2015年人教A版数学必修二导学案：2.2.1圆的的一般方程
人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计
《4.1.2圆的一般方程》教学设计一、教材分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.二、目标分析知识与技能：(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。
(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。
(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.教学重点： (1)．圆的一般方程。
(2)．待定系数法求圆的方程。
教学难点： (1)．圆的一般方程的应用。
(2)．待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方程。
三、教学内容与过程一、复习引入圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=把圆的标准方程展开，并整理得220x y Dx Ey F ++++=思考：此方程都能表示圆么？二、课堂探究观察下列各式，先将它们分别配方，然后分析它们是否表示圆？（设计意图）通过对这两个问题的探究，.一方面引导学生22(1)2410+-++=x y x y 22(2)2460+--+=x y x y回顾了旧知，另一方面，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。
人教A版数学必修二《圆的一般方程》导学案
高中数学必修2《圆的一般方程》导学案姓名：___________ 班级：___________ 组别：_____________ 组名：____________【学习目标】1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．【重点难点】重点：掌握圆的一般方程难点：难点是根据条件运用待定系数法建立圆的方程．【知识链接】1、圆的标准方程2、直线与二元一次方程0(,Ax By C A B ++=不全为零)建立了一一对应的关系，那么圆是否也有与之对应的方程呢?【学习过程】阅读课本第121页至122页的内容，尝试回答以下问题：知识点：圆的一般方程 1.以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程： ．2.将222()()x a y b r -+-=展开得 .3.形如220x y Dx Ey F ++++=的都表示圆吗？将上方程配方，得 . 不难看出，此方程与圆的标准方程的关系⑴. 当0422>-+F E D 时， .⑵. 当0422=-+F E D 时， .⑶. 当0422<-+F E D 时， . 综上所述，方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆,只有当 时，它表示的曲线才是圆,我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程 思考：圆的标准方程和一般方程各有什么特点？ 结论：圆的一般方程的特点： 、 的系数相同，没有 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定系数 、 、 ，因此只要求出来这三个系数，圆的方程就明确了.与圆的标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显.例2：求过三点(0,5),(1,2),(3,4)A B C ---的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．例3：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？分析：线段AB 的端点B 静止，A 在圆22(1)4x y ++=上运动，因此我们可以设出A 的坐标，从而得到中点M 的坐标．例4：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01米）． 分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．【基础达标】A1.方程0834222=+++++k y kx y x 表示圆的充要条件是（ ）A.4>k 或1-<kB.41<<-kC.4=k 或1-=kD.以上答案都不对 B 2.下列方程各表示什么图形？⑴. 2240x y x +-=； ⑵. 224250x y x y +--+=；⑶. 1x -=B3.已知△ABC 的顶点的坐标为A （4,3）,B(5,2)，C(1,0)，求△ABC 外接圆的方程.B4.求过点（—1，1），且圆心与已知圆22(1)46120x y x y ++--=相同的圆的方程C5.等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【小结】【当堂检测】A1.圆22680x y y ++-=的圆心为 ，半径为 .A2.若圆221014x y mx y ++-==-与直线相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为 .B3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程．【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。
人教A版必修二 圆的一般方程 学案
圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点；2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点 圆的一般方程思考1 方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0分别表示什么图形？ 答案 对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0配方得：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝－1不表示任何图形． 思考2 对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆？ 答案 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4，当D 2＋E 2－4F >0时，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆.类型一 圆的一般方程的概念例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 解 由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0， 解得m <15.圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m .反思与感悟 形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义，令D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆，(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1 (1)若方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________；(2)点M 、N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M 、N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积为________．