1.5 条件概率与乘法公式
乙
甲
如果你知道了你的同伙中谁将获 释，那么，你自己被处决的概率就 由1/3增加到1/2，因为你就成了剩 下的两个囚犯中的一个了.
NO！
问：对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决} C={囚犯丙被处决}
1 依题意： P ( A) = 3
P( A) 1 P( A B ) = = 1 − P ( B) 2 P ( A) 1 P( A C ) = = 1 − P (C ) 2
解：设 Ai ＝｛第i 次取正品｝ （１）两只都是正品：
（２） 两只都是次品；
8 7 28 P( A1 A2 ) = P( A1 ) P ( A2 | A1 ) = × = 10 9 45
2 1 1 P( A1 A2 ) = P( A1 )P( A2 | A1 ) = × = 10 9 45
(3) 一只是正品，一只是次品；
P ( A1 A2 + A1 A2 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) + P( A1 ) P ( A2 | A1 ) 8 2 2 8 16 = × + × = 10 9 10 9 45
(4) 第二次取出的是次品。
P ( A2 ) = P ( A1 A2 + A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) + P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
= 1 − [ P( A) + P( B) − P( AB)] = 1− P( A) − P(B) + P(A)P(B | A)
又 P( A) = 0.08, P( B ) = 0.07, P( B | A) = 0.85 ， 代入上式得：
1 − 0.08 − 0.93 + 0.08 × 0.85 P( A | B) = = 0.829 0.07
设 P ( A) > 0
P ( ∑ Bi | A ) = ∑ P ( Bi | A )
i =1 i =1
∞
∞
证明：
P ( ∑ Bi | A) =
i =1
∞
P (∑ ABi )
i =1
∞
P ( A)
∞
=
∑ P ( ABi )
i =1
∞
P ( A)
P ( ABi ) ∞ =∑ = ∑ P ( Bi | A) i =1 P ( A) i =1
不等于
二、条件概率 １、定义：设 A, B 是两个事件，且 P(B) > 0 ．称比值
P( AB) P(B) 为在 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作 P( A | B) ． P( ABAB) P( ) ( (| B = 即： PPAA |)B) = P(B)( B) P P( AB) 同理： P(B | A) = P( AB) P P( B | A) = ( A)
P( AB) 1/10 3 P( A | B) = = = P( B) 7/15 14
P( AB) 1/ 10 3 P( B | A) = = = P( A) 4 / 15 8
(= 0.375)
4 7 1 19 P( A U B) = P( A) + P( B) − P( AB) = + − = 15 15 10 30
P( A)
仅就古典概型解释上述条件概率公式，事实广, 若 设试验的基本事件总数为n, B所包含的基本事件数为 m (m＞0)，AB所包含的基本事件数为 k，则有:
k k / n P( AB) P ( A | B) = = = m m / n P( B)
P(B) B
A
P(AB)
【注】①一般情况下， P( A | B) 与 P( A) 不一定相等． ② P( AB) 与 P ( A | B) 的区别： P ( A | B) 一般常用在“在… 时，在… 下”的情况中； 而 P(AB) 则用在 A 、 B 同时发生的情况中。
３）如果 B 发生与否对 A 的发生没有任何影响，则有： P( A | B) = P( A)
三、条件概率的性质
P ( B | A) … 0 P ( B | A ) „ 1， P ( Ω | A ) = 1 P( AΩ) P( A) 证明： P(Ω | A) = = =1 P( A) P( A) (3) 设 B i B j = Φ , i ≠ j , 则 ： (1) (2)
则 AB＝B，于是：
P( AB) P( B) 0.4 P(B | A) = = = = 0.5 P( A) P( A) 0.8
ห้องสมุดไป่ตู้
例2、监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机地 选出一个处决 , 而把另外两个释放. 囚犯甲请求看 守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁将获得自由. 因为我已经知道他们两人中 至少有一人要获得自由，所 以你泄露这点消息是无妨的.
