数学家魏尔斯特拉斯
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魏尔斯特拉斯曲线
魏尔斯特拉斯曲线
魏尔斯特拉斯曲线是一条著名的分形曲线，由德国数学家魏尔斯特拉斯于19世纪提出。
这条曲线的特点是在任何局部都有类似于整个曲线的形态，因此被称为自相似曲线。
魏尔斯特拉斯曲线的构造方法非常简单，从一条线段开始，每次将其分成三等份，然后将中间一段替换成两条形状相同的线段，这样就得到了新的曲线。
重复这个过程无限次，就可以得到越来越复杂的魏尔斯特拉斯曲线。
尽管魏尔斯特拉斯曲线看起来非常复杂，但它却有许多有趣的性质和应用。
例如，它可以用于描述自然界中的许多曲线形态，如树枝、河流、山脉等。
此外，魏尔斯特拉斯曲线还可以用于解决一些数学问题，如分形几何、复杂度理论等。
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weierstrass解析
weierstrass解析
魏尔斯特拉斯解析（Weierstrass Analysis）是一种数学分析方法，主要用于研究复杂函数的性质和行为。
它是由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）在19世纪提出的，是对欧拉积分和级数收敛性的重要扩展。
魏尔斯特拉斯解析的核心概念是“解析函数”和“解析延拓”。
解析函数是指在一个区域内，可以通过该区域的边界值来完全确定其所有内部值的无瑕函数。
解析延拓是指将一个解析函数从一个区域扩展到另一个区域的过程，其中可能涉及函数的解析性丧失。
魏尔斯特拉斯解析的主要成果之一是解析延拓的理论，它使得数学家可以研究复杂函数在无穷远处的行为。
通过解析延拓，魏尔斯特拉斯证明了函数的级数收敛性，并为后来的复分析奠定了基础。
魏尔斯特拉斯解析的其他应用包括解析数论、调和分析、复流形理论等领域。
在历史对话中，我们并未涉及到具体的魏尔斯特拉斯解析问题。
如果您有关于魏尔斯特拉斯解析的具体问题或应用案例，请随时提问，我会尽力为您解答。
魏尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯，K．W．T．(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林．数学．魏尔斯特拉斯的父亲威廉(Wilhelm)是一名政府官员，受过高等教育，颇具才智，但对子女相当专横．魏尔斯特拉斯11岁时丧母，翌年其父再婚．他有一弟二妹；两位妹妹终身末嫁，后来一直在生活上照料终身未娶的魏尔斯特拉斯．由于其父多次迁居，魏尔斯特拉斯上过几所小学．1829年，他考入帕德博恩的天主教文科中学．该校创建于公元820年，历史悠久．他成绩优异，年年得奖，在拉丁文、希腊文、德文和数学四科中，表现尤其出色．1834年夏毕业时，他是获得甲等毕业文凭的三人之一．威廉要孩子长大后进入普鲁士高等文官阶层，因而于1834年8月把魏尔斯特拉斯送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋得政府高级职位创造条件．魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，于是把很多时间花在大学生自由自在的放纵生活上，例如击剑、宴饮、夜游．他在这些方面也是首屈一指的．他的专业兴趣在于数学．当时J．普吕克(Plücker)在波恩执教，但他忙于各种事务，不可能抽暇进行个别教学，所以魏尔斯特拉斯从他那里获益不多．在校期间，魏尔斯特拉斯研读过P．S．拉普拉斯(Laplace)的《天体力学》(Mecanique céleste)和C．G．J．雅可比(Jacobi)的《椭圆函数新理论基础》(Fundamenta nova the orie functionumellipticarum)．前者奠定了他终生对于动力学和微分方程论感兴趣的基础；后者对他当时的数学水平稍难了些．他还钻研过J．斯坦纳(Steiner)的一些论文．事实上，后来他成为斯坦纳数学论著的编纂者．不过，这段时间中N．H．阿贝尔(Abel)是他最大的鼓舞泉源．他在晚年致S．李(Lie)的信中曾说，在1830年的《克雷尔杂志》(Journal für die Reine und Angewandte Mathema-tik)上读到阿贝尔致A．M．勒让德(Legender)的信，“在大学生涯中对我无比重要．从确定λ(x)(这是阿贝尔引进的函数)满足的微分方程来直接导出该函数的表示形式，这是我为自己确立的第一个数学课题；我有幸得到了这个问题的解，这促使我下定决心献身数学．