图论简介及实例应用
图论及其应用
图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支，研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。
图论的应用广泛，涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。
本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。
图的基本概念图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，记作G=(V, E)，其中V为顶点的集合，E为边的集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图有向图中的边具有方向性，即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。
有向图可以表示一种有序的关系，比如A到B有一条边，但B到A可能没有边。
有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
无向图无向图中的边没有方向性，任意两个顶点之间都有相互连接的边。
无向图可以表示一种无序的关系，比如A与B有一条边，那么B与A之间也有一条边。
无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。
常用图论算法图论中有许多经典的算法，其中一些常用的算法包括：深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
通过从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入图中的顶点，直到无法再继续前进时，返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。
DFS可以用于判断图是否连通，寻找路径以及检测环等。
广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。
不同于深度优先搜索，广度优先搜索逐层遍历顶点，先访问离起始顶点最近的顶点，然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点，以此类推。
BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。
最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。
其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s A lgorithm）和弗洛伊德算法（Floyd’s Algorithm）。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。
最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。
其中最常用的算法是普里姆算法（Prim’s Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal’s Algorithm）。
数学中的图论及网络分析方法及应用
数学中的图论及网络分析方法及应用近年来，图论和网络分析已成为数学领域研究的热门话题。
图论是研究图和图的性质的数学分支，而网络分析是利用图论的理论和方法来分析网络结构和行为的一种应用研究。
这两个领域在生命科学、社会网络、信息科学等领域中都有着广泛的应用，本文将着重探讨数学中的图论及网络分析方法及应用。
一、图论的基本概念及应用图是数学中一种常用的模型，它可以用来表示各种复杂的关系和结构，如交通网络、社交网络和电路等。
在图中，节点表示物体或概念，边表示它们之间的关系。
图可分为有向图和无向图，有向边表示单向关系，无向边表示双向关系。
图中最重要的概念是路径，它是通过若干节点和边连接而成的一条从一个节点到另一个节点的路径。
在实际应用中，图论可以用来解决许多问题。
例如，在旅游中，人们需要规划一条最优路径来游览所有景点，并且要避开拥堵的路段；在社交网络中，人们希望了解不同社交群体之间的联系，以便推荐合适的社交圈子。
此外，图论还可以应用于交通规划、电路设计、游戏算法等众多领域。
二、网络科学与网络分析网络科学是一门跨学科的科学，它研究的是网络的结构、功能和演化。
网络由节点和边组成，节点可以表示人、物、地点或其他事物，边表示它们之间的联系。
网络可以分为静态网络和动态网络，静态网络表示一个时刻的网络结构，而动态网络则表示各个时间点的网络演化过程。
网络分析是网络科学的一个重要分支，它可以帮助我们理解和预测网络的行为和演化。
网络分析方法包括节点度数分布、连通性、中心性、社区发现等。
其中，节点度数分布可以告诉我们节点的重要性，连通性可以帮助我们找到网络中的关键节点，中心性可以帮助我们了解节点在网络中的作用，社区发现可以帮助我们发现社区内部和社区之间的关系。
网络分析具有广泛的应用领域，例如在社交网络中，可以通过节点间的联系和社区发现来推荐好友；在电力系统中，可以通过节点的中心性来发现电网故障点；在生命科学中，可以通过分析基因表达网络来研究基因调控机制。
