课时跟踪检测(十一) 指数函数及其性质

课时跟踪检测（十一） 指数函数及其性质
层级一 学业水平达标
1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1
；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x
； ④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1.
A ．0个
B ．1个
C ．3个
D ．4个
解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．y ＝⎝⎛⎭⎫34x 的图象可能是( )
答案：C
3．函数y ＝2x －1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)
D ．(0，＋∞)
解析：选C 由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.
4．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．[0,1)∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)
D.⎣⎡⎭
⎫1
2，＋∞ 解析：选C 依题意得2a －1>0，且2a －1≠1，解得a >1
2，且a ≠1，故选C.
5．若指数函数y ＝(3a －1)x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，23 B.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫13，23
D ．(0，＋∞)
解析：选B 由题意3a －1＞1，即a ＞23
.
6．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． 解析：据题意a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，∴a ＝2，
∴f (x )＝2x ，∴f (－3)＝2－3＝1
8.
答案：1
8
7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1
的定义域为________，值域为________． 解析：设u ＝x 2－1，
则u 的取值范围是[－1，＋∞)， x 的取值范围是R ，
∴y ＝⎝⎛⎭⎫12u 的取值范围是(0,2]． 答案：R (0,2]
8．把⎝⎛⎭
⎫122
3，21
3-
，21
3从小到大排列为________． 解析：∵21
3
-＝⎝⎛⎭⎫121
3，而0＜12＜1且13＜2
3
， ∴⎝⎛⎭⎫122
3＜⎝⎛⎭⎫121
3＜⎝⎛⎭⎫120＝1.
又∵2
1
3
＞20＝1，∴
⎝⎛⎭
⎫122
3＜21
3-＜21
3. 答案：⎝⎛⎭⎫122
3＜21
3-
＜21
3 9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21
x
－1；(2)y ＝⎝⎛⎭
⎫132x 2－2
. 解：(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x ＞0且21x ≠1，故21x －1＞－1且21x
－1≠0，故函数y ＝21
x
－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭
⎫132x 2－2的值域为(0,9]．
10．已知函数f (x )＝a x －
1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；
(2)求函数y ＝f (x )＋1(x ≥0)的值域．
解：(1)因为函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝a ＝12
.
(2)由(1)得f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1
(x ≥0)，则函数f (x )为减函数，当x ＝0时，取最大值2，故f (x )的值域是(0,2]，
所以函数y ＝f (x )＋1＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋1(x ≥0)的值域是(1,3]．
层级二 应试能力达标
1．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)
D ．(0,4)
解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x ≥0.又因为4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，即函数y ＝
16－4x 的值域为[0,4)．
2．函数y ＝21
x x
-－1的定义域、值域分别是( )
A ．R ，(0，＋∞)
B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}
C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠1}
D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠0} 解析：选C 要使y ＝21
x x
-－1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1
x
，
则可知
u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝21
x x -－1＞0－1＝－1，∴函数y ＝2
1
x x
-－1的定义域为
{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且y ≠1}．
3．函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx
的图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称
D ．直线y ＝－x 对称
解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x
＝⎝⎛⎭⎫1πx
的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx
与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.
4．若0＜n ＜m ＜1，则下列不等式中，成立的是( ) A ．n
－m
＜m
－m
B ．n n ＜m n
C ．m m ＜n m
D ．n
－m
＜m －
n
解析：选B 设f (x )＝n x ，g (x )＝m x ，
作出图象如图，
则只有B正确．
5．若函数y＝2(m＋1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数m的取值范围是________．解析：由已知，2m＋1＜1，即m＋1＜0，故m＜－1.
所求实数m的取值范围是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
6．已知函数f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧(3a－2)x＋6a－1，x＜1，
a x，x≥1，
在(－∞，＋∞)上单调递减，那么实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴
⎩⎪
⎨
⎪⎧3a－2＜0，
0＜a＜1，
3a－2＋6a－1≥a，
解得3
8≤a＜
2
3.
答案：⎣⎡⎭⎫
3
8，
2
3
7．(1)写出一个函数f(x)，满足f(x)＝
1
2f(x＋1)；
(2)写出一个函数f(x)，满足f(x)＝4f(x－2)．
解：(1)∵要使f(x)＝
1
2f(x＋1)必然考虑以2为底的指数函数，∴可取f(x)＝2
x能使f(x)＝12 f(x＋1)成立．
(2)f(x)＝2x＋3.
8．当a，b＞0时，比较a a b b与a b b a的大小．
解：
a a
b b
a b b a
＝a a－b b b－a＝⎝⎛⎭⎫a b a－b.
(1)当
a
b
＞1，即a＞b＞0时，⎝⎛⎭⎫a b x为增函数，
而a －b ＞0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞⎝⎛⎭⎫a b 0
＝1. (2)当a
b ＝1，即a ＝b ＞0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b ＝1. (3)当0＜a
b ＜1，
即0＜a ＜b 时，⎝⎛⎭⎫a b x
为减函数，而a －b ＜0， ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞⎝⎛⎭⎫a b 0＝1.
综上，总有⎝⎛⎭⎫a b a －b
≥1，而a b b a
＞0， ∴a a b b ≥a b b a (当a ＝b 时，“＝”成立)．。