我是在第7学期作出这个决定的．”[20]这就是说，约在1837年底，他立志终生研究数学．1838年秋，他令人惊讶地放弃成为法学博士候选人，因此在离开波恩大学时，他没有取得学位．4年大学，耗费巨大，未得学位而归，自然使父亲极度不满．幸亏父亲的一位爱好数学的朋友出来调解，建议把魏尔斯特拉斯送到明斯特附近的神学哲学院，然后参加中学教师任职资格国家考试．魏尔斯特拉斯遂于1839年5月22日在该院注册．他在该院遇见了使他终身铭记的Ch．古德曼(Gudermann)．古德曼热衷于研究椭圆函数，其基本思想是把函数展开为幂级数，这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的基石．1839—1840学年上学期，听古德曼第一堂课的有13人，可第二堂起只剩下魏尔斯特拉斯一人，师生促膝谈心，相处融洽．古德曼还为这位唯一的学生讲授解析球面几何学．1840年2月29日，魏尔斯特拉斯报名参加国家考试，考试分笔试、口试两部分．他有半年时间就主考指定的3个论题写作论文．古德曼应魏尔斯特拉斯的请求为笔试出了一个很难的数学问题：求椭圆函数的幂级数展开式．他对自己学生所写的论文给予高度评价，说所提问题对“一位年轻的分析学者来说是很难的”，但论文表明作者“足以列入戴以荣誉桂冠的发现者队伍之中”，“为作者本人，也为科学进展着想，我希望他不会当一名中学教师，而能获得更为有利的条件，……以使他得以进入他命定有权跻身其中的著名科学发现者队伍之中．”[20]可惜学院负责人十分保守，对这一评价未予重视．1841年4月，魏尔斯特拉斯通过口试；1841年秋至1842年秋在明斯特文科中学见习一年．1840至1842年间，他写了4篇直到他的全集刊印时才问世的论文“关于模函数的展开”[2]、“单复变量(其绝对值介于给定的两个界限之间)解析函数的表示”[3]、“幂级数论”[4]和“借助代数微分方程定义单变量解析函数”[5]．这些早期论文已显示了他建立函数论的基本思想和结构，其中有用幂级数定义复函数，椭圆函数的展开，圆环内解析函数的展开[早于P．A．洛朗(Laurent)两年]，幂级数系数的估计[独立于A．L．柯西(Cauchy)]，一致收敛概念以及解析开拓原理．1842年秋，魏尔斯特拉斯转至西普鲁士克隆的初级文科中学．除数学、物理外，他还教德文、历史、地理、书法、植物，1845年还教体育！繁重的教学工作使他只能在晚上钻研数学．科研条件极差：乡村中学没有象样的图书馆；校内没有可以与之讨论的同事；经济拮据，无力订阅期刊，甚至付不出邮资．或许这对他这样自强不息的人也有好处，可以潜心锤炼自己独特的观念和方法．他曾在学校刊物上发表“关于解析因子的注记”．此文表明以前研究同一问题的数学家未能洞察问题症结何在．但这种刊物上的文章当然不会引起世人注意．1848年秋，魏尔斯特拉斯转至东普鲁士布伦斯堡的皇家天主教文科中学．该校拥有较好的图书馆，校长也很友善．魏尔斯特拉斯在该校年鉴(1848／49)上发表了“关于阿贝尔积分论”，这是一篇划时代的论文，可惜仍然无人觉察．1853年夏，魏尔斯特拉斯在父亲家中度假，研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心写作关于阿贝尔函数的论文．这就是1854年发表于《克雷尔杂志》上的“阿贝尔函数论”[6]．这篇出自一个名不见经传的中学教师的杰作，引起数学界瞩目．A．L．克雷尔(Crelle)说它表明作者已可列入阿贝尔和雅可比的最出色的后继者行列之中．J．刘维尔(Liouville)称它为“科学中划时代工作之一”，并立即把它译为法文刊载于他创办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．雅可比的继任者、柯尼斯堡大学数学教授F．里歇洛(Richelot)说服校方授予魏尔斯特拉斯名誉博士学位，并亲赴布伦斯堡颁发证书．当时任《克雷尔杂志》主编的C．W．博尔夏特(Borchardt)赶赴布伦斯堡向魏尔斯特拉斯致贺，从此开始了两人长达20多年的友谊，直至博尔夏特谢世．1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师并享受一年研究假期．1856年6月14日，柏林皇家综合工科学校任命他为数学教授；在E．E．库默尔(Kummer)的推荐下，柏林大学聘任他为副教授，他接受了聘书．11月19日，他当选为柏林科学院院士．1864年成为柏林大学教授．在柏林大学就任以后，魏尔斯特拉斯即着手系统建立数学分析(包括复分析)基础，并进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论．