(完整版)高考文科数学重点题型(含解析)
高考最有可能考的50题(数学文课标版)（30道选择题+20道非选择题）一．选择题（30道）1．集合}032|{2<--=x x x M ,{|220}N x x =->，则N M I 等于 A ．(1,1)- B ．(1,3) C ．(0,1) D ．(1,0)-2．知全集U=R ，集合}{|A x y ==，集合{|0B x =＜x ＜2}，则()U C A B ⋃=A ．[1,)+∞B ．()1+∞，C ．[0)∞，+D ．()0∞，+3．设a 是实数，且112a ii +++是实数，则a = A.1 B.12 C.32D.24． i 是虚数单位，复数1i z =-，则22z z+= A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i +D ．1i -5． “a=-1”是“直线2a x y 60-+=与直线4x (a 3)y 90--+=互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 C.既不充分也不必要条件6．已知命题p ：“βαsin sin =，且βαcos cos =”，命题q ：“βα=”。
则命题p 是命题q 的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件7．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m 的取值范围是 （A ）(42，56] （B ）(56，72] （C ）(72，90] （D ）(42，90)9．如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为 A ．?2≤n B ．?3≤n C ．?4≤n D ．?5≤n10．在直角坐标平面内，已知函数()log (2)3(0a f x x a =++>且1)a ≠的图像恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则2cos sin 2θθ+的值等于（ ） A ．12- B ．12 C. 710 D ．710-11．已知点M ，N 是曲线x y πsin =与曲线x y πcos =的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．212．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤)的部分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（ ）xy O22-ABA ．2B ．3C ．3-D ．2-13．设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()0⋅-=a a b ,则a 与b 的夹角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒14．如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF DB -=u u u r u u u r（ ）DA ．FD u u u rB ．FCC ．FED ．BE15．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为（ ） （A ）6 3 （B ）8 （C ）8 3 （D ）1216．,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ,26AD AB ==则该球的体积为（ ）A ．323πB ． 48πC ． 643πD ． 163π17． A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（ ） A ),1[)1,(+∞⋃--∞ B [-1,1] C ),1[]1,(+∞⋃--∞ D (-1,1]18．设233yx M +=,()xyyx P N 3,3==+（其中y x <<0），则,,M N P 大小关系为（ ）A ．P N M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．M N P <<19．若a 是从集合{0，1，2，3}中随机抽取的一个数，b 是从集合{0，1，2}中随机抽取的一个数，则关于x 的方程2220x ax b ++=有实根的概率是 （ ）A ．56B ．23C ．712 D ．3420．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L ，其中x 为12,,,n x x x L 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x >，12s s < （C ）12x x <，12s s < （D ）12x x <，12s s >21．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 45710,15,21S S S ≥≤≥,则7a 的取值区间为（ ） A. ,7]-∞（ B. [3,4] C. [4,7] D. [3,7]22．若等比数列}{n a 的前n 项和23-⋅=nn a S ，则=2aA.4B.12C.24D.3623．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为M ′，则|MM ′||AB |的最大值为（ ）（A ）22 （B ）32（C ）1 （D ） 324．已知双曲线1222=-y x 的焦点为21,F F ，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．3B ．332 C ．34 D ．3525．若直线2x y -=被22:()4C x a y -+=e 所截得的弦长为则实数a的值为（ ） A.1- B.1或3 C.2-或6 D.0或426．设函数21()8(0)()3(0)1x x f x x x x -<=≥⎧⎪⎨⎪+-⎩，若f （a ）＞1，则实数a 的取值范围是（ ）A.(2,1)-B.(,2)-∞-∪(1,)+∞C.（1，+∞）D.(,1)-∞-∪（0，+∞）27．定义在错误!未找到引用源。
上的函数错误!未找到引用源。
的图像关于错误!未找到引用源。
对称，且当错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
（其中错误!未找到引用源。
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的导函数），若错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
的大小关系是（ ）A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
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28．曲线2xy e x =+在点（0，1）处的切线方程为( )A ．1y x =+B ．1y x =-C ．31y x =+D ．1y x =-+29．函数sin xy x=,()(),00,x ππ∈-U 的图像可能是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．30．设()f x 在区间(,)-∞+∞可导，其导数为'()f x ，给出下列四组条件（ ）①()p f x ：是奇函数，':()q f x 是偶函数②()p f x ：是以T 为周期的函数，':()q f x 是以T 为周期的函数③()p f x ：在区间(,)-∞+∞上为增函数，':()0q f x >在(,)-∞+∞恒成立④()p f x ：在0x 处取得极值，'0:()0q f x =A ．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空题（8道）31．已知一组抛物线211,2y ax bx =++其中a 为2、4中任取的一个数，b 为1、3、5中任 取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=l 交点处的切线相互平行的概 率是 。
32．已知双曲线的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为抛物线x y 122=的焦点，则该双曲线的标准方程为 .33．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.34．函数f （x ）=x 3+ax （x ∈R ）在x =l 处有极值，则曲线y = f （x ）在原点处的切线方程是_____35．△ABC 中，若∠A、∠B、∠C 所对的边a ，b ，c 均成等差数列，△ABC的面积为正视图侧视图俯视图那么b= 。
36．若⎩⎨⎧≥≤||1x y y ，则y x 3+的最大值是_________.37．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注 射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注 射了疫苗的鸡的数量平均为 万只。
