2018-2019学年江苏省宿州市昆山市高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省宿州市昆山市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知倾斜角为45°的直线经过点A（2m，3），B（2，-3），则m的值为______．2.已知直线l1：2x+3y-2=0和直线l2：mx+（2m-1）y+1=0平行，则m的值为______．3.若长方体的三个面的对角线分别为3，4，3，则长方体的对角线长度为______．4.直线x+2y-2=0被圆x2+y2-4x+2y+1=0截得的弦长等于______．5.圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y=1相切于点（2，-1）的圆的标准方程为______．6.半径为5cm的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3cm和4cm，则这两个平面之间的距离是______cm．7.过点P（3，0）作直线l，使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被点P平分，则直线l斜率为______．8.如图，在棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体DA1BC1的体积等于______cm3．9.如图，空间四边形ABCD中，平面ACD⊥平面ABC，△ABC为1的等边三角形，∠CAD=30°，∠ACD=90°，P为棱AC上的一个动点，则BP+PD的最小值为______．10.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+2=0交于点P（x，y），则√3PA+PB的最大值是______．11.关于异面直线a，b，有下列四个命题①过直线a有且只有一个平面α，使得b∥α②过直线a有且只有一个平面α，使得b⊥α③在空间存在平面β，使得a∥β，b∥β④在空间不存在平面β，使得a⊥β，b⊥β其中，一定正确的是______．12.已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x-a）2+（y-a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为______．13.已知P为平面内一点，且A（-1，0），B（1，0），若PA=√3PO，PB=√2PO，则点P的横坐标等于______．14.若实数x1，x2，y1，y2：满足x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=1，则2 |x1+y1-1|+|x2+y2-1|的最大值为______二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知直线l经过点P（2，3）且斜率为−3．2（1）求直线l的一般式方程；（2）求与直线l平行，且过点（-3，1）的直线的一般式方程；（3）求与直线l垂直，且过点（-3，1）的直线的一般式方程．16.如图一个圆锥的底面半径为1，高位3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的高h；（2）当x为何值时，圆柱的全面积忒大，最大全面积为多少．17.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AB中点，BC=BB1，在∠A1B1C1=90°．求证：（1）BC1∥平面A1DC；（2）BC1⊥A1C．18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAB为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F ． （Ⅰ）求证：AD ∥EF ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面AEFD ；（III ）记四棱锥P -AEFD 的体积为V 1，四棱锥P -ABCD 的体积为V 2，直接写出V 1V 2的值．19. 如图，已知圆O 的方程为x 2+y 2=5，过点P （0，1）的直线l 与圆O 交于点A 、B ，与x 负半轴交于点Q ．设QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）若λ=2，求出A 、B 两点坐标；（2）当直线l 绕点P 转动时，试探究λ+μ是否为定制．20.如图，已知圆C1：(x+2)2+(y−1)2=1和圆C2：(x−4)2+(y−4)2=4．（1）求两圆所有公切线的斜率；（2）设P为平面上一点，满足：若存在点P的无穷多条直线l与圆C1和圆C2相交，且直线l被圆C2截得的弦长是直线l被圆C1截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．答案和解析1.【答案】4【解析】解：由题意可得：，解得m=4．故答案为：4．由直线的斜率公式及斜率等于倾斜角的正切值列式求解．本题考查直线的倾斜角，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】2【解析】解：∵直线l1：2x+3y-2=0和直线l2：mx+（2m-1）y+1=0平行，∴-=-，解得m=2，故答案为：2．根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．本题的考点是直线的一般式方程与直线的平行关系，主要考查两直线平行的性质，两直线平行，它们的斜率相等或者都不存在．3.【答案】√17【解析】解：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，∵长方体的三个面的对角线分别为3，4，3，∴，∴a2+b2+c2=（9+16+9）=17，∴长方体的对角线长度为：=．故答案为：．设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由长方体的三个面的对角线分别为3，4，3，求出a2+b2+c2=（9+16+9）=17，由此能求出长方体的对角线长度．本题考查长方体的对角线长的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想，是中档题．4.【答案】8√55【解析】解：化圆x2+y2-4x+2y+1=0为（x-2）2+（y+1）2=4，则圆心坐标为（2，-1），半径为2．圆心到直线x+2y-2=0的距离为d==．