这些工作主要是通过他在该校讲授的大量课程完成的．几年后他就名闻遐迩，成为德国以至全欧洲知名度最高的数学教授．G．米塔-列夫勒(Mittag－Leffler)于1873年从瑞典去巴黎，想在Ch．埃尔米特(Hermite)指导下研究分析．可是埃尔米特对他说：“先生，你错了！你应当到柏林去听魏尔斯特拉斯讲课．他比我们都强．”果然，米塔-列夫勒抵柏林后不久就作出了关于亚纯函数的重要发现．魏尔斯特拉斯于1873年出任柏林大学校长，从此成为大忙人．除教学外，公务几乎占去了他全部时间，使他疲乏不堪．紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退．他的70华诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬．10年后80大寿庆典更加隆重，在某种程度上他简直被看作德意志的民族英雄．魏尔斯特拉斯与C．B．科瓦列夫斯卡娅(Кοвaлевскaя)的友谊，是他后期生活中的一件大事．科瓦列夫斯卡娅于1869年秋拉斯早期弟子之一，又善于宣扬其师的讲授，这促使科瓦列夫斯卡娅大胆决定直接求助魏尔斯特拉斯．1870年秋，年方20、聪慧美丽的科瓦列夫斯卡娅见到了55岁的魏尔斯特拉斯．后者发现了她的优异天赋，试图说服柏林大学评议会同意她听课，但遭拒绝．于是他就抽出业余时间为她免费授课，每周两次，一直持续到1874年秋．这期间他待她亲如子女，并帮助她以关于偏微分方程的著名论文在格丁根取得学位．1888年，科瓦列夫斯卡娅以刚体绕定点运动的研究获得巴黎科学院大奖，对他是极大慰藉．两年后她的去世则是对他的一个沉重打击，以致他烧毁了她写给他的全部信件以及他收到的不少其他书信．1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，后转为肺炎，终至不治，于2月19日溘然长逝，享年82岁．除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员(1856)、巴黎科学院院士(1868)、英国皇家学会会员(1881)．魏尔斯特拉斯生前便决定在其学生协助下出版他本人的论著，1894和1895年分别出版了他的全集[1]的第1，2两卷．按照他的遗愿，1902年首先出版了关于阿贝尔函数论的第4卷，1903年出了第3卷．第5卷是《椭圆函数论讲义》，第6卷是《椭圆函数论在几何与力学中的应用》，出版于1915年．1927年出版了第7卷《变分法讲义》．原定第8—10卷是他关于超椭圆函数的工作、《椭圆函数论讲义》第2版和函数论，但迄今仍未问世．全集前3卷共收论文(其中有一部分讲演)60篇．他致P．杜布瓦-雷蒙(Du Bois－Reymond)、 L．富克斯(Fuchs)和柯尼斯伯格的一些信件，发表于《数学学报》(Acta Math．，1923)．数学分析算术化的完成者魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化潮流中，以ε－δ语言，系统建立了实和复分析的严谨基础，基本上完成了分析的算术化．然而，由于他是通过课堂讲授完成这一任务的，没有发表有关论著，所以对研究他在这一领域的工作带来了困难．实数论魏尔斯特拉斯很早就认识到，为使分析具备牢靠的基础(例如无懈可击地证明连续函数的性质)，必须建立严格的实数论．他于1857年开始讲授的解析函数论等课程，总要在第一阶段花很多时间阐明他关于实数的理论．为从自然数定义正有理数，他引进正整数的“恰当部分”的概念．例如，1的恰当部分是满足n·e n=1的元素e n．数a是数b的一个“恰当部分”，如果b 是由等于a的一些元素构成的集合．正有理数定义为单位的恰当部分的有限整线性组合，或有限集．通过定义“容许变换”，他使同一有理数的不同表示式得以化归为相同的分母，然后他引进由无穷多个元素构成的集合，通过引进“部分”概念定义这类集合之间的相等．这就是他的无理数概念的基点．由此他定义实数的四则运算与次序关系，证明它们所满足的规律以及实数的十进小数表示式．稍后，H．C．R．梅雷(Méray)、G．康托尔(Cantor)、R．戴德金以及E．海涅(Heine)分别于1869，1871，1872，1872年各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论．ε－δ语言H．A．施瓦兹(Schwarz)、G．黑特纳(Hettner)和G．蒂姆(Thieme)分别整理的魏尔斯特拉斯于1861年讲授的《微分学》、1874年讲授的《解析函数论导引》和1886年讲授的《函数论选题》的笔记，呈现了他用ε-δ语言定义分析基本概念与论证分析基本定理的轮廓．