通过"\"运算符求解线性方程组。
雅可比迭代法是一种简单而有效的迭代法，它通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
在每一步迭代中，通过将方程组中的每个未知数的迭代解代入到方程组中的对应方程中，得到新的近似解。
通过多次迭代，可以得到逼近方程组解的解向量。
在Matlab中，可以使用"jacobi"函数进行雅可比迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版，它在每一步迭代中使用上一步迭代得到的未知数的新近似解。
这样可以更快地逼近方程组的解。
在Matlab中，可以使用"gauss_seidel"函数进行高斯-赛德尔迭代。
除了这些常见的数值解法外，Matlab还提供了其他一些数值求解函数，如"fsolve"函数可以求解非线性方程组，"ode45"函数可以求解常微分方程组等。
双曲方程基于matlab的数值解法
双曲型方程基于MATLAB 的数值解法（数学1201,陈晓云,41262022）一：一阶双曲型微分方程的初边值问题0,01,0 1.(,0)cos(),0 1.(0,)(1,)cos(),0 1.u u x t t xu x x x u t u t t t ππ∂∂-=≤≤≤≤∂∂=≤≤=-=≤≤ 精确解为 ()t x cos +π二：数值解法思想和步骤 2.1:网格剖分为了用差分方法求解上述问题，将求解区域{}(,)|01,01x t x t Ω=≤≤≤≤作剖分。
将空间区间[0,1]作m 等分，将时间[0,1]区间作n 等分，并记1/,1/,,0,,0j k h m n x jh j m t k k n ττ===≤≤=≤≤。
分别称h 和τ为空间和时间步长。
用两簇平行直线,0,,0j k x x j m t t k n =≤≤=≤≤将Ω分割成矩形网格。
2.2：差分格式的建立0u ut x∂∂-=∂∂ 2.2.1：Lax-Friedrichs 方法对时间、空间采用中心差分使得2h11111)(21u u xu u u u u tukj kj kj k j kjk j-+-++-=+=-=∂∂∂∂ττ则由上式得到Lax-Friedrichs 格式111111()202k k k k k j j j j j u u u u u hτ+-+-+-+-+=截断误差为()[]k k kj h j j R u L u Lu =-111111()22k k k k k k k j j j j j j ju u u u u u u h t xτ+-+-+-+-∂∂=+-+∂∂232223(),(0,0)26kkjj u u h O h j m k n t xττ∂∂=-=+≤≤≤≤∂∂ 所以Lax-Friedrichs 格式的截断误差的阶式2()O h τ+ 令/s h τ=：则可得差分格式为111111(),(0,0)222k k k kk j j j j j s s u u u u u j m k n +--++=-+++≤≤≤≤ 0cos()(0)j j u x j m π=≤≤0cos(),cos(),(0)k kk m k u t u t k n ππ==-≤≤其传播因子为： ()()()e e Gh i h i s h i h i σσσστσ---=-+e e 221， 化简可得：()()()()()hs G h is h G στσσστσsin 11,sin cos ,222--=-= 所以当1s ≤时，()1,≤τσG ,格式稳定。
matlab_常微分方程数值解法
dt 2
简朴问题可以求得解析解，多数实际问题靠数值求解 。
第4页
一阶常微分方程(ODE )初值问题 ： ODE ：Ordinary Differential Equation
dy
f
(x,
y)
dx
x0 x xn
y(x0 ) y0
数值解法就是求y(x)在某些分立旳节点 xn 上旳近似值 yn，用以近似y(xn)
x0
y0
x1 f y(x), x dx
x0
x2 f y(x), x dx
x1
y(x1) f y(x1), x1 h
第17页
同样，在[x0,xn+1] ，积分采用矩形近似，得：
y(xn1) y0
f xn1
x0
y(x), x dx
y(xn ) f y(xn ), xn h
yn y(xn )
第5页
2、欧拉近似办法
2.1 简朴欧拉(L.Euler, 1707-1783)办法。
dy
dx
f
(y, x)
y(x0 ) y0
欧拉数值算法就是由初值通过递推求解，递推求解
就是从初值开始，后一种函数值由前一种函数值得到。核 心是构造递推公式。
y0 y1 y2 yn
第6页
i 1,2,...