P( A | B) = 0 „ P( A)
２）设 B ⊂ A ，于是 B 发生，必然导致 A 发生，故 P( A | B ) = 1 ⇒ P( A | B) = 1… P( A) 。 又设 A ⊂ B,
⇒ AB = A ⇒ P( AB) P( A) P( A | B) = = … P( A) 。 P(B) P( B)
四、乘法公式
推广： P ( ABC ) = P ( A ) P ( B | A) P (C | AB )
P( AB) = P( A) P( B | A) P( AB) = P( B) P( A | B)
（P ( A) > 0） （P ( B ) > 0）
P ( B1 B2 | A) = P ( B1 | A) P( B2 | B1 A)
用乘法公式容易求出
P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b b+c r r+c = b + r b + r + c b + r + 2c b + r + 3c
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取 到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一 个传染病患者，都会增加再传染的概率.
第１－５节 条件概率
“ 条件概率” 是除了随机试验的基本条件之处，再附 加一些条件，确切地说，就是研究“ 在某事件 B已发生的条 件下，另一事件 A发生的概率” ，记作：
P( A B)
条件概率是概率论中一个非常重要且实用的概念。 一、引例 例1、掷一颗均匀骰子, A={掷出2点}, B={掷出偶数点}， 则 P(A )=1/6 ，问：P ( A | B )=？
已知事件B发生，此时试验所有可能 结果构成的集合就是B， 且B中共有3个元素，它们的出现是 等可能的，其中只有1个在集A中， 于是：P(A|B)= 1/3. 容易看到：
掷骰子
1 1 6 P ( AB) = P(A|B) = = 3 36 P ( B)
例2、考虑有两个小孩的家庭，且已知家庭中至少有 一个是女孩，问这家庭中恰好一男孩一女孩的概率。
例4、为防止意外事故，在矿井内同时安装了两种报 警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率A为 0.92，B为0.93；且在A失灵的条件下B有效的概率为 0.85。求在B失灵的条件下A有效的概率。
P( AB ) 解： P( A | B ) = ， P( B )
而 P( AB ) = 1 − P( AB ) = 1 − P( A + B)
例６、七人抽签，获得一张电影票，求每个人抽到电 影票的概率。
“ 大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘ 电影票’ 的机会都 一样大.”
“ 先抽的人当然要比后抽的人抽到 的机会大。”
解： Ai ＝｛第 i 个人抽到电影票｝ Bi ＝｛第 i 次抽到电影票｝ ，
1 P( A1 ) = P( B1 ) = 7 6 1 1 P( A2 ) = P( B1 B2 ) = P( B1 ) P( B2 | B1 ) = g = 7 6 7 P( A3 ) = P( B1 B2 B3 ) = P( B1 ) P( B2 | B1 ) P( B3 | B1 B2 )
不等于
1 2 同样：P ( A) = ≠ P( A B) = 2 3 即事件B发生的概率与在事件A已发生的条件下 B再发
生的条件概率不一致，并注意到：
2 2/4 P( AB) P( A| B) = = = 3 3/4 P(B)
例3、某仓库中有一批产品200件，它是由甲、乙两厂 共同生产的。其中甲厂的产品中有正品100件，次品20 件，乙厂的产品有正品65件，次品15件。现从这批产品中 任取一件，记：B ＝{取到的是乙厂的产品}，
看守说得对！
甲
例３、由长期统计资料得知，某一地区在４月份下雨 （ 用 A表 示） 的 概 率 为４／１５，刮 风（用 B表 示）的 概 率 为 ７／１５，既刮风又下雨的概率为１／１０.
求 P( A| B) 、 P( A| B) 、 P( AU B) 。
4 7 1 解：已知 P( A) = , P(B) = , P( AB) = , 15 15 10
解：设A ＝｛该家庭中恰好一男孩一女孩｝，
B ＝｛该家庭中至少有一个是女孩｝，
则样本空间为： Ω= ｛（男，男），（女，男），（男，女），（女，女）｝， 问题是要求P(A|B)
A＝＝｛（男，女），（女，男） ｝， B＝｛（女，男），（男，女），（女，女）｝． AB＝｛（男，女），（女，男）｝
1 3 2 2 P ( A) = , P( B ) = , P ( AB ) = , P ( A | B) = 2 4 4 3
P(B1 U B2 | A) = P(B1 | A) + P(B2 | A) − P(B1B2 | A)
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概率论与数理统计课件1.5
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
?
