第3章 动量与角动量12

动量和力是矢量，使用动量定理可沿坐标轴分解用分量计算。
t1
质点所受合外力的冲 量在某一方向上的分量等 于质点动量在该方向上分 量的增量。
四、质点的动量定理的应用
例 1:质量为 m 的物体,原来向北运动,速率为vo,它突然受到外力的打击, 变为向东运动，速率为 3vo。求打击过程外力的冲量大小和方向。
第3章 动量与角动量
（momentum and angular momentum）
§3.1 冲量与动量定律
一、冲量 I : 描述力的时间累积作用的物理量。
1.定义:
t2 I Fdt
t1
单位:N•∙s
分量式：
注意：冲量是过程矢量，称为一段时 间 的冲量。其方向和大小取决于力的 大小和方向及其作用时间。
Fn
t n
t0
n n ( Fi ) d t mi vi mi vi 0
i 1
i 1
i 1
P
系统所合外力的冲量等于该系统动量的增量 -------质点系动量定理。
§3.2 动量守恒定律
一、质点动量守恒定律:

t2
t1
Fdt P
当
F 0时
y
0
m
0
M x
V
问题延伸： 1.沙箱刚摆动时悬线受到 的拉力有多大？ 2.子弹射入沙箱过程中受 到的冲量有多大？
m 解得： V v0 mM
运用动量守恒定理解题步骤：
1. 选系统，确定研究对象，建立坐标系；
2. 找出研究过程，分析系统受力；
3. 合外力为零时，可用动量守恒定理列方程求解。（一般 在给定坐标系下用分量形式列方程。） 4.若合外力不为零，但某个方向上合外力为零，可运用该 方向上动量守恒列方程求解。 注意 列方程时各物理量均用字母表示，不要代数值， 所有表示未知量的字母前都取“正号”，当最终 解得结果大于0时，说明它的方向与选定的坐标轴 正方向相同，否则相反。
n i 1 t
t0
i 1
i 1
系统所合外力的冲量等于该系统动量的增量 内力不改变系统的总动量
5.质点系动量守恒定律:
当 Fi 0 时
n i 1
n mi v i mi v i 0 i 1 i 1
n
在某一过程中,当质点系所受合外力为零时,质点系动量守恒。 分量形式： 当 Fx 0 时 当 Fy 0 时 当 Fz 0 时
m v m v m v m v m v m v
i ix i iy i iz
i ix0
i iy0
i iz0
当系统在某一方向上 受合外力为零时，系统动量在该方向的 分量守恒。
注意:
t0
n n ( Fi ) d t mi vi mi vi 0
n i 1
例3: 质量为 M 的木块在光滑的固定斜面上由 A 点静止下滑， 经路程 l 后到 B 点时，木块被一水平射来速度为 v 的子弹 m xA 击中，子弹射入木块中，求:射中后二者的共同速度。 y 分析：分为两个阶段： v vB B 第一阶段：A 到 B，机械能守恒 第二阶段：M，m 碰撞阶段，取木块与子弹组 成的系统为研究对象，内力 >> 外力，可用动 量守恒定律求近似解。
F Q (v 2 gh)
2 2
方向：设与x轴 成角
2 gh tg v
五、质点系动量定理
研究对象:
f21
系统-------多个质点构成的整体。
F2
外力:
fi2 Fi
Fi
内力:
f ij
F1
m1
f12 f1定理对各个
物体列方程，然后各式相
加整理得：
2.性质：动量是瞬时矢量,并且具有相对性。 三、质点动量定理 1.微分形式： 2.积分形式：
Fdt dP
对上式作积分，即 ——质点动量定理
t2 t2 I Fdt dP P2 P1 t
1
t1
意义:
质点所受合外力的冲量，等于质点动量的增量。
注意
t2 t2 I Fdt dP P2 P1 t
1
t1
（1）动量为状态量，冲量为过程量。 （2）冲量仅决定于始末运动状态的变化，与中间过程无关。
（3）注意矢量式，分量式为：