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
高中数学图论的实际应用与教学探讨
高中数学图论的实际应用与教学探讨在高中数学的广袤领域中，图论宛如一颗璀璨的明珠，虽然它并非高中数学课程的核心部分，但其在实际生活中的应用广泛，且对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
本文将深入探讨高中数学图论的实际应用，并对其教学方法进行分析。
一、图论的基本概念图论是研究图的性质和应用的数学分支。
所谓“图”，并不是我们日常所理解的图像或图画，而是由一些顶点（节点）和连接这些顶点的边所组成的结构。
例如，一个城市的交通网络可以用图来表示，顶点代表城市中的各个地点，边代表道路。
在图论中，有许多重要的概念，如顶点的度（与该顶点相连的边的数量）、路径（从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列）、回路（起点和终点相同的路径）、连通图（任意两个顶点之间都存在路径）等。
二、图论在实际生活中的应用1、交通规划城市的交通规划是图论应用的一个重要领域。
通过将城市道路网络抽象为图，可以分析交通流量，确定关键的道路节点和拥堵路段，从而优化交通信号灯设置、规划新的道路建设等，以提高交通效率，减少拥堵。
2、网络通信在计算机网络中，图论用于描述网络拓扑结构。
通过分析网络中的节点和连接关系，可以优化数据传输路径，提高网络的可靠性和性能。
3、物流配送物流企业在规划货物配送路线时，可以利用图论来找到最短路径，降低运输成本，提高配送效率。
例如，快递员在派送多个地点的包裹时，通过图论算法可以找到最优的派送顺序。
4、任务分配在项目管理中，将各项任务视为顶点，任务之间的依赖关系视为边，可以使用图论来合理安排任务的执行顺序，确保项目按时完成。
5、电路设计电子电路的设计中也会用到图论。
电路中的元件可以看作顶点，元件之间的连接看作边，通过分析电路图的拓扑结构，可以优化电路设计，提高电路的性能和可靠性。
三、高中数学图论教学的重要性1、培养逻辑思维能力图论问题的解决需要学生进行逻辑推理和分析，通过构建图、寻找路径、判断连通性等操作，锻炼学生的思维严谨性和逻辑性。
图论的基本概念和应用
图论的基本概念和应用图论，顾名思义，是研究图的一门数学分支。
在计算机科学、网络科学、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从图的基本概念入手，介绍图论的基础知识和常见应用。
一、图的基本概念1.1 图的定义图是由若干点和若干边构成的。
点也被称为顶点，边也被称为弧或者线。
一个点可以与任意个点相连，而边则是连接两个点的线性对象。
一些有向边可以构成一棵树，而一些无向边则形成了一个回路。
1.2 图的表示图可以用一张二维平面图像表示。
这张图像由若干个点和连接这些点的线组成。
这种表示方式被称为图的平面表示。
图还可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等数据结构进行表示。
1.3 图的类型根据图的性质，可以将图分为有向图、无向图、完全图、连通图、欧拉图、哈密顿图等。
有向图：边有方向，表示从一个点到另一个点的某种关系。
无向图：边没有方向，表示两个点之间的某种关系。
完全图：任意两个点之间都有一条边，不存在自环。
\连通图：任意两个点之间都有至少一条通路，没有孤立的点。
欧拉图：一条欧拉通路是一条从一点开始经过所有边恰好一次后回到该点的通路。
哈密顿图：经过所有点恰好一次的通路被称为哈密顿通路。
二、图的应用2.1 最短路径问题图论在计算机算法中最常见的应用之一就是最短路径问题。
在一个有向图中，从一个点到另一个点可能有多条不同的路径，每条路径的长度也可能不同。
最短路径问题就是找到两个点之间长度最短的路径。
最短路径问题可以通过深度优先搜索、广度优先搜索等方法来解决，但是时间复杂度通常较高。
另外，使用Dijkstra算法、Floyd算法等优化算法可以大大缩短计算时间。
2.2 社交网络社交网络是图论应用的一个重要领域。
在社交网络中，人们之间的关系可以用图的形式表示。
例如，在微博网络中，每个用户和他/她所关注的人就可以形成一个有向图。
在这种图中，点表示用户，边表示一个人关注另一个人的关系。
通过对社交网络进行图论分析，可以研究用户之间的互动模式，了解到哪些用户之间联系较为紧密，哪些用户是网络中的“大咖”等。
图论思想在生活中的运用
图论思想在生活中的运用
图论思想在生活中的应用很多，例如：
1、交通出行：在城市的出行，经常会用到从一个地点到另一地点的最短路径，而解决此问题最好的方法就是使用图论，用最短路径算法来找到最优路线，比如驾车、打车、乘地铁等都会使用图论来算出最短路径。
2、网络传输：现在的互联网系统都是使用图论的方法来进行网络传输。
当多台计算机连接到网络时，都会形成一个图，通过图论，可以找到最佳的传输路径，以优化路径走向，从而提高网络的传输速度。
3、调度系统：调度系统中的人员调度及运输路线调度，也是依靠图论思想。
人员调度时，可以建立一个移动关系图，找到每一步最短路径，从而得到最佳的调动方案；而运输路线则可通过最短路线算法，计算出从一个点到另一点最短的路径，从而达到节约时间，提高工作效率的效果。
4、信息检索：在海量数据的环境下检索合适的信息，也是利用图论来解决的。
例如搜索引擎，会建立一个链接关系图，根据各页面间的链接关系来确定最优的信息检索结果。