由垂径定理可得，直线x+2y-2=0被圆x2+y2-4x+2y+1=0截得的弦长为2．故答案为：．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．5.【答案】（x-1）2+（y+2）2=2【解析】解：设圆心Q为（a，-2a），P（2，-1）．根据题意得：圆心到直线x+y-1=0的距离d=|PQ|，即，解得：a=1，∴圆心Q（1，-2），半径r=，则所求圆方程为（x-1）2+（y+2）2=2．故答案为：（x-1）2+（y+2）2=2．根据圆心到直线2x+y=0上，设圆心Q为（a，-2a），由题意得到圆心到直线的距离等于|PQ|，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标与半径，写出圆的标准方程即可．此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判定，d＞r时，直线与圆相离；d＜r时，直线与圆相交；d=r时，直线与圆相切（其中d 为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．6.【答案】1或7【解析】解：半径为5cm的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3cm和4cm，∴圆心到两个平面的距离分别为：=4，=3，∴当两个平面位圆心同侧时，两平面间的距离为：4-3=1，当两个平面位圆心异侧时，两平面间的距离为：4+3=7．故答案为：1cm或7cm．故答案为：1或7．求出圆心到两个平面的距离分别为4，3，当两个平面位圆心同侧时，两平面间的距离为：4-3=1，当两个平面位圆心异侧时，两平面间的距离为：4+3=7．本题考查两个平面之间的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．7.【答案】8【解析】解：设直线l：y=k（x-3），联立方程组可得，解方程组可得A（，），同理联立方程组，解方程组可得B（，），由中点坐标公式得+=6，解得k=8，故答案为：8．设直线l：y=k（x-3），分别联立方程组可得A、B坐标，由中点公式可得k的方程，解之可得所求．本题考查直线的一般式方程，涉及待定系数法求直线的方程和中点公式，属基础题．8.【答案】83【解析】解：由题意可知四面体DA1BC1的体积V=×=（cm3）．故答案为：．利用正方体的体积减去4个三棱锥的体积，求解即可．本题考查几何体的体积的求法，考查计算能力．9.【答案】√213【解析】解：将空间四边形ABCD沿AC边展形，得到平面四边形ABCP，∵空间四边形ABCD中，平面ACD⊥平面ABC，△ABC为1的等边三角形，∠CAD=30°，∠ACD=90°，∴展开成平面后，BC=1，PC=，∠PCB=150°，∵P为棱AC上的一个动点，∴BP+PD的最小值为BD，BD===．∴BP+PD的最小值为．故答案为：．将空间四边形ABCD沿AC边展形，得到平面四边形ABCP，展开成平面后，BC=1，PC=，∠PCB=150°，由P为棱AC上的一个动点，得BP+PD的最小值为BD，由此能求出结果．本题考查空间中两线段和的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．10.【答案】2√5【解析】解：m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+2=0交于点P（x，y），∴由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）-y+2=0，经过点定点B（1，2），∵动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=5．故|PA|•|PB|≤=（当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”），设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ．∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，∴|PA|+|PB|=sinθ+cosθ=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴当θ+=时，|PA|+|PB|=sinθ+cosθ=2sin（θ+）取得最大值为2．∴的最大值是2．故答案为：2．先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB，三角换元后，由三角函数的知识可得PA+PB的最大值．本题考查了直线系、直线相互垂直与斜率的关系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】①③④【解析】解：由异面直线a，b，知：在①中，在a上任取一点A，过点A作b的平行线b′，b平行于a，b′确定的平面，故过直线a有且只有一个平面α，使得b∥α，故①正确；在②中，当直线a，b不垂直时，过直线a没有平面α，使得b⊥α，故②错误；在③中，在空间任取一点A，A不在直线a和直线b上，过点A分别作出直线a，b的平行线a′，b′，则a′，b′确定的平面即为β，使得a∥β，b∥β，故③正确；在④中，当a⊥β，b⊥β时，由线面垂直的性质定理得a∥b，不满足a，b异面的条件，故在空间不存在平面β，使得a⊥β，b⊥β，故④错误．故答案为：①③④．在①中，在a上任取一点A，过点A作b的平行线b′，b平行于a，b′确定的平面；在②中，当直线a，b不垂直时，过直线a没有平面α，使得b⊥α；在③中，在空间任取一点A，A不在直线a和直线b上，过点A分别作出直线a，b的平行线a′，b′，则a′，b′确定的平面即为β；在④中，当a⊥β，b⊥β时，由线面垂直的性质定理得a∥b，不满足a，b异面的条件．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题．12.【答案】[2−√22，2+√22]【解析】解：如图圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a-4）∴|PO|min=|MO|-1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：[]由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】16【解析】解：设P（x，y），则|PA|==|PO|=，|PB|==PO=，故，解得：x=，故答案为：．设出P（x，y），根据，，得到关于x，y的方程组，求出x 的值即可．本题考查了两点间的距离公式，考查转化思想，是一道常规题．