菱形的性质及其判定
菱形的判定
复习与引入
菱形的定义： 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 邻边相等的平行四边形叫做菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质： 菱形的性质：
菱 形 的 性 质 菱形的两组对 菱形的 对 菱形的两条对 菱形的两条对 条对 相平分 相 平分 组对 . 分别相等 边 菱形的两组对边分别平行 菱形的四条边相等
四边相等的四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
应用与提高
如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点， 如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到 ABCD各边的中点 四边形EFGH 求证:四边形EFGH是菱形. EFGH， EFGH是菱形 四边形EFGH，求证:四边形EFGH是菱形.
证明：连接BD、AC. ∵在矩形ABCD中, ∴ AC=BD, 又 E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点,
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
应用与提高
如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点 的对角线AC 相交于点O 例3 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形 是菱形. AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形.
想一想
如果一个四边形是一个平行四边形， 如果一个四边形是一个平行四边形， 则只要再有什么条件就可以判定它是 一个菱形？依据是什么？ 一个菱形？依据是什么？
根据菱形的定义可知： 根据菱形的定义可知： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. 一组邻边相等的条件即可 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. A
∴ ∴
菱形的性质和判定
要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。
难点是菱形性质的灵活应用。
由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。
重、难点知识点睛中考要求板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．图1HO DC BAE F DBC A例题精讲【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为DB3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．EDCB A6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．课后练习FEDCB A7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
菱形的性质与判定
B
D C
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°，点E、F同时由A、 C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止）， 点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三 角形，t的值为（ ）．
A. 1
B.
1 3
C.
1 2
D.
4 3
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°， ∠ EDF=60°，求EF的最小值。
➢将军饮马问题
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E为AD中点， P为对角线BD上一动点，连接PA和PE，求PA+PE的最小值。
A
D
B
C
E
➢等面积法
如图，已知菱形ABCD中的对角线AC、BD的长分别为
6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（
）．
A. 5 3cm
B. 2 5 cm
C.
48 5
cm
D.
24 5
cm
把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形， 将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正 方形，则图1中菱形的面积为________．
三、判定
思路一：平四→①边：邻边相等 ②线：对角线垂直
思路二：四边形→平四→菱形
思路三：四边形→菱形 ➢边：四条边都相等
➢线：对角线互相垂直平分
A B
D C
补充：中点四边形
对角线相等→菱形
对角线满足什么条件？→矩形、正方形
A
菱形的性质和判定
菱形的性质和判定
（一）导学内容
1.菱形的性质
（1）四条边都相等,
（2）对角线互相垂直平分且平分一组对角.
2、菱形是轴对称图形，其中对称轴有两条，分别是两条对角线。
.用心解决下面三个问题：（口述理由）
（1）已知，如图四边形ABCD是平行四边形，
且ＡＢ＝ＢＣ，则这个平行四边形是菱形。
（2）已知，在平行四边形ABCD中，AC BD
，
问四边形ABCD D
（3）已知，在四边形ABCD
问四边形ABCD
（1）一组临边相等的平行四边形是菱形。
（2）四条边都相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直平分且平分一组对角的平行四边形是菱形。
菱形性质和判定
菱形性质和判定
菱形是一种多边形，其特征是其连线两两相交，四个顶点均有四条边，形状非常规整，因而极受欢迎。
菱形性质及其判定是用于识别多边形类型的最常用工具，在几何中也有很
多应用。
菱形的特征有：
1．四边形。
菱形是四边形，具有四条边，每条边两两之间都相交。
2．正方形。
每条边都是相等的，也就是说四条边的长度都是相等的，也就是菱形是
正方形的一种。
3．对称。
由于菱形是正方形，所以它具有对称特性，即对称轴对称，对称中心对称。
4．角相等。
四条边不仅长度相等，而且角度也是一样的，都是90°。
因此，通过菱形的特征来判定它是菱形，只需满足以上四个条件即可完成菱形判定：
2．正方形：检查每个边的长度，如果都是相等的，即为正方形。
3．对称：检查菱形是否具有对称特性，垂直方向上两条边完全相等，水平方向上也
完全相等。
综上所述，菱形性质主要是指具有以上四类属性：四边形、正方形、对称性和角相等，如果多边形满足这四个条件，则可以判定其是菱形。
菱形的判定与性质
菱形的判定与性质知识准备：一.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
