2.2.2椭圆的简单几何性质
合集下载
《课程讲解》-2.2.2椭圆的第二定义及焦半径公式3
a
OF x
x
c
a2
x
c
椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距
离与它到直线 x a 2 的距离之比等于离
心率.
c
新知探究
若点F是定直线l外一定点，动点M到点 F的距离与它到直线l的距离之比等于 常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.
l
M H
F
新知探究
直线 x
a2 c
叫做椭圆相应于焦
点F2(c，0)的准线，相应于焦点
课堂小结
2.一个椭圆有两条准线，并与两个 焦点相对应，两条准线在椭圆外部， 且与长轴垂直，关于短轴对称.
课堂小结
3.椭圆焦半径公式的两种形式与焦点 位置有关，可以记忆为“左加右减， 下加上减”.
布置作业
1、P49习题2.2A组：
3，4，5，10.
y B2 M
A1
O F2 x
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
( xc ) 2 y 2 ( xc ) 2 y 2 2 a
变形后得到 a2 cx a(x c)2 y2,
再变形为
（ x - c ）2 y 2 x a2 c
c
a.
这个方程的几何意义如何？
新知探究
y
l
（ x - c ）2 y 2 c
MH
a2
F1(－c，0)的准线方程是
y
a2 x
c
a2 x
c
F1 O F2
x
新知探究
椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大
值和最小值分别是什么？
y M
OF
x
练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点，椭 圆上存在点M使得MF1⊥MF2,求椭圆的 离心率的范围.
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
心一定是原点吗？ y
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
2.2.2椭圆的简单几何性质课件人教新课标2
3
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
2.2.2椭圆简单几何性质(最全)
y
x2 +y2 =1(a>b>0) a2 b2
令x=0,得y=？说明椭圆 A1(-a,0)
B1(0,b)
o
A2(a,0x)
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
B2(0,-b)
令y=0,得x=？说明椭圆
与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
三、椭圆的顶点
y
B1(0,b)
长轴、短轴：线段A1A2、
B1B2分别叫做椭圆的长 轴和短轴。
(A) x2 4y
(B) x22xyy0
(C) x2 4y2 5x
(D) 9x2 y2 4
2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e 2 ，长轴长为6， 3
则椭圆的方程 为（ C ）
(A)
x2 y2 1
36 20
(B)
x2 y2 1
95
(C)
x2 y2 1 或 95
y2 x2 1
95
(D)
y2 x2 1 或
x2 y2 1
36 20
36 20
28
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为:
x2 +y2 =1(a>b>0)， a2 b2
依题意有：
a 1
6
2b 1
a 2 b 2
1
得 ：a b
2 5 5
故 椭 圆 方 程 为:x2 +y2 =1. 20 5
8
练习：1.已知点P(3，6)在
x2 a2
y2 b2
1
上,则(
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上
2.2.2椭圆的简单基本性质1
3 ,离心率为_________ 2
2 例2、椭圆4x2 + y2 = 1的长轴长为_______ ,
,焦点坐标 (0,
1 A1( 2 , 0) ,顶点坐标为__________
1 短轴长为_____
3 3 F1 、F2(0, 2 ) 为_________________ 2 )
1 A2( 2 , 0)、B1(0, -1)、B2(0, 1) _______________________________.
5 e 5
2
x2 y2 2 1 2 a b
(D)
Y B P A
F
O
X
3
Y A P O B X
2 2
• 题型二：求椭圆离心率的值 • 挖掘几何关系寻找含有a、b、c的等式，求出离心率
x y 1、设M点是椭圆 2 2 1(a b 0 上一 点，F1、F2 ) a b 为椭圆的左右焦点，如果∠F1MF2=900，求此椭圆 的 离心率的范围 变为60 呢？
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。
B2 (0,b) A1
y
b
a F2
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短 轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。
10 例1、椭圆16x2 + 25y2 = 400的长轴长为_______ ,
3 8 短轴长为_____ ,离心率为_________ ,焦点坐标 5
F1(-3, 0) 、F2(3, 0) ,顶点坐标为__________ A1(-5, 0) 为_________________
2 例2、椭圆4x2 + y2 = 1的长轴长为_______ ,
,焦点坐标 (0,
1 A1( 2 , 0) ,顶点坐标为__________
1 短轴长为_____
3 3 F1 、F2(0, 2 ) 为_________________ 2 )