38．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+， 322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅ 可以推测，A B -= .三．解答题（12道）39．已知函数．（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别为且，，若，求的值．40．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．41．衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的22⨯列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为113.⑴请完成上面的列联表；⑵根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； ⑶若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.参考公式与临界值表：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.42．某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．43．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =F 是BC 的中点.(Ⅰ)求证：DA ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ，并求三棱锥A -CDG 的体积.ADCFPB（第45题）44．已知椭圆C的方程为：()222102x y a a +=>，其焦点在x 轴上，离心率2e =.（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点()00,P x y 满足2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r，其中M ，N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON的斜率之积为12-，求证：22002x y +为定值. （3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.45．本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0） 求证：直线AB 过定点．46．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．47．已知函数()x e af x x-=，()ln g x a x a =+（1）1a =时，求()()()F x f x g x =-的单调区间；（2）若1x >时，函数()y f x =的图象总在函数()y g x =的图像的上方，求实数a 的取值范围.48．如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ． （1）求证：AD//EC ；（2）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC =2，BD =9，求AD 的长。
高考文科数学专题一：集合题型总结含解析(20200618080634)
3．已知集合 A ＝ { y | y = x2 - 2x - 1,x ? R} , 集合 B＝ { x | - 2 ＃ x 8} , 则集合 A 与 B
的关系是 ________． 解析： y＝ x2－ 2x－1＝ (x － 1)2－ 2≥ －2, ∴ A ＝ {y|y ≥ － 2}, ∴ B A ． 答案： B A
必要不充分条件
8．设集合 M ＝{ m|m＝ 2n, n∈ N, 且 m<500}, 则 M 中所有元素的和为 ________． 解析： ∵ 2n<500, ∴ n＝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8． ∴ M 中所有元素的和
＋2＋ 22＋ … ＋ 28＝511． 答案： 511
b∈ Q}, 若 P＝ {0, 2, 注意到集合元素的互异
4．已知集合 M ＝ { x|x2＝ 1}, 集合 N＝ { x|ax＝ 1}, 若 N M ,
解析： M ＝{ x|x＝ 1 或 x＝－ 1}, N M, 所以 N＝?时 ,
或－ 1, ∴a＝ 1 或－ 1． 答案： 0, 1, － 1
那么 a 的值是 ________． a＝0；当 a≠ 0 时 , x＝1＝ 1
{ } 4．已知全集 U＝ R, 则正确表示集合 M ＝ { － 1, 0, 1} 和 N＝ x | x2 + x = 0 关系的韦恩
(Venn)图是 ________．
{ } 解析： 由 N= x | x2 + x = 0 , 得 N={-1, 0}, 则 N M． 答案： ②
5 知集合 A＝ { x | x > 5} , 集合 B＝ { x | x > a} , 若命题“ x∈ A”是命题“ x∈ B”的充分
2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（含解析）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}{}1,2,3,4M N ==,则()U M N ⋃=ð（）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,42．设i 43i z =+,则z =（）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+3．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥,则下列命题中为真命题的是（）A ．p q∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨4．函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和25．若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．46．22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B ．33C ．22D ．327．在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A ．34B ．23C ．13D ．168．下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+9．设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π611．设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（）A ．52B C D ．212．设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b<B ．a b>C ．2ab a<D ．2ab a>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()()2,5,,4λ==a b ，若∥a b ，则λ=_________．14．双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．15．记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥不认为有显著提高）．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．19．（12分）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足9PQ QF =,求直线OQ 斜率的最大值.21．(12分)已知函数32()1f x x x ax =-++．（1)讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,C 的圆心为()2,1C ,半径为1．（1)写出C 的一个参数方程;（2)过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程．23．[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时,求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-,求a 的取值范围．参考答案与解析一、选择题1.A2.C3.A4.C5.C6.D7.B8.C9.B10.D11.A 12.D二、填空题13.8514.15.16.③④（答案不唯一）三、解答题（一）必考题17.（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥，又PB AM ⊥，PB PD P = ，所以AM ⊥平面PBD ，而AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD ．（2）3．19.（1）11()3n n a -=，3n n n b =；（2）211213333n n n n n T --=++++ ，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ n n S ，230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 012111012222333---++++ 111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ，⑧则1231111012112222Γ33333-----=++++ n nn ．⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ132********--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎝⎭- n n n nn n n ．所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ．故2nn S T <．20.（1）24y x =；（2）最大值为13.21.(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：1211,33x x +==，当113,3x ⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33x ⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭时，单调递减；当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113,3⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭，113,3⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,33⎡⎢⎣⎦-上单调递减.(2)和()11a ---，（二）选考题22.（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）53sin 262πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭和3sin 262πρθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．23.（1）(][),42,-∞-+∞ .（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.。
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
高考文科数学(全国卷大纲版)解析版全word版