魏尔斯特拉斯说，对于函数f(x)，“如果能确定一个界限δ，使对其绝对值小于δ的所有h值，f(x+h)－f(x)小于可以小到人们意愿的任何程度的一个量ε，则称所给函数对应于变量的无穷小改变具有无穷小改变．”他由此给出函数连续的定义，证明闭区间上连续函数的介值性质和有界性质．在定义微分学基本概念时，他还以f(x+h)=f(x)＋h·f′(x)+h(h)给出导数的另一种定义．他严格证明了带余项的泰勒公式，称它为“整个分析中名副其实的基本定理”．对于函数项级数，他引进了极其重要阐述并证明了关于连续函数项级数的和函数的连续性以及函数项级数逐项微分与逐项积分的定理，几乎与现在分析教科书中所写内容完全一在建立分析基础过程中，魏尔斯特拉斯引进了R与R n中一系列度量和拓扑概念，如有界集、无界集，点的邻域，集的内点、外点、边界点，集和序列的极限点，连通性等．他证明了有界无限集必有极限点(现称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理)，并通过极限点证明了有界数集上、下确界的存在性与数列上、下极限的存在性．在1886年的授课中，他还指出G．F．B．黎曼(Riemann)关于定积分的定义限制过多，并把积分概念推广到在一个可数集上不连续的有界函数．这是走向具有完全可加性的现代积分概念的一个正确尝试．魏尔斯特拉斯的严格性引进一致收敛概念，是魏尔斯特拉斯的严格性的一个例证．海涅于1869年说，在此以前，人们(包括柯西在内)对收敛函数项级数可以逐项积分都深信不疑，“是魏尔斯特拉斯先生首次注意到，这条定理的证明……还基于一致收敛性”．G．H．哈代(Hardy)在分析了G．G．斯托克斯(Stokes)、P．L．赛德尔(Seidel)与魏尔斯特拉斯的一致收敛概念后说，“只有魏尔斯特拉斯清楚地、自觉地看出了一致收敛作为分析基本概念的极端重要性”．对于狄利克雷原理的批评，是其严格性的又一例证．该原理断定：连续函数中，存在使得狄利克雷积分达到最小值的函数u0(x，y)，而u0必在D内调和，从而是狄利克雷问题的解．1870年，魏尔斯特拉斯在柏林科学院发表题为“关于所谓狄利克雷原理”的讲演[7]，一针见血地指出 [u]构成的集具有下确界并不蕴涵在所考虑的函数集中存在u0使D［u0］等于这个下确界．他还举出了一个令人信服的简单例子．给出处处连续但处处不可导函数的例子，也是其严格性的一个突出例证．魏尔斯特拉斯于1872年在柏林科学院的一次演讲中提出了函数子告诉了杜布瓦-雷蒙，后者于次年在《克雷尔杂志》上发表了这个例子，从而引出了以后一系列关于函数具有“反常”性态的发现．魏尔斯特拉斯在分析中的另一重大工作是证明闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近和周期为2π的连续函数可以用三角多项式一致逼近．这两条定理后来有许多推广．毫无疑义，魏尔斯特拉斯的严格性最突出的表现是通过ε－δ建立整个分析体系．随着他的讲授和他的学生的工作，他的观点和方法传遍欧洲，他的讲稿成为数学严格化的典范．F．克莱因(Klein)在1895年魏尔斯特拉斯80大寿庆典上谈到那些年分析的进展时说，“我想把所有这些进展概括为一个词：数学的算术化”，而在这方面“魏尔斯特拉斯作出了高于一切的贡献”．D．希尔伯特(Hilbert)认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深遽的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础．通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难．……今天……分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，……本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动．”魏尔斯特拉斯的严格化也遭到一些人反对，最突出的是L．克罗内克(Kronecker)．他对算术化进行了激烈的、刻薄的抨击，甚至否认象处处连续处处不可导函数这样的例子有任何意义．解析函数论的奠基人魏尔斯特拉斯以其富有独创性的方法，首次以不依赖于几何直观的严格方式阐述和论证了复变函数论，使这一19世纪中成就最辉煌的数学分支进入了深入发展的阶段．他在这方面的工作不仅见诸论文[2，3，4，5]，而且更多体现在他讲授的课程中[12，15，18]．