初三数学 圆
初三数学圆的知识点
初三数学圆的知识点1．圆的定义（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。
（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。
说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。
2．圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。
（如右图中的CD）。
（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。
直径等于半径的2倍。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。
（如右图中的CD、CAD）其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD，小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。
3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4．过三点的圆。
（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
5．垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（2）圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6．与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。
（2）与圆相关的角的性质AB①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆（或直径）所对的圆周角相等；⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
初三数学圆的总复习
两个圆有且仅有一个公共点，且该点在两个圆的内部时，称 这两个圆内切。
圆与圆的相交
相交
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。此时两个公共点连成的线段叫 做两圆的公共弦。
特殊相交
当两个圆的半径相等且相交于两点时，这两点连成的线段既是两圆的公共弦也是 两圆的直径。
05 圆的综合应用
圆的面积与周长计算
01
02
03
圆的面积公式
$S = pi r^{2}$，其中 $r$ 是圆的半径。这个公 式用于计算圆的面积。
圆的周长公式
$C = 2pi r$ 或 $C = pi d$，其中 $r$ 是圆的半径， $d$ 是圆的直径。这两个 公式用于计算圆的周长。
扇形面积公式
$S_{扇形} = frac{npi r^{2}}{360}$，其中 $n$ 是扇形的圆心角，$r$ 是 圆的半径。这个公式用于 计算扇形的面积。
线的性质。
圆的拓展应用问题
圆锥曲线问题
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。在解决这类问题时，需要掌握圆锥曲线的定义、标 准方程和性质等知识点。
极坐标与参数方程问题
极坐标是一种用距离和角度来描述平面上点的方法，参数方程则是用参数来描述曲线上点 的坐标的方法。在解决这类问题时，需要掌握极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普 通方程的互化等知识点。
通过一般方程，可以计算出圆心坐标$left( frac{D}{2},-frac{E}{2} right)$和半径 $r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
方程变形
通过配方等方法，可以将一般方程转化为标准方 程。
圆的图形与方程的关系
图形与方程对应
01
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
初三数学圆的笔记整理
初三数学圆的笔记整理
圆的概念
1、圆（circle）是端点连续的无限线段的集合，它的所有点与其中的一点的距离都是相等的，该一点叫做圆心（中心），距离叫做半径（radius）；
2、圆的方程：一般式：x2+ y2 = r2；标准形式：（x-a）2+（y-b）2 = r2；
3、圆的参数方程：x = a + r cosα；y = b + r sinα；
圆的性质
1、圆的周长为2 πr ；
2、圆的面积为：πr2；
3、圆的对称性：沿任意直线 g 移动到点 a 后，不改变圆的特征，两点 a 和 b 均存在符合方程 y2 = r2 - x2 的线：
4、锐角三角形里外角相加等于360°；
5、圆面积与半径平方成正比；
6、圆周长与半径成正比。
弧与圆心角
1、弧（arc）是圆上的部分曲线，以圆心O为中心，半径为r的有限线段，它的端点A和B叫做弧的端点（end-points）；
2、圆心角（central angle）是以圆心O为顶点，以半径OA 和OB 作边的扇形，叫做圆 O 的圆心角。
圆意义
1、圆的形状中没有直角，也没有不同大小，也没有不同形状，代表和谐、统一，是几何及美学领域最重要的重要概念；
2、古时以圆形建造螺旋楼，即圆楼，以象征着吉祥、美好的开始，哲学家也把它当做一种哲学思想，以及为某些重要仪式的符号；
3、今天，圆仍是许多文化符号的重要部分，例如圆形的圆盘符号，被国家办公室授予最高级荣誉，圆桌警告人民和睦相处；
4、此外，圆也可以定义出多种几何图形，如圆环、圆弧等，用于应用于多种领域，具有极大的科学价值。
初中数学圆的知识点
初中数学圆的知识点初中数学圆的知识点概述一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆心（O）：圆的中心点，通常用字母O表示。
3. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
4. 直径（d）：通过圆心的圆上两点之间的线段，是半径的两倍长，用d表示。
5. 弦（c）：圆上任意两点之间的线段。
6. 弧（a）：圆上两点之间的圆周部分。
7. 优弧：大于半圆的弧。
8. 劣弧：小于半圆的弧。
9. 半圆：圆的一半，由直径所界定。
10. 切线（t）：与圆只有一个交点的直线。
二、圆的基本性质1. 半径性质：圆上任意两点间的所有线段中，直径是最长的。
2. 圆周角定理：圆周上同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
3. 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
4. 弦切角定理：从圆外一点引两条切线，这两切线与过该点的直径所成的角相等。
5. 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。
三、圆的计算公式1. 圆的周长（C）：C = πd = 2πr2. 圆的面积（S）：S = πr²3. 扇形面积：S = (θ/360)πr²，其中θ是扇形的中心角，单位为度。
4. 弓形面积：S = (θ/360)πr² - (θ/360)rθ/2，适用于扇形减去三角形的部分。
5. 圆环面积：S = π(R² - r²)，其中R是大圆的半径，r是小圆的半径。
四、圆的应用问题1. 圆与直线的关系：通过圆心作直线的垂线，可以判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。
2. 圆与圆的位置关系：两圆的圆心距与半径之和、差相比较，判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内含、内切、同心）。
3. 圆的切线问题：求作圆的切线，以及切线与圆的交点问题。
4. 圆的滚动问题：解决圆在直线或曲线上滚动时的周长、直径、面积的变化问题。
五、圆的作图方法1. 用圆规画圆：确定圆心和半径，固定圆规的宽度，绕圆心旋转一周即可画出圆。
初三数学圆知识点总结完整版
初三数学圆知识点总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初三数学圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．解：连结OP，P点为中点．小结：此题运用垂径定理进行推断．例2 下列命题正确的是( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．故选B．例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
九年级数学圆的知识点总结大全
一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的要素：圆心、半径、圆周。
3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。
二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。
2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。
3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。
4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。
三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。
2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。
3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。
4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。
四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。
2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。