普通高等学校招生全国统一考试全国大纲数学（文科）19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,所以;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD. 又122OD BD ==,222OP PD OD =-=, 故△POD 为为等腰三角形，所以OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD.所以，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理实行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适合的方法是比较棘手的问题20．（本小题满分12分） 甲、乙、丙三人实行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14=（Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜” 2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算水平21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数；（Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=-- 所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a=，即2229a b a +=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b = （Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥ 则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=- 于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=- 故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-因为21||13AF x ===-22||31BF x ===- 故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--=因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是水平。
高考数学试卷每题考点文科
一、选择题1. 【考点】集合的概念及运算题目：设集合A={x|x≤2}，集合B={x|x≥3}，则A∩B=（）A. {x|x≤2}B. {x|x≥3}C. ∅D. {x|x≤2或x≥3}解析：本题考查集合的概念及运算。
根据集合的交集运算，A∩B表示同时属于A和B的元素，即{x|x≤2}∩{x|x≥3}，由于没有任何元素同时满足x≤2和x≥3，因此A∩B=∅。
2. 【考点】函数的概念及性质题目：若函数f(x)=x²+2x-3在x=1处的导数为0，则f(x)的对称轴为（）A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=-2解析：本题考查函数的概念及性质。
首先求出f(x)的导数f'(x)=2x+2，然后令f'(1)=0，解得x=-1。
对称轴是函数图像关于x轴的对称轴，因此f(x)的对称轴为x=-1。
3. 【考点】三角函数的概念及性质题目：若sinα+cosα=√2，则sin²α+cos²α=（）A. 2B. 1C. 0D. -1解析：本题考查三角函数的概念及性质。
由三角函数的和角公式sinα+cosα=√2，得到sinα=√2/2，cosα=√2/2。
根据三角函数的基本关系sin²α+cos²α=1，可得sin²α+cos²α=1。
二、填空题4. 【考点】数列的概念及性质题目：数列{an}中，a₁=1，an=an-₁+2n-1，则aₙ=（）解析：本题考查数列的概念及性质。
根据递推公式an=an-₁+2n-1，可列出前几项：a₂=a₁+2=3，a₃=a₂+4=7，a₄=a₃+6=13。
观察发现，每一项都是前一项加上一个奇数，因此aₙ=1+3+5+...+(2n-1)=n²。
5. 【考点】平面几何的概念及性质题目：在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，则线段AB的中点坐标为（）解析：本题考查平面几何的概念及性质。
高考数学文科解三角形最全讲解含答案解析
第六单元 解三角形教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .[小题速通]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4，∵b ＜c ，∴b ＝2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B 由余弦定理可得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，又因为b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝12，则A ＝60°.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以角C 是钝角，故选C.4．(2018·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理及(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )·sin A ，得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a ＝0，则B ＝________.解析：由正弦定理可得sin B cos C ＋3sin B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，则3sin B sin C ＝sin C cos B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝33，则B ＝30°. 答案：30°[清易错]1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． 1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解D ．不确定解析：选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又∵a <b ，∴B 有两个解， 即此三角形有两解．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.解析：在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝2π3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A＝1. 答案：13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝7，b ＝8，c ＝13，则角C 的大小为________．解析：∵在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，c ＝13，∴由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋82－1322×7×8＝－12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3. 答案：2π3设△ABC 的边为a ，b ，c ，所对的三个角为A ，B ，C ，其面积为S . (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆的半径)．[小题速通]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝12，则A ＝30°，所以C ＝90°，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×1＝32.2．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3D ．2解析：选B 由题意S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，则AC ＝1，由余弦定理可得BC ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝ 3.3．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15344．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：由cos A ＝－14，得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，解得a ＝8. 答案：8[清易错]应用三角形面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 时，注意公式中的角应为两边的夹角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，A ＝30°，则△ABC 的面积为________．解析：∵a ＝2，c ＝23，A ＝30°， ∴由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝32，∴C ＝60°或120°， ∴B ＝90°或30°，则S △ABC ＝12ac sin B ＝23或 3.答案：23或 31．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． [小题速通]1．(2018·潍坊调研)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile解析：选D 如图，在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°，又A ＝60°，由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即10sin 45°＝BC sin 60°，解得BC ＝5 6. 2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO ·tan 45°＝30(m)， ON ＝AO ·tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：10 33.如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.