14.【答案】2+√6【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），∵实数x1，x2，y1，y2：满足，，∴A，B两点在圆x2+y2=1上，且=，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，AB=1，A到直线x+y-1=0的距离d1=，B到直线x+y-1=0的距离d2=，A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，∴d1+d2=≤，∴|x1+y1-1|+|x2+y2-1|≤2+∴|x1+y1-1|+|x2+y2-1|的最大值为2+．故答案为：2+．设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），A，B两点在圆x2+y2=1上，且AB=1，A，B到直线x+y-1=0的距离d1+d2=，由此利用两平行线的距离能求出|x1+y1-1|+|x2+y2-1|的最大值．本题考查代数式的蹑大值的求法，考查圆的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】解：（1）直线l过点P（2，3），且斜率为−3；2（x-2），则直线l的点斜式方程为y-3=-32化为一般式方程是3x+2y-12=0；（2）由所求直线与直线l平行，可设直线方程为3x+2y+m=0，将点（-3，1）代入可得：3×（-3）+2×1+m=0，解得m=7；∴所求直线的一般式方程为3x+2y+7=0；（3）由所求直线与直线l垂直，可设直线方程为2x-3y+n=0，将点（-3，1）代入可得2×（-3）-3×1+m =0，解得n =9； ∴所求直线的一般式方程为2x -3y +9=0． 【解析】（1）用点斜式写出直线方程，再化为一般式方程；（2）根据平行关系设出所求直线方程，再将点代入求得直线方程； （3）根据垂直关系设出所求直线方程，再将点代入求出直线方程． 本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题． 16.【答案】解：（1）∵OA ∥O 1A 1，∴SO1SO =O 1A 1OA，即3−ℎ3=x1， 解得h =3（1-x ），其中0＜x ＜1； （2）记圆柱的全面积为S ， ∴S =2πrh +2πr 2=2πx •3（1-x ）+2πx 2 =2π(−2x 2+3x)=−4π(x −34)2+9π4．∵0＜x ＜1，∴当x =34时，S max =9π4．答：当x =34时，圆柱的全面积最大，最大全面积是9π4． 【解析】（1）利用平行线截线段成比例列式可得；（2）写出圆柱的全面积，整理后利用配方法求最值．本题考查圆柱面积的求法，考查函数与方程思想的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．17.【答案】证明：（1）连结AC 1交A 1C 于E ，连结DE ，∵直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，∴四边形ACC 1A 1为矩形， ∴AC 1与A 1C 互相平分，∴E 为AC 1的中点， 又点D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1， ∵BC 1⊄平面A 1DC ，DE ⊂平面A 1DC ， ∴BC 1∥平面A 1DC ． 解：（2）∵直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，∴四边形ACC 1A 1为矩形， ∴AB 1⊥BB 1， ∵∠A 1B 1C 1=90°，∴AB 1⊥B 1C 1， 又BB 1∩B 1C 1=B 1， ∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB ，∵BC 1⊂平面B 1C 1CB ，∴BC 1⊥A 1B 1，∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴四边形BCC1B1为矩形，又∵BB1=B1C1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，又∵A1B1∩B1C=B1，∴B1C⊥平面A1B1C，∵A1C⊂平面A1B1C，∴BC1⊥A1C．【解析】（1）连结AC1交A1C于E，连结DE，推导出DE∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1DC．（2）推导出AB1⊥BB1，AB1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面B1C1CB，进而四边形BCC1B1是正方形，BC1⊥B1C，由此能证明B1C⊥平面A1B1C，从而BC1⊥A1C．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵ABCD为正方形，∴AD∥BC．∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC．∵AD⊂平面AEFD，平面AEFD∩平面PBC=EF，∴AD∥EF；（Ⅱ）证明：ABCD为正方形，∴AD⊥AB．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PAB．∵PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．∵△PAB为等边三角形，E是PB中点，∴PB⊥AE．∵AE⊂平面AEFD，AD⊂平面AEFD，AE∩AD=A，∴PB⊥平面AEFD；（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，V1=V C-AEFD，V E-ABC=V F-ADC=23V C−AEFD=23V1，∴VBC−AEFD=53V1，则V P−ABCD=V1+53V1=83V1，∴V1 V2=38．【解析】（Ⅰ）由ABCD为正方形，可得AD∥BC．再由线面平行的判定可得AD∥平面PBC．再由面面平行的性质可得AD∥EF；（Ⅱ）由ABCD为正方形，可得AD⊥AB．结合面面垂直的性质可得AD⊥平面PAB ．从而得到AD ⊥PB ．再由已知证得PB ⊥AE ．由线面垂直的判定可得PB ⊥平面AEFD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，V 1=V C-AEFD ，利用等积法把V 2用V 1表示，则的值可求．本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 19.