t2
t1 t2
Fx dt mv 2 x mv 1 x F y dt mv 2 y mv 1 y Fz dt mv 2 z mv 1 z
t1 t2
例1: 质量为 M，仰角为 α 的炮车发射了一枚质量为 m 的炮 弹，炮弹发射时相对炮身的速率为 u ，不计摩擦， 求： 炮弹出口时炮车的速率 v1； u y 炮车和炮弹 解: 系统: L N 参考系: 地面，建立直角坐标系如图 mg 系统所受外力分析： O x N ，Mg，mg 都沿竖直方向， Mg 水平方向合外力为零，系统总 动量 x 分量守恒。 由相对速度的概念可得
上节课复习
1.冲量：
t2 I Fdt
t1
2.动量:
P mv
3.质点动量定理

t2
t1
Fdt mv2 mv1
质点所受合外力的冲量，等于质点动量的增量。 4.质点系动量定理
n n ( Fi ) d t mi vi mi vi 0
45o x
v1
解: (1)取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡 板对球的冲力为 F 则有： 取坐标系，列分量方程，有：
I F dt mv 2 mv 1
I x Fx dt mv 2 cos 30 ( mv 1 cos 45 )
I y Fy dt mv 2 sin 30 mv 1 sin 45
t
i 1
i 1
1. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系，各速度应是相 对同一惯性参考系。动量和力是矢量，可沿坐标轴分解用分 量计算。 2.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管总 动量可能并不守恒。 3.实际问题中,当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞）可 认为动量近似守恒。 4.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在宏观和微观 领域均适用。 5. 用守恒定律做题，应注意选择系统，分析过程和条件。
解: 方法一： (1) 取m为研究对象，建立坐标系如图。
(2)分析动量变化： p1 mv1 mv o j p2 mv2 3mvoi
外力的冲量为： I p2 p1
大小：
Iy Ix
Y
o
p mv1 mv2
X
(3)根据动量定理建方程 （一般碰撞、打击问题可忽略重力的冲量）
6.54
v1
为I与 x 方向的夹角:
tan Iy Ix 0.1148
m=2.5g=2.5×10 –3kg
v1=10m/s ,v2=20m/s
(2) I F dt F t x x x t 0.01s
I y Fy dt Fy t
Fx 6.1( N) Fy 0.7( N)

1 3
30o
应用动量定理解题的一般步骤：
1.确定研究对象，动量变化的过程
2.分析对象受力
3.选参照系建坐标系 4.计算过程中合外力的冲量及始末态的动量; 5.由动量定理列方程求解 动量定理一般用于研究冲击问题。因为冲力很难测量,但 是碰撞前后的动量极易测量,故可由动量增量求冲量,并估计 平均冲力。
i 1 i 1
n
n
即
Pi c
n i 1
在某一过程中,当质点系所受合外力为零时,质点系动量守恒。
三、直角坐标系下的动量守恒定律: 当 当 当
Fx 0, Px 常量
即
Fy 0, Py 常量
Fz 0 , Pz 常量
即 即
m v m v m v m v
例：质量 M 的沙箱，悬挂在线的下端，质量 m，速率v0 的 子弹水平地射入沙箱，并停留在沙箱中。试求子弹刚停在 沙箱内时沙箱的速度。
解： ① 选子弹与沙箱做为一个系统， 建坐标系如图； ② 分析子弹与沙箱碰撞过程， ③ 分析受力：系统水平方向受 外力为0，水平方向动量守恒。
④ 建方程有：
m 0 ( m M )V
i ix i i iy i
ix 0
iy 0
m v m v
i iz i
iz 0
当系统在某一方向上 受合外力为零时,系统动量在该方向的 分量守恒。
注意: 1. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系，各速度应是相 对同一惯性参考系。动量和力是矢量，可沿坐标轴分解用分 量计算。
2.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管总 动量可能并不守恒。 3.实际问题中,当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞）可 认为动量近似守恒。 4.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在宏观和微观 领域均适用。 5. 用守恒定律做题，应注意选择系统，分析过程和条件。
设炮弹相对于地面的速度为 v2
v2 u v1
则有： Mv1 mv2 x 0
得
v2 x u cos v1
整理可得
y
N
O
u
L
Mv1 mv2 x 0

mg
v2 x u cos v1
解得
x
Mg
m v1 u cos M m
“－”号表示炮车反冲速度与 x 轴正向相反。
X
I x mv2 x mv1 x mv2 0