第六章地球椭球与椭球计算理论

2 Qn Ne 显然有：
y N (1 e2 ) sin B
此两式指明了法线Pn在赤道两侧的长度。
2）子午平面直角坐标系同归化纬度坐标系的关系 P(x，y)，OP1=a 由图可知：x=OP2=OP1cosμ=acosμ 代入公式：x y 1
2 2
a2
b2
得：y=bsinμ
x a cos u


以下推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系
推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系 由大地坐标计算空间直角坐标：
如果P点在椭球面上：
（1）子午面直角坐标同大地坐标关系， （2）空间直角坐标同子午面直角坐标关系
代入
Z
Y X
如果P点不在椭球面上，设大地高为H，P点在椭球面上投影为P0
0 H n
第六章
地球椭球与椭球计算理论
[本章提要] 6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 6.3 几种主要的椭球公式 6.4 将地面观测值归算至椭球面 [习题]
本章提要
本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介 绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系。 同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面 观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上。 在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建 立了地球椭球的这些基本空间概念后，才能更好地 学习控制测量的内业数据处理等相关知识。
c

e
2
e 2
三、相互关系
1．e与 e′的关系
e2 a b a2
2 2
e2 1
b a2
2
a 2 b2 '2 e b2
a2 e 2 1 b
'2
e e' 1 e
2
e' e 1 e'2
2．e与α 其它关系
1
b a
e 2 2a a 2 2a
x a cos B 1 e 2 sin2 B


a cos B W
y
a(1 e 2 ) sin B 1 e 2 sin2 B
a b sin B (1 e 2 ) sin B W V
以下：推导子午平面坐标系同大地坐标系的关系
dy tan( 90 0 B ) ctgB dx
4）空间直角坐标系同大地坐标系的关系
同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的 坐标可用如下两组公式转换
X N H cos B cos L Y N H cos B sin L 2 Z N 1 e H sin B
a W b
W 1 e2V
V 1 e' 2 W
3. 地球椭球参数间的相互关系
其他元素之间的关系式如下：
2 2 c a 1 e , a c 1 e 2 2 e e 1 e , e e 1 e V W 1 e 2 , W V 1 e 2 e 2 2 2 2 a b 1 e 2 , b a 1 e 2
5、地心纬度坐标系
椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为 原点建立地心纬度坐标系。连接OP，则 POx 称为 地心纬度，而OP＝ 称为P点向径，在此坐标系中，点 的位置为： L、、
6、 归化纬度坐标系
设椭球面上P点的大地经度为L，在 此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭 球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与 辅助圆相交P1点，则OP1与x轴夹角称为P
上两式即为子午面直角坐标x，y同大地纬度B的关系式。
a(1 e2 ) sin B
令: pn=N（卯酉圈曲率半径） 由图看出： x N cos B
与前式 x
a cos B 1 e sin B2 2Fra biblioteka cos B W
相比得：
N
a W
于是有 由图看出 y PQsin B 上两式相比得： PQ N (1 e2 )
WGS-84椭球体
6378137.0000000000 (m)
a
b
6378245.0000000000(m) 6356863.0187730473(m) 6399698.9017827110(m) 1／298.3 0.006 693 421 622 966 0.006 738 525 414 683
6356755.288157528（m）
6399596.6519880105（m） 1／298.257 0.006 694 384 999 588 0.006 739 501 819 473
6356752.3142（m）
6399593.6258（m） 1/298.257 223 563 0.006 694 379 901 3 0.006 739 496 742 27
a
二、通常用a ,α表示椭球的形状和大小。
我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980 年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS) 应用的是WGS-84系椭球参数。
几种常见的椭球体参数值
克拉索夫斯基椭球体
1975年国际椭球体
6378140.000000000（m）
6.1
地球椭球的基本几何参数及其相互关系
一. 地球椭球的基本几何参数
地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。 参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地 水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在 这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究 地球形状和地图投影的参考面。 地球椭球的几何定义：O是椭球中心，ＮＳ为 旋转轴，a 为长半轴，b 为短半轴。 子午圈(经圈，或子午椭圆）：包含旋转轴的 平面与椭球面相截所得的椭圆。如NKAS 平行圈（或纬圈）：垂直于旋转轴的平 面与椭球面相截所得的圆。如QKQ’ 赤道：通过椭球中心的平行圈 。如EAE’ 地球椭球
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
6.2
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
1 .大地坐标系
p 点的子午面NPS 与起始子午面 NGS 所构成的 二面角L，叫做p 点的大地经度，由起始子午面起 算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负， Pn 叫西经（0°～180°）。P 点的法线 与赤道面 的夹角B，叫做P点的大地纬度。由赤道面起算，向 北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南 纬(0°～90°)。从地面点P沿椭球法线到椭球面的 距离叫大地高。大地坐标系是用大地经度L、大地 纬度B和大地高H表示地面点位的。如果点不在椭 球面上，表示点的位置除B,L外，还要附加另一参 数——大地高H，它同正常高及正高有如下关系
由空间直角坐标计算大地坐标
点的归化纬度，用u表示，在此归化纬
度坐标系中，P点位置用L，u 表示。
7. 各坐标系间的关系
椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用 坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。 1）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 过p 点作法线 Pn ，它与x 轴之夹角为B，过点P作子午圈的切 线TP，它与x 轴的夹角为（90°+B）。子午面直角坐标x,y 同大地 纬度B 的关系式如下：

cos B cos L X N cosb sin L 0 Y 2 (1 e ) sin B Z
cos B cos L n cos B sin L sin B
X ( N H ) cos B cos L ( N H ) cos B sin L Y 2 Z [ N (1 e ) H ] sin B
四、引用符号及其相互关系
1．引用符号
a2 c , b
t tan B,
2 e '2 cos 2 B
C几何意义：极点处的几何曲率半径。 两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数：
W 1 e 2 sin 2 B
V 1 e' 2 cos2 B
2．W与V关系
b V a
L arctan
Y X Z Ne 2 sin B B arctan X 2 Y2 Z H N 1 e 2 sin B
2 2 2 2 式中：e——子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式 e a b / a 算得。
2 2 N——法线长度，可由式 N a / 1 e sin B 算得。
H H 正常 (高程异常) H H 正 N (大地水准面差距)
2. 空间直角坐标系 地心 坐标系，原点位于总地 球椭球(或参考椭球)质心；Z 轴与地球平均自转轴相重合， 亦即指向某一时刻的平均北极 点；X轴指向平均自转轴与平 均格林尼治天文台所决定的子 午面与赤道面的交点G；Y轴 与此平面垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间 直角坐标系之分。
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆 的五个基本几何参数(或称元素): 地球椭球的五个基本几何参数： 椭圆的长半轴 椭圆的短半轴b 椭圆的扁率 a b
a2 b2 e 椭圆的第一偏心率 a 2 2 a b 椭圆的第二偏心率 e b 其中a、b 称为长度元素；扁率 反映了椭球体的扁平程度。偏 心率 e 和 e 是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比， 它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。
x2 y 2 2 1 2 a b
(1)
dy b2 x 2 dx a y
b2 x x c tgB 2 (1 e2 ) a y y (2)