1红4白
12 3
某人从任一箱中任意摸出一球，
?
发现是红球，求该球是取自1号
箱的概率.
1红4白
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
S( AB) S( ) S( A) S( )
P( AB) . P( A)
在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型 中总有
P(B A) P( AB) . P( A)
条件概率的定义
设A、B是某随机试验中的两个事件，且 P A 0
称 P (B | A ) = —P —(A—B )
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B、A2B、A3B 两两互斥
运用加法公式得到
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
多个事件的乘法公式
设 A1， A2， ， An 为n个随机事件，且
PA1 A2 An1 0
则有
PA1 A2 An PA1 PA2 A1 PA3 A1 A2 P An A1 A2 An1
这就是n个事件的乘法公式．
例 3 乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型）
AB Ω
1.5 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
解1 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破", 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
THANKS
感谢观看
• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
概率统计第1章1.4-1.5
4
4
P(B A) P( AB) P(B) 1 / 4 1 / 3
P( A) P( A) 3 / 4
§1.4 条件概率与乘法公式 1.4.1 条件概率
【例1.14】某家庭中有两个孩子, 已知其中至少有一个是男 孩, 求两个都是男孩的概率(假设男、女孩出生率相同).
解：用g代表女孩, b代表男孩 A =“该家庭中至少有一个男孩”, B =“两个都是男孩”, 注：在事件A发生条件下, 该家庭两个孩子的情况只能是 bb, bg, gb三种情况之一, 即此时样本空间缩小为
n
n
P(B) P( (BAi )) P(BAi )
i 1
i 1
§1.5 全概率公式和贝叶斯公式
1.5.1 全概率公式
【定理1.2】设试验E的样本空间为 , A1, A2, …, An为E的 一组事件, 且满足：
(1) A1, A2, …, An两两互不相容, P(Ai) > 0 i =1, 2, …, n
1.4.1 条件概率
【例1.13】定义1.6 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 若P(A) > 0，则称 P(B A) P( AB)
P( A) 为在事件A发生下的事件B发生的条件概率．
不难验证，条件概率 满足概率定义1.5中的三条公理：
(1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) = 0；
【例1.16】某人忘记了电话号码的最后一位数字, 因而他随 意地拨号. 求他拨号不超过三次而接通电话的概率.
解：设Ai =“第i次接通电话”, i = 1, 2, 3 B =“拨号不超过3次接通电话”
则 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 利用概率的加法公式和乘法公式
P(B) P( ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 1 9 1 9 18 3
1.5全概率公式与贝叶斯公式
j 1
Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计 、检验、判别、推理等方面 Bayes公式的重要意义在于利用人们 掌握的先验知识来推断后验概率
用某种诊断法诊断癌症,记 A {判断被检验者患有癌症 } C { 被检验者患有癌症 } 已知 P( A | C ) 0.95, P( A | C ) 0.90,又设人群中 P(C ) 0.0004 现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可 能性有多大？ 由 Bayes 公式,此人真正患有癌症的概率为
B1 B2 ,
B1 B2 S .
甲
乙
解:记 B1为在甲箱中抽到有奖票的事件，
B2为在甲箱中抽到无奖票的事件， 由全概率公式得 A 为最后抽到有奖票的事件。
则
P A P ( Bi ) P ( A ｜Bi )
i 12
2
1 3 2 P A | B2 ; P B1 ; P A | B1 ; P B2 ; 6 5( B ) P5 ( A B1 ) P( B1 )6 P( A B2 ) P 2
P ( A B ) 0.1, P ( A B ) 0.5
第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎 （A）。村民根据这个信息，对小孩的可信程度改变为 （用贝叶斯公式）
P( B) P( A B) P ( B A) P( B) P( A B) P( B ) P( A B )
0.8 0.1 0.444 0.8 0.1 0.2 0.5
分析：记 Bi ={球取自 i 号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球}
1 2 3
至多一个发生
1
有且仅有一个发生
2
至少一个发生
Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计 、检验、判别、推理等方面 Bayes公式的重要意义在于利用人们 掌握的先验知识来推断后验概率
用某种诊断法诊断癌症,记 A {判断被检验者患有癌症 } C { 被检验者患有癌症 } 已知 P( A | C ) 0.95, P( A | C ) 0.90,又设人群中 P(C ) 0.0004 现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可 能性有多大？ 由 Bayes 公式,此人真正患有癌症的概率为
B1 B2 ,
B1 B2 S .
