导数的四则运算法则(习题课)
人教版高二数学《导数的四则运算法则含答案解析》练习
5.2.2导数的四则运算法则[A级 基础巩固]1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 B．－2C．2 D．0解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．函数y＝x2x＋3的导数是( )A.x2＋6x(x＋3)2B.x2＋6xx＋3C.－2x(x＋3)2D.3x2＋6x(x＋3)2解析：选A y′＝(x2x＋3)′＝(x2)′(x＋3)－x2(x＋3)′(x＋3)2＝2x(x＋3)－x2(x＋3)2＝x2＋6x(x＋3)2.3．曲线f(x)＝x ln x在点x＝1处的切线方程为( )A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝x－1 D．y＝x＋1解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.4．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )A．1 B．±1C．－1 D．－2解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax30＋3，所以3x0＋1＝ax30＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax20＝3，ax20＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝07．已知曲线y1＝2－1x与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.解析：由题知y′1＝1x2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为1x20，3x20－2x0＋2，所以3x20－2x0＋2x20＝3，所以x0＝1.答案：18．已知函数f(x)＝f′(π4)cos x＋sin x，则f(π4)的值为________．解析：∵f′(x)＝－f′(π4)sin x＋cos x，∴f′(π4)＝－f′(π4)×22＋22，得f′(π4)＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x.∴f(π4)＝1.答案：19．求下列函数的导数：(1)y＝x－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x2sin x；(4)y＝x＋3x2＋3.解：(1)y′＝(x－ln x)′＝(x)′－(ln x)′＝12x－1x.(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝(x2)′·sin x－x2·(sin x)′sin2x＝2x sin x－x2cos xsin2x.(4)y′＝1·(x2＋3)－(x＋3)·2x(x2＋3)2＝－x2－6x＋3 (x2＋3)2.10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．c，13．曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．解析：y′＝－1(2x－1)2，则y′Error!＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－114．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切线与直线y＝－14x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.[C级 拓展探究]15．设f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求f n′(2)；(2)证明：f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点(记为a n)，且0＜a n－12＜2n3n＋1.解：(1)由题设f n′(x)＝1＋2x＋…＋nx n－1.所以f n′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2f n′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②①－②得，－f n′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以f n′(2)＝(n－1)·2n＋1.(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.f n(23)＝23[1－(23)n]1－23－1＝1－2×(23)n≥1－2×(23)2＞0，所以f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1为增函数，所以f n(x)在(0，23)内单调递增，因此f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点a n.由于f n(x)＝x－x n＋11－x－1，所以0＝f n(a n)＝a n－a n＋1n1－a n－1，由此可得a n＝12＋12a n＋1n＞12，故12＜a n＜23.1 2＝12a n＋1n＜12×(23)n＋1＝2n3n＋1.所以0＜a n－。
导数的四则运算1
(2)切线过点P(1,0) 斜率k 1 ln 1 1
切线方程是：y=x-1
例4：日常生活中的饮用水通常是经过净化
的．随着水纯净度的提高．所需净化费用不 断增加。已知将1吨水净化到纯净度为x%时 所需费用(单位：元)为
c(x)=5284/(100-x) (80<x<100)．
求净化到纯净度为９０％时，所需净化费用 的瞬时变化率.
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
1 A.(loga x )' x ln a B .(loga x )' x x x 1 C .(3 )' x 3 D .(3 )' 3 ln 3
x x
例3.求过曲线y=sinx上点P ( , ),且
1
与过这点的切线垂直的直线方程.