【答案】解：（1）设点Q （a ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a ，y 1)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1，y 1−1)． ∵λ=2，∴QA⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即{y 1=2(y 1−1)x 1−a=2x 1， 解得：{y 1=2x 1=−a，∴A （-a ，2）．将点A （-a ，2）代入x 2+y 2=5，可得a =-1或a =1（舍去）． ∴点A 的坐标为（1，2）．又∵A （-1，2），P （0，1），∴直线AB 的方程为y =x +1． 联立{y =x +1x 2+y 2=5，解得{y 1=2x 1=1或{y 2=−1x 2=−2．∴点B 的坐标为（-2，-1）． （2）当λ变化时，λ+μ为定值52．∵QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a ，y 1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1，y 1−1)，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{y 1=λ(y 1−1)x 1−a=λx 1，解得{x 1=a 1−λy 1=−λ1−λ，则A （a 1−λ，−λ1−λ）， 又∵QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可得B （a1−μ，−μ1−μ），将A ，B 两点的坐标代入x 2+y 2=5可得：{(a1−λ)2+(−λ1−λ)2=5(a 1−μ)2+(−μ1−μ)2=5． 即{a 2+μ2=5(1−μ)2a 2+λ2=5(1−λ)2，两式作差可得：λ2-μ2=5[（1-λ）2-（1-μ）2]．∴（λ-μ）（λ+μ）=5（λ-μ）（λ+μ-2）． ∵点Q 在x 轴的负半轴，∴λ≠μ． ∴λ+μ=5（λ+μ-2），即λ+μ=52． 【解析】（1）设点Q （a ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得，的坐标，结合，求得A （-a ，2），把A 的坐标代入圆的方程求a ，则A 的坐标可求，再由P （0，1），可得直线AB 的方程为y=x+1，与圆的方程联立求解B 的坐标； （2）由，，，求得A （），同理可得B （），将A ，B 两点的坐标代入x 2+y 2=5，化简整理得，两式作差可得λ2-μ2=5[（1-λ）2-（1-μ）2]，进一步得到λ+μ=．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查向量相等的条件，体现了“整体运算”思想方法，是中档题． 20.【答案】解：（1）圆C 1：(x +2)2+(y −1)2=1和圆C 2：(x −4)2+(y −4)2=4，则圆心C 1（-2，1），半径r 1=1，圆心C 2（4，4），半径r 2=2； 且|C 1C 2|=√(4+2)2+(4−1)2=3√5＞r 1+r 2；∴两圆外离，两圆公切线的斜率必存在， 设公切线方程为y =kx +b ，即kx -y +b =0；则{|−2k−1+b|√1+k 2=1|4k−4+b|√1+k 2=2， {|2k +1−b|=√1+k 2…①|4k −4+b|=2√1+k 2…②∴|4k +2-2b |=|4k -4+b |；（i ）当4k +2-2b =4k -4+b 时，∴2-2b =-4+b ，解得b =2； 将b =2代入①得，|2k -1|=√1+k 2， ∴3k 2-4k =0，解得k =0或k =43；（ii ）当4k +2-2b =-（4k -4+b ）时，∴b =8k -2， 将b =8k -2代入①得，|6k -3|=√1+k 2，∴35k 2-46k +8=0，解得k =18±2√1135；综上所述，两圆的公切线斜率为k =0，k =43或k =18±2√1135； （2）设P 点坐标为（m ，n ），直线l 的斜率为k （依题意知k ≠0）， 则直线l 的方程为y -n =k （x -m ）， 即kx -y +n -km =0；因为直线l 被圆C 1截得的弦长的2倍与直线l 被圆C 2截得的弦长相等，即2√r 12−d 12=√r 22−d 22，∴4[1-(√k 2+1)2]=4-(√k 2+1)2，整理得：（3m +2）k +（4-3n ）=0或（m +6）k -n =0；由于关于k 的方程有无穷多解，所以3m +2=0且4-3n =0，或m +6=0且-n =0； 解得m =-23且n =43，或m =-6且n =0； ∴点P 的坐标为（-23，43）或（-6，0）． 【解析】（1）根据题意判断两圆外离，公切线有4条；设公切线方程为y=kx+b ，利用圆心到直线的距离d=r 列方程组求出斜率k 的值；（2）设P 点坐标为（m ，n ），直线l 的斜率为k ，写出直线l 的方程，利用点到直线的距离与半径的关系求出直线被圆截得的弦长，结合题意列方程求出点P 的坐标．本题考查了点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系以及方程有无数解的应用问题，是难题．。
江苏省2018-2019年高二上学期期中考试联考数学理科试题
第一学期期中联考高二年级数学（理科）试卷本试卷分第I和第II卷，共150分.考试时间：120分钟第I卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 设直线若,则（）A. B. 1 C. D. 0【答案】D【解析】，解得：，故选A.2. 总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成。