解析性、解析开拓与完全解析函数魏尔斯特拉斯研究解析函数的出发点是解析性概念．如果定义于复平面的区域D中的复值函数f在D的每个点的一个邻域内可展开为幂级数，则称f在D内解析．这样的函数在复意义下可导．他得到不恒等于零的解析函数f在其零点a处的分解式f(z)=(z-a)n g(z)，其中g在a的邻域内解析且g(a)≠0．由此得到零点的孤立性和解析函数的唯一性定理．他指出，给定以 a为中心、收敛半径为r(>0)的幂级数f，对圆盘|z-a|<r 中的每点b，f可展开为以b为中心、收敛半径r(b)≥r-|b-a|的幂级数．由此可按r(b)> r-|b-a|或r(b)=r-|b-a|把收敛圆盘边界上的点分为正则点和奇点两类．前一情形可对f进行解析开拓，后一情形则不能．他证明ρ=inf｛r(b)：|b-a|＜r｝＝0，从而得到幂级数收整数且满足ab≥10)表明此边界可能只含有奇点，他称之为“自然边界”；此时f不可能解析开拓到收敛圆外．这样的开拓可能导致回到同一点时得到不同的函数值．在1884—1885学年的讲授中，魏尔斯特拉斯引进了“解析函数元素”概念．如果S是以a为中心的具有正收敛半径的幂级数，则称(a，S)为一个解析函数元素，简称元素．给定两个元素(a，S)，(b，T)，如果S与T的收敛圆盘之交非空且S与T在此交上相等，则称这两个元素互为直接解析开拓．设(a0，S0)，(a1，S1)，…，(a n，S n)是一个元素链，如果链中任何两个相邻元素互为直接解析开拓，则称(a0，S0)与(a n，S n)互为解析开拓．从一个元素出发进行一切可能的解析开拓所得到的元素的全体，就是一个整体解析函数，它一般是多值的．这种函数被称为完全解析函数．整函数与亚纯函数魏尔斯特拉斯把只在无穷远点处有一个奇点的解析函数称为整函数，并得到了被R．奈望林纳(Nevanlinna)称为“现代分析中最奇妙的结果之一”的整函数分解为素因子的定在任一|z|≤R上一致收敛，于是整函数其中g是整函数．对于解析函数的孤立奇点，魏尔斯特拉斯区别了极点和本性奇点．在1874年12月16日致科瓦列夫斯卡娅的信[21]中，他表述了下述命题：如果a是f(z)的本性奇点，则对任何复数c(可为∞)，存在z n→a，使得f(zn)→ c．根据F．卡索拉蒂(Casorati)1864年在柏林游学时所作的笔记，在当时他与魏尔斯特拉斯等人的多次讨论中，已谈到这一定理．卡索拉蒂和Ю．B．索霍茨基(Сохопкий)于1868年分别发表了类似结果．这一定理以及E．皮卡(Picard)于1879年发表的著名定理，成为现代亚纯函数值分布论的起点．魏尔斯特拉斯还得到了具有有限个本性奇点和任意多个(可为无穷个)极点的解析函数的一般表示式．多复变函数论在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数gμ(z1，…，z n)=0(μ=1，…，m；m＜n)所确定的隐函数z v=h v(z m+1，…，z n)(v=1，…，m)可展开为幂级数的定理．魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，是他于1860年讲课中提出并于1879年发表的“预备定理”[9]：如果F(z1，…，z n)是原点邻域内的解析函数，F(0，0，…，0)=0，F(0，…，0，z n)0，则在原点邻域中F可表示为其中k是不小于1的整数，a v(z1，…，z n-1)(v=1，…，k)在原点邻域内解析且在原点处取零值，g在原点邻域内解析且不等于零．这是多复变函数论中最早的一条深刻定理，它使得现代解析集的局部研究中应用代数方法成为可能，对解析集研究具有重要意义．魏尔斯特拉斯的函数论魏尔斯特拉斯与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人，但在方法与途径上并不相同[11]．他建立解析函数论的原意是作为他关于阿贝尔积分与阿贝尔函数一般理论的导引．现在看来，他的主要目标反倒退居次要地位，而他的严格的、批判的、犀利的观念，以及他所提供的一般性理论和方法，则成为他对这一领域的主要贡献．在这方面，他与黎曼明显不同．黎曼以狄利克雷原理为基础建立他的著名的映射定理，而魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理的批评使这个原理和黎曼强有力的方法几乎一蹶不振．直到1899年，希尔伯特的工作才使它们得以“复活”．在谈到黎曼面时，魏尔斯特拉斯说他“不能接受这是函数论真正基础”的提法，虽然他也承认这种方法“具有数学想象力”[15]．