甲
乙
解:记 B1为在甲箱中抽到有奖票的事件，
B2为在甲箱中抽到无奖票的事件， 由全概率公式得 A 为最后抽到有奖票的事件。
则
P A P ( Bi ) P ( A ｜Bi )
i 12
2
1 3 2 P A | B2 ; P B1 ; P A | B1 ; P B2 ; 6 5( B ) P5 ( A B1 ) P( B1 )6 P( A B2 ) P 2
P ( A B ) 0.1, P ( A B ) 0.5
第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎 （A）。村民根据这个信息，对小孩的可信程度改变为 （用贝叶斯公式）
P( B) P( A B) P ( B A) P( B) P( A B) P( B ) P( A B )
0.8 0.1 0.444 0.8 0.1 0.2 0.5
分析：记 Bi ={球取自 i 号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球}
1 2 3
至多一个发生
1
有且仅有一个发生
2
至少一个发生
1.5 条件概率、全概率公式
§1.5 条件概率、全概率公式 贝叶斯公式
目的：掌握条件概率和概率的乘法公式 全概率公式及贝叶斯公式及应用。 重点：条件概率、乘法公式、全概率公 式及贝叶斯公式的掌握和应用。 难点：以上诸公式的灵活应用
一、条件概率及乘法公式
பைடு நூலகம்
引例：某班40名学生中有团员15人。全班分成4
组，其中第一小组有学生10人，其中有4名团员。 如果从班内任选一人作代表，则 （1）该代表恰在第一组的概率是多少？ （2）若选一团员作代表，恰好在第一组的概率是 多少？
P( A) P( Bi ) P( A | Bi )
i 1 4
0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 0.315 3.15%
例1. 5. 6：我们只关心每天是否下雨，把天气
状况分为下雨和不下雨两种。若今天天气状况与 昨天天气状况相同的概率为p，第一天无雨，求 第n 天无雨的概率。
(1. 5. 4)
证明： P( A) P( A ) P[ A (
P[
n n i 1
n
Bi )]
i 1
( ABi )] P( ABi )
i 1
n
P( Bi ) P( A | Bi )
i 1
这个公式通常称作全概率公式，它是概率论 中最基本的公式之一。
例1. 5. 5：某工厂有四条流水线生产同一种
（４）当 c = 0 , d > 0 时，称为安全模型。此模 型可解释为：每当事故发生了（如红球被取出）， 安全工作就抓紧一点，下次再发生相同事故的概 率就会减少；而当事故没有发生时（如黑球被取 出），安全工作就放松一些，下次再发生事故的 概率就会增大，在这种场合，上述三个概率分别 为：
目的：掌握条件概率和概率的乘法公式 全概率公式及贝叶斯公式及应用。 重点：条件概率、乘法公式、全概率公 式及贝叶斯公式的掌握和应用。 难点：以上诸公式的灵活应用
一、条件概率及乘法公式
பைடு நூலகம்
引例：某班40名学生中有团员15人。全班分成4
组，其中第一小组有学生10人，其中有4名团员。 如果从班内任选一人作代表，则 （1）该代表恰在第一组的概率是多少？ （2）若选一团员作代表，恰好在第一组的概率是 多少？
P( A) P( Bi ) P( A | Bi )
i 1 4
0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 0.315 3.15%
例1. 5. 6：我们只关心每天是否下雨，把天气
状况分为下雨和不下雨两种。若今天天气状况与 昨天天气状况相同的概率为p，第一天无雨，求 第n 天无雨的概率。
(1. 5. 4)
证明： P( A) P( A ) P[ A (
P[
n n i 1
n
Bi )]
i 1
( ABi )] P( ABi )
i 1
n
P( Bi ) P( A | Bi )
i 1
这个公式通常称作全概率公式，它是概率论 中最基本的公式之一。
例1. 5. 5：某工厂有四条流水线生产同一种
（４）当 c = 0 , d > 0 时，称为安全模型。此模 型可解释为：每当事故发生了（如红球被取出）， 安全工作就抓紧一点，下次再发生相同事故的概 率就会减少；而当事故没有发生时（如黑球被取 出），安全工作就放松一些，下次再发生事故的 概率就会增大，在这种场合，上述三个概率分别 为：
概率的乘法公式
1.5 概率的乘法公式1.5.1 条件概率【问题1】3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到奖券的概率是否比其他同学小？若抽到中奖券的概率用“Y ”表示，没有抽到的用“Y ”表示，用n A ()表示事件A 中基本事件的个数，那么所有可能抽取情况为Ω=YYY YYY YYY {,,}，用B 表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则=B YYY {}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13==Ωn B p B n ()().() 【问题2】如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为=A YYY YYY {,}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12=n B n A ()()，不妨记为P B A (|).显然,知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A 的发生，会影响事件B 发生的概率，从而导致了≠P B P B A ()(|). 【问题3】 对于上面的事件A 和B ，计算P B A (|)的一般想法是什么？