林德曼-魏尔斯特拉斯定理
关于r^n上的维尔斯特拉斯定理
关于r^n上的维尔斯特拉斯定理维尔斯特拉斯定理（Weierstrass theorem）是数学分析中的重要定理之一，它关于连续函数的逼近性质给出了精确而强大的结果。
该定理的内容非常广泛，在不同的领域中具有不同的表述和应用。
以下是关于r^n上的维尔斯特拉斯定理的相关参考内容。
维尔斯特拉斯定理最早由德国数学家卡尔·韦尔斯特拉斯于1885年提出。
定理精确地描述了一种连续函数的逼近方法。
具体而言，对于定义在R^n（n维实数空间）上的连续函数f: R^n → R，维尔斯特拉斯定理确保了存在一个多项式序列{P_k}，使得{P_k}能以任意精度逼近函数f。
这意味着对于任意给定的ε>0，存在一个正整数k，使得当k足够大时，对于R^n上的任意x，有|f(x) - P_k(x)| < ε成立。
维尔斯特拉斯定理为数学分析和近似理论提供了非常有力的工具。
它深刻地揭示了连续函数的逼近性质，将其与多项式函数的性质联系起来。
维尔斯特拉斯定理的一个重要推论是Stone-Weierstrass定理，它进一步扩展了该定理的应用范围，使得逼近对象可以是更一般的函数类。
维尔斯特拉斯定理的证明相对复杂，一般需要通过分析、实分析和拓扑等数学工具来完成。
证明的核心思想是利用多项式函数在有限闭区间上的逼近性质以及函数空间的完备性质来构造出该定理所要求的多项式序列。
这个证明过程并不容易掌握，需要具备一定的数学知识和分析能力。
维尔斯特拉斯定理在实际应用中有广泛的用途。
例如，在数值计算中，该定理为用多项式逼近连续函数提供了数学依据。
它被应用于信号处理、图像处理、数值积分等领域，为算法设计和计算方法提供了理论支持。
此外，在数学建模中，维尔斯特拉斯定理可以用于近似分析和函数逼近问题，为问题求解提供了一种有效的方法。
维尔斯特拉斯定理在实际问题中也存在一些限制。
首先，该定理仅适用于R^n上的连续函数逼近，对于一些具有特殊性质或不连续的函数，可能需要其他方法来进行逼近。
数学家魏尔斯特拉斯
卡尔·魏尔斯特拉斯卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor WilhelmWeierstraß，姓氏可写作Weierstrass，1815年10月31日－1897年2月19日），德国数学家，被誉为“现代分析之父”。
生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。
卡尔·魏尔斯特拉斯的父亲是威廉·魏尔斯特拉斯（WilhelmWeierstrass），任政府官员；母亲是特奥多拉·冯德福斯特（Theodora Vonderforst）。
他在文理中学（Gymnasium）学习时对数学开始感到兴趣，但他中学毕业后进入波恩大学准备在政府谋职。
他要学习的是法律、经济和金融，违背了他读数学的心愿。
他解决矛盾的方法是不留心于指定课业，私下继续自学数学，结果他没有学位就离开了大学。
他父亲在明斯特一家师训学校为他找到一个位子，他之后也得以注册为该市教师。
他在这段学习中上了克里斯托夫·古德曼（Christoph Gudermann）的课，对椭圆函数萌生兴趣。
1835年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家雷尔主办的《数学杂志》并受到了赏识。
1850年后魏尔斯特拉斯长年患病，但仍然发表论文，这些论文使他获得声誉。
1857年柏林大学给予他一个数学教席。
给函数的极限建立了严格的定义，是他对数学的一个贡献。
论文摘记∙关于阿贝尔函数的理论Zur Theorie der Abelschen Functionen (1854)∙阿贝尔函数的理论Theorie der Abelschen Functionen (1856)参见∙魏尔斯特拉斯逼近定理∙魏尔斯特拉斯函数（处处连续，但处处不可微之函数。
可说是最早的碎形之一。
）∙魏尔斯特拉斯判别法∙魏尔斯特拉斯分解定理。
数学的15条定理
15定理▪2π定理▪Sun-Ni定理▪Vizing定理▪阿贝尔定理▪阿贝尔二项式定理▪阿贝尔-鲁菲尼定理▪阿贝尔曲线定理▪阿达马三圆定理▪阿蒂亚-辛格指标定理▪阿尔泽拉-阿斯科利定理▪阿基米德原理▪阿基米德中点定理▪埃尔布朗定理▪艾森斯坦定理▪安达尔定理▪奥尔定理▪巴拿赫不动点定理▪巴拿赫-塔斯基悖论▪贝尔纲定理▪贝亚蒂定理▪贝叶斯定理▪贝祖定理▪本迪克森-杜拉克定理▪本原元定理▪闭图像定理▪波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理▪伯恩斯坦定理▪伯特兰-切比雪夫定理▪博苏克-乌拉姆定理▪博特周期性定理▪不动点定理▪布尔素理想定理▪布朗定理▪布劳威尔不动点定理▪布列安桑定理▪采样定理▪陈氏定理▪垂径定理▪达布中值定理▪大数定律▪代数基本定理▪单调收敛定理▪单值化定理▪等周定理▪狄利克雷定理▪迪尼定理▪笛卡儿定理▪笛卡儿符号法则▪笛沙格定理▪棣莫弗定理▪棣莫弗-拉普拉斯定理▪多项式定理▪多项式余数定理▪二次互反律▪二项式定理▪法图引理▪法伊特-汤普森定理▪凡·奥贝尔定理▪反函数定理▪范德瓦尔登定理▪费马大定理▪费马多边形数定理▪费马平方和定理▪费马小定理▪芬斯勒-哈德维格尔定理▪弗罗贝尼乌斯定理▪辐角原理以上定理按数字及中文名拼音首字母和英文名首字母顺序排列▪富比尼定理▪高斯-卢卡斯定理▪高斯-马尔可夫定理▪高斯散度定理▪哥德巴赫-欧拉定理▪哥德尔不完备定理▪哥德尔完备性定理▪鸽巢原理▪格尔丰德-施奈德定理▪格林公式▪共轭复根定理▪勾股定理▪古尔丁定理▪古斯塔夫森定理▪谷山-志村定理▪哈恩-巴拿赫定理▪海涅-博雷尔定理▪海涅-康托尔定理▪亥姆霍兹定理▪赫尔德定理▪黑林格-特普利茨定理▪胡尔维兹定理▪蝴蝶定理▪华勒斯-波埃伊-格维也纳定理▪霍普夫-里诺定理▪积分第二中值定理▪积分第一中值定理▪基尔霍夫定理▪吉洪诺夫定理▪极值定理▪夹挤定理▪嘉当-迪厄多内定理▪角平分线定理▪介值定理▪紧致性定理▪卷积定理▪绝妙定理▪卡迈克尔定理▪卡诺定理▪开世定理▪开映射定理▪凯莱定理▪凯莱-哈密顿定理▪戡根定理▪康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理▪康托尔定理▪柯西定理▪柯西积分定理▪柯西-利普希茨定理▪柯西中值定理▪可靠性定理▪克莱姆法则▪克莱尼不动点定理▪克罗内克定理▪克罗内克-韦伯定理▪克纳斯特-塔斯基定理▪空间分割定理▪拉东-尼科迪姆定理▪拉格朗日定理▪拉格朗日定理▪拉格朗日中值定理▪拉克斯-米尔格拉姆定理▪拉姆齐定理▪勒贝格控制收敛定理▪勒贝格微分定理▪勒让德定理▪勒文海姆-斯科伦定理▪雷维收敛定理▪黎曼级数定理▪黎曼-勒贝格定理▪黎曼-罗赫定理▪黎曼映射定理▪里斯表示定理▪良序定理▪林德曼-魏尔斯特拉斯定理▪零一律▪刘维尔定理▪留数定理▪六指数定理▪卢津定理▪吕利耶定理▪罗尔定理▪罗斯定理以上定理按中文名拼音首字母顺序排列▪马勒定理▪迈尔斯定理▪迈希尔-尼罗德定理▪毛球定理▪梅涅劳斯定理▪米迪定理▪密克定理▪闵可夫斯基定理▪莫尔-马歇罗尼定理▪莫雷角三分线定理▪莫雷拉定理▪拿破仑定理▪纳什嵌入定理▪鸟头定理▪牛顿定理▪欧几里得定理▪欧拉定理▪欧拉定理▪欧拉旋转定理▪帕普斯定理▪帕塞瓦尔定理▪