则此船的航速是________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：32[清易错]易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°， 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.一、选择题1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．135°解析：选C ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，设a ＝m ，则b ＝m ，c ＝3m . ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝m 2＋m 2－3m 22m 2＝－12， ∴C ＝120°.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14.则c 的值为( )A ．4B ．2C ．5D ．6解析：选A ∵c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即16＝14c 2＋c 2－14c 2＝c 2，解得c ＝4.4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2018·湖南四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( )A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.2π3解析：选A 由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，sin C ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π6.6．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107(km)．7．(2018·贵州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40 n mile 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 n mileB ．10 3 n mileC ．20 3 n mileD ．20 2 n mile解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.故B ，C 两点间的距离是10 2 n mile. 二、填空题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A＝2sin B ，则c ＝________.解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝2b ，则b ＝3，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，则c ＝4. 答案：410．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．解析：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，由三角形内角和定理，可得B ＝π3，又∵边a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ， 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2＋c 2－ac ，即a 2＋c 2－2ac ＝0， 故(a －c )2＝0，可得a ＝c ， 所以△ABC 的形状为等边三角形． 答案：等边三角形11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围为________．解析：由AC ＝b ＝2，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，以2为半径的圆与AB 有两个交点，当A ＝90°时，圆与AB 相切，只有一解；当A ＝45°时，交于B 点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°<A <90°，即22<sin A <1，由正弦定理可得a ＝x ＝b sin Asin B＝22sin A ，所以2<x <2 2. 答案：(2,22)12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 650 三、解答题13．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB ―→AC ―→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解：因为AB ―→·AC ―→＝－6， 所以bc cos A ＝－6， 又S △ABC ＝3， 所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0＜A ＜π， 所以A ＝3π4. 又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29， 所以a ＝29.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C ＝a cos C ＋c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝7，求a 及△ABC 的面积． 解：(1)∵2b cos C ＝a cos C ＋c cos A ，∴由正弦定理可得2sin B cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即2sin B cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B.又sin B ≠0，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)∵b ＝2，c ＝7，C ＝π3，∴由余弦定理可得7＝a 2＋4－2×a ×2×12，即a 2－2a －3＝0， 解得a ＝3或－1(舍去)，∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×2×32＝332.高考研究课(一)正、余弦定理的3个基础点——边角、形状和面积 [全国卷5年命题分析][典例] ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫1213－513＝7226. [方法技巧]应用正、余弦定理的解题策略(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时演练]1．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析：法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ＞0， 因此cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以2ac cos B ＝ac ＞0，cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.答案：π33.(2018·成都二诊)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B .∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5，∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＝＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝⎛⎭⎫－12＝49.∴CD ＝7.＋b )sin(A －B )＝(a －b )·sin(A ＋B )”，试判断三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B. 法一：用“边化角”解题由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：用“角化边”解题 由正弦定理、余弦定理得：a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． [方法技巧]判断三角形形状的2种方法(1)“边化角”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(2)“角化边”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．[提醒] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[即时演练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 依据题设条件的特点，由正弦定理， 得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ， 从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1， ∴A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．2．在△ABC 中，“2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，且sin B ＋sin C ＝1”，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，解得sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．[典例] (2017·a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B )， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2. [方法技巧]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [即时演练]1．(2018·太原一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4.2．