在一般方法论上，他说：“我越是思考函数论——这是我不断研究的领域——的各种原理，就越确信它必须建立在简单的代数真理的基础上；谁如果不是把它建立于简单而基本的代数命题，而是借助于‘直觉’(我用这个词来概括描述)，谁就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼那样，他通过这种方法发现了代数函数那么多重要的性质．”不过他也强调在研究时可以采用多种渠道，他讲的“只是关于应当怎样建立系统的理论基础问题”．克莱因在比较这两位数学家时说过：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家．……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进．在他工作的分支中，他力图达到确定的形式．”H．庞加莱(Poincaré)写道，魏尔斯特拉斯使“整个解析函数论成为幂级数理论的一系列推论，因而它就被建立在牢靠的算术基础上”，“黎曼的方法首先是一种发现的方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法”．到19世纪末，德文“Funktionenlehre”几乎已成为按照魏尔斯特拉斯的观念建立的复变函数论的同义词，但也有人持有异议．S．李(Lie)批评德国没有象样的几何学家，他把这种状况归咎于魏尔斯特拉斯学派占据统治地位．克莱因在肯定算术化同时也强调数学决不会由逻辑推导完成，直观总是具有特殊重要性．康托尔甚至提出人们应当区别魏尔斯特拉斯实际所做的工作与围绕着他树立起来的神话．在数学其他领域中的贡献椭圆函数论与阿贝尔函数论魏尔斯特拉斯引进函数 Al(u)k(k=1，2，3)与A1(u)，他采用这些记号显然是为了纪念阿贝尔．他通过这些函数解决了把snu，cnu，dnu表示为幂级数之商的问题．后来，他引进了在其椭圆函数论中起核心作用的函数，它是第一类椭圆积分的反演，满足微分方程并以u=0为极点．他得到了(u)的加法定理，从而把它解析开拓为全平面上的亚纯函数，并得到展开式他在“关于阿贝尔积分论”和1856年发表的另一论文中研究了超椭圆积分的反演问题：由方程组确定x1，…，x n作为(u1，…，u n)∈C n的函数，其中通过引进第一类与第二类完全积分与函Al， Al j，al j=Al j/Al(j=0，1，…，2n)，他得到了问题的解，导出了这些函数所满足的偏微分方程组与作为幂级数之商的表示式，建立了al j之间的一些代数关系式．魏尔斯特拉斯于1869年完成了关于阿贝尔积分的一般理论，并在其后的一系列课程中加以阐述．在他的理论中，由一个不可约代数方程定y=ψ(t)是收敛幂级数；他称这样的集合为“代数层”．他由此出发定义亏格(他称之为“级”)，证明亏格在双有理变换下不变．他还定义定形式关于一个代数层的所有元素的残数之和为零，由此得到F(x，y)的分解式．通过研究只有一个极点的有理函数，他得到亏格的新的代数刻画．他证明用有限个解析元素即可表示一个代数层，这相当于证明代数函数黎曼面的紧性．他证明了阿贝尔函数论中的一条基本定理：具有相同周期2p的P+1个P元阿贝尔函数之间存在一个代数关系．变分法魏尔斯特拉斯关于变分法的研究最早通过A．克内泽尔(Kne-ser)的《变分法教程》(Lehrbuch der Variationsrechung， 1900)得到传播，该书对变分法研究有深远影响．他关于变分法的讲义是由许多学生笔录的．在该讲义中，他考察平面变分法问题的参数形式即积分假定F在某个区域中正则并具有正齐性．第11章中证明了著名的“角条件”：给定的极小化曲线在(t0，t1)中有限个点处间断地改变切线方出可比关于共轭点命题的严格证明(第16章)．他清晰地表述了曲线C为极值曲线的三个必要条件：(1)沿此曲线x，y作为t的函数满足。
魏尔斯特拉斯生平简介
魏尔斯特拉斯生平简介魏尔斯特拉斯（Weierstrass）是德国数学家，1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。
魏尔斯特拉斯是一位海关官员之子，在青年时代已显示出对语言和数学的才华。
但是1834其父却把他送到波恩大学学习法律与财政学。
由于事与愿违，他精神萎靡，把时间消磨在击剑和饮酒之中，4年后未获得学位返家。
1839年为取得中学教师资格而进入明斯特学院，并在数学家古德蔓指导下自修数学。
1841年通过考试获得中学教师的职务，先后在蒙斯特、达赤克郎、布伦斯堡等中小城镇的中学任教达15年之久。
魏尔斯特拉斯酷爱数学，但白天有繁重的教学任务，只好利用晚上刻苦钻研数学。