利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )A. 08B. 07C. 02D. 01【答案】D【解析】试题分析：选取的数据依次为08,02,14,07,01，所以选出来的第5个个体的编号为01考点：随机数表3. 已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆锥和一个三棱柱组合而成，其体积为，故选B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4. 在中，角所对边长分别为若则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则的最小值为.选A.5. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（）A. 5B. 7C. 11D. 13【答案】B【解析】试题分析：设第一小组抽到的数是m，则，解得，答案选B．考点：系统抽样6. 若样本的平均数是，方差是，则对样本，下列结论正确的是 ( )A. 平均数为10，方差为2B. 平均数为11，方差为3C. 平均数为11，方差为2D. 平均数为12，方差为4【答案】C【解析】样本的平均数是，则对样本的平均数为，样本与样本的方差相等，均为2；选C.7. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为20，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，运行程序框图可知，此程序框图表示求和，要使得输出时，此时应填写，故选D。
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-，0），C（，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．19.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题10.【答案】（-∞，-]∪[，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a，如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥．故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC是半径，为定值1，要使三角形PAC的面积最小，则PC最小，|PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB面积最小，则P为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x-y+5=0【解析】解：∵∠B、∠C的平分线分别是x=0，y=x，∴AB与BC对于x=0对称，AC与BC对于y=x对称．∴A（3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC上，A关于y=x的对称点A''（-1，3）也在直线BC上．代入两点式方程可得，故所求直线BC的方程：2x-y+5=0．故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A关于x=0，y=x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，）∪（，+∞）【解析】解：由于对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，故以MN为直径的圆与直线l：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．因为A（0，a），C（，0），故∠MAC=60°，AD=AC=a．△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=（a+b）．得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），则，即，解得m=-1，n=2．即A（-1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y-3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．【解析】（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），分别代入直线l1 和l2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由，求得R的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB为等腰梯形，PB=3，DC=1，PA=1，则PA⊥AD，CD⊥AD．又因为面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD⊂面ABCD，故CD⊥面PAD．又因为CD⊂面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．（2）所求的点M即为线段PB的中点，证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1，四棱锥P-ABCD的高为h2当M为线段PB的中点时，=．所以=所以截面AMC把几何体分成的两部分V PDCMA：V M-ACB=2：1．（3）当M为线段PB的中点时，直线PD与面AMC不平行．证明如下：（反证法）假设PD∥面AMC，连接DB交AC于点O，连接MO．因为PD⊂面PDB，且面AMC∩面PBD=MO，所以PD∥MO．因为M为线段PB的中点时，则O为线段BD的中点，即．面AB∥DC，故，故矛盾．所以假设不成立，故当M为线段PB的中点时，直线PD与平面AMC不平行．【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD⊥面PAD；（2）已知V多面体PDCMA ：V三棱锥M-ACB体积之比为2：1，求出V M-ACB：V P-ABCD体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M点位置．（3）利用反证法证明当M为线段PB的中点时，直线PD与平面AMC不平行．本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由得圆心C为（3，2），∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为：（x-3）2+（y-2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，∴ ∴，∴2k（4k+3）=0∴k=0或者，∴所求圆C的切线方程为：y=3或者．即y=3或者3x+4y-12=0．（2）∵圆C的圆心在在直线l：y=2x-4上，所以，设圆心C为（a，2a-4），则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1，又∵MA=2MO，∴设M为（x，y）则整理得：x2+（y+1）2=4设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上即：圆C和圆D有交点，∴1≤CD≤3，∴，由5a2-12a+8≥0得a∈R，由5a2-12a≤0得，综上所述，a的取值范围为：，．【解析】（1）求出圆心C为（3，2），圆C的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k即可得到切线方程．（2）设圆心C为（a，2a-4），圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1，设M为（x，y）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