(2018·陕西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13. (1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)cos 2B ＋C2＋cos 2A ＝1＋cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12－12×13＋2×⎝⎛⎭⎫132－1 ＝－49.(2)由余弦定理可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94.又cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，于是△ABC 面积的最大值为12×94×223＝324.1．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010D ．－31010解析：选C 法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.法二：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得， AB ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a .同理，在Rt △ACD 中，AC ＝ ⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∴cos A ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22， 因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°. 因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°， 所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 解析：因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21134．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3， 即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3.6．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C .因为sin C ≠0，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin Bsin C； (2)若∠BAC ＝60°，求B . 解：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ， 所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为C ＝180°－(∠BAC ＋B )，∠BAC ＝60°， 所以sin C ＝sin(∠BAC ＋B )＝32cos B ＋12sin B. 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33， 所以B ＝30°.8．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为24×42－2＝2＋1.一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，若B 为锐角，则A ∶B ∶C ＝( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B 因为a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，所以由正弦定理可得sin B ＝b sin Aa ＝32，则B ＝60°，所以C ＝90°，则A ∶B ∶C ＝1∶2∶3. 2．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．根据增加的长度确定三角形的形状解析：选A 设原来直角三角形的三边长是a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为d ，原来的斜边仍然是最长的边，故cos A ＝(b ＋d )2＋(c ＋d )2－(a ＋d )22(b ＋d )(c ＋d )＝2bd ＋2cd ＋d 2－2ad2(b ＋d )(c ＋d )>0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.3．(2018·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( )A ．a ＝cB ．b ＝cC ．2a ＝cD ．a 2＋b 2＝c 2解析：选B 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C 、D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B.4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010 B.31010C.55D.255解析：选B 如图所示，设CD ＝a ，则易知AC ＝5a ，AD ＝2a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 则由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， 即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→>0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，32C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎦⎤12，32解析：选B 在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°. ∵a ＝32， ∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin (120°－B )＝1， ∴b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B＝3sin(B ＋30°)．∵AB ―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos(π－B )>0， ∴cos B <0，B 为钝角，∴90°<B <120°，120°<B ＋30°<150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32， ∴b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32. 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝32c ，则ab 的最小值为________． 解析：将2c cos B ＝2a ＋b 中的边化为角可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin C cos B ＋2sin B cos C ＋sin B ．则2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，则C ＝120°，所以S ＝12ab sin 120°＝32c ，则c ＝12ab .由余弦定理可得⎝⎛⎭⎫12ab 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥3ab ，则ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝23时取等号，所以ab 的最小值为12.答案：128．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2， 由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14， 则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104.答案：1521049．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ， 所以(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C . 由正弦定理得b 2＋c 2－bc ＝4，又因为b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，此时三角形为等边三角形，所以S ＝12bc sin 60°≤12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 答案： 3 三、解答题10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值． 解：(1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝bsin B，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理， 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos2B sin A＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin B ＝3b cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理得sin A sin B ＝3sin B cos A . 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin B ·(a cos B ＋b cos A )＝3c cos B.(1)求B ；(2)若b ＝23，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长． 解：(1)由正弦定理得，sin B (sin A cos B ＋sin B cos A )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin(A ＋B )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin C ＝3sin C cos B.∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ，即tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝23，∴ac ＝8.