1 A2( 2 , 0)、B1(0, -1)、B2(0, 1) _______________________________.
5 e 5
2
x2 y2 2 1 2 a b
(D)
Y B P A
F
O
X
3
Y A P O B X
2 2
• 题型二：求椭圆离心率的值 • 挖掘几何关系寻找含有a、b、c的等式，求出离心率
x y 1、设M点是椭圆 2 2 1(a b 0 上一 点，F1、F2 ) a b 为椭圆的左右焦点，如果∠F1MF2=900，求此椭圆 的 离心率的范围 变为60 呢？
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。
B2 (0,b) A1
y
b
a F2
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短 轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。
10 例1、椭圆16x2 + 25y2 = 400的长轴长为_______ ,
3 8 短轴长为_____ ,离心率为_________ ,焦点坐标 5
F1(-3, 0) 、F2(3, 0) ,顶点坐标为__________ A1(-5, 0) 为_________________
2.2.2椭圆的简单几何性质(3)直线与椭圆的位置关系
题型三：中点弦问题
例1、已知椭圆 x2 y2 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程.
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
例2、如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2 ，试求a、b的值。
2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
x y 1 0
A
=4b2 -4(a b)(b 1) 0 ab a b 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
M
o
x
B
x1
x2
2b ab
0)
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
18
9
x1 x2
7
, x1 x2
14
弦长
1 k2
(x1 x2 )2
4x1 x2
6
11 7
练习： 已知椭圆5x2+9y2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ45，椭圆的右焦点为F，
2.2.2(1)椭圆的简单几何性质
长半轴长为a, 短半轴长为b.
a>b
c e a
a2=b2+c2
创新设计 P24 (3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a，b，c，e 对应的线段或量
为 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|， c |OF2| e＝a＝|F B |＝cos∠OF2B2. 2 2 x2 y2 (4)若椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)， 则椭圆与 x 轴的交点 a b A1， A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小， 且|A1F2|＝a＋c， |A2F2| ＝a－c.
复习：
1.椭圆的定义:
平面内，到两定点F1、F2的距离之和为常数 （大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭 圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？ c a b b [3]e与a,b的关系: e 1 a a a
B2
A1
b F1
a F2
o c
B1
A2
3、椭圆的顶点 2 2 x y 2 1(a b 0) 2 a b
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
原创1：2.2.2 椭圆的简单几何性质
48
+
2
64
= 1.
跟踪训练
y
(2)由已知：a=2c，a-c= 3
a
解得：a=2 3，c= 3
∴b2=a2-c2=9
∴椭圆的方程为
2
12
+
O
2
9
=
2
1或
9
2
+
12
a-c
=1.
x
典例分析
如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，
9
= 1.
跟踪训练
求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
1
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 ，
2
焦距为8.
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点
到同侧顶点的距离为 3.
解:(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝
=
1
，∴a＝8，
2
从而b2＝a2－c2＝48，
2
∴椭圆的标准方程是
+
=
+
=
y
O
x
椭圆中的弦的中点满足此性质吗？
y
O
B(x2, y2)
y=kx+m
A(x1, y1)
x
+ +( +)
( + )
=
+
=
y=kx+m
b2x2+a2y2-a2b2=0
典例分析
2
已知椭圆
16
2
4
+
2
64
= 1.
跟踪训练
y
(2)由已知：a=2c，a-c= 3
a
解得：a=2 3，c= 3
∴b2=a2-c2=9
∴椭圆的方程为
2
12
+
O
2
9
=
2
1或
9
2
+
12
a-c
=1.
x
典例分析
如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，
9
= 1.
跟踪训练
求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
1
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 ，
2
焦距为8.
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点
到同侧顶点的距离为 3.
