卡方检验与方差分析
数据分析中常用的假设检验方法
数据分析中常用的假设检验方法数据分析是现代社会中不可或缺的一项技能，它可以帮助我们从大量的数据中提取有用的信息和洞察。
而在数据分析的过程中，假设检验是一种常用的统计方法，用于验证研究者对数据的某种假设是否成立。
本文将介绍几种常用的假设检验方法，并探讨它们的应用领域和局限性。
一、单样本t检验单样本t检验是一种用于检验一个样本均值是否与一个已知的总体均值相等的方法。
例如，我们想要检验某个商品的平均评分是否显著高于总体评分。
在这种情况下，我们可以采集一定数量的样本数据，并使用单样本t检验来判断样本均值是否与总体均值有显著差异。
二、双样本t检验双样本t检验是一种用于比较两个独立样本均值是否有显著差异的方法。
例如，我们想要比较两个不同广告的点击率是否存在显著差异。
在这种情况下，我们可以采集两组数据，分别代表两个广告的点击率，并使用双样本t检验来判断两组数据的均值是否有显著差异。
三、方差分析方差分析是一种用于比较三个或三个以上样本均值是否有显著差异的方法。
例如，我们想要比较不同年龄段的消费者对某个产品的满意度是否存在显著差异。
在这种情况下，我们可以将消费者按照年龄段分组，收集每个组别的满意度数据，并使用方差分析来判断各组别之间的均值是否有显著差异。
四、卡方检验卡方检验是一种用于比较观察频数与期望频数之间是否存在显著差异的方法。
例如，我们想要研究两个变量之间是否存在相关性，例如性别和购买偏好之间的关系。
在这种情况下，我们可以收集一定数量的观察数据，并使用卡方检验来判断观察频数与期望频数之间是否存在显著差异。
五、回归分析回归分析是一种用于探究自变量与因变量之间关系的方法。
例如，我们想要研究广告投入与销售额之间的关系。
在这种情况下，我们可以收集广告投入和销售额的数据，并使用回归分析来判断两者之间的关系是否显著。
需要注意的是，假设检验方法虽然在数据分析中被广泛应用，但也存在一些局限性。
首先，假设检验是基于样本数据对总体进行推断，因此样本的选择和抽样方法可能会对结果产生影响。
医学统计学八种检验方法
医学统计学八种检验方法医学统计学是医学研究中一个重要的分支，它通过对医学数据进行收集、整理和分析，以帮助医学研究者得出准确可靠的结论。
而在医学统计学中，检验方法是评价医学研究数据是否具有统计意义的一种重要工具。
下面将介绍医学统计学中常用的八种检验方法。
1.正态性检验：正态性检验是用来检验数据是否符合正态分布的统计性质。
常见的正态性检验方法有Shapiro-Wilk检验和Kolmogorov-Smirnov检验。
2.两独立样本t检验：该方法用于检验两个不相互依赖的样本均值之间是否存在差异。
适用于连续变量的比较，例如治疗前后的体重变化。
3.配对样本t检验：配对样本t检验适用于对同一组研究对象在不同时间或不同条件下进行比较。
如药物治疗前后患者的血压比较。
4.卡方检验：卡方检验是用来检验分类变量之间是否存在关联性的方法。
适用于分组数据的比较，例如男女性别与健康状况之间的关系。
5.方差分析：方差分析是用来检验多个组之间是否存在显著差异的方法。
适用于分析多个因素对结果的影响，如不同年龄组对某种疾病发生率的影响。
6.生存分析：生存分析用于研究事件发生时间和随时间而变化的危险率。
适用于研究患者生存期、疾病复发时间等，常见的分析方法有Kaplan-Meier曲线和Cox比例风险模型。
7.相关分析：相关分析用于研究两个连续变量之间的关系。
常见的相关分析方法包括皮尔逊相关系数和Spearman等级相关系数。
8.回归分析：回归分析用于研究一个或多个自变量对因变量的影响程度和方向的方法。
适用于分析影响因素较多的情况，如探讨年龄、性别、病情等因素对治疗效果的影响。
以上八种检验方法在医学统计学中被广泛运用，每种方法都有其适用的场景和注意事项。
在进行医学研究时，选择合适的检验方法能够提高研究结果的可靠性，从而为临床实践和医学决策提供准确依据。
因此，熟练掌握这些统计方法是每个医学研究者必备的基本技能。
卡方检验和方差分析
F(10,4)
它是一种非对称分布,图
F(10,10)
形的形状取决于分子和 分母的自由度.