2018～2019学年江苏省昆山市高二上学期期中考试数学试题(解析版)
绝密★启用前
江苏省昆山市2018～2019学年
高二年级上学期期中质量检测
数学试题
（解析版）
一、填空题
1.已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为________. 【答案】1
【解析】
【分析】
解出即可.
【详解】∵倾斜角为90°的直线经过点
故答案为1.
【点睛】本题考查了倾斜角的应用,考查了基本概念,属于基础题．
2.,__________ 【答案】2
【解析】
【分析】
根据直线平行的等量关系,解得结果.
（-1舍）.
【点睛】本题考查直线平行,考查基本分析求解能力,属基础题.
3.则长方体的对角线长度为______________
【解析】
【点睛】本题考查长方体对角线长,考查基本分析求解能力,属基础题.
4._______________
【解析】
【分析】
根据垂径定理求弦长.
【点睛】本题考查直线与圆位置关系,考查基本分析求解能力,属基础题.
5.,且与直线_____________
【解析】
【分析】
设圆标准方程形式,根据条件列方程组,解得结果.
,
.
【点睛】本题考查圆得标准方程,考查基本分析求解能力,属基础题.
6.则这两个平面之
间的距离是
【答案】1或7。
江苏省昆山市2018_2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)
江苏省昆山市2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为________.【答案】1【解析】【分析】.【详解】∵倾斜角为90°的直线经过点1.【点睛】本题考查了倾斜角的应用，考查了基本概念，属于基础题．2.平行，则__________【答案】2【解析】【分析】根据直线平行的等量关系，解得结果.（-1舍）.【点睛】本题考查直线平行，考查基本分析求解能力，属基础题.3.______________【解析】【点睛】本题考查长方体对角线长，考查基本分析求解能力，属基础题.4._______________【解析】【分析】根据垂径定理求弦长.【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5.相切于点_____________【解析】【分析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.，解得.【点睛】本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.间的距离是【答案】1或7【解析】【分析】先根据条件得球心到两平面距离，再根据两平面位置关系得结果.【点睛】本题考查球相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7._______________【答案】8【解析】【分析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段AB,AB中点,【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.8.如图，在棱长为的正方体 D 的体积等于【解析】【分析】根据割补法得结果.【详解】四面的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积，即【点睛】本题考查锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，，1的等边三角形，AC_____________【解析】【分析】先展开，再在平面内利用余弦定理得结果.【详解】先将平面展开到平面,则的最小值为此时【点睛】本题考查利用展开图求距离最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.A B的动直线________________【解析】【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角的最大值．【详解】由题意可得A（0，0），由于直线mx﹣y﹣m+3=0，即 m（x﹣1）﹣y+3=0，显然经过定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则θ，θ．∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ，θθθθ）（θ，∵θ，∴θ，∴当θ（θ故答案为：2【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题．11.②过直线有且只有一个平面其中，一定正确的是______________【答案】①③④【解析】【分析】根据异面直线定义说明命题正确①③④，举反例说明命题②错误.P则直线若存在平面P点Q则直线即确定一个平面，使得综上，正确的是①③④【点睛】本题考查线面位置关系，考查基本分析判断与论证能力，属中档题.12.M上存在点P，过点P做圆O的两条切线，切点为A、B_____________【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4 ①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y －a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.13.已知P P的横坐标等于________【解析】【分析】先根据条件化简得方程组，解得点P的横坐标.，则由【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.14.，最大值为_____________【解析】【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.上，其中为AB中点.【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.