虽然他废寝忘食地研究数学，写出过不少数学论文，但由于只是一位中学教师而未受到科学界的重视，直到1854年他发表了《关于阿贝尔函数理论》的论文，成功地解决了椭圆积分的逆问题，才轰动了数学界。
柯尼斯堡大学也因此立即授予他名誉博士学位。
1856年10月他被聘为柏林大学助理教授，1864年成为该校教授，这一职位一直保持到1897年去世。
此外，他还被选为法国科学院和柏林科学院院士。
魏尔斯特拉斯是将分析学置于严密的逻辑基础之上的一位大师，被后人誉为“现代分析之父”。
他在分析严密化方面改进了阿贝尔、波尔查诺、柯西等人−”的极限定义和函数在一点连续的工作。
他给出了现今微积分教材中的“εδ的定义，从而把莱布尼兹的固定无穷小，柯西的“无限趋近”、“想要多小就多小”、“无穷小量的最后比”等等不确切的提法给以精确形式的描述。
他在幂级数的基础上建立了解析函数的理论和解析延拓的方法，提出了级数理论中关于一致收敛的概念及其判别准则。
特别值得一提的是他给出了一个所谓“病态函数”，即一个处处不可微的连续函数。
在19世纪初期，一般人都认为任意连续函数都是可微的，只可能在一些孤立点处出现例外。
但魏尔斯特拉斯在1861年的讲课中就明确提出，要想从连续性推出可微性的任何企图都必定失败。
卡尔特奥多尔 威廉 魏尔施特拉斯
庞加莱评价时写到："黎曼的方法首先是一种发现方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法。"
人物经历
父 亲 威 廉 ·魏 尔 斯 特 拉 斯 是 受 法 国 雇 佣 的 海 关 职 员 ， 威 廉 在 家 里 十 分 严 厉 而 且 专 断 。 1 4 岁 卡 尔 进 附 近 帕 德 博 恩城的一所天主教预科学校学习，在那里学习德语、拉丁语、希腊语和数学。中学毕业时成绩优秀，共获7项奖， 其中包括数学，但不容卡尔有半句分辩，他的父亲却把他送到波恩大学去学习法律和商业，希望他将来在普鲁士 民政部当一名文官。
此外，魏尔斯特拉斯还在椭圆函数论、变分法、代数学等诸多领域中作出了巨大的贡献。而且，他培养了大 批的著名数学家，其中有Engel、Bolza、Frobenius、Hensel、Holder、Hurwitz、Klein、Killing、Lie、 Minkowsky、Runge、Schwarz、Stolz等。
3......
教育上的贡献
魏尔斯特拉斯一生热爱数学，热爱教育事业，热情指导学生，终身孜孜不倦。他不计个人名利，允许学生们 或别人把他的研究成果用种种方式传播，而不计较功绩谁属的问题，这种高贵品德也是十分可贵的。他培养出了 一大批有成就的数学人才，尤其是世界历史上第一位数学女博士：柯瓦列夫斯卡娅（Софья Васильевна Ковалевская，1850年1月15日-1891年2月10日，俄国女数学家，德国格丁根大学哲学博士，曾任瑞典斯德哥 尔摩大学教授。在偏微分方程和刚体旋转理论等方面有重要贡献。1888年因解决刚体绕定点旋转问题而获得法兰 西科学院鲍廷奖，并成为圣彼得堡科学院院士，是俄国历史上获此称号的第一个女性。）。 俄国著名女数学家柯 瓦列夫斯卡娅
两个数学家的简历
两个数学家的简历【简介两位数学家】数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）和安德烈·魏尔斯特拉斯（Andreyevich Markov，1856-1922）分别出生于不同的时代，但他们都在数学领域取得了举世瞩目的成就。
高斯被誉为“数学王子”，而魏尔斯特拉斯则被誉为“概率论的父亲”。
【生平事迹及贡献概述】卡尔·弗里德里希·高斯出生于德国，自幼展现出数学天赋。
他在数学领域的贡献极为广泛，包括数论、统计学、微分几何、大地测量学等多个领域。
高斯的研究成果具有深远的影响，例如高斯分布、高斯积分、高斯消元法等。
安德烈·魏尔斯特拉斯出生于俄罗斯，后成为法国籍数学家。
他的研究主要集中在概率论、实分析、复分析等领域。
魏尔斯特拉斯的成果包括马尔可夫链、魏尔斯特拉斯定理等。
他的研究为概率论的发展奠定了基础。
【数学成就及影响】高斯的数学成就不胜枚举，他对数学领域的贡献长达几十年。
高斯在数论方面的研究，尤其是对素数的分布规律的探索，使他成为了数学史上的传奇人物。
此外，他在统计学领域的研究，为后来的大数据分析奠定了基础。
魏尔斯特拉斯在概率论方面的研究具有开创性意义。
他的马尔可夫链理论成为了现代概率论和统计学的基础，对后续研究产生了深远的影响。
同时，他在实分析、复分析等领域的成果也为数学发展做出了重要贡献。
【对比分析两位数学家的研究特点和方法】高斯的研究特点是对数学问题进行全面深入的探索，善于运用广泛的数学知识解决复杂问题。