第五章 图论
图论可应用于多个领域，如信息论，控制论， 运筹学，运输网络，集合论等（如用关系图来 描述一个关系）。
计算机领域，其可应用于人工智能，操作系统， 计算机制图，数据结构）
§1
图论基本概念
1-1 图的实例 问题1、哥尼斯堡桥问题
A C B D C B A D
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
同理，结点间按别的对应方式，便都不存在一一对应
关系。
所以G1，G2不同构。
两图同构有必要条件：
（1）结点数相同； （2）边数同； （3）次数相同的结点数目相等。
1-5 多重图与带权图
1.5.1 多重图 定义11、一个结点对对应多条边，称为多重边。
包含多重边的图称为多重图，否则，成为简单图。
如：
如：基本通路：p1,p2,p3.
简单通路：p1,p2,p3,p5,p6. p4,p7既不是基本通路，也不是简单通路。
定义3、起始结点和终止结点相同的通路称为回路。 各边全不同的回路称为简单回路，各点全不同 的回路称为基本回路。
例2、上例中，1到1的回路有： c1: (1,1,),c2: (1,2,1),c3: (1,2,3,1), 1 2
例2、设有四个城市c1,c2,c3,c4；其中c1与c2间， c1与c4间，c2与c3间有高速公路直接相连，用图表 示该事实。 解：G=<V,E>，其中：V={c1,c2,c3,c4}， E={l1,l2,l3}={(c1,c2),(c1,c4),(c2,c3)} 例3、有四个程序p1,p2,p3,p4,其间调用关系为p1 p2， p1 p4，p2 p3，用图表示该事实。 解：G=<V,E>,V={p1,p2,p3,p4}， E={l1,l2,l3}={(p1,p2),(p1,p4),(p2,p3)}
图论知识及运用举例
图论知识及运用举例1 概论图论中的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
图是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
下面将要讨论最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等。
2 图的基本概念2.1 无向图一个无向图(undirected graph)G 是由一个非空有限集合)(G V 和)(G V 中某些元素的无序对集合)(G E 构成的二元组，记为))(),((G E G V G =。
其中},,,{)(21n v v v G V =称为图G 的顶点集（vertex set ）或节点集（node set ）， )(G V 中的每一个元素),,2,1(n i v i =称为该图的一个顶点（vertex ）或节点（node ）；},,,{)(21m e e e G E =称为图G 的边集（edge set ），)(G E 中的每一个元素k e (即)(G V 中某两个元素j i v v ,的无序对) 记为),(j i k v v e =或i j j i k v v v v e == ),,2,1(m k =，被称为该图的一条从i v 到j v 的边（edge ）。
当边j i k v v e =时，称j i v v ,为边k e 的端点，并称j v 与i v 相邻（adjacent ）；边k e 称为与顶点j i v v ,关联（incident ）。
如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在图G 中相邻。
边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络（undirected network ）。
图论的基本概念与应用
图论的基本概念与应用图论作为一门理论研究和应用探索的数学学科，不仅在学术和工程领域发挥着巨大作用，而且在现代科技和日常生活中也处处体现。
本文将简单介绍图论的基本概念、应用领域，以及一些相关案例。
一、基本概念图论的研究对象是图。
图是由一些点和连接这些点的线组成的，表示事物之间的某种关系，如网络中的路由、社交网络中的朋友等等。
根据点与线的不同特征，图被分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，表示两个节点之间是起点和终点的关系。
无向图中的边没有方向，表示两个节点之间是双向的。
图的另一个重要概念是网络，网络是在边上赋予权值用以表示边的强度或距离的图。
在图论中，我们常用的还有度数和路径的概念。
度数是一个点相邻边的数量，路径是由若干个顶点和它们之间的边所构成的序列，且顶点之间按照连接的顺序排列。
二、应用领域图论被广泛应用于计算机科学、运筹学、生物学、化学、经济学等领域。
在计算机科学中，图论被用于构建搜索引擎、路由算法等多个方面。
在运筹学中，最短路径算法、匹配算法、流量分配算法等问题可通过图论求解。
生物学中，图以蛋白质相互作用网、基因调控网等方式表现生物体内的复杂关系。
在化学中，图被用于描述分子之间的行为和作用。
在经济学中，图常常被用于解决网络流量调度和供应链计算。
三、相关案例1. 社交网络在社交网络中，我们可以将人视为节点，人与人之间的关系视为边，从而构建出一个网络模型。
通过对网络模型的分析，可以发现一些有趣的现象或规律，比如弱连接理论、六度分离理论等，这些理论不仅仅能被应用于社交网络，还可以用于其他领域的研究。