F(10,50)
F
17
一向方差分析的方差分析表
变异源 处置 误差 总
自由度
k-1
n-k n-1
平方和 均方和
F值
P-值
SSC MSC=SSC/(k-1)
SSE MSE=SSE/(n-k)
SST
MSC/MSE
当检验统计量（ MSC/MSE）超过对应于显著系数的F
第七讲 卡方检验和方差分析
一、卡方检验 1. 拟合优度检验 1）指定分布率的拟合优度检验 2）理论概率分布的拟合优度检验 2. 独立性检验 1）列联表 2）独立性检验
1
Probability
Chi-square Curve
0.100 0.090 0.080 0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.010 0.000
15.367
F 14.659
Si g. .001
24
样本成双比均值，独立配对法不一。 配对小样先算差，显著与否看t值。 样本独立路有歧：西格码已知直求z； 西格码未知s代，合并估计再求t。
25
处置是否有效果， 方差分析列表格。 组间组内均方比， F分布右尾拖。 P值偏大均值等， P值偏小拒假设。
HOUR
Descriptiv es
1 2 3 T o ta l
Std. N Mean Deviation
5 24.80
4.82
5 32.20
3.56
5 18.80
3.19
15 25.27
6.73
Std. Error
统计学中的方差分析与卡方检验
方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中有着广泛的应用。
方差分析主要用于比较多个总体均值之间的差异，而卡方检验则用于分析分类数据的关联性和独立性。
方差分析是一种用于比较三个或更多个样本均值的统计方法。
在方差分析中，我们假设总体均值相等，然后通过计算组内变异和组间变异来判断这个假设是否成立。
方差分析的基本思想是将总体方差分解成组内方差和组间方差，进而判断组间方差占总变差的比例是否显著大于组内方差的比例。
通过方差分析，我们可以分析因素对总体均值的影响，并进行多组之间的比较。
方差分析的常见类型有单因素方差分析和多因素方差分析，分别适用于不同的研究设计。
卡方检验是一种常用的非参数检验方法，用于分析分类数据的关联性和独立性。
分类数据是指由频数或频率构成的数据，例如某个班级学生的分数等级、不同城市居民的职业分布等。
卡方检验的基本原理是比较观察频数与期望频数之间的差异，如果差异显著，则我们可以拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联性。
卡方检验的应用领域非常广泛，例如医学研究中的药物疗效评价、市场调查中的产品偏好分析等。
尽管方差分析和卡方检验有着不同的应用对象和基本原理，但它们都是统计学中重要的推断方法，具有一定的共性。
首先，方差分析和卡方检验都是基于统计假设检验的思想，通过计算特定统计量来判断样本数据是否支持或反对某个假设。
其次，方差分析和卡方检验都需要明确的研究问题和研究设计，并进行数据收集和处理。
最后，方差分析和卡方检验都可以通过计算显著性水平来进行结果的判断和推断。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的统计方法进行数据分析。
如果我们希望比较多个总体均值的差异，可以选择方差分析方法；如果我们关心分类数据的关联性和独立性，可以选择卡方检验方法。
当然，这只是方差分析和卡方检验的基本应用，实际研究中可能还需要考虑其他因素和方法。
总之，方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中都有着广泛的应用。
方差分析卡方检验练习题
方差分析与卡方检验练习题本练习题涵盖了方差分析和卡方检验的基概念、方法和应用，包含不同难度等级的题目，旨在帮助学习者巩固知识，提高分析问题和解决问题的能力。
第部分：方差分析 (ANOVA)一、单因素方差分析1. 基本概念题 (500字)简述方差分析的基本思想和假设条件。
* 解释方差分析中组间方差、组内方差和总方差的概念，以及它们之间的关系。