答案 (1)(－a 2，a2)，2|a |2 (2)9π解 (1)方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)可化为(x ＋a 2)2＋(y －a 2)2＝a 22，圆心坐标为(－a 2，a2)，半径为2|a |2.(2)圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标是(－k2，－1)，由圆的性质知直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0得k ＝4，圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，∴该圆的面积为9π. 类型二 求圆的一般方程例2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)． (1)求△ABC 的外接圆的方程；(2)若点M (a,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值．解 (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎨⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋－12＋3D －E ＋F ＝0.解得⎩⎨⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6. 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时，(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪训练2 求经过点A (－2，－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2－a2＋－4－b2＝r 2，8－a2＋6－b 2＝r 2，b －6a －8×－13＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝112，b ＝－32，r ＝5102.∴圆的方程为(x －112)2＋(y ＋32)2＝1252.类型三 与圆有关的轨迹方程例3 已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上运动，求线段OP 的中点M 的轨迹方程．解 设点M (x ，y )，点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x02，y ＝y2，∴⎩⎨⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .∵点P (x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上，∴x 20＋y 20－8x 0－6y 0＋21＝0.∴(2x )2＋(2y )2－8×(2x )－6×(2y )＋21＝0. 即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x －3y ＋214＝0.反思与感悟 用代入法求轨迹方程的一般步骤跟踪训练3 已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝9，求经过点A (1,2)的圆的弦的中点P 的轨迹． 解 设动点P 的坐标为(x ，y )，当AP 斜率不存在时，中点P 的坐标为(1,0)．当AP 的斜率存在时，设过点A 的弦为MN ，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．∵M ，N 在圆O 上，∴⎩⎨⎧x 21＋y 21＝9， ①x 22＋y 22＝9， ② ①－②，得(x 1＋x 2)＋y 1－y 2x 1－x 2(y 1＋y 2)＝0(x 1≠x 2)． 又∵点P 为中点，∴x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.又∵M ，N ，A ，P 四点共线，∴y 1－y 2x 1－x 2＝y －2x －1(x ≠1)． ∴2x ＋y －2x －1·2y ＝0，∴中点P 的轨迹方程是x 2＋y 2－x －2y ＝0， 经检验，点(1,0)适合上式．综上所述，点P 的轨迹是以(12，1)为圆心，以52为半径的圆.1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为( ) A ．(1,2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)答案 B解析 将圆的方程化为标准方程：(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，可知其圆心坐标是(1，－2)． 2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 3．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤12答案 B解析 由D 2＋E 2－4F ＞0，得(－1)2＋12－4m ＞0， 即m ＜12.4．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．解 圆心C (－D 2，－E2)，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上， 所以－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎨⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，所以－D2<0即D >0，所以⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.5.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹．解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x2，3＝y 0＋y2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y20＝4，②把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以，点B的轨迹是以(9,6)为圆心，半径长为2的圆．1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．2．待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.3．求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．(2)列出点M满足条件的集合．(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.(4)将上述方程化简．(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B.22C ．1 D. 2 答案 D解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2.2．