帕斯卡定理▪排容原理▪庞加莱-本迪克松定理▪庞加莱-霍普夫定理▪披萨定理▪皮卡定理▪皮克定理▪皮亚诺存在性定理▪婆罗摩笈多定理▪普罗斯定理▪谱定理▪齐肯多夫定理▪切除定理▪切消定理▪曲线基本定理▪儒歇定理▪若尔当曲线定理以上定理按中文名拼音首字母顺序排列▪萨维奇定理▪塞瓦定理▪三次互反律▪射影定理▪施图姆定理▪舒尔正交关系▪斯坦纳-雷姆斯定理▪斯通布尔代数表示定理▪斯图尔特定理▪斯托尔兹-切萨罗定理▪斯托克斯定理▪四顶点定理▪四平方和定理▪四色定理▪素数定理▪算术基本定理▪泰博定理▪泰勒公式▪泰勒斯定理▪泰勒中值定理▪同构基本定理▪图厄定理▪图兰定理▪托勒密定理▪威尔逊定理▪微积分基本定理▪韦伯定理▪韦达定理▪维纳一辛钦▪维维亚尼定理▪魏尔施特拉斯分解定理▪魏尔斯特拉斯逼近定理▪沃尔斯滕霍尔姆定理▪无限猴子定理▪五边形数定理▪五色定理▪西尔维斯特惯性定理▪西尔维斯特—加莱定理▪西罗定理▪西姆松定理▪线性代数基本定理▪线性同余定理▪演绎定理▪叶戈罗夫定理▪因式定理▪隐函数定理▪友谊定理▪有理根定理▪有限简单群分类▪有噪信道编码定理▪余弦定理▪圆幂定理▪詹姆斯定理▪正切定理▪正弦定理▪秩-零化度定理▪中国剩余定理▪中线定理▪中心极限定理▪中值定理▪主轴定理▪祖暅原理▪最大流最小割定理▪最大模原理。
用有理方法求e的近似值
用有理方法实现无理数e的近似计算摘要e是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828 无理数e的出现,对于数学学科而言,除了自然指数函数、自然对数函数、双曲函数的相关应用之外,与e有关的研究与结果极为丰富,如欧拉公式的复数形式i e +1=0,被人们称为人类最宝贵财富之一,这一公式巧妙地把纳皮尔常数、虚数单位、圆周率、以及0与1联系在一起.对于e而言,除了在数学学科的发展中的重要意义外,其它自然科学的发展也会处处可见与无理数e有关的痕迹,如物体的冷却、细胞的分裂、细菌的繁殖、放射性元素的衰变等,它也是在今天的银行业中对银行家最有帮助的一个数,此外在考古学的碳-14定年法、古画的铅-210或镭-226鉴定法中也有所涉及.所以精确计算出e的近似值就是一件非常重要和有意义的事情了.关键词：超越数; 无理数; 近似值TO REALIZE THE APPROXIMATE CALCULATION OFIRRATIONAL NUMBER E USING THE RATIONALMETHODABSTRACTE is the base number of natural logarithm,it is infinite and not repeating decimal, Its value is2.71828 ,the emergence of the irrational number e, for the mathematical subject, except the related application of natural exponential function, natural logarithm function, hyperbolic function , the study and results of e is extremely abundant , such as the form of the complex number of Euler Formula i e +1=0. Known as one of the most precious human wealth, this formula take the Napierian logarithm, the imaginary unit, the PI, 0 and 1 are linked subtly. For e, except the important meaning in the development of the mathematical subject ,outside the development of other natural science can everywhere find the trace of irrational number e, such as object cooling, cells dividing,bacterial breeding, the decay of radioactive elements and so on.It is a number that is most helpful for bankers in bank now , in addition it is also involved in Carbon dating-14, Ancient paintings of Pb-210or Ra-226methods produced. So, accurate calculate the approximation of e is very important and meaningful.Key words:transcendental number; irrational number; approximate value目录1.前言 (1)2.e的相关理论 (3)2.1e的定义及证明 (3)2.2以e为底的对数叫做自然对数的原因 (4)2.3e在数学分析方面的应用 (5)3.e是无理数及超越数的证明 (8)3.1证明e是无理数 (8)3.2证明e是超越数 (8)4.e的近似计算 (11)4.1利用数列11nn⎛⎫+⎪⎝⎭极限求e的近似值 (11)4.2利用x e幂级数展开求e的近似值 (13)4.3通过匹配试验计算e的近似值 (15)5.结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1.前 言e ,作为数学常数,是自然对数函数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number ）,以瑞士数学家欧拉命名,也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数.它就像圆周率π和虚数单位i,e 是数学中最重要的常数之一.它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 第一次提到常数e ,是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表.但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作.第一次把e 看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常数e ,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b 表示.1727年欧拉开始用e 来表示这常数;而e 第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica).虽然以后也有研究者用字母c 表示,但e 较常用,终于成为标准.用e 表示的确实原因不明,但可能因为e 是“指数”(exponential)一字的首字母.