* 说明F检的原理以及在方差分析中的应用。
* 解释方差分析结果中的P值及其意义。
* 比较方差分析与t检验的异同点。
2. 计算题 (000字)某研究者想比较三种不同肥料对小麦产量的影响。
他随机选择了三个地块，每个地块种植了相同数量的小麦，分别施用三种不同的肥料A、B、C。
收获后，测得三个地块的小麦产量如下（单位：k/亩）：肥料A：15, 18, 16, 17, 19 肥料B：20, 22, 21, 19, 23 肥料C：12, 14, 13, 5, 16请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断三种肥料对小麦产量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，包括自由度、平方和、均方、F值、P值等，并进行结果解释。
). 应用题 (1000字)一家公司想比较四种不同广告策略对产品销量的影响。
他们随机选择了四个地区，每个地区采用一种不同的广告策略。
三个月后，测得四个地区的销售额如下（单位：万元）：策略A：10, 110, 95, 105 策略B：120, 130, 115, 125 策略C：80, 90, 75,85 策略D：150, 60, 145, 155(1)请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断四种广告策略对产品销量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，并进行结果解释。
)(2)如果发现有显著差异，请进行事后检验（例如Tukey检验或LSD检验），找出哪些广告策略之间存在显著性差异。
(需说明所用检验方法的原理和步骤)二、双因素方差分析 (1500字)1. 基本概念题 (50字)•解释双因素方差分析的概念和应用场景。
比较判别法的三种形式
比较判别法的三种形式判别法是一种常用的统计分析方法，用于评估两个或多个群体之间是否存在统计显著的差异。
它是通过对数据进行比较，利用统计推断方法来得出判断的。
判别法有三种常见的形式：t检验、方差分析和卡方检验。
下面将对这三种形式进行详细介绍。
1. t检验：t检验是一种用于比较两个样本均值是否有显著差异的统计方法。
它根据样本均值的差异和样本标准差来计算t值，并通过与t分布表中的临界值进行比较来判断两个样本均值是否有统计显著差异。
t检验分为独立样本t检验和配对样本t检验两种形式，独立样本t检验用于比较两个独立样本的均值差异，而配对样本t检验用于比较同一样本在不同时间或条件下的均值差异。
在进行t检验时，需要注意的是确保样本满足正态分布和方差齐性的假设。
如果数据不满足这些假设，可以考虑使用非参数检验方法，如Wilcoxon秩和检验或Mann-Whitney U检验。
2. 方差分析：方差分析是一种用于比较三个或更多个样本均值是否有显著差异的统计方法。
它根据样本均值的差异和样本间的方差来计算F值，并通过与F分布表中的临界值进行比较来判断多个样本均值是否有统计显著差异。
方差分析分为单因素方差分析和多因素方差分析两种形式，单因素方差分析用于比较一个因素的不同水平对应的样本均值差异，而多因素方差分析用于考察多个因素对样本均值的影响。
在进行方差分析时，需要注意确认各组数据的正态性和方差齐性。
如果样本不满足这些假设，可以考虑进行对数变换或使用非参数的Kruskal-Wallis检验。
3. 卡方检验：卡方检验是一种用于比较两个或多个分类变量之间是否存在显著差异的统计方法。
它通过计算观察频数与期望频数之间的差异，并利用卡方统计量来评估分类变量之间的相关性。
卡方检验分为卡方拟合优度检验和卡方独立性检验两种形式，卡方拟合优度检验用于评估观察频数与期望频数的吻合程度，而卡方独立性检验用于比较两个或多个分类变量之间的关联性。
在进行卡方检验时，需要注意样本频数应满足各组频数大于5的要求，否则可能需要进行合并或使用精确检验方法。
t检验、u检验、卡方检验、F检验、方差分析