二、解答题15.已知直线且斜率为（1）求直线（2（3【答案】（123【解析】【分析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】(2)设所求方程为因为过点(3) 因为过点【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.16.如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为（1（2【答案】（12【解析】【分析】（1）根据比例关系求结果，（2）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.【详解】（1（2【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，在直三棱柱D为AB求证：（1（2【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（2）即得结论.DE,（2为正方形，【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.，四边形（III，直接写出.【答案】（1）见解析（2）见解析（3【解析】【分析】．再由面面．由线面垂直的判定可得表示，则【详解】（I（II（III．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.如图，已知圆O O交于点（1（2）当直线.【答案】（12【解析】【分析】(1)设Q坐标表示A点坐标，代入圆方程解得Q坐标，即得直线AB方程，与圆方程联立解得A,B坐标，(2) 设Q坐标表示A、B【详解】（1（2）设,【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20..（1）求两圆所有公切线的斜率（22倍，试求所有满足条件的点P的坐标【答案】【解析】【分析】（1）先设公切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列方程，解得结果，（2）设直线点斜式方程，再根据垂径定理将弦长关系转化为圆心到直线距离关系，利用条件列等量关系，最后根据恒成立解得P点坐标.【详解】（1（2和圆的圆心到过P直线距离分别为P或【点睛】定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，然后利用条件建立借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二(上)期中数学试卷(文科)
2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台B．一个圆锥C．一个圆柱D．两个圆锥2．（5分）直线的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．（5分）已知直线l1：mx﹣y+3=0与l2：y=﹣垂直，则m=（）A．B．C．﹣2D．24．（5分）在空间直角坐标系中，已知点P（1，），过点P作平面xoz 的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（）A．（0，，0）B．（0，）C．（1，0，）D．（1，，0）5．（5分）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A．45°B．30°C．60°D．90°6．（5分）已知平面α，直线l，点P，则下列命题正确的是（）A．若l⊄α，P∈l，则P∉αB．若l⊄α，P∈l，则P∈αC．若l⊂α，P∈l，则P∈αD．若l⊂α，P∉l，则P∉α7．（5分）圆心在x轴上，且过点（2，4）的圆与y轴相切，则该圆的方程是（）A．x2+y2+10y=0B．x2+y2﹣10y=0C．x2+y2+10x=0D．x2+y2﹣10x=08．（5分）直线x﹣y﹣4=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x+2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，4]B．[4，8]C．[8，16]D．[16，32] 9．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE是共面直线C．AE与B1C1是异面直线D．AE与BB1是共面直线10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200D．24011．（5分）已知P（a，b）为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0上任意一点，则的最大值为（）A．2B．C．D．012．（5分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+y﹣2=0相交于A，B两点，C 为圆上的一点，OC的中点D在线段AB上，且3=5，则圆O的半径r为（）A．B．C．D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为．14．（5分）如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC=60°，那么这个二面角大小是．15．（5分）如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为2，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为120π，则正四棱柱体的体积为．16．（5分）已知圆M：（x﹣1﹣cosθ）2+（y﹣2﹣sinθ）2=1，直线l：kx﹣y﹣k+2=0，下面五个命题：①对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；②存在实数k与θ，直线l和圆M相切；③存在实数k与θ，直线l和圆M相离；④对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与和圆M相切；⑤对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l1：x+y﹣1=0，l2：2x+3y﹣5=0，l3：6x﹣8y+3=0（1）求l1与l2的交点P的坐标．（2）求过交点P且与l3垂直的直线方程，并化为一般式．18．（12分）如图，已知矩形BB1C1C所在平面与平面ABB1N垂直，BB1∥AN，BB1=2AN，∠BAN=90°，CB=AB=AN=2．