另一看法则称a,b,c 和d 有其他经常用途,而e 是第一个可用字母.不过,欧拉选这个字母的原因,不太可能是因为这是他自己名字Euler 的首字母,因为他是个很谦虚的人,总是恰当地肯定他人的工作.林德曼在魏尔斯特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)中提到了e 是无理数和超越数,由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明.e 是第一个获证为超越数,而不是像刘维尔数故意构造的.1lim 1xx e x →±∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭实际上e 就是欧拉通过这个极限而发现的,它是个无限不循环小数,其值等于2.71828…….以e 为底的对数叫做自然对数,用符号“ln ”表示.以e 为底的对数（自然对数）和指数,从数学角度揭示了自然界的许多客观规律,比如指数函数“x e ”对x 的微分和积分都仍然是函数本身.后人把这个规律叫做“自然律”,其中e 是自然律的精髓.因此,上述求极限e 的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一,并且名列第二.e 在数学中和自然指数函数、自然对数函数、双曲函数的相关应用有着密切的联系,此外e 在医学中也有所涉及,很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟.指数函数还有一个比较重要的方面在于它是唯一的函数与其导数相等,而且e 是无理数和超越数,由于e 具有很多特有的性质,所以研究e 的近似值,无论对于数学的学习还是其它学科的研究和应用,意义都是非常大的.通过对e 的一些性质的了解就更能激发我们进一步探索它的渊源、演变过程及对数学和各个学科的影响,更希望对以后更深入的学习数学分析和高等数学有所帮助.2. e 的相关理论2.1 e 的定义及证明e 是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828 ,它是这样定义的：当n →∞时,11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限记做e ,即1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.下面先给出e 做为数列极限的一种证明，后面在求e 的近似值的时候将具体给出1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的证明过程.证明1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明：所求证的极限等价于同时成立以下两个极限：1lim 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭()21-1lim 1xx e x →-∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭()22-先利用数列极限1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明(1)式成立.为此,作定义[)1,+∞上的两个阶梯函数如下：()11,1,1,21nf x n x n n n ⎛⎫=+≤≤+= ⎪+⎝⎭()111,1,1,2n g x n x n n n +⎛⎫=+≤≤+= ⎪⎝⎭易见f 增且有上界,g 减且有下界.()lim x f x →+∞与()lim x g x →+∞皆存在.于是,由归结原则（取{}{}n x n =）得到()1lim 11nx f x e n →+∞⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭()11lim 1n x g x e n +→+∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭另一方面,当1n x n ≤<+时有 1111111n x n+<+≤++ 以及 11111111nxn n x n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即有 ()()11xfx g x x ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭,[)1,x ∈+∞.从而根据迫敛性定理(1)式得证. 现证(2)为此作代换x y =-,则1111111yyxx y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且当x →-∞时y →+∞,从而有1111l i m 1l i m 1111y xx y e x y y -→-∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭以后还常用到e 的另一种极限形式：()1l i m 1aa a e →+= 事实上,令1a x=,则0x a →∞⇔→,所以 ()11l i m 1l i m 1xa x a e a x →∞→⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2.2以e 为底的对数叫做自然对数的原因对数函数()log 01a x a a >≠且的导数1log a y e x'=,对于a e =便有1y x '=,即ln y x =有()ln y x ''==1x ,而且只有ln x 的导数才等于1x,其他代数函数如:2y x =等的导数是不可能等于1x 的.这就是说代数函数n y x =不能得到微分为1x dx -的形式,积分是微分的逆运算.所以ln dxx C x=+⎰,就是说一个分式的分子是分母的微分.此分式的积分就是分母以e 为底的对数,只要形状呈()()()()f x dx df x f x f x '=⎰⎰,则()()()ln f x dxf x C f x '=+⎰,这反映了自然界的现象有种种函数关系.而要确立变量之间的函数关系往往需要确立函数的导数或微分的关系式.即微分方程,通过解这种方程,得出所要求的函数关系若方程中存在()()f x dxf x '⎰的项.那么积分后便会出现以e 为底的对数,而且,反映自然界规律的函数关系.总是以指数形式或对数形式出现的,所以必定是以e 为底的对数最能说明以e 为底的指数或对数和自然数界的关系是自然界的复利律(凡函数的导数和函数本身成正比的性质均叫做复利律).我们知道,()x x e e '=即x e 的导数等于其本身.而且一个函数其导数等于其本身的只有x e 所以, 若发现一个函数y , 其导数(变化率)与函数本身成正比.我们便可断定所研究的函数是以e 为底的指数函数或对数函数即dyay dx=±则ax y ce =或ax y ce -=( 其中ac 为常数).若函数的数量是增加的则为正,减少的则为负.由此可知,若写成对数形式,则是以e 为底的对数,除一些经验式外,一般不可能有其它正数为底的指数或对数出现.