二菱形的性质：1、边的性质： ；2、角的性质： ；3、对角线的性质：；三.菱形的判定：1、 ；2、 ；3、 ；4、 。
四..菱形的面积1.菱形的面积=底×高2菱形的面积=两条对角线乘积的一半ODCBA类别性质判定对称性平行四边形①两组对边分别平行②两组对边分别相等③两组对角分别相等邻角互补④两条对角线互相平分①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（平行四边形的定义）②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
中心对称一．选择题1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A ．M （5，0），N （8，4） B ．M （4，0），N （8，4） C ．M （5，0），N （7，4） D ．M （4，0），N （7，4）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A ．2B ．C ．1D ．3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ） A ．3：1 B ．4：1 C ．5：1 D ．6：1 4．如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（ ）A ．15B ．C ．7.5D ．二．填空题5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm ，3cm ，则它的面积是 _________ cm 2．6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点0到边AB 的距离OH= _________ ．7．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 cm 2．矩形中心对称轴对称菱形中心对称轴对称8．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=13，AC=10，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的周长为 _________ ．9.顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，求证:四边形EFGH 是菱形。
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乐恩特教育个性化教学辅导教案校区：百花①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．讲授新课1 、叫菱形2、菱形的性质1）边2）角3）对角线4）对称性1、探究菱形的面积计算方法：练一练：1、菱形的周长为 12 cm ，相邻两角之比为 5 ∶1,那么菱形对边间的距离是（）A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm2.在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E ，AF⊥CD 于点 F ，且E 、F 分别为 BC 、CD 的中点，则∠ EAF精讲精练例 1、如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，且 AC =16 cm ，BD =12 cm ，求菱形 ABCD 的高 DH .变式：菱形 ABCD 的周长为 20 cm ，两条对角线的比为 3∶4，求菱形的面积C.45°D.30菱形的边长是 2 cm ，一条对角线的长是 2 3 cm, 则另一条对角线的长是（A.4 cmB. 3 cmC.2 cmD.2 3 cm3、例2：（09 贵阳）如图，在菱形ABCD 中，P是AB 上的一个动点（不与A、B重合），连接DP 交对角线AC 于E，连接EB。
（1 ）求证：APD EBC ;（2）若DAB 60 ,试问：P 1点运动到什么位置时，VADP 的面积等于菱形ABCD 面积的？为什么？4例3：如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E在BC上，BE=2a ，BAD 120 ,P点在BD 上，求PE+PC 的最小值。
三、用中学习1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等12. _____________________________________________________________________________________ 菱形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O 点，若∠OBC= ∠BAC，则菱形的四个内角的度数为 ____________________23、.若菱形的两条对角线的比为3 ∶4 ，且周长为20 cm, 则它的一组对边的距离等于 _______________ cm,它的面积等于 _________ cm2.4.菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（）A.168 cm 2B.336 cm 2C.672 cm 2D.84 cm 25.菱形的周长为16 ，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）A.4 3B.8 3C.10 3D.12 36. 下列语句中，错误的是（）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到7. 菱形的面积为8 3平方厘米，两条对角线的比为1∶3 ,那么菱形的边长为___________8、如图，将两张长为8 ，宽为2 的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，则菱形周长的最9 、如图，在菱形ABCD 中，A 110 ，E、F分别是边AB和BC的中点，EP CD 于点P，求FPC 的度数。
1、根据菱形的定义，你怎样判定一个四边形是菱形？探究二】菱形的判定方法1、若一个四边形的四边相等，你能判定它为菱形吗？说说你的理由。
2、归纳：3、用几何语言叙述：【探究三】菱形的判定方法三：1、如图，在Y ABCD中，AC BD 于O ，则四边形ABCD 为菱形吗？请证明。
2、归纳：3、用几何语言叙述：2007 山东青岛）将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点1 ）求证：△ ABE ≌△AD ′F ；2 ）连接 CF ，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论例 3：变式 .□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E 、F ，四边形 AFCE 是否是菱形？为什么？D 落到 D ′处，折痕为 EF ．D三、用中学习1 、若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为 a 时，如图，其他三边长为_______________ ；2、E、F、G、H 分别是矩形ABCD 四边AB、BC、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 是菱形。