根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴12＝a 2＋c 2－8，即a 2＋c 2＝20， ∴a ＋c ＝(a ＋c )2＝a 2＋2ac ＋c 2＝6， ∴△ABC 的周长为6＋2 3.1．在平面五边形ABCDE 中，已知∠A ＝120°，∠B ＝90°，∠C ＝120°，∠E ＝90°，AB ＝3，AE ＝3，当五边形ABCDE 的面积S ∈⎣⎡⎭⎫63，3334时，则BC 的取值范围为________． 解析：因为AB ＝3，AE ＝3，且∠A ＝120°，由余弦定理可得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos A ＝33，且∠ABE ＝∠AEB ＝30°. 又∠B ＝90°，∠E ＝90°，所以∠DEB ＝∠EBC ＝60°. 又∠C ＝120°，所以四边形BCDE 是等腰梯形． 易得三角形ABE 的面积为934，所以四边形BCDE 的面积的取值范围是⎣⎡⎭⎫1534，63. 在等腰梯形BCDE 中，令BC ＝x ，则CD ＝33－x ，且梯形的高为3x2， 故梯形BCDE 的面积为12·(33＋33－x )·3x 2，即15≤(63－x )x <24， 解得3≤x <23或43<x ≤5 3. 答案：[3，23)∪(43，53]2.如图，有一直径为8 m 的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF ＝π6，点E ，F 在直径AB 上，且∠ABC ＝π6.(1)若CE ＝13，求AE 的长；(2)设∠ACE ＝α，求该空地种植果树的最大面积． 解：(1)由已知得△ABC 为直角三角形， 因为AB ＝8，∠ABC ＝π6，所以∠BAC ＝π3，AC ＝4.在△ACE 中，由余弦定理得，CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos A ，且CE ＝13， 所以13＝16＋AE 2－4AE ， 解得AE ＝1或AE ＝3.(2)因为∠ACB ＝π2，∠ECF ＝π6，所以∠ACE ＝α∈⎣⎡⎦⎤0，π3， 所以∠AFC ＝π－∠BAC －∠ACF ＝π－π3－⎝⎛⎭⎫α＋π6＝π2－α， 在△ACF 中，由正弦定理得CF sin ∠BAC ＝AC sin ∠AFC ＝AC sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝AC cos α，所以CF ＝23cos α，在△ACE 中，由正弦定理得CE sin ∠BAC ＝AC sin ∠AEC ＝ACsin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以CE ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以S △ECF ＝12CE ·CF sin ∠ECF ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos α＝122sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋3.因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以π3≤2α＋π3≤π， 所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3≤1， 所以当sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝0，即α＝π3时，S △ECF 取得最大值为4 3. 即该空地种植果树的最大面积为4 3 m 2. 高考研究课(二)正、余弦定理的3个应用点——高度、距离和角度 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 高度问题 5年1考 测量山高问题距离问题 未考查 角度问题未考查测量高度问题[典例] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中， CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． [答案] 100 6 [方法技巧]利用正、余弦定理求解高度问题应注意的3个方面(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． [即时演练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2.如图，为测得河岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________m.解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理得，BC sin 45°＝CDsin 30°， 所以BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC ，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 答案：10 6测量距离问题[典例]侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m. [解析] ∵∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， ∴由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. [答案] 20 6 [方法技巧]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． [即时演练]1.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则AB 的长为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m. 答案：200 72.隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解：在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°，所以AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，由正弦定理知BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 ， 所以A ，B 两目标之间的距离为 5 km.角度问题[典例] (2018·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为( )A.217 B.22C.32D.5714[解析] 如图，连接BC ，在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107， 再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ABsin θ，∴sin θ＝217. [答案] A [方法技巧]解决测量角度问题的3个注意点(1)明确方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [即时演练]1.如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2.如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．。
高考数学试卷(文科)答案与解析(20200626103347)
=a（ z﹣ y） +b（ y﹣ z） =（ z﹣ y）（ a﹣ b）＜ 0， ∴ az+by+cx ＜ ay+bz+cx ，
点评 ：
∴最低费用为 az+by+cx 故选： B 本题考查函数的最值， 涉及作差法比较不等式的大小，
属中档题．
7．（ 5分）（ 2020 ?浙江）如图， 斜线段 AB 与平面 α所成的角为 60°， B为斜足，
浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8小题， 每小题 5分， 共 40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（ 5分）（ 2020 ?浙江）已知集合 P={x|x 2﹣2x≥3} ， Q={x|2 ＜ x＜ 4} ， 则 P∩Q= （
）
A [3 ， 4）
且a＜ b＜ c．在不同的方案中， 最低的总费用（单位：元）是（
）
A ax+by+cz ．
B az+by+cx ．
C ay+bz+cx ．
D ay+bx+cz ．
考点 函数的最值及其几何意义． ： 专题 函数的性质及应用．
3
： 分析 ：
作差法逐个选项比较大小可得．
解答 解：∵ x＜ y＜ z且a＜b＜ c， ： ∴ ax+by+cz ﹣（ az+by+cx ）
B （ 2， 3]
C （﹣ 1， 2）
D （﹣ 1， 3]
．
．
．
．
考点 交集及其运算． ： 专题 集合． ： 分析 求出集合 P， 然后求解交集即可． ： 解答 解：集合 P={x|x 2﹣ 2x≥3}={x|x ≤﹣ 1或 x≥3} ， ： Q={x|2 ＜ x＜ 4} ，
2023年高考真题及答案解析《数学文》(全国乙卷)