所以,人们将以e 为底的对数称作自然对数.e 作为数学符号使用最早是欧拉人们为纪念他,才确定用“e ”作为自然对数的底数.2.3 e 在数学分析方面的应用由于数e 不仅是数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭也是函数()11xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当x →∞时的极限,而数学分析的研究对象是函数,确切地说是用极限的方法来研究函数,数学分析中几乎所有的概念都离不开极限,因此数e 这一重要的函数值,在数学分析方面有诸多应用. 1、应用e 求极限利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭这一重要的极限求出一些函数极限.例:求 2225lim 5x x x x →∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭解: 原式=()2105510221010lim 11log 55x a x f x x x x -→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦10e = ()010a x <≠> 2、应用e 求导数对数函数()()log 010a f x x a x =<≠> 关于x 的导数就是数e 的典型运用. ()()()00limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆()0log log lima a x x x xx∆→+∆-=∆0log 1lim a x x x x∆→∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=∆01limlog 1xxa x x x x ∆∆→∆⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 01log lim 1x xa x x x x ∆∆→∆⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln x a=3、应用e 计算积分由于()1ln x x '=于是有积分基本公式1ln dx x c x=+⎰.利用这一公式可计算一些积分. 例：计算24dxx x-⎰解: ()()22242222111dx dx x x dx x x x x x x -+==---⎰⎰⎰ 221dx dxx x =+-⎰⎰ 2112121dx dx dxx x x=++-+⎰⎰⎰11121xin C x x+=-++-4 、应用e 判别级数的敛散性这主要是对于含有!n 的数项级数, 可运用司特林公式(()12!201nn n n n e e θπθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭)将!n 表为含有e 的关系式,然后再用柯西或达朗贝尔判别法来判定级数的敛散性.例：判别正项级数12!n n n n n∞=∑的敛散性解:使用柯西判别法2!lim lim n n n n n n n n a n→∞→∞=2!lim nn n n→∞=2212122lim 22lim 221n n n n n n n n e n en e eeθθππ→∞→∞=⋅=⋅⋅=< ∴正项级数12!n n n n n∞=∑收敛5、应用e 求二阶常系数齐次线性微分方程的通解主要是根据指数函数的导数仍然是指数函数这一特性,将二阶常系数齐次线性微分方程转化为特征方程,进而求出此微分方程的通解. 例：求微分方程：250y y y '''++=的通解 解：它的特征方程为:2250r r ++=有一对共轭复根：112r i =-+ ,212r i =--.方程250y y y '''++=的通解 是：()12cos 2sin 2xy eC x C x -=+3. e 是无理数及超越数的证明3.1证明e 是无理数证明：假设e 是有理数,设为q p ,(,p q 为互素自然数) , 任取n p >,则由01!k e k ∞==∑两边同乘以!n 可得()()()11!!!1431,112n e n n n n n n n =++-⋅++++++++ ()*上式左端为正整数,故右端也应为正整数,但右端前1n + 项之和为正整数,而余项之和1n R + 却满足()()()()()11110112123n R n n n n n n +<=+++++++++ ()()()()222211111122111121121112n n n n n n n n n n ⎡⎤++<+++=⋅=<=≤⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦-+ 即1n R +不是整数,从而()* 式右端不是整数,产生矛盾,所以e 是无理数.3.2证明e 是超越数微积分的出现,使人们对使用以e 为底的指数函数x e 及其反函数ln x 的好处有了更为清醒的认识.如下列运算中不可避免地要出现以e 为底的自然对数:()()1ln ,log ln xxa a aa x x a''==而以e 为底的指数、对数函数在形式上却简单得多: ()ln x '= 1x , 从而ln dx x c x=+⎰, xe 更为特殊,它有任意阶导数且形式不变, 即()()n x x e e = 它是唯一具有这一特性的函数,并有()()n kx n x e k e =, 这一性质在求解微分方程中得到充分的应用.此外,利用以e 为底的指数函数还可定义出一类新的函数--双曲函数: ,22x x x xe e e e shx chx ---+==等.它们与三角函数有许多类似之处,所以猜测e 可能是一个超越数(超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数).1873 年, 厄尔米特证明了e 的超越性,具体证明过程如下: 证明：假使e 是代数数, 即存在不全为零的整数01,,,m a a a 使20120m m a a e a e a e +++=()31-第一步,设()f x 是任意n 次多项式,因()()10n f x +=由分部积分公式, 得()()()()()00b bxxnf x e dx ef x f x f x --⎡⎤'=-+++⎣⎦⎰记 ()()()()n F x f x f x f x '=+++ 则 ()()()00bbbx e F F b ef x e dx -=+⎰()32-在()32- 式中依次令0,1,2,,,b m =得 ()()000,e F F =()()()11101xe F F ef x edx -=+⎰()()()222002x e F F e f x e dx -=+⎰()()()00mm m x e F F m e f x e dx -=+⎰ 将以上各式依次乘以01,,,m a a a 并相加.得()()()()()201201001mm m F a a e a e a ea F a F a F m +++=++++()01mii x i i a e f x e dx -=∑⎰0=()33-第二步,由()1 式可知,对任意一个多项式()f x ,()3式均成立.