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a >1C ．－2<a <23D ．－2<a <0答案 A解析 因为当a 2＋4a 2－4(54a 2＋a －1)>0时方程表示圆，故－a ＋1>0，解得a <1.3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b ) 答案 D解析 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎨⎧ x ＋a ＝0，y ＋b ＝0.即⎩⎨⎧ x ＝－a ，y ＝－b .∴表示点(－a ，－b )．4．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F 答案 A解析 由D 2＋E 2－4F >0知，方程表示的曲线是圆，其圆心(－D 2，－E 2)在直线y ＝x 上，故D ＝E . 5．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43答案 B解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，①由点A (1,0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为 y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，② 联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 3， 其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 32＝213.故选B. 6．若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0)B ．x 2＋y 2＝25C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25答案 C解析 线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足x －22＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．7．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心为(a,0)，a >0，∴d ＝|3a ＋4|5＝2， ∴a ＝2，∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，可化为x 2＋y 2－4x ＝0.二、填空题8．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 答案 3解析 圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为(－－22，－－42)，即(1,2)， 故圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 9．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 答案 (0，－1)解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2. 当k ＝0时，r 最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．10．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.若点P 的轨迹为曲线C ，则此曲线的方程为________．答案 (x －5)2＋y 2＝16解析 设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．11．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析 由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4， 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.三、解答题12．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程． 解 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎨⎧4D －2E ＋F ＝－20， ②D －3E －F ＝10， ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根．∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组， 得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，或⎩⎨⎧ D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.方法二 求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.①∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a －1)，又圆C 的半径r ＝|CP |＝a －42＋a ＋12 .②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |. r 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4322，代入②并将两端平方， 得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5.∴r 1＝13，r 2＝37.故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.13．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象解得－17<t <1. (2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝ －7t －372＋167， ∴当t ＝37∈(－17，1)时，r max ＝477，此时圆的面积最大， 所对应的圆的方程是(x －247)2＋(y ＋1349)2＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。
高中数学必修二圆的一般方程公开课教案课件教案课件
圆的一般方程三维目标：知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞教 具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程：课题引入：问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得 022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得 44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ (1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）; （3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆王新敞只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞()2214x y ++= 我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