解:(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝
=
1
，∴a＝8，
2
从而b2＝a2－c2＝48，
2
∴椭圆的标准方程是
+
=
+
=
y
O
x
椭圆中的弦的中点满足此性质吗？
y
O
B(x2, y2)
y=kx+m
A(x1, y1)
x
+ +( +)
( + )
=
+
=
y=kx+m
b2x2+a2y2-a2b2=0
典例分析
2
已知椭圆
16
2
4
2.2.2椭圆的简单几何性质
e
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以: a = 5 ,b = 4
c = 25 16 3
湖南省衡阳市铁一中学
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1
a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
。顶点坐标是：
外切矩形的面积等于：
。
。 。
。
练习1、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2);
标准方程
坐标
小 焦点坐标 结 长轴长
短轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
例2、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋 转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个 焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过 旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知 ACF1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口 ABC所在椭圆的方程。 y
是否存在一点，它到直线l的距离最小？
最小距离是多少？ 解得k1=25，k2 =-25
y
l
由图可知k 25，
m
o
x
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。
且d 40 25 15 41
n
42 52 41 问题：最大的距离呢？
两个启示：①如何判断直线与椭圆的位置关
系；②求直线与椭圆的距离的最值.
例3、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m，（1） 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值 范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
F2
B2
B1 O x
F1
A1
|x|≤b, |y| ≤ a
关于两轴即原点对称
(±b,0), (0,±a) 长轴2a, 短轴2b
F1(0,-c),F2(0,c) 2c
e=c/a, 0<e<1
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形.
1 (2.8 2.82 4.52 ) 2
4.1
b a2 c2
4.12 2.252
3.4
所求的椭圆方程为
x2 4.12
y2 3.42
1
标准方程
图象
课范 围 堂 对称性
顶点坐标
小 焦点坐标 结 长轴长
短轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
三、小结作业
本节重点： 1、范围； 2、对称性； 3、顶点、长半轴长、短半轴长、半焦距； 4、离心率； 5、已知两点求椭圆的标准方程； 作业： P49 3、4、5 B组3
由椭圆的定义知，| F1A | | F2 A | 2a
例2：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线l的距离最小？
最小距离是多少？
y
l
解：思考：如何求直
设直线线m与平椭行圆于的l，最小 则l可距写离成：呢4x？ 5y k 0
m
一、复习回顾
1、椭圆的定义、焦距； 2、椭圆的标准方程；
3、a、b、c的关系及其几何意义；
y
.
.
x
F1
F2
新课：椭圆的简单几何性质探究
方程
图形 范围
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
B2 y
O A1 F1
F2 A2 x
B1
a x a,b y b
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
| MF2 | c (a c 0) da
对于椭圆 x2 a2
y2 b2
1，相应于焦点F2 (c, 0)
的准线方程是 x a2 (右准线)， c
根据椭圆的对称性,相应于焦点F1(c, 0)
的准线方程是 x a2 (左准线)， c
设M 是椭圆上任意一点，则
对左焦点和左准线有:| MF1 | e (0 e 1) d1
对右焦点和右准线有:| MF2 | e (0 e 1) d2
三、小结作业
本节重点： 1、直线与椭圆的位置关系； 2、直线与椭圆相交所得的弦长公式； 3、近日点、远日点； 练习：P48 作业：P49 8、9、10
二、学习新课
我们知道，解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条件，求曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.
5
4
将上式两边平方，并化简，得
9x2 25 y2 225
即 x2 y2 1
25 9
这是一个椭圆。
椭圆的第二定义
一般地,若点M (x, y)与定点F2 (c, 0)的 距离和它到定直线l : x a2 的距离之比
c 为常数 c (a c 0), 则点M的轨迹是椭圆．
a 定点F2 (c, 0)是椭圆的一个焦点，直线l 叫 做椭圆的准线．
下面，我们通过椭圆的标准方程
来研究椭圆的性质：
湖南省衡阳市铁一中学
定义式：e c
y
a
范围：0 e 1
考察椭圆形状与e的关系：
o
当e越接近1时；椭圆越扁，
x
当e越接近0时；椭圆越圆。
特别地，当a=b时，c=0，这时方程是什么呢？
两个焦点重合，图形变为圆。
1.你能运用三角函数的知识解释，为什么 e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆吗？
比一比
下面两个椭圆中，哪个更接近于圆？
x2 3y2 9 与 x2 y2 1 16 12
画出下列椭圆的草图
x2 y2 1
25 16
y
4
B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 0 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
例1.已知椭圆方程为
16x2+25y2=400
它的长轴长是：
。短轴长是：
焦距是
。 离心率等于：
焦点坐标是：
线方程.