因此只要能找到一个多项式()f x ,使()3 式不成立即可. 令()()()()()11121p p pp f x x x x x m p -=---- 其中p 是大于m 和0a 的素数, 这个多项式的p 阶或更高阶导数具有整系数.且由于()()11!p n n n n p c p --+=⋅所以()f x 的p 阶或更高阶导数必能被p 整除,因()f x 及其前1p -阶导数在1,2x m = 处均为零,则()()()1,2,F F F m 都是p 的整数倍,但当0x =时, ()f x 只有()()()()20000p f f f-'==== 且()()()101!pmp fm -⎡⎤=-⎣⎦, 此时 ()()()()()()()110000p p mp p F f f f -+-=+++ 于是()0F 不能被p 整除.又因p 是大于m 与0a的素数,所以0a 不能被p 整除, 从而()()()0101m a F a F a F m +++ 不能被p 整除,故不等于零.再考察()3中另一部分()01mii x i i a e f x e dx -=∑⎰在区间[]0,m 上,有()()()()11001!1!mp p mp p ii x xm m f x e dx f x e dx p p +-+---<<--⎰⎰而且, 若令01m a a a a =+++ 则 ()()()()()11111!1!p m mp p mii x m m mi i m ma e f x e dx ae ae mp p -++--=<⋅=--∑⎰,因()1lim 01!mp p p m p +-→∞=- 所以当p 充分大时,()01m i ix i i a e f x e dx -=∑⎰可任意小, 可见()3 式右端之和不能等于零,这就产生了矛盾.所以e 不是代数数,故e 是超越数.4. e 的近似计算4.1利用数列11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭极限求e 的近似值利用熟知的几何平均与算术平均关系不等式, 即对()01,2,i x i n ∀>= 有1212n nn x x x x x x n++≥ ()1成立, 其中等号当且仅当: 12n x x x === 时成立. 1)单调性因()1对任意自然数n 成立,对1n +也成立. 令()111,1,2,,1i n x i n x n+=+== 则由()1有 11111111111n n n n n n n +⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅<=+⎪++⎝⎭()2 111111n n n n +⎛⎫⎛⎫∴+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增.2)有界性令()11111,2,,1ni n n n x i n x k k -+⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭,其中k 为大于1的正整数.代入()1有1111111111nnnn n n n n n k k k k n --+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++< ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭整理得()111111nn n k n n k k k -⎛⎫⎛⎫-+>+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即 111nk kn k k k ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3由()2,()3有 1111nk nn n k ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4故数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有上界.根据数列极限的单调有界准则知11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭必定收敛.我们用常用对数的工具,能求出e 的近似值,并由误差估计可知,这种近似值可以达到相当高的精确度.为此,我们先证()4式右端随k 的增大而单调减少.对正整数(),1n k k >,改写 ()4为1111nk kkn k k k k k ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫<+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()4'由()2知,()4'左端随k 增大而单调增加.现证右端单调减少.事实上,令 ()11,1,2,,i x i n k =-= 11k x += ,由()1有 111111111k k k k k k k k +⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅<=⎪++⎝⎭11111111k kk k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴-<-++即 111kkk k k -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为单调增加序列,从而1kk k ⎛⎫⎪-⎝⎭为单调减少序列.将()4'两端相减得121111101111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ---⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()12111111k kk k k k k k k k k k k --+-⎛⎫⎛⎫<⋅= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭1kk k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 为单调减少序列,故当2k ≥时,都有224121nk k ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又1lim 0k k →+∞= , 1lim 01k k k k k k k →+∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴-=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此()4'两端当k →∞时都趋于e ,如果将()4'左端作为e 的不足近似值,右端作为过剩近似值,随着k 的增大,其相对误差将越来越小.从而这些近似值的精确度将越来越高.