他的研究方法以严谨、细致著称，往往能找到问题背后的本质规律。
与之相比，魏尔斯特拉斯的研究更注重创新和开拓。
他在概率论领域的突破，正是通过对传统观念的挑战和对新问题的探索。
魏尔斯特拉斯的方法论较为简洁，善于抓住问题的关键，为数学领域带来新的观念和方法。
【总结】卡尔·弗里德里希·高斯和安德烈·魏尔斯特拉斯分别是德国和俄罗斯的数学巨匠，他们在数学领域的成就举世闻名。
魏尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯weierstrass德国数学家，生于巴伐利亚，卒于柏林。
weirstrass 堪称现代分析之父，他的论文与教学影响整个二十世纪分析学（甚至整个数学）的风貌。
weirstrass 的父亲官运不错，家庭经常搬家，weirstrass 因此经常转学。
虽然他在gymnasium时期（相当于初高中）已经常阅读《crell》期刊，展示他无比的数学天赋，他的父亲却在bonn（波昂）大学帮他安排好前途——法律、财政与经济。
weirstrass 心内挣扎于父命与兴趣，大学期间遂自我放逐，整天练习击剑和酗酒，身心冲突甚至影响他日后的健康。
他自修数学，阅读laplace的《天体力学》与Abel函数的论文，自己发展研究复变函数的工具，虽然当时他没发表这些早熟的成果，他在大四已下定决心献身数学研究。
但是因为他荒废bonn大学的学业，不能毕业，26岁时，他辗转取得高中老师的资格，开始15年的高中数学教师生涯，但事实上他同时还要教授物理、植物学、地理、历史、德文、书法、体育等课程，课务繁冗不堪，加上他争取每一分钟从事数学研究，使他在35岁后的12年间，间歇性地严重晕眩。
除了一些在地方学报发表的数学文章。
weirstrass 第一篇重量级论文〈zur theorie der abelschen functionen〉（abel 函数理论）1854年发表在《crelle 》期刊，展示他之前发展已久之收敛幂级数法的威力。
konigsberg大学因此给他荣誉博士学位，并且他也开始申请大学的教职， Dirichlet 甚至向普鲁士文化部强力推举他在大学任教。
1856年当他第二篇关于abel函数的论文发表后。
各大学及研究院的聘书蜂拥而至，最后以41岁的「高龄」，他落脚在柏林大学。
与kummer， kronecker将柏林大学的数学研究带入鼎盛时期。
不知道是否与他的高中教师经历有关，weirstrass 的授课十分成功吸引了全世界的数学学子。
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卡尔·魏尔斯特拉斯
卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm
Weierstraß，姓氏可写作Weierstrass，1815年10月31日－1897
年2月19日），德国数学家，被誉为“现代分析之父”。
生于威
斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。
卡尔·魏尔斯特拉斯的父亲是威廉·魏尔斯特拉斯（Wilhelm
Weierstrass），任政府官员；母亲是特奥多拉·冯德福斯特
（Theodora Vonderforst）。
他在文理中学（Gymnasium）学习
时对数学开始感到兴趣，但他中学毕业后进入波恩大学准备
在政府谋职。
他要学习的是法律、经济和金融，违背了他读
数学的心愿。
他解决矛盾的方法是不留心于指定课业，私下
继续自学数学，结果他没有学位就离开了大学。
他父亲在明
斯特一家师训学校为他找到一个位子，他之后也得以注册为
该市教师。
他在这段学习中上了克里斯托夫·古德曼
（Christoph Gudermann）的课，对椭圆函数萌生兴趣。
1835年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了
德国数学家雷尔主办的《数学杂志》并受到了赏识。
1850年后魏尔斯特拉斯长年患病，但仍然发表论文，这些论文使他获得声誉。
1857年柏林大学给予他一个数学教席。
给函数的极限建立了严格的定义，是他对数学的一个贡献。
论文摘记
∙关于阿贝尔函数的理论Zur Theorie der Abelschen Functionen (1854)
∙阿贝尔函数的理论Theorie der Abelschen Functionen (1856)
参见
∙魏尔斯特拉斯逼近定理
∙魏尔斯特拉斯函数（处处连续，但处处不可微之函数。
可说是最早的碎形之一。
）∙魏尔斯特拉斯判别法
∙魏尔斯特拉斯分解定理。