安徽省肥西农兴中学2020届高三数学最后一卷试题 理

安徽省肥西农兴中学2020届高三数学最后一卷试题 理本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}13A x x =<<，集合{}2,B y y x x A ==-∈，则集合A B =I （ ） A ．{}13x x << B ．∅C ．{}11x x -<<D ．{}13x x -<<2．已知复数i 3i a z a +=+-(a ∈R 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第三象限B ．第四象限C ．第一象限D ．第二象限3．若1x ，2x ，L ，2018x 的平均数为3，方差为4，且()22i i y x =--，1i =，2，L ，2018，则新数据1y ，2y ，L ，2018y 的平均数和标准差分别为（ ） A ．2- 4 B ．4- 16C ．2 8D ．4- 4-4．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A ．3B ．2C 3D 25．运行如图所示程序，则输出的S 的值为（ ）A ．1442B ．1452C ．45D ．14626．已知10sin 10α=，2π0,a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 26πa ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．43+310B ．43310- C ．43310- D ．33410- 7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ． 12D ．188．函数2sin 1xy x x =++的部分图象大致为（ ）A. B. C ． D ．9．已知2OA OB ==u u u r u u u r ，点C 在线段AB 上，且OC u u u r 的最小值为1，则()OA tOB t -∈R u u u u r u u r 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．510．若抛物线24y x =的焦点是F ，准线是l ，点()4,M m 是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个11．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A ．5，2B ． 6，3C ．4，5D ．2，712．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()1e 2x f x x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]2,4B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． []2,3D ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若数列{}n a 是等差数列，对于()121n n b a a a n=+++L ，则数列{}n b 也是等差数列． 类比上述性质，若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列，对于0n d >时，数列{}n d 也是等比数列，则n d =__________．14．函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是28y x =-，则()()'22f f =__________．15．已知数列{}n a 是递增数列，且()()415,435,4n n n n a n λλ-⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，n ∈*N ，则λ的取值范围为__________．16．设锐角ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()3cos cos 2sin a B b A c C +=，1b =，则c 的取值范围为__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.(12分)已知数列的前n 项和为,且.(1)求{}的通项公式。

(2)求{}的前n 项和.18.(12分) 如图，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD ＝AP ，E 为棱PD 的中点．(1)求证：PD ⊥BE ；(2)若F 为AB 的中点，PM ―→＝λPC ―→(0＜λ＜1)，试确定λ的值，使二面角P ­F M ­B 的余弦值为－33.19．(12分)某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？20.(12分)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，O 为坐标原点．若A ，B 是以点M (0,24)为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且△ABO 为等边三角形. (1)求抛物线的标准方程。

(2)过抛物线的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，求FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值。

21.(12分)已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 3，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分） 已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ-ρsin θ，圆C 的参数方程为（为参数）(1)求直线l 的参数方程及圆C 的半径。