2. 铁路路径优化一个问题是如何生成铁路的最短路径，它既可以被看作是一个有向图问题，也可以看作是一个网络流问题。
由于铁路上存在许多互联的节点，因此在这种情况下，图论技术可以用于优化路径，解决径路选择和路径总长度最小化等问题。
3. 分子结构预测化学家常常利用图论的相关技术来模拟和预测分子的结构。
在这种情况下，节点表示原子，边表示原子之间的化学键。
图论的发展及其在现实生活中的几个应用资料
图论的发展及其在生活中的应用数学与应用数学张佳丽指导教师刘秀丽摘要主要介绍了图论的起源与发展及其生活中的若干应用，如：渡河问题、旅游推销员问题、最小生成树问题、四色问题、安排问题、中国邮递员问题。
同时也涉及到了几种在图论中应用比较广泛的方法，如：最邻近法、求最小生成树的方法、求最优路线的方法等。
关键词图论生活问题应用Graph Theory Development and the Application in LifeMathematics and applied mathematics Zhang JialiTutor Liu XiuliAbstract This paper mainly introduces the origin and development of graph theory and its several applications in our life, such as: crossing river problem, traveling salesman problem, minimum spanning tree problem, four color problem，arrangement problem，Chinese postman problem．It also researches several methods that are more widely applied in graph theory, for example: the method of most neighboring, the method of solving the minimum spanning tree，the method of the best route，and so on．Key words graph theory life problem application引言图论是一门古老的学科，是数学中有广泛应用的一个分支，与其他的数学分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数分析等有着密切的联系．图论中以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系．事实上，任何一个包含了二元关系的系统都可以用图论来模拟．而且,图论能把纷杂的信息变的有序、直观、清晰．由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点间连接与否尤为重要，而图形的位置、大小、形状及连接线的曲直长短则无关紧要．图论在自然科学、社会科学等各个领域都有广泛的应用．随着科学的发展，以及生产管理、军事、交通运输等方面提出了大量实际的需要，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。
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边Edge
G
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A
顶点Vertex
B
F
F的度度数=2
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E
D
图Graph
C
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图论模型
• 用7个小圆圈分别代表7门课程 • 如果两门课程最少有同一名学生选择，那
么在它们之间连一条直线段 • 给顶点涂上不同的颜色 • 相邻的两点不能涂相同的颜色
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例7 最小费用
欲建设一个连接7个城市的光纤通信网络。 各城市间线路的造价如图所示，求一个使 总造价最少的线路建设方案。
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A
2
27
S
5
B5
D5
F
4
1
1
3
7
C
4E
各线路的造价图
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图论(Graph Theory) 简介及实例应用
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主要内容
• 基本概念 • 点着色问题 • 欧拉（Euler）图 • 汉密尔顿（Hamilton）图 • 最小生成树 • 图与矩阵
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图的定义
图并不是几何学中的图形,而是客观世 界中某些事物间联系的一个数学抽象,用顶 点代表事物,用边表示各事物间的关系,如果 所讨论的事物之间有关系,就把相应的顶点 连成一条边.这种由顶点及边所组成的图,就 是图论中研究的图.