统计中时常会用到百般考验，怎么样知讲何时用什么考验呢，根据分离自己的处事去道一道：之阳早格格创做t考验有单样本t考验，配对于t考验战二样本t考验.单样本t考验：是用样本均数代表的已知总体均数战已知总体均数举止比较，去瞅察此组样本与总体的好别性.配对于t考验：是采与配对于安排要领瞅察以下几种情形，1，二个共量受试对于象分别交受二种分歧的处理；2,共一受试对于象交受二种分歧的处理；3，共一受试对于象处理前后.u考验：t考验战便是统计量为t,u的假设考验，二者均是罕睹的假设考验要领.当样本含量n较大时，样本均数切合正态分散，故可用u考验举止分解.当样本含量n小时，若瞅察值x切合正态分散，则用t考验（果此时样本均数切合t 分散），当x为已知分散时应采与秩战考验.F考验又喊圆好齐性考验.正在二样本t考验中要用到F考验.从二钻研总体中随机抽与样本，要对于那二个样本举止比较的时间，最先要估计二总体圆好是可相共，即圆好齐性.若二总体圆好相等，则曲交用t考验，若没有等，可采与t'考验或者变量变更或者秩战考验等要领.其中要估计二总体圆好是可相等，便不妨用F考验.简朴的道便是考验二个样本的圆好是可有隐著性好别那是采用何种T考验（等圆好单样本考验，同圆好单样本考验）的前提条件.正在t考验中，如果是比较大于小于之类的便用单侧考验，等于之类的问题便用单侧考验.卡圆考验是对于二个或者二个以上率（形成比）举止比较的统计要领，正在临床战医教真验中应用格外广大，特天是临床科研中许多资料是记数资料，便需要用到卡圆考验.圆好分解用圆好分解比较多个样本均数,可灵验天统造第一类过失.圆好分解(analysis of variance,ANOVA)由英国统计教家R.A.Fisher最先提出，以F命名其统计量，故圆好分解又称F考验.其手段是估计二组或者多组资料的总体均数是可相共，考验二个或者多个样本均数的好别是可有统计教意思.咱们要教习的主要真量包罗单果素圆好分解即真足随机安排或者成组安排的圆好分解（oneway ANOVA）：用途：用于真足随机安排的多个样本均数间的比较，其统计估计是估计百般本所代表的各总体均数是可相等.真足随机安排（completely random design）没有思量个体好别的做用，仅波及一个处理果素，但是不妨有二个或者多个火仄，所以亦称单果素真验安排.正在真验钻研中按随机化准则将受试对于象随机调配到一个处理果素的多个火仄中去，而后瞅察各组的考查效力；正在瞅察钻研（考察）中按某个钻研果素的分歧火仄分组，比较该果素的效力.二果素圆好分解即配伍组安排的圆好分解（twoway ANOVA）：用途：用于随机区组安排的多个样本均数比较，其统计估计是估计百般本所代表的各总体均数是可相等.随机区组安排思量了个体好别的做用，可分解处理果素战个体好别对于真验效力的做用，所以又称二果素真验安排，比真足随机安排的考验效用下.该安排是将受试对于象先按配比条件配成配伍组（如动物真验时，可按共窝别、共性别、体沉相近举止配伍），每个配伍组有三个或者三个以上受试对于象，再按随机化准则分别将各配伍组中的受试对于象调配到各个处理组.值得注意的是，共一受试对于象分歧时间（或者部位）沉复多次丈量所得到的资料称为沉复丈量数据（repeated measurement data），对于该类资料没有克没有及应用随机区组安排的二果素圆好分解举止处理，需用沉复丈量数据的圆好分解.圆好分解的条件之一为圆好齐，即各总体圆好相等.果此正在圆好分解之前，应最先考验百般本的圆好是可具备齐性.时常使用圆好齐性考验（test for homogeneity of variance）估计各总体圆好是可相等.本节将介绍多个样本的圆好齐性考验，本法由Bartlett于1937年提出，称Bartlett法.该考验要领所估计的统计量遵循分散.通过圆好分解若中断了考验假设，只可证明多个样本总体均数没有相等或者没有齐相等.若要得到各组均数间更仔细的疑息，应正在圆好分解的前提上举止多个样本均数的二二比较.。
几种常见的显著性检验方法
几种常见的显著性检验方法显著性检验是统计学中常用的一种方法，用于检验两组或多组数据之间是否存在显著差异。
下面将介绍几种常见的显著性检验方法。
1.t检验：t检验用于比较两组均值是否存在显著差异。