既然已经知道了事件A 的必然发生，所以只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生，对于古典概型，由于组成事件A 的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为=n AB P B A n A ()(|)(). ① 为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：Ω===Ωn AB m AB n P AB P B A n A m A n P A ()()/()()(|).()()/()()因此有=P AB P B A P A ()(|).()这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义.一般地，设A ，B 为两个事件，且0>p A ()，称=P AB P B A P A ()(|)()② 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率(conditional probability). 一般地，把P B A (|)读作A 发生的条件下B 的概率。
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
条件概率和概率的乘法公式
一、全概率公式
例
一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回 地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球 的概率 A={第一次取到白球} ，且ＡＢ与 A B
解
因为 Ｂ＝ＡＢ∪ A B
互不相容，所以
P ( B ) P ( A B ) P ( A B )
P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B A )
P ( A B ) P ( B ) ( B A ) 0 . 8 所求概率为 P P ( A ) P ( A )
甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过
不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4
个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求
1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没
B 1 =“第一个是男孩”
于是得
B
1
={(男, 男) , (男 , 女) }
3 1 P B BA P A P 4 4 1 1 P B1 P B P A 1A 2 4
乘法法则
P(AB) P(A)P(B A) P(B)P(A B)
P( AB) P(B A) P( A) P( AB) P( A B) P(B)
解
设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四 等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构 成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含 有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：
4 i 1
P ( B ) P ( A P ( BA i) i)
＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05 ＝0.4825
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
概率论-条件概率与乘法公式
解：设事件 Ai “抽取的产品是 i 等品 ”， （i=1,2,3,）
则
P( A1|( A1
A2 ))
P( A1( A1 A2 )) P( A1 A2 )
P( A1) P( A1 A2 )
0.6 = 2 0.6+0.3 3
当 P(A) 时0 ， P(B A) P( AB) . P( A)
例(补) 摸球试验
设袋中装有r 只红球、t 只白球.每次自袋中 任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a 只 与所取出的那只球同色的球, 若在袋中连续取球 四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取 到白球的概率. 解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件“第 i 次取到红球”
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )P( A4 A1 A2 A3 ) r ra t ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
(1)
P( A)
80 100
0.8,
(2)
P( AB) 32 0.32, 100
(3) P(B A) P( AB) 0.32 0.4 P( A) 0.80
或P(B A) 32 0.4. 80
例15.一批产品中一、二、三等品各占 60%，3，0%，10%
抽取一件，求：发现不是三等品时，是一等品的概率？
记A=“取到正品”，B=“取到甲生产的产品”，
写出概率P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B)
解： P( A) 80 , P(B) 60 , P( AB) 50
100
100