3 求曲线y=cosx在点P ( , )处 6 2
解：净化费用的瞬时变化率就是 净化费用函数的导数． 5284 5284 c( x) 2 100 x 100 x
5284 c90 52.84 2 100 98
所以，纯净度90%时,费用的瞬时 变化率就是52.84元/吨；
(2) y ( x 2)(3 x 1)
基本初等函数的导数 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=_____
nxn-1 （2）若f(x)=xn(n∈Q*),则f ′(x)=_____ （3 若f(x)=sinx,则f ′(x)=_____ cosx
-sinx （4）若f(x)= cosx,则f ′(x)=_____
' ' '
法则2:
特别地：
[cf ( x)] cf ( x)
导数的基本公式及四则运算法则
例3 设 y xsin xln x ，求 y 解 y (x)sin xln x x(sin x)ln x xsin x(ln x)
1 sin xln x xcos xln x xsin x 1 x
sin x ln x xcos x ln x sin x ．
cos2 x
cos2 x
即 (tan x) 1 sec2 x ． cos2 x
用同样方法可以得到 (cot x) 1 csc2 x． sin 2 x
练习一
1.求下列函数的导数：
(1) y 10x x10
(2) y x2
1 x
5cos
x
3log2
x
ln 4
(3) y 10x5 ln x
(2x
1)( x
3) (x2 (x 3)2
x
2)
1
x2 6x (x 3)2
5，
f (1) 12 6 1 5 1 ． (1 3)2 8
例5 设 y 5x3 2x 7 ，求 y x
解
先化简，得
5
1
1
y 5x2 2x2 7x 2
，
于是
y
5
5
3
x2
2
1
1
x2
7 ( 1)
x (3) y 5 x3 (4) y x5 4 x3 (5) y x 3 x
x
3.2.3 正弦函数的导数
设 y sin x ，则
y 于是
sin(
x
x)
sin
x
2sin
x 2
cos( x
x) 2
，
y 2sin x
x cos( x x)
课件6：3.2.3 导数的四则运算法则
课堂小结
2．曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处的切线方程为y－ f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若没有给出切点，往往先设切 点为M(x0，f(x0))，再利用导数求斜率及切线方程， 最后根据给定的条件求解问题．
∴－ b－b＋ 2c＝a＝0，0， c－1＝0，
解得ab＝ ＝22， ， c＝1.
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
考点3：求曲线的切线方程
例3：求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直 线方程． 【解析】解答本题可先设出切点坐标，对函数求 导，写出切线方程；再利用切点在曲线上，切线 过点(1，－1)代入求解．
点 A(0,16)在切线上，则有 16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)． 化简得 x03＝－8，解得 x0＝－2. 所以切点为 M(－2，－2)， 切线方程为 9x－y＋16＝0.
课堂小结
1．利用公式和求导法则求导数是要注意： (1)在求导之前，先对函数式进行化简，然后再 求导，这样既可减少计算量，也可少出差错． (2)在函数中有两个以上因式连乘时，要注意多 次使用积的求导法则．
一点通：求曲线的切线方程有以下两种情况 (1)求曲线在点P处的切线方程． (2)求过点P与曲线相切的直线方程，这时点P 不一定是切点，也不一定在曲线上，求解步骤为：
题组集训
5．设曲线 y＝xx－＋11在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0
垂直，则 a 等于
()
A．2
1 B.2
C．－12
D．－2
3.2.3 导数的四则运算法则
已知函数 f(x)＝1x，g(x)＝x2，那么 f′(x)＝－x12， g′(x)＝2x. 问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
5.2.2导数的四则运算法则
→0
而 ′ () = ( 2 )′ = 2, ′ () = ′ = 1, ∴ [() + ()]′ = ′ () + ′ ()
′
′
设 = 2 , = ,如何计算 + () ′ 与[() − ()]′ ,
思
′()＝______
′()＝______
1
′()＝______
1
′()＝______
求切线方程的步骤：
(1)求函数 = ()的导数 ′ ()
(2)求切点坐标(0 , 0 )
(3)求切线的斜率 = ′ (0 )
(4)根据直线方程的点斜式写出切线方程即，y − 0 = ( − 0 )
( 2 )2
2 2 cos − 4 sin 2 cos − 4 sin
=
=
4
3
归
纳
总
结
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再
根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”
函数的积、商的导数计算．
1、求下列函数的导数：
预习课本第76～78页，思考并完成以下问题
问题1
导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？
高斯
1．条件：()，()是可导的．
1777－1855
2．结论：
(1)[() ± ()]′＝
(3)
() ′
＝
()
； (2)[()()]′＝
．
；
设 = 2 , = ,如何计算 + () ′ 与[() − ()]′ ,
导数计算习题课
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
课件13：1.2.3 导数的四则运算法则
x .
题型二 复合函数的求导运算
例 2 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
[解] (1)令 u＝2x－1，则 y＝u4，
因为 yx′＝yu′·ux′＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)令 u＝2x＋3，则 y＝10u，所以 yx′＝yu′·ux′＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2ln10·102x＋3.
答案：ln x＋1
题型探究
题型一 应用求导法则求导数
例 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x4＋3x3－2x－5； (3)y＝sinx x；
(2)y＝xlog3x； (4)y＝x－sin2xcos2x.
[解] (1)y′＝(x4＋3x3－2x－5)′＝(x4)′＋(3x3)′－(2x)′－5′＝4x3＋9x2－2.