根据独立样本或配对样本可以分为独立样本t检验和配对样本t检验。
适用于连续型变量，要求样本满足正态分布和方差齐性的假设。
2.方差分析（ANOVA）：方差分析用于比较三组或多组均值是否存在显著差异。
适用于连续型变量，要求样本满足正态分布和方差齐性的假设。
方差分析包括单因素、多因素、重复测量、混合设计等多种类型。
3.卡方检验：卡方检验用于比较两个或多个分类变量之间是否存在显著差异。
适用于分类变量，比如性别、职业等。
卡方检验可用于检验两个分类变量之间的关联性，也可用于检验一个分类变量与一个连续型变量之间的关系。
4.相关分析：相关分析用于评估两个连续型变量之间的关系强度和方向。
常用的相关系数有皮尔逊积矩相关系数、斯皮尔曼秩相关系数和判定系数等。
相关系数的显著性检验可以帮助确定两个变量之间是否存在显著相关关系。
5.回归分析：回归分析用于建立一个或多个自变量和一个连续型因变量之间的函数关系，并用于预测因变量。
回归分析中常用的显著性检验方法有t检验、F检验和R平方检验等。
6. 生存分析：生存分析主要用于评估时间至事件发生（比如死亡、疾病复发等）之间的关系。
生存分析的主要方法有Kaplan-Meier生存曲线和Cox比例风险模型等。
生存分析通常使用对数秩检验来评估不同组别之间的显著差异。
除了以上常见的显著性检验方法，还有一些其他的检验方法，比如非参数检验（如Mann-Whitney U检验、Wilcoxon符号秩检验）、Fisher精确检验、Bootstrap检验等，这些方法适用于不满足正态分布假设或方差齐性假设的数据情况。
显著性检验方法的选择要根据数据的类型和应用背景来决定。
在进行显著性检验时，还需注意样本的大小、假设检验的前提条件以及是否需要对多重比较进行校正等问题。
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第十三章 2χ检验与方差分析我们前面已经比较系统地讨论了双样本的参数和非参数检验的问题。
现在，我们希望利用一般的方法来检验三个以上样本的差异，2χ检验法和方差分析法就是解决这方面问题的。
2χ检验法可以对拟合优度和独立性等进行检验，方差分析法则可以对多个总体均值是否相等进行检验。
后者由于通过各组样本资料之间的方差和组内方差的比较来建立服从F分布的检验统计量，所以又称F 检验。
第一节 拟合优度检验1．问题的导出第十一章最后一节，我们将累计频数检验用于经验分布与理论分布的比较，实际已经提供了拟合优度检验的一种方法。
2χ拟合优度检验与累计频数拟合优度检验相对应，在评估从经验上得到的频数和在一组特定的理论假设下期望得到的频数之间是否存在显著差异时，是一种更普遍的检验方法。
2．拟合优度检验(比率拟合检验)据经验分布来检验总体分布等于理论分布的零假设，检验统计量是2o χ＝频数理论理论频数观察频数∑-/)(2 理论证明，当n 足够大时，该统计量服从2χ分布。
因此对给定的显著性水平α，将临界值2αχ与2o χ比较，可以就H o 作出检验结论。
对于拟合优度检验，在试验规模小时，否定零假设的意义大，接受零假设的意义不大；若试验规模大时，则接受零假设的意义大，否定零假设的意义不大。
3．正态拟合检验第二节 无关联性检验2χ检验的另一个重要应用是对交互分类资料的独立性检验，即列联表检验。
由于列联表一般是按品质标志把两个变量的频数进行交互分类的，所以，①2χ检验法用于对交互分类资料的独立性检验，有其它方法无法比拟的优点；②如何求得列联表中的理论频数就成了独立性检验的关键。
1．独立性、理论频数及自由度检验统计量 2oχ＝∑-e e o f f f 2)(＝∑∑==-c i r j eij eij oij f f f 112)( 进一步上式可变为 2o χ＝-∑∑==c i r j eij oij f f 112n在使用2χ检验法进行列联表检验之前，还必须确定与2o χ这个检验统计量相联系的自由度，即 (r ×c -1)-(r -1)-(c -1)＝(c -1)(r -1)。
2．关于频数比较和连续性修正用卡方2o χ作为列联表的统计量，有两点我们应该特别注意。