G的邻接矩阵。其中
aij
1 vi与vj有边
0 vi 与vj 无边或 i=j
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邻接矩阵示例
V1 V5
V1 V2 V3 V4 V5
V1 0 1 0 0 1 V2 1 0 1 1 0
V2
V3 0 1 0 1 0
V4
V4 0 1 1 0 1
V5 1 0 0 1 0
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例1 考试问题
学生编号为1~10，课程编号为A~G， 各课程的选课情况为A{1,2,3},B{1,3,4,5}, C{2,5,6,7}, D{4,7,8,9}, E{2,6,7}, F{8,9,10}, G{1,3,9,10}。问最少要安排多少次考试可使 所有人的所有课程都考完？
V3
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有向图
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• 有方向的图 • 方向通常表示特定的意义
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例8 线路连通情况
1
0 1 1 0
4
2
3
a
0 0 1
0 0 0
1 0 0
1
1 0
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矩阵乘法过程示意
0 1 1 0 0 1 1 0
最小生成树
避圈法步骤： 1. 在所有各边中找到边权最小的一条，将其作为第一边； 在剩余的边中，仍然找到边权最小的作为第二条边； 2. 在剩余的边中，找到边权最小的边，查看其是否与 前面的边形成圈，如果没有，则在最小部分树中添加该边， 如果形成了圈，则不再考虑该边；
3. 重复进行第二步，直到找到第 n-1 条边为止。
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A
2
27
S
5
B5
D5
F
4
1
1
3
7
C
4E
各线路的造价图
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A
2
2
5
S
B
D
F
1
1
3
C
E
结果为14
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邻接矩阵
• 定义：设G=<V,E>是一个图,它有n个结点
V={v1,…，vn}，则n阶方阵A(G)=(aij )称为
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汉密尔顿图
• 从图G的一点出发，经过每个点一次，且又 能回到原点，这样的图是Hamilton图
• 充分条件：图G中任意两点的度数之和大于 等于顶点数 注意：目前没有充分必要要条件来判断任 意一图是否为Hamilton图
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两种图的区别
• 洒水车问题 • 巡警巡逻问题 • 邮路选择问题 • 旅游道路选择问题
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七桥路径图
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例5 一笔画问题
口 日 目田
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例6 环游世界
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问题
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能否走过每个顶点各一次 最后又回到原地
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环游世界路径图
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例4 哥尼斯堡七桥
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问题
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能否从一点出发，走遍7座桥，且 通过每座桥恰好一次，最后仍回到起 始点。
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欧拉图
•图是Euler图
• 如果图G的每个顶点的度数都为偶数那么G 是Euler图
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欧拉通路
• 从一点出发经过图G的每条边一次，最后到 达另外一点，这样的图含有欧拉通路
• 图G中恰好有两个点的度数为奇数，那么这 样的图中含有欧拉通路
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各个点都与奇数条边 相连所以不能实现
L4 L6
L5
对于L1的连通情况图
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例3 地图染色问题
对任意一幅地图的每个区域指定一种颜 色，使相邻的区域不同色。问最少要用多少 种颜色才能实现？
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四色猜想
这个猜想说，在一个平面或球面上的任 何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有 两个相邻的国家有相同的颜色。每个地图可 以导出一个图，用点表示国家，当相应的两 个国家相邻时这两个点用一条线来连接。
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例2 交通问题
在一个十字路口最少要设多少种不同 颜色的交通灯，才能使交通正常流动。
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L7 L8
L2 L1
2008年4月21日
L3 L4
交通简图
数学建模
L5 L6
数学建模工作室
数学建模
L8 L7
L1 L2
L3
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0 0 1 2
a
0
0 1
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2008年4月21日
数学建模工作室
数学建模
相乘后的意义
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4
2 3
i aij 从 到 j 经过两条边的路数