弦长公式：
设直线y=kx+m与椭圆相交于点
A(x1, y1)，B(x2,y2)，则 1 k 2 x1 x2 2
AB 1 k 2 x1 x2
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
思考：椭圆上到焦点的距离最大和最小 的点在什么地方？
y
F1
Ao
F2 B x
1、如果将椭圆看作地球的轨道，F1看作 太阳，那么A、B分别为近日点、远日点. 2、椭圆到中心的距离最大和最小的点呢？
F2
B2
B1
O
x
F1
A1
a y a,b x b
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点
A1(-a,0), A2(a,0) B1(0,-b), B2(0,b),
A1(0,-a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0),
离心率
4、离心率 演示
概念：椭圆焦距与长轴长之比.
如何刻画椭圆 的扁平程度？
小结
标准方程
图象
范围 对称性 顶点 两轴长 焦点 焦距 离心率
x2 y 2 1(a b 0) a2 b2
B2 y
O A1 F1
F2 A2 x
B1
|x|≤a, |y| ≤ b
关于两轴及原点对称
(±a,0), (0,±b) 长轴2a，短轴2b
F1(-c,0),F2(c,0) 2c
e=c/a, 0<e<1
o
x
4x 5y k 0
由方程组
x2 25
y2 9
1
思考：直线与椭 圆会相交吗？为 什么？
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
例2：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
例4：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定
直线l: x 25 的距离的比等于常数 4 ，
4
5
求M点的轨迹。
解：设d是点M到直线l:
x 25 的距离，
4
根据题意，点M（x,y）的轨迹是集合
P { M | | MF | 4 }
d5
由此得
(x 4)2 y2 4
| 25 x |
A
B F1
C
F2 x
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1
a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的定义知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
1 a 2 (| F1A | | F2 A |)
x2 y2 1
25 16
所以: a = 5 ,b = 4
c = 25 16 3
湖南省衡阳市铁一中学
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1
a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
。顶点坐标是：
外切矩形的面积等于：
。
。 。
。
练习1、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2);
标准方程
坐标
小 焦点坐标 结 长轴长
短轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
例2、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋 转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个 焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过 旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知 ACF1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口 ABC所在椭圆的方程。 y
是否存在一点，它到直线l的距离最小？
最小距离是多少？ 解得k1=25，k2 =-25
y
l
由图可知k 25，
m
o
x
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。
且d 40 25 15 41
n
42 52 41 问题：最大的距离呢？
两个启示：①如何判断直线与椭圆的位置关
系；②求直线与椭圆的距离的最值.
例3、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m，（1） 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值 范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
F2
B2
B1 O x
F1
A1
|x|≤b, |y| ≤ a
关于两轴即原点对称
(±b,0), (0,±a) 长轴2a, 短轴2b
F1(0,-c),F2(0,c) 2c
e=c/a, 0<e<1
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形.
1 (2.8 2.82 4.52 ) 2
4.1
b a2 c2
4.12 2.252
3.4
所求的椭圆方程为
x2 4.12
y2 3.42
1
标准方程
图象
课范 围 堂 对称性
顶点坐标
小 焦点坐标 结 长轴长
短轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
三、小结作业
本节重点： 1、范围； 2、对称性； 3、顶点、长半轴长、短半轴长、半焦距； 4、离心率； 5、已知两点求椭圆的标准方程； 作业： P49 3、4、5 B组3
由椭圆的定义知，| F1A | | F2 A | 2a
例2：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线l的距离最小？
最小距离是多少？
y
l
解：思考：如何求直
设直线线m与平椭行圆于的l，最小 则l可距写离成：呢4x？ 5y k 0
m
一、复习回顾
1、椭圆的定义、焦距； 2、椭圆的标准方程；
3、a、b、c的关系及其几何意义；
y
.