首先，列联表检验是通过频数而不是通过相对频数的比较进行的。
其次，使用卡方2o χ对列联表进行检验．每一格理论频数eij f 必须保持在一定数目之上。
3．列联表的卡方分解若一个复杂的列联表具有显著性，有时需要检查子表以确定表格的那一部分卡方2o χ影响最大。
一种可行的简便方法就是考察每一格的残差ij e ，其公式为ij e ＝eij eijoij f f f -根据计算结果可以知道哪一个残差对卡方影响大。
另一种方法是利用卡方分布的可加性，把r ×c 表的总体卡方分解为若干独立部分。
4．关系强度的量度到目前为止，本节一直在讨论列联表变量间是否存在关系。
其方法是建立变量间无关系的零假设，然后再试图否定它。
然而，对变量间是否存在关系的讨论，必然引出对变量间关系强弱的讨论。
在样本小的时候，获得显著性即表明变量间有强关系。
对大样本来说，更重 要的问题是：“如果变量间存在关系，其强度有多大?”现在由于PRE 准则，许多不同测量层次的变量已经可以统一起来进行关联强度的讨论了。
第三节 方差分析方差分析，是一种很重要的分析方法，它可以检验两个以上样本均值之差。
方差分析是均值差检验的推广，一般用于处理自变量是一个（或多个）定类变量和因变量是一个定距变量之间的关系。
方差分析所包含的假定与均值差检验所包含的假定差不多，例如正态分布、独立随机样本、等方差性等，但检验本身却很不相同。
方差分析直接涉及的是方差而不是均值和标准差。
同时，比较也不取两种估计量之差，而是取两种估计量的比率。
在两种估计量彼此独立的前提下，两种估计量之比率F 具有已知的抽样分布，因而可进行很简单的检验。
1．总变差及其分解第十二章已经引入了变差的概念。
但在方差分析中，由于自变量都是定类变量，我们不能像回归分析那样找出自变量和因变量的线性或非线性关系，即不能确定自变量X 取不同值时因变量Y 的拟合值Y c ，而只能研究自变量X 取不同类别时，因变量Y 的均值i Y 是否有所不同。
但是在三种变差的讨论中，i Y 和Y c 的地位是一样的。
所以，有了上一章的知识，方差分析的方法是不难掌握的。
首先我们看总变差。
总变差这个概念不同于方差，在方差分析中记作SS T ，它表示ij Y 对于总均值Y 的偏差之平方和，即SS T ＝211)(∑∑==-c i n j ij i Y Y为什么会形成总变差这个散布度呢？显然有两个原因：一是三个样本可能不同，这使全部数据ij Y 有三个“中心”；二是随机抽样误差的影响，使数据在每个中心附近有散布。
这样，将总变差分解成两部分。
第一部分是各观测值ij Y 对其所属类别均值i Y 的偏差的平方和，称为组内变差，记作SS W 。
组内变差反映了数据围绕各“中心”的散布程度，即反映了ij Y 因随机波动所产生的变异，与自变量因素无关。
换言之，SS W 是自变量因素所没有解释的ij Y 的变异。
因此，又称之为残差。
第二部分是组间平方和，记作SS B ，它涉及到诸类别均值i Y 对总均值Y 的偏差，反映数据在c 个“中心” 附近的散布程度。
2．关于自由度弄清了组间变差和组内变差，检验零假设(H 0：μ1＝μ2＝…＝μc )的思路也就梳理出来了：关键是比较两种变差是否有显著差异。
但在统计学上，方差分析不取两者之差而取两者之比来进行这种比较。
而且，方差分析不是直接用SS B /SS W 作为检验统计量，而是用（可以解释的方差）/（不能解释的方差）作为检验统计量，即不能解释的方差可以解释的方差=o F在统计学上，变差除以自由度即可“规格化”成方差。
总自由度＝组内自由度 + 组间自由度，即n ―l ＝（n ―c ）+（c ―1）。
这样一来，在零假设(H 0：μ1＝μ2＝…＝μc )之下，检验统计量F o 的计算公式就找到了F o ＝W B MS MS ＝)/()1/(c n SS c SS W B --3．关于检验统计量F o 的计算总平方和（SS T ）＝211)(∑∑==-c i n j ij i Y Y＝∑∑2ij Y ―n Y ij ∑∑2)(组间平方和（SS B ） ＝21)(Y Y n c i i i-∑=＝∑∑==c i i n j ij n Y i 112)(―n Y ij ∑∑2)(组内平方和（SS W ）＝总平方和（SS T ）―组间平方和（SS B ）注意，由于总变差等于另两个变差之和，所以三个变差中仅需求出两个变差。