2．设 f(x)＝sin x－cos x，则 f(x)在 x＝π4处的导数 f′π4＝(
)
A． 2
B．－ 2
C．0 答案：A
D．
2 2
3．已知 f(x)＝1＋1 x，则 f′(x)等于(
)
A．1＋1 x
B．－1＋1 x
C．（1＋1 x）2
D．－（1＋1 x）2
答案：D
4．函数 y＝xln x 的导数为________．
跟踪训练 若函数 f(x)＝exx在 x＝c 处的导数值与函数值互为相反数， 求 c 的值． 解：由于 f(x)＝exx，所以 f(c)＝ecc， 又 f′(x)＝ex·xx2－ex＝ex（xx－2 1），所以 f′(c)＝ec（cc－2 1）. 依题意知 f(c)＋f′(c)＝0，所以ecc＋ec（cc－2 1）＝0，所以 2c－1＝0 得 c＝12.
导数的四则运算
y u( x x )v( x x ) u( x )v( x ) u( x x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x ), y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
2
事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有 其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中 心. 2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行 于l1的另一条切线为l2. (1)求l1、l2的方程; (2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线 l3、l4的方程. (3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积. 答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2. (2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10. (3).9/8.
y u v u v lim lim( ) lim lim u( x ) v( x ); x 0 x x 0 x x x 0 x x 0 x
x x x
即: y (u v ) u v.
练一练:求下列函数的导数 (1) y=5x2-4x+1 y 10 x 4 (3)y=x2-cosx (4) y=(2+x)(3-x) (5) y=(2x-1)(3x+2)
练一练:求下列函数的导数 (1) y=100 (2) y=x5 (3)y=4x2 +3x
?
51
(4)y=4x2 -3x
C
'
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第三章《变化率与导数》 §4.3 导数四则运算法则的应用 （习题课）
石泉中学：张艳琴
知识回顾 一、求函数的导数 f ( x) 的步骤是怎样的?
'
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
点拨精讲
类型一 求函数的导数
例 1：求下列函数的导数：
y x (ln x sin x ) （1） ； cos x x y 2 x (2) .
2
当堂检测
1．求下列函数的导数 （1） y sin x 3x x ；
2
（2） y x sin x x
2、课本75页练习 第1题
点拨精讲
类型二 求函数在某一点的导数值
例2、求下列个函数在给定 点的导数值： （ 1）y x 2 x x 2, x 2, x 1;
3 2
（2）y sin x cos x, x 0, x
4
.
当堂检测
课本76页
A组
5 （3 ）
点拨精讲
类型三 求函数的解析式
例 3．求分别满足下列条件的函数 f ( x) 的解析式。 （ 1 ） f ( x) 是三次函数，且 f (0) 3 ， f (0) 0 ， f (1) 3 ， f (2) 0 ； 2 f ( x ) x （2） 是一次函数，且 f (x) (2x 1) f (x) 1；
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
一“差”，二“比”，三“极限”
二、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度
0 (1)(C ) __________ _; (C为常数)
'
x (2)(x ) __________ ; (为常数)
'
当堂检测
3 2 f ( x ) ax 3 x 2 ，若 f (1) 4 ，则 3．已知
a 的值为（D ）
19 A ．3
16 B． 3
13 C． 3
10 D． 3
1 ( 1 ) f 4．设 y ae b ln x ，且 = e, f (1) e ，
x
则a b 1
'
' '
k f __________ ( x) [kf ( x)] __________ ___;
'
'
f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) 2 f ( x) ' g (__________ x) [ ] __________ ___.
g ( x)
学习目标
教法指导 通过例题、习题的求导过程体验导数公式的应用，逐 步形成利用导数公式进行求导的算法技能； 重点：掌握导数公式和导数四则运算法则的运用，并逐步 记住这些公式； 难点：公式和法则的灵活应用
三、导数四则运算法则
f ( x) g ________; ( x) f ( x) g ( x) __________
' '
' ' f ( x ) g ( x ) f ( x) g ( x) __________ ________;
f ( x) g ( x) __________ f ( x) g ( x) [ f ( x) g ( x)] __________ ;
x '
1
(3)(a ) __________ a ln a ;
x
(e ) __________ _; e
x '
x
1 1 ' ' x ln a (ln x) __________ x (4)(loga x) _______; _; ' cos x (5)(sin x) ________; ' sin x (6)(cosx) ______ _.
课堂小结
本节课我们学会了那些知识？ 有什么收获？
布置作业
课本 P76 习题3-4
A组 第4,5题