3、如图，VABC中，AB=AC ，AD 是A的平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 且交AD 于F，连接BF、CE。
求证：四边形BECF 是菱形。
4、（2009 齐齐哈尔）如图，边长为1 的菱形ABCD 中，DAB 60°．连结对角线AC ，以 AC 为边作第二个菱形 ACC 1D 1 ，使 D 1AC 60°；连结 AC 1，再以 AC 1 为边作第三个 菱形AC 1C 2D 2 ，使 D 2AC 1 60°；⋯⋯，按此规律所作的第 n 个菱形的边长为 ________________________ ．_归纳小结课后作业1 下列四边形中不一定为菱形的是（ ）C 2D 2D 1DABC 1CA．对角线相等的平行四边形C．对角线互相垂直的平行四边形2 下列命题中错．误．的是（）B．每条对角线平分一组对角的四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形Ａ．平行四边形的对边相等Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形Ｃ．矩形的对角线相等形3 如图，下列条件之一能使平行四边形Ｄ．对角线相等的四边形是矩ABCD 是菱形的为（）① AC BD ② BAD 90o③ AB BC ④ AC BD A．①③B．②③C．③④ D ．①②③4 菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60A ．8cm 和 4 3 cm B．4cm 和8 3 cm5 如图，菱形ABCD 中，∠B＝60 °，AB＝2，E、F分别是BC、CD 的中点，连接AE、EF、AF ，则△AEF 的周长为（）A ．2 3 B．3 3C．4 3 D ．3 ，则两条对角线的长分别是（）C ．8cm 和8 3 cmD ．4cm 和43 cm6 如上图，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成．立．．的是（）A. DA DEB. BD CEC. EAC 90 °D.ABC 2 E7 如上图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，E 为AB 的中点，且OE a，9菱形 ABCD 中， AE 垂直平分 BC ，垂足为 E ， AB 4cm ．那么，菱形 ABCD 的面积 是 ，对角线 BD 的长是 ．210 已知菱形 ABCD 的面积是 12cm 2，对角线 AC 4cm ，则菱形的边长是cm11 如图，矩形 ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD ，BC12 如图，矩形 ABCD 的两条线段交于点 O ，过点 O 作AC 的垂线 EF,分别交 AD 、BC 于点 E 、F ， 连接CE,已知 CDE的周长为 24cm ，则矩形 ABCD 的周长是 cm13 如图所示，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由 A 点开始按 ABCDEFCGA 的顺则菱形 ABCD 的周长为（)A ．16aB ．12aC ．8aD ． 4a8 如图，菱形 ABCD 的边长为 2 ， ABC 45o ，则点 D 的坐标为 y于点 E 、F ，连接 CE ，则 CE 的长 ______序沿菱形的边循环运动，行走2008 厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．14 如图，菱形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AB 5cm，AO 4cm ，则BD cm ．15 如图所示，已知□ ABCD ，AC ，BD 相交于点O ，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为_______________ ．（只写出符合要求的一个即可）16 如图2 所示，D，E，F分别是△ABC 的边BC，CA ，AB 上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是 _________________ ．（只写出符合要求的一个即可）17 菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD ：?∠ABC=?1 ：?2，?则BD=? ____ ，?菱形的面积是 ______ ．18 在菱形ABCD 中，AB=4 ，AB 边上的高DE 垂直平分边AB，则BD= ____________ ，AC= _____ ．19 请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）20 如图所示，在四边形ABCD 中，ABAB=CD=BC ，四边形ABCD 是菱形吗？21 如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E，DF ⊥ BC，交BC 的延长线于F。
请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想22已知：如图， AD 平分∠BAC ， DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交 AC 于 F ．求证：四边形 AEDF 是菱形．23 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ，PD ∥AC ，PC ∥BD ，PD ，PC 相交于点 P ，四边 形 PCOD 是菱形吗？试说明理由．24 已知：如图所示，菱形 ABCD 中， E ，F 分别是 CB ，CD 上的点，且 BE=DF ． 1 ）试说明： AE=AF ；2 ）若∠B=60 °，点E ，F 分别为 BC 和CD 的中点，试说明：△ AEF 为等边三角25 如图，矩形 ABCD 中，O 是 AC 与BD 的交点， 过O 点的直线 EF 与 AB ，CD 的延长线分别交于 E ，F ．形． A28 如图，在△ ABC 中，∠BAC=90 °，AD ⊥BC 于D ，CE1）求证： △BOE ≌△ DOF ；2）当 EF 与 AC 满足什么关系时，以 A ，E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．26 如图，四边形 ABCD 中， AB∥CD ， AC 平分 BAD ， CE ∥ AD 交 AB 于E ． 1 ）求证：四边形 AECD 是菱形；2）若点 E 是 AB 的中点，试判断 △ ABC 的形状，并说明理由．27 如图 8，在Y ABCD 中， E ，F 分别为边 AB ，CD 的中点，连接 DE ，BF ，BD ．1）求证： △ADE ≌△CBF ．（5 分）2）若 AD BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．5 分）DCFD。