求出组内平方和比求另两个平方和繁琐得多，故通常我们都是从总平方和减去组间平方和来求组内平方和的。
检验统计量 F o ＝WB MS MS 4．相关比率当方差分析的检验呈显著性后，进一步讨论两变量间的相关程度是很自然的。
方差分析中相关程度的测定仍采用PRE 法。
PRE ＝010E E E -＝T W T SS SS SS -＝T B SS SS 正是因为上式，我们把SS B 称为已解释的变差。
显然，已解释的变差越大，预测Y 所减少的误差就越多，X 与Y 之间的关系就越密切。
据此，方差分析中把已解释的变差对总变差的比值称为相关比率，用符号2η表示2η＝1―TW SS SS 2η可用于一个定类变量与一个定距变量的相关程度的测定，当然也可以用于定序—定距变量或定距—定距变量的相关程度的测定。
相关比率2η研究的是定类—定距变量之间的相关程度。
由于定类变量不具有数量大小的问题，不存在关系是否线性的问题。
因此，当2η被用于研究定距—定距变量之间的关系时，不仅可以作为线性相关的量度，也可以作为非线性相关的量度。
这意味着，对线性相关，相关比率2η与r 2(积差系数之平方)有相同的PRE 性质；但如果对非线性相关，用积差系数r 来讨论就不行了。
对于定距—定距变量，曲线相关既然要用R 来测量，那么反过来，同一资料通过相关指数R 与积差系数r 计算的比较，可以判断确定两定距变量的关系是不是直线。
如果同时求出r 与R ，r 等于或略大于R ，可说明两变量关系是直线的，用r 去测量是合适的；如果r ＜R ，则说明两变量关系可能是曲线的。
5．关于方差分析的几点讨论鉴于方差分析的重要性，我们有必要对它进行某些深入讨论：（1）MS B 和MS W 可以分别称为组间方差和组内方差，其中(在等方差的假设下)组内方差总是σ2的无偏估计；而组间方差，只有当诸总体(即各样本所代表的子总体)均值实际上相等时，它才是σ2的无偏估计。
（2）方差分析的优点在于，一个检验可以代替多个检验。
（3）方差分析中的自变量X 如果是二分变量，也可以采用均值差t 检验。
（1）如果对因变量Y 影响的自变量由一个变为两个以上，我们就将面对多元方差分析了。
总变差分解的思想可以直接推广至多因素显著性检验。
第四节 回归方程与相关系数的检验1．回归系数的检验检验两个总体变量(定距—定距变量)是否具有线性关系，主要是检验总体的回归系数B 是否等于零。
在H 0成立的条件下，检验回归直线的统计量可构造为F o ＝∑∑---)2/()(1/)(22n Y Y Y Y cc ~ F （1，n ―2） 对选定显著性水平α，可查表得临界值F α。
若出现F o ＞F α(1，n ―2)的情况，则拒绝H 0，即认为回归方程中X 变量对Y 的解释力是显著的；若出现F o ＜F α(1，n ―2)的情况，则不能拒绝H 0，即认为回归方程中X 变量对Y 没有的显著的解释力。
2．积差系数的检验在社会研究中，要想确切了解两总体变量 (定距—定距变量)间的积差系数是很困难的。
所以，通常需要通过样本积差系数的统计检验来认识总体的积差系数ρ 。
设有两变量X 和Y ，它们的积差系数记为ρ。
当ρ＝0时，表示X 和Y 不具有线性相关关系，当ρ≠0时，表示X 和Y 具有线性相关关系。
统计理论证明，样本积差系数r 是总体积差系数ρ的一个无偏估计量，有)(r E =ρ，)(r D =212--n r而且当ρ＝0时，样本容量越大，r （显然为一随机变量）的抽样分布越接近于自由度为n ―2的t 分布（见图13.1）。
因而有检验统计量t o ＝r 212r n --~ t （n ―2） 3．回归方程的区间估计对于定距—定距变量计算积差系数r 时，要求相关的两个变量均为随机变量。
回归分析则不同，因为回归方程旨在披露X 和Y 之间的因果联系，所以自变量X 是给定的，只有因变量Y 才是随机的。
这样一来，就回归线来说，Y 值在每个估计值Y c 两侧都有个随机分布。