第36页
没有一种算法可以有效地解决所有旳 ODE 问题，因此 MATLAB 提供了多种ODE函数。
函数 ODE类
特点
阐明
型
ode45
非刚性 单步法；4，5 阶 R-K 措施；合计 大部分场合旳首选措施
截断误差为 (△x)3
ode23
非刚性 单步法；2，3 阶 R-K 措施；合计 使用于精度较低旳情形
Matlab非线性方程数值解法
Matlab⾮线性⽅程数值解法实验⽬的⽤Matlab实现⾮线性⽅程的⼆分法、不动点迭代法实验要求1. 给出⼆分法算法和不动点迭代算法2. ⽤Matlab实现⼆分法3. ⽤Matlab实现不动点迭代法实验内容（1）在区间[0,1]上⽤⼆分法和不动点迭代法求的根到⼩数点后六位。
（2）⼆分法的基本思想：逐步⼆分区间[a,b]，通过判断两端点函数值的符号，进⼀步缩⼩有限区间，将有根区间的长度缩⼩到充分⼩，从⽽，求得满⾜精度要求的根的近似值。
（3）不动点迭代法基本思想：已知⼀个近似根，构造⼀个递推关系（迭代格式），使⽤这个迭代格式反复校正根的近似值，计算出⽅程的⼀个根的近似值序列，使之逐步精确法，直到满⾜精度要求（该序列收敛于⽅程的根）。
实验步骤（1）⼆分法算法与MATLAB程序（⼆分法的依据是根的存在性定理，更深地说是介值定理）。
MATLAB程序，1 %⼆分法2 %输⼊：f(x)=0的f(x)，[a,b]的a,b，精度ep3 %输出：近似根root，迭代次数k4 function [root,k]=bisect(fun,a,b,ep)5if nargin>36 elseif nargin<47 ep=1e-5;%默认精度8else9 error('输⼊参数不⾜');%输⼊参数必须包括f(x)和[a,b]10 end11if fun(a)*fun(b)>0%输⼊的区间要求12 root=[fun(a),fun(b)];13 k=0;14return;15 end16 k=1;17while abs(b-a)/2>ep%精度要求18 mid=(a+b)/2;%中点19if fun(a)*fun(mid)<020 b=mid;21 elseif fun(a)*fun(mid)>022 a=mid;23else24 a=mid;b=mid;25 end26 k=k+1;27 end28 root=(a+b)/2;29 end⼆分法1运⾏⽰例（并未对输出格式做控制，由于精度要求，事后有必要控制输出的精度）：优化代码，减⼩迭代次数（在迭代前，先搜寻更适合的有根区间）1 %⼆分法改良2 %在⼀开始给定的区间中寻找更⼩的有根区间3 %输⼊：f(x)=0的f(x)，[a,b]的a,b，精度ep4 %输出：近似根root，迭代次数k5 %得到的根是优化区间⾥的最⼤根6 function [root,k]=bisect3(fun,a,b,ep)7if nargin>38 elseif nargin<49 ep=1e-5;%默认精度10else11 error('输⼊参数不⾜');%输⼊参数必须包括f(x)和[a,b]12 end13 %定义划分区间的分数14 divQJ=1000;15 %等分区间16 tX=linspace(a,b,divQJ);17 %计算函数值18 tY=fun(tX);19 %找到函数值的正负变化的位置20 locM=find(tY<0);21 locP=find(tY>0);22 %定义新区间23if tY(1)<024 a=tX(locM(end));25 b=tX(locP(1));26else27 a=tX(locP(end));28 b=tX(locM(1));29 end30if fun(a)*fun(b)>0%输⼊的区间要求31 root=[fun(a),fun(b)];32 k=0;33return;34 end35 k=1;36while abs(b-a)/2>ep%精度要求37 mid=(a+b)/2;%中点38if fun(a)*fun(mid)<039 b=mid;40 elseif fun(a)*fun(mid)>041 a=mid;42else43 a=mid;b=mid;44 end45 k=k+1;46 end47 root=(a+b)/2;48 end⼆分法2运⾏⽰例（同样没有控制输出）明显地，迭代次数减⼩许多。