高中数学人教A版必修二学案圆的一般方程
A．截两坐标轴所得弦的长度相等；B．与两坐标轴都相切；C．与两坐标轴相离；D．上述情况都有可能。
6．如果直线 l 将圆 x2 y2 2x 4y 0 平分且不经过第四象限，那么l 的斜率的取）值
范围是：（
A．
[0,
1 2
]
B． [0,2]
C． [0,1]
D．
[0,
1] 2
7． 圆 x2 y2 4x 2 y F 0 与 y 轴 交 于 A ． B 两 点 ， 圆 心 为 C， 若 ACB 2 ， 则 F 的 值 等 于 ： （）
5
6
A． 2 2 B． 2 C．2 D． 3
10.曲线 x2+y2+2 2 x－2 2 y=0 关于（ ）
A.直线 x= 2 轴对称
B.直线 y=－x 轴对称
C.点（－2， 2 ）中心对 D.点（－ 2 ，0）中心对称 11．对于任意实数 k ，方程 x2 y2 2kx k 2 y
2k 0 所表示的曲线恒过定点（ ）
A. x y 0 B. x y 0 C. x2 y2 0 D. x2 y2 0
4．若 x2 y2 (1 )x 2 y
0 表示圆，则 的取值范围是：（ ）
A． 0 B． 1 5
1 C． 1 或 1 D． R 5
5．在方程 x2 y2 Dx Ey F 0 中，若
D2 E2 4F ，则圆的位置满足：（ ）
编制：邓太文
4.1.2 圆的一般方程
编制时间：11月 21日
使用班级：高二（5、6）班
编号：34
【学习目标】1.掌握圆的一般方程的满足的条件 2.会根据已知条件求圆的一般方程；3.能准确判断点与圆的
位置关系
【新课探究】
高中数学必修二圆的一般方程2公开课教案课件教案课件
圆的一般方程教学要求：使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点教学过程：一、复习准备：1. 提问：圆的标准方程？2.对方程222410x y x y +-++=配方，化为圆标准方程形式. 则圆心、半径？ 二、讲授新课：1．圆的一般方程的定义（1）分析方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹 1)当2240D E F +->时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径的圆。
2)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-。
它表示一个点(,)22D E -- 3)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（2）给出圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。
（3）思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？2．圆的一般方程的运用求过三点O(0,0),12(1,1),(4,2)M M 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
（小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：1.根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；2.根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；3.解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程．）求圆心在直线 l ：0x y +=上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2：22210240x y x y +-+-=的交点的圆的方程．3. 小结：一般方程；化标准方程；配方法；待定系数法.三.巩固练习：1．134P 练习 1 32. 求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．已知一曲线是与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线3．作业：134p 习题4.1 第4题活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
2.2.1圆的的一般方程(2014年人教A版数学必修二导学案)
．
6．过点 M (1 ， 1) 且与已知圆 C ： x y 2x 4 y 3 0 的圆心相同的圆的方程 是 ． 2 2 7．若圆 x y 2 x 2by b 2 0 关于直线 x y 0 对称，则 b ． 8．过三 O(0， 0) ， M (1， 1) ， N (4， 2) 的圆的方程是 ．
姓名：
学号：
第
学习小组
F 0 ( D 2 E 2 4F 0) 所表示的曲线关于直
） D． D E F
A． D E B． D F C． E F 3．求经过点 A(4， 1) ， B(6， 3) ， C (3， 0) 的圆的方程．
【课后巩固】
1．圆 x 2 y 2 4x 6 y 3 0 的圆心坐标和半径分别为 2．若方程 x 2 y 2 2x 4my 5m 0 表示的图形是圆，则 m 的取值范围是 3．圆 x 2 y 2 2 x 4 y 12 0 的圆心坐标和半径分别为
2．若方程 x 2 y 2 Dx Ey
F 0 表示圆的一般方程，有什么要求？
【课堂研讨】 例 1、已知 ABC 的顶点坐标 A(4， 3) ， B(5， 2) ，C (1 ， 0) ，求 ABC 外接圆的方程．
变式训练 ：已知 ABC 的顶点坐标 A(1 ， 1) 、 B(3， 1) 、 C (3， 3) ，求 ABC 外接圆的 方程．
2 2 2 2
． ．
．
4． 若圆 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0) 的圆心在直线 x y 0 上， 则 D 、 E 、 F 的关系有 ． 5．已知圆 x 2 y 2 4 x 4 0 的圆心是 P ， O 是坐标原点，则 PO
人教A版高中数学必修二导学案圆的一般方程
4.1.2圆的一般方程一、学习目标:知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度与价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生勇于创新，勇于探索。
二、学习重点、难点：学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定 方程中的系数D 、E 、F ．学习难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.三、学法指导及要求:1、认真研读教材121---123页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.3、A:自主学习；B:合作探究；C ：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B 类题.平行班的A 级学生完成80％以上B 完成70％～80％C 力争完成60％以上.四、知识链接：圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= 圆心(,)a b ;半径：r.五、学习过程：问题的导入：问题1: 方程x 2+y 2-2x+4y+1=0表示什么图形？方程x 2+y 2-2x-4y+6=0表示什么图形？问题2：方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？问题3：什么是圆的一般方程？问题4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？典型例题:例1：求过三点O(0,0)M 1(1,1)M 2(4,2)的圆的方程例2：已知：线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在（x+1)2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