A ．24B ．264．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是（）A ．10πB ．5π5．已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则a(1)求证：EF //平面ADO ；(2)若120POF ∠=︒，求三棱锥-P 20．已知函数()(1ln 1f x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2)若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求21．已知椭圆2222:1(C b b x a a y +>=(1)求C 的方程；(2)过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少7．C【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解【详解】因为区域(){}22,|14x y x y ≤+≤表示以的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.故选：C.8．B【分析】写出2()3f x x a '=+，并求出极值点，转化为极大值大于【详解】3()2f x x ax =++，则f '若()f x 要存在3个零点，则()f x 令2()30f x x a '=+=，解得x =-且当,,33a ax ⎛⎫⎛⎫--∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当,33a a x ⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '<，故()f x 的极大值为3f a ⎛⎫⎪ ⎪-⎭-⎝，极小值为若()f x 要存在3个零点，则f f ⎧⎛-⎪ ⎪⎝⎨⎛⎪ ⎪ ⎝⎩故选：B.9．A【分析】根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意得情况，即可得到概率【详解】甲有6种选择，乙也有6若甲、乙抽到的主题不同，则共有则其概率为305366=，故选：A.16．2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则3223sin 32AB r ACB ===∠，可得3r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接OA 因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；来源：高三答案公众号（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据61=3320．(1)()ln 2ln 20x y +-=；(2)1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即()0f x '≥在区间(0,()()()21ln 10g x ax x x x =+-++≥【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．22．(1)()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈(2)()(),022,-∞+∞-；23．(1)[2,2](2)6.【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -所以ABC 的面积12ABC S =。
2024年高考全国甲卷数学(文)真题卷(含答案与解析)
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 23. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2-B.73C. 1D.295. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.236. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 2D.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A.16B.C.12D. 8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-大致图像为（）A. B.C. D.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略的的12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______． 13. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n S 的通项公式.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ； （2）求点M 到ABF 的距离.17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． （1）求()f x 单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．的的（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合B 中元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =， 于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选：A 2.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】的的【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D【解析】【分析】可以根据等差数列基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意； 基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）的A. 4B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A.16B.C.12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯= 故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D. 【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D. 故选：B. 9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭， 故选：B . 原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题编号是（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A的【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β， 当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确； 对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β， 因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______． 【答案】2 【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 【答案】64 【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=， 2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______． 【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+> 则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点， 所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.【答案】（1）153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）353232n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =， 故1211523333533a a a a =-=⨯-=-，故11a =，故153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】 由等比数列求和公式得5113353523213n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-. 16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解；（2【解析】的【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，2112333F ABM ABM V S FO -=⋅=⋅=△，222cos 2FA AB FB FAB FAB FA AB +-∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==⋅⋅==△， 解得d =，即点M 到ABF . 的17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x -<恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-= 当0a ≤时，1()0ax f x x -'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 【小问2详解】2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-， 显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． （1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b = 故椭圆方程为22143x y +=. 【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<， 又22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Q y y y x x --==--， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=-- ()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=- ()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==-- 2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】 【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-， 且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=， ()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=， 解得34a = 20. 实数,ab 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+; 【小问2详解】 222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。