.
x
F1
F2
新课：椭圆的简单几何性质探究
方程
图形 范围
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
B2 y
O A1 F1
F2 A2 x
B1
a x a,b y b
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
| MF2 | c (a c 0) da
对于椭圆 x2 a2
y2 b2
1，相应于焦点F2 (c, 0)
的准线方程是 x a2 (右准线)， c
根据椭圆的对称性,相应于焦点F1(c, 0)
的准线方程是 x a2 (左准线)， c
设M 是椭圆上任意一点，则
对左焦点和左准线有:| MF1 | e (0 e 1) d1
对右焦点和右准线有:| MF2 | e (0 e 1) d2
三、小结作业
本节重点： 1、直线与椭圆的位置关系； 2、直线与椭圆相交所得的弦长公式； 3、近日点、远日点； 练习：P48 作业：P49 8、9、10
二、学习新课
我们知道，解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条件，求曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.
5
4
将上式两边平方，并化简，得
9x2 25 y2 225
即 x2 y2 1
25 9
这是一个椭圆。
椭圆的第二定义
一般地,若点M (x, y)与定点F2 (c, 0)的 距离和它到定直线l : x a2 的距离之比
c 为常数 c (a c 0), 则点M的轨迹是椭圆．
a 定点F2 (c, 0)是椭圆的一个焦点，直线l 叫 做椭圆的准线．
下面，我们通过椭圆的标准方程
来研究椭圆的性质：
湖南省衡阳市铁一中学
定义式：e c
y
a
范围：0 e 1
考察椭圆形状与e的关系：
o
当e越接近1时；椭圆越扁，
x
当e越接近0时；椭圆越圆。
特别地，当a=b时，c=0，这时方程是什么呢？
两个焦点重合，图形变为圆。
1.你能运用三角函数的知识解释，为什么 e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆吗？
比一比
下面两个椭圆中，哪个更接近于圆？
x2 3y2 9 与 x2 y2 1 16 12
画出下列椭圆的草图
x2 y2 1
25 16
y
4
B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 0 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
例1.已知椭圆方程为
16x2+25y2=400
它的长轴长是：
。短轴长是：
焦距是
。 离心率等于：
焦点坐标是：
线方程.
弦长公式：
设直线y=kx+m与椭圆相交于点
A(x1, y1)，B(x2,y2)，则 1 k 2 x1 x2 2
AB 1 k 2 x1 x2
1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
思考：椭圆上到焦点的距离最大和最小 的点在什么地方？
y
F1
Ao
F2 B x
1、如果将椭圆看作地球的轨道，F1看作 太阳，那么A、B分别为近日点、远日点. 2、椭圆到中心的距离最大和最小的点呢？
F2
B2
B1
O
x
F1
A1
a y a,b x b
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点
A1(-a,0), A2(a,0) B1(0,-b), B2(0,b),
A1(0,-a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0),
离心率
4、离心率 演示
概念：椭圆焦距与长轴长之比.
如何刻画椭圆 的扁平程度？
小结
标准方程
图象
范围 对称性 顶点 两轴长 焦点 焦距 离心率
x2 y 2 1(a b 0) a2 b2
B2 y
O A1 F1
F2 A2 x
B1
|x|≤a, |y| ≤ b
关于两轴及原点对称
(±a,0), (0,±b) 长轴2a，短轴2b
F1(-c,0),F2(c,0) 2c
e=c/a, 0<e<1
o
x
4x 5y k 0
由方程组
x2 25
y2 9
1
思考：直线与椭 圆会相交吗？为 什么？
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
例2：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
例4：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定
直线l: x 25 的距离的比等于常数 4 ，
4
5
求M点的轨迹。
解：设d是点M到直线l:
x 25 的距离，
4
根据题意，点M（x,y）的轨迹是集合
P { M | | MF | 4 }
d5
由此得
(x 4)2 y2 4
| 25 x |
A
B F1
C
F2 x
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1
a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的定义知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
1 a 2 (| F1A | | F2 A |)