令1,1kkk k k k A B k k +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,利用常用对数的工具,取不同的k 值,就得到e 的具有不同精确度的近似值,如果取此两者的算术平均值()12k k k C A B =+作为e 的近似值,则其精确度将会更高我们选取某些特定k 值,制成下表ke 的不足近似值e 的过剩近似值两者的算数平均值1kk k A k +⎛⎫= ⎪⎝⎭ 相对误差 1kk k B k ⎛⎫= ⎪-⎝⎭相对误差 ()12k k k C A B =+ 相对误差2 2.25 21710-⨯ 4 24710-⨯ 3.125 21510-⨯3 2.370370 21310-⨯ 3.375 22410-⨯ 2.872685 2610-⨯ 10 2.593742 2510-⨯ 2.867972 2910-⨯ 2.730857 3510-⨯ 1002.7048143510-⨯ 2.731999 3510-⨯ 2.718407 5510-⨯ 1000 2.716924 4510-⨯ 2.719642 4510-⨯ 2.718283 7410-⨯ 10000 2.7181465510-⨯2.7184185510-⨯2.7182829810-⨯由此可见, 在证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限存在之后, 利用常用对数作为工具,就能顺利求出e 的近似值.因此本文介绍的方法是行之有效的, 也是比较容易掌握的,4.2利用x e 幂级数展开求e 的近似值上面我们提到利用数列11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限求e 的近似值,由于在n 取值较小时收敛速度较慢，通过改进，从等式1lim 1nx e n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出发, 11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭展开1111211111112!!n k x n k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++---++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111!n n n n -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,在此等式中固定自然数k ()k n ≤,弃去1k +项以后各项, 可得 111121211112!!k e n k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+-++--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,当n →∞时,有11122!3!!n e y k ≥+++++=对任何自然数k 成立, 即n y e ≤,又根据n x 的表达式,得11122!3!!n n x y n <+++++=由夹逼准则, 有 01lim !n n n y e n ∞→∞===∑事实上, 这正是xe 的幂级数展开式 0!nxn x e n ∞==∑中令1x =时所得结果. 当0x =时有)()()()()()200002!!n nn f f f x f f x x x R x n '''=+++++()麦克劳林公式（其中()n R x 是拉格朗日余项,泰勒公式还有佩亚诺型余项()(())n n o x R a x =-,柯西余项()(1)(1)(())()/!n n f n a x x x R a a n θ+=++--等）当1x =时有 ()()11111,012!3!!1!e e n n θθ=++++++<<+ 故 ()()()311!1!n e R n n θ=<++, 故 ()()111311,012!3!!1!e n n θ≈++++++<<+ 当2n =时,便有 2 2.5e = ,()2310.53!R <=, 3e ≈ 同理 当5n =时 5 2.758333333e =,()25311106!720R -<=<, 2.762433333e ≈ 当7n =时 7e =2.75992063,()47311108!40320R -<=<, 2.759994634e ≈ 从而略去()1n R 而求得e 的近似值 2.71828183e ≈这种计算e 的近似值的方法在知道了111112!3!!e n =+++++ 和误差估计公式的情况下收敛速度较快，误差较小.4.3通过匹配试验计算e 的近似值通过一个著名试验——匹配试验, 来构造无理数e 的估计公式. 在高等数学中, e 常通过下列两式近似得到：1、由1lim 1n n e n →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,得到 11nn e e n ⎛⎫=+≈ ⎪⎝⎭ ()n 充分大 ()12、由01!n e n ∞==∑,得到 01!nn i e e i ==≈∑()2 ()2式的近似误差为()31!n e e n -≤+因而近似效果很好.下面通过“匹配试验”构造e 的估计公式的基本思想是: 在“匹配试验”中寻找概念与e 或e 的近似值相关的随机事件, 利用“频率稳定于概率”的结论, 得到e 的频率估计公式.e 的估计公式概率论中著名的“匹配试验”是: 某人写了n 封不同的信, 又写了n 个不同地址的信封, 然后将n 封信随机地放入n 个信封内. 在此试验中我们关心 {}n A =没有一封信装对地址 显然 ()()()001=!knn n P A p n k =-∑,故 ()10p n e -≈ ()3 不妨令 ()10n r e p n -=- ,即()10n e p n r -=+ 其中()31!n r n ≤+ ,因而()3式近似程度很高.若将匹配试验独立地重复N 次, 若n A 发生()k N 次, 由贝努里大数定律()()0k N pNp n −−−→ ()N →∞ , 即 ()()0k N p n N ≈ ,所以 ()1k N e N-≈.从而得到e 的估计公式()()ˆNeN k N = ()4 匹配试验的模拟与e 的估计在实际试验时, 考虑n A 不如考虑n A 方便. {} n A =至少有一封信与地址一致, 显然 ()11n p A e -≈-利用扑克进行匹配试验并对e 进行了估计.方法是：取扑克中两种花色共26张牌, 每次随机取两张,若成对则认为是一个匹配.试验时,先将牌充分洗匀,若出现对子时停止试验.洗匀后再进行下一轮试验,否则摸完26张牌.共进行了2500次试验,有对子出现的有1578次.