五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。
2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。
六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。
初三下册数学第三章圆知识点要点
初三下册数学第三章圆知识点要点一. 正切：正切．． 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; 正弦，即斜边的对边A A ∠=sin ;余弦，即斜边的邻边A A ∠=cos ;①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=sin 2A+cos 2A=1第三章 圆一. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 <===> d____r; ②点在圆内 <===> d____r; ③点在圆外 <===> d____r. 二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念：④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．. 2. 圆即是轴对称图形，又是___________。
3. 垂径定理：_________________________，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径_______，并且平分弦______________。
推论1: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 推论2: 同弧或等弧所对的________相等；推论3: 半圆或直径所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____.三. 圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且_____________,叫做圆周角.2. 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于____________________. 四. 确定圆的条件:1.定理: 不在同一直线上的______确定一个圆.2. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到__________ 相等.五. 直线与圆的位置关系1. 设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ；①d<r <===> 直线L 和⊙O_____. ②d=r <===> 直线L 和⊙O______. ③d>r <===> 直线L 和⊙O______.2. 切线的判定定理: 经过________________________________的直线是圆的切线.3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于______________.4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______,内切圆的圆心叫做____________.5. 三角形内心的性质:三角形的内心到___________相等.六.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条___________.性质：圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
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初三数学圆
1、圆的概念：①在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OP（不论转到什么位置）叫做圆的半径．以点O为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”．
②以O为圆心，r为半径的圆，可以看成所有到定点O的距离等于定长r的点组成的集合.确定圆的条件是圆心和半径两个因素．
注意：以已知点O为圆心，可以画无数个圆，以已知线段R为半径画圆可以画无数个，以已知点O为圆心，已知线段R为半径画圆，可以画且只能画一个圆.
2、与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径.直径等于半径的2倍．
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．小于半圆的弧叫做劣弧．以B、C为端点的弧记作，读作弧BC；大于半圆的弧叫做优弧，半圆和优弧用符号“”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如图中以B、C为端点的优弧记作，读作“弧BAC”．
等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆.
等弧：同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
3、点与圆的位置关系：一般地，若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP=d，
则有.
4、圆的确定（1）经过已知点A可以作无数个圆；经过两个已知点A、B可以作无数个圆，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上；经过不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个交点叫做这个三角形的外心．作三角形的外接圆关键在于确定圆的圆心即三角形的外心，只需作三角形两边垂直平分线即可．
（3）三角形外心的性质①三角形外心到三个顶点的距离相等；
②锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点上，钝角三角形的外心在三角形的外部；
③三角形的外心与一边中点的连线必垂直于这条边；
④经过三角形的外心与一边垂直的直线必平分这条边．
例1、填空题
(1)平面上有两点A、B，若线段AB的长为3cm，则以A为圆心，经过点B的圆的面积为________.
(2)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC=10cm，则
OD=________cm.
例2、选择题
(1)下列说法正确的有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个
①直径不是弦；②直径是圆中最长的弦；③圆心是圆中任意一条直径的中点；④半圆不是弧.
(2)下列判断中，正确的个数是( )A.2个 B.3个C.4个 D.5个
①正方形的四个顶点在同一圆上②菱形的四个顶点在同一圆上③菱形四边中点在同一圆上④矩形的四个顶点在同一圆上⑤矩形四边中点在同一圆上.
一、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
二、圆的特性：①圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②把圆绕着它的圆心旋转一个任意角度，都与原来的图形重合，这说明圆具有旋转不变性的特性；
利用以上特性，可以得到以下定理
三、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
四、推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等
例1、如图，已知D、E两点分别为⊙O的半径OA、OB的中点，C为的中点.求证：
CD=CE.
1、如下左图，点C在以AB为直径的半圆上，O是圆心，连接OC，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定
2、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如上中图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）
A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块
3、有一个矩形ABCD的长为4cm，宽为3cm，以D点为圆心作圆，使A、B、C三点其中有两点在圆内，一点在圆外，则⊙D的半径r的取值范围为（）
A．3＜r＜4 B．3＜r＜5C．4＜r＜5 D．4≤r≤5
4、如上右图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式正确的是（）
A．a＞b＞c B．a=b=cC．c＞a＞b D．b＞c＞a
5、如下图，在半径为2cm的⊙O内有长为的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
6、如上中图，在⊙O中，，则下列结论正确的是( )
A．AB＞2CD B．AB=2CDC．AB＜2CD D．以上都不正确
7、AD是⊙O的直径，弦AB、AC交于A点，且AD平分∠BOC，则下列结论不一定成立的是( ) A．AB=AC B．C．AD⊥BC D．AB=BC
8、如上右图，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙O的半径为1，则PA＋PB的最小值为( )
9、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，试求∠AOC的度数．
10、如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．用尺规作图法找出
所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
11、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且AB=CD，求证：AC=BD．
12、如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙O于D、E，求证：BD=DE=EC．。