(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值。

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )＞0的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|3m-2|有解，求实数m 的取值范围．1．【答案】B答案与解析一、选择题【解析】()1,1B =-，所以A B =∅I ．故选B ． 2．【答案】C 【解析】由题意得()()()()()i 3i 3i i 1313i 3i 3i 1010a a a a z a a ++++-=+=+=+--+，∴()3i 1311010a a z +-=-， 又复数z 的共轭复数的虚部为12-，∴31102a +-=-，解得2a =． ∴51i 22z =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选C ． 3．【答案】A【解析】∵1x ，2x ，L ，2018x 的平均数为3，方差为4，∴()122018132018x x x +++=L ， ()()()222122018133342018x x x ⎡⎤-+-++-=⎣⎦L ． 又()2224i i i y x x =--=-+，1i =，2，L ，2018， ∴()()1220181220181124201824220182018y x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-++++⨯=-++++=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦L L ， ()()()222212201812422422422018s x x x ⎡⎤=-+++-++++-++⎣⎦L ()()()22212201814343432018x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L()()()222122018143332018x x x ⎡⎤=⨯-+-++-⎣⎦L 16=，∴新数据1y ，2y ，L ，2018y 的平均数和标准差分别为2-，4．故选D ． 4．【答案】B【解析】M Q ，N 是双曲线的两顶点，M ，O ，N 将椭圆长轴四等分， ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，Q 双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2，故答案选B ．5．【答案】B【解析】程序是计算2222sin 1sin 2sin 89sin 90S =︒+︒++︒+︒L ，记222sin 1sin 2sin 89M =︒+︒++︒L ，222cos 1cos 2cos 89M =︒+︒++︒L ，两式相加得289M =，1442M =．故21sin 90452S M =+︒=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵sin α=，2π0,a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos α=∴3sin22sin cos 25ααα===，224cos212sin 125ϕα=-=-⨯=⎝⎭．∴1413cos 2sin262525πααα⎛⎫+=-=-⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．7．【答案】C【解析】由题设中提供的三视图可以看出这是一个底面边长为2的正方形高为1的四棱柱与一个底面是边长为4的等腰直角三角形高为1的三棱柱的组合体，其体积A ． 8．【答案】A【解析】∵2OA OB ==u u u r u u u r，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∵点C 在线段AB 上，且OC u u u r 的最小值为1，∴当C 是AB 的中点时OC u u u r 最小，此时1OC =u u u r ，∴OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为60︒，∴OA u u u r ，OB u u u r的夹角为120︒．又22222OA tOB OA t OB tOA OB -=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r24422cos120t t =+-⋅⋅︒ 2424t t =++214332t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =-时等号成立．∴2OA tOB -u u u r u u u r 的最小值为3，∴OA tOB -u u u r u u u r A ． 9．【答案】D【解析】当x →+∞时，2sin 0x x →，1x +→+∞，2sin 1x y x x =++→+∞，故排除选项B ， 当π012x <<<时，2sin 10x y x x=++>，故排除A 、C 选项，所以选D ．10．【答案】D【解析】因为点()4,M m 在抛物线24y x =上，所以可求得4m =±．由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上． 又圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上， 故圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点．结合图形知对于点()4,4M 和()4,4-，线段FM 的垂直平分线与抛物线都各有两个交点．所以满足条件的圆有4个．故选D ． 11．【答案】B【解析】依题意得70606005530200x y x y x y x y +⎧⎪⎪⎪⎨≤+≥≤≥≥⎪⎪⎪⎩，目标函数为6025z x y =+，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()6,3处取得最大值，故选B ． 12．【答案】C【解析】根据题意，1α=，满足()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”，02β≤≤，又因为函数()23g x x ax a =--+图像恒过定点()1,4-，要想函数在区间[]0,2上有零点，需()2203030242g a a a a g a =-+≥⎧⎪⎨⎛⎫=--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得23a ≤≤，故选C ．13．12n n c c c L【解析】等差数列中的和类别为等比数列中的乘积，n b 是各项的算术平均数，类比等比数二、填空题列中n d 是各项的几何平均数，因此12n n n d c c c =L ． 14．【答案】12-【解析】由导数的几何意义可知()22f '=，又()22284f =⨯-=-，所以()()12f x f x =-'． 15．【答案】71,5⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由于数列为递增数列，所以()()103141535λλλλ->->-+<-+⎧⎪⎨⎪⎩，解得71,5λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．16．【答案】3,3⎛⎫⎪ ⎪⎝ 【解析】由()3cos cos 2sin a B b A c C +=及余弦定理得22222232sin 22a c b b c a a b c C ac bc ⎛⎫+-+-⋅+⋅= ⎪⎭， ∴32sin c c C =，∴3sin C =． 又ABC △为锐角三角形，∴π3C =．由正弦定理得sin sin c b C B =，∴sin 3sin b C c B ==． 由022π0π2π3B B <<<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得π6π2B <<，∴1sin 12B <<，∴333c <=<．∴c 的取值范围为3,3⎛⎫⎪ ⎪⎝．17.解：(1). .两式相减，得两边同乘以，得是以2为公差的等差数列。