则()922k N =由()4 ,()()ˆ 2.711496746eN N k N == 而 2.718281828e ≈ ,故 ()3ˆ 6.810eN e --<⨯ 在给定置信概率1α-时, e 的近似区间估计为e 的()()()()()()111\1\221,1N N k N k N k N k N U k N U k N N N N N αα----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪+--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 证：由于()()()()()0110,1k N p n Nk N k N N N N N -⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭−−−−−−→ ()N →∞对置信概率1α-,()0p n 的置信上、下限分别为 上限：()()01\2N k N p n U N α-=+ ()()1k N k N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ;下限：()()01\2N k N p n U N α-=- ()()1k N k N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由于()10p n e -≈,故e 的近似置信上、下限分别为:()01\u e p n ≈ ,()01\L e p n ≈ 利用上述性质可以得到e 的 95%的区间估计为 []2.579226,2.858067若要使()ˆeN 估计e 的精度达到410- (()195%α-=,N 需94.87710⨯次, 显然手工试验是十分困难的. 随着计算机的出现和发展, 可以把真正的匹配试验利用统计模拟试验方法来代替, 即把匹配试验在计算机上实现.5.结论通过对e的近似值的研究,我们知道了e在生产生活中的重要性,它和数学研究以及其他自然科学都有着密切的联系.通过几种求e的近似值的方法的比较,可以看出利用x e幂级数展开求e的近似值是传统的方法,按部就班,便于理解;利用数列11nn⎛⎫+⎪⎝⎭极限求e的近似值在n取到10k,k的值较大时精确度较高,操作简便;匹配试验的模拟与e的估计是试验的方法虽然理论性强,但是操作复杂,有了计算机的辅助作用也不失为一种求e的近似值的好的方法.以上几种方法都能达到 2.71828183e≈ 的效果.通过本文更是证明了数学是一门基础科学,它是描述大自然与社会规律的语言,是科学与技术的基础,也是推动科学技术发展的重要力量,它是人类生产生活必不可少的工具,它使我们的生活变得更快捷,更准确.[1] 华东师范大学数学系,《数学分析》,上册,高等教育出版社,1997年:134页-139页[2]M·克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社,1979.[3]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1981.[4]闵鹤嗣，严士健.初等数论[M].北京：人民教育出版社,1982.[5]张楚廷. 数学文化[M]. 北京:高等教育出版社,2000.[6]刘玉琏．教学分析．北京：高等教育出版社，1994[7]吕世虎等.从高等数学看中学数学[M].北京: 科学出版社, 1995年:47页-57页.[8]宋秉信.湘潭教育学院.怀化师专学报,1998年;第17 卷:第2 期.[9]孙本旺译. 数学分析[M]. 湖南: 湖南人民出版社, 1981年:318页- 322页.[10]格.马.菲赫金哥尔茨.吴亲仁.陆秀丽译.数学分析原理( 第一卷, 第一分册) [ M] . 北京: 人民教育出版社, 1979年:96页- 102页.[11]张新仁,徐化忠山.东电大学报,2002 年第3 期.致 谢本文是在刘文莉老师精心指导下完成的.刘老师以其严谨求实的治学态度、认真踏实的工作作风对我产生了深刻的影响.通过此次毕业论文写作,我也学到了许多数学教学理论方面的知识,对于现在数学在生活中的应用也有了较深入的了解.其次,我要感谢父母对我的供养与支持,使我得以完成学业.诚挚的感谢鞍山师范学院教过我的所有老师,四年来精心的教导与栽培.感谢四年来与我朝夕相伴、同甘共苦的同学们.在老师和同学的细心帮助下,使得我的论文得以顺利完成.谢谢！。
实变函数最重要的三条定理
实变函数最重要的三条定理
实变函数最重要的三条定理包括：
1. 魏尔斯特拉斯逼近定理（Weierstrass Approximation Theorem）：对于任意给定的实变函数，存在一个多项式序列，该序列能够以任意精度逼近该函数。
也就是说，任意实变函数都可以用多项式函数来逼近。
2. 黎曼-勒贝格定理（Riemann-Lebesgue Lemma）：对于绝大多数的实变函数，它们的傅里叶变换在无穷远处趋于零。
换句话说，实变函数的傅里叶变换在高频部分衰减得非常快。
3. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实变函数，其平方和的积与平方和的乘积之间存在一个不等式关系。
该不等式用于衡量两个实变函数之间的相似程度，常用于证明实变函数的性质。
一致收敛的魏尔斯特拉斯定理
一致收敛的魏尔斯特拉斯定理1.引言1.1 概述引言是一篇长文中至关重要的部分，它旨在向读者引入文章的主题和背景，为后续内容的阐述提供一个整体的框架。
在本文中，引言将首先概述魏尔斯特拉斯定理的背景和定义，然后介绍一致收敛的概念，并说明本文的目的。
魏尔斯特拉斯定理是数学分析中的一个重要定理，它给出了一种判断函数序列是否在一个给定区间上一致收敛的方法。
在讲述魏尔斯特拉斯定理之前，我们先来了解一下它的背景。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数序列的情况。
函数序列是指由一系列函数组成的序列，每个函数都有自己的定义域和取值范围。
对于一个函数序列，我们希望能够找到一种方法来确定它是否在整个定义域上收敛，并且确保收敛的速度足够快。
为了解决这个问题，数学家魏尔斯特拉斯提出了一种判断函数序列是否一致收敛的定理。
一致收敛是指函数序列在整个定义域上以相同的速度收敛到同一个极限值。
魏尔斯特拉斯定理给出了一种条件，只要函数序列满足这一条件，就可以判断它们在整个定义域上一致收敛。
本文的目的就是详细介绍魏尔斯特拉斯定理的定义和证明过程，以及一致收敛的应用领域。
我们将首先解释魏尔斯特拉斯定理的概念和定义，然后给出其证明过程。
接着，我们将讨论一致收敛的应用，包括在数学分析、物理学和工程学等领域中的具体例子。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解魏尔斯特拉斯定理和一致收敛的概念，并且理解其在实际问题中的应用价值。
本文的结构将按照上述目的和内容进行安排，以便读者可以系统地学习和理解这一重要数学定理。
1.2文章结构文章结构主要包括以下几个部分：1. 引言：介绍本篇文章的主题和背景，引起读者的兴趣。
同时简要介绍魏尔斯特拉斯定理和一致收敛的概念。
2. 正文：详细阐述魏尔斯特拉斯定理的定义和背景。
魏尔斯特拉斯定理是数学分析中一条重要的极限定理，它说明了对任意一组逐点有界的实数函数序列，可以找到一个一致收敛的子序列。
在此部分，可以介绍该定理的历史背景和被提出的原因，以及相关的数学概念和术语的定义，为后续的证明和应用做准备。
丢番图逼近
1丢番图逼近数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。