高一数学必修2《圆的标准方程》导学案设计
圆的标准方程学习目标：（1） 掌握确定圆的几何要素；（2） 掌握圆的标准方程的推导步骤；（3） 掌握圆的标准方程，能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径；（4） 会判断点与圆的位置关系；（5） 会根据不同条件求圆的标准方程，掌握圆的标准方程的求解方法。
一、导入与探究 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。
”数学上经常用代数方法———____________来研究几何问题。
1.在平面直角坐标系中，________确定一条直线,_________和____________也可确定一条直线.2.圆的定义：________________________________________________________________________;由此知，在平面直角坐标系中，由_____________和_____________确定一个圆.3.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x M 为这个圆上任意一点，则由圆的定义知 ___________________________________代数式为___________________________________化简得 ___________________________________若点),(y x M 在圆上，显然点),(y x M 的坐标适合上述方程；反之，点),(y x M 的坐标适合上述方程，则说明点),(y x M 到圆心(,)C a b 的距离等于____，即点M 在以C 为圆心的圆上。
4.圆心为点(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：_________________________________5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的标准方程是： 圆心在坐标原点、半径为1的圆的标准方程是：二、巩固练习1.写出下列各圆的标准方程：（1） 圆心在C(-3，4)，半径等于5；（2） 圆心在点C(8，-5)，且经过点M(5,1)；（3） 已知A(2,5)，B(0，-1)，线段AB 为圆的直径。
人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计
人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计教学目标：1.理解圆的一般方程的含义和作用；2.掌握圆的一般方程的推导方法和求解过程；3.能够运用圆的一般方程解决相关问题。
教学内容：1.圆的一般方程的概念和含义；2.圆的一般方程的推导过程；3.圆的一般方程的性质和应用。
教学重点：1.圆的一般方程的推导过程；2.圆的一般方程的性质和应用。
教学难点：1.理解圆的一般方程的含义和作用；2.运用圆的一般方程解决问题。
教学准备：教师：教学设计、教学工具（投影仪、黑板、白板、笔、书籍等）。
学生：教材、笔记本。
教学过程：Step 1：引入（10分钟）教师可通过提问和讲解的方式引入圆的一般方程的概念和作用，引发学生的学习兴趣和思考。
例如：教师：同学们，我们之前学习了圆的标准方程，你们还记得吗？学生回答。
教师：非常好！圆的标准方程可以方便我们求解圆心和半径。
那今天我们要学习的圆的一般方程有什么作用呢？你们有什么想法？Step 2：讲解（20分钟）教师通过讲解的方式介绍圆的一般方程的定义和推导过程，引导学生理解圆的一般方程的含义和作用。
例如：教师：同学们，圆的一般方程是什么样的呢？我们先来看一下。
在平面直角坐标系中，设圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，则圆的一般方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
接下来我们来推导一下这个方程。
（教师通过黑板和投影仪，详细讲解圆的一般方程的推导过程和含义）Step 3：示例与练习（30分钟）教师通过示例和练习的方式巩固学生对圆的一般方程的理解和掌握，促进学生自主学习和思考。
例如：示例1：已知圆心为(-2,3)，半径为5，求圆的一般方程。
练习1：已知圆的一般方程为：(x+4)²+(y-2)²=9，求圆的圆心和半径。
练习2：已知圆的一般方程为：x²+y²+4x-6y+9=0，求圆的圆心和半径。
（教师鼓励学生独立解题，可以在黑板上逐步解题，帮助学生理解和掌握解题方法）Step 4：思考与讨论（20分钟）教师与学生进行互动，让学生思考和讨论圆的一般方程的性质和应用，引发学生的思维和创新能力。
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4．若圆 的圆心在直线 上，则 、 、 的关系有．
5．已知圆 的圆心是 ， 是坐标原点，则 ．
6．过点 且与已知圆 ： 的圆心相同的圆的方程是．
7．若圆 关于直线 对称，则 ．
8．过三 ， ， 的圆的方程是．
9．求过三点 ， ， 的圆的方程．
10．求圆 关于直线 对称的圆的方程．
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．下列方程各表示什么图形？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
2．如果方程 所表示的曲线关于直
线 对称，那么必有（ ）
A． B． C． D．
3．求经过点 ， ， 的圆半径分别为．
2．若方程 表示的图形是圆，则 的取值范围是．
变式训练：已知 的顶点坐标 、 、 ，求 外接圆的方程．
例2、某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度 ，拱高 ，每隔
需要一个支柱支撑，求支柱 的长（精确到 ）．
例3、已知方程 表示一个圆，求 的取值范围．
变式训练：若方程 表示一个圆，且该圆的圆心
位于第一象限，求实数 的取值范围．
【学后反思】
课题：2.2.1圆的一般方程检测案
课题：2.2.1圆的的一般方程导学案
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、掌握圆的一般方程，
2、会判断二元二次方程 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．
3、会用代定系数法求圆的一般方程
【课前预习】
问题1．已知一个圆的圆心坐标为 ，半径为 ，求圆的标准方程．
11．已知点 与两个顶点 ， 的距离之比为 ，那么点 的坐标满足什么关系？画出满足条件的点 所形成的曲线．
问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？
如 的顶点坐标 ， ， ，求 外接圆方程．
这道题怎样求？有几种方法？
问题3．要求问题2也就意味着圆的方程还有其它形式？
1．圆的一般方程的推导过程．
2．若方程 表示圆的一般方程，有什么要求？
【课堂研讨】
例1、已知 的顶点坐标 ， ， ，求 外接圆的方程．