这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。
数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。
由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。
由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。
当α是有理数时，上式不成立。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。
但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。
1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。
此即所谓丢番图逼近测度定理。
例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。
一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。
例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数p n/q n,满足不等式1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/q d。
亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。
根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。
以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。
魏尔斯特拉斯
代数
魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型为平方和给出了一般方法．他建立了矩阵的初等因子理论，实际上比C．若尔当(Jordan)早两年给出了现称的若尔当标准形；他完成了二次型理论并把它推广到双线性型．他于1861年得到了关于线性结合代数的一个基本结果(发表于1884年，)：具有有限个原始单元的实或复线性结合代数，如果满足乘积定律和乘法交换律，就必是实数构成的代数或复数构成的代数(戴德金约于1870年得到同样结果，并于1885年发表)．
其中k是不小于1的整数，av(z1，…，zn-1)(v=1，…，k)在原点邻域内解析且在原点处取零值，g在பைடு நூலகம்点邻域内解析且不等于零．这是多复变函数论中最早的一条深刻定理，它使得现代解析集的局部研究中应用代数方法成为可能，对解析集研究具有重要意义．
魏尔斯特拉斯的函数论
魏尔斯特拉斯与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人，但在方法与途径上并不相同[11]．他建立解析函数论的原意是作为他关于阿贝尔积分与阿贝尔函数一般理论的导引．现在看来，他的主要目标反倒退居次要地位，而他的严格的、批判的、犀利的观念，以及他所提供的一般性理论和方法，则成为他对这一领域的主要贡献．在这方面，他与黎曼明显不同．黎曼以狄利克雷原理为基础建立他的著名的映射定理，而魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理的批评使这个原理和黎曼强有力的方法几乎一蹶不振．直到1899年，希尔伯特的工作才使它们得以“复活”．在谈到黎曼面时，魏尔斯特拉斯说他“不能接受这是函数论真正基础”的提法，虽然他也承认这种方法“具有数学想象力”[15]．在一般方法论上，他说：“我越是思考函数论——这是我不断研究的领域——的各种原理，就越确信它必须建立在简单的代数真理的基础上；谁如果不是把它建立于简单而基本的代数命题，而是借助于‘直觉’(我用这个词来概括描述)，谁就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼那样，他通过这种方法发现了代数函数那么多重要的性质．”不过他也强调在研究时可以采用多种渠道，他讲的“只是关于应当怎样建立系统的理论基础问题”．
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林德曼-魏尔斯特拉斯定理
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1概述
2]ei]和π的超越性
3]pi]进数猜想
1概述
林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。
它表明，如果 α1,...,αn 是代数数，在有理数 ℚ 内是线性独立的，那么在 ℚ 内是代数独立的；也就是说，扩张域在 ℚ 内具有超越次数 n。
一个等价的表述是：如果 α1,...,αn 是不同的代数数，那么指数 在代数数范围内是线性独立的。
这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。
林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α，eα都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。
魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。
这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。
2]ei]和π的超越性
e和π的超越性是这个定理的直接推论。
假设α是一个非零的代数数，那么{α}在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，{e}是一个代数独立的集合，也就是说，e是超越数。
特别地，e = e是超越数。
另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果α是一个非零的代数数，那么{0, α}就是不同的代数数的集合，因此集合在代数数范围内是线性独立的，特别地，e不能是代数数，因此一定是超越数。
现在，我们来证明π是超越数。
如果π是代数数，2πi也是代数数（因为2i是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，e[sup]i[/sup] = 1（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。
把这个证明稍微改变以下，可以证明如果α是一个非零的代数数，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它们的双曲函数也是超越数。
3]pi]进数猜想
p进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设p是素数，α1,...,αn是p进数，它们都是代数数，且在Q内线性独立，使得对于所有的i，都有。
那么p进指数在Q内是代数独立的。