（1）求证：B1C1∥平面NB1C1．（2）求证：BN⊥平面NB1C1．19．（12分）在△ABC中，点A（7，4），B（2，9），C（5，8）（1）求△ABC的面积．（2）求△ABC的外接圆的方程．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，D为线段AC的中点，E为线段PC上一动点，且PA=5，AB=BC=4．（1）求证：BC⊥平面PAB．（2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥D﹣BCE的体积．21．（12分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1+k=0．（1）求k的取值范围．（2）若此圆与直线x+y﹣3=0相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求k的值．22．（12分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E，F分别在BC、AD上，EF∥AB，并且E为BC中点．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（1）证明：AC⊥DE．（2）在AC上是否存在点M，使得CF⊥平面DEM，若存在确定M点位置，若不存在，说明理由；2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台B．一个圆锥C．一个圆柱D．两个圆锥【分析】根据圆锥的几何特征，可得答案．【解答】解：将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体是两个底面重合的圆锥，故选：D．【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．2．（5分）直线的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】由已知直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于直线倾斜角的正切值求解．【解答】解：直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，则α=30°．∴直线的倾斜角为30°，故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．（5分）已知直线l1：mx﹣y+3=0与l2：y=﹣垂直，则m=（）A．B．C．﹣2D．2【分析】根据相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线l1：mx﹣y+3=0与l2：y=﹣垂直，则m•（﹣）=﹣1，解得m=2，故选：D．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）在空间直角坐标系中，已知点P（1，），过点P作平面xoz 的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（）A．（0，，0）B．（0，）C．（1，0，）D．（1，，0）【分析】点P（x，y，z），过点P作平面xoz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（x，0，z）．【解答】解：∵点P（1，），过点P作平面xoz的垂线PQ，∴垂足Q的坐标为（1，0，）．故选：C．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5．（5分）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A．45°B．30°C．60°D．90°【分析】画出几何体的立体图形，由△ABC的形状判断∠ABC的度数．【解答】解：一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，组成立体图形后，可得△ABC的各边均为正方形的对角线长，△ABC为等边三角形，∴∠ABC的度数为60°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形的性质和展开图折叠成几何体等知识点，解决本题的关键是动手操作得到△ABC各边之间的关系．6．（5分）已知平面α，直线l，点P，则下列命题正确的是（）A．若l⊄α，P∈l，则P∉αB．若l⊄α，P∈l，则P∈αC．若l⊂α，P∈l，则P∈αD．若l⊂α，P∉l，则P∉α【分析】通过反例判断选项A，B，D不正确，判断C正确即可．【解答】解：对于选项A：当l∩α=P时，P∈α，故A错；对于选项B：当l∩α≠P或l∥α时，P∉α，故B错；对于选项C，若l⊂α，P∈l，则P∈α，满足直线与平面的基本性质，故C正确．对于选项D：若P∉l，则P∈α或P∉α，故D错；故选：C．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，点与直线，平面的位置关系的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．7．（5分）圆心在x轴上，且过点（2，4）的圆与y轴相切，则该圆的方程是（）A．x2+y2+10y=0B．x2+y2﹣10y=0C．x2+y2+10x=0D．x2+y2﹣10x=0【分析】由题意设出圆心坐标为（r，0），半径为r，可得（2﹣r）2+42=r2，求得r值，则圆的方程可求．【解答】解：根据题意，设圆心坐标为（r，0），半径为r，则（2﹣r ）2+42=r 2，解得r=5，可得圆的方程为（x ﹣5）2+y 2=25，即x 2+y 2﹣10x=0．故选：D ．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．8．（5分）直线x ﹣y ﹣4=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x +2）2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ）A ．[2，4]B ．[4，8]C ．[8，16]D ．[16，32]【分析】求出A （4，0），B （0，﹣4），|AB |=4，设P （﹣2+cosθ，sinθ），求出点P 到直线x +y +2=0的距离范围，由此能求出△ABP 面积的取值范围．【解答】解：∵直线x +y ﹣4=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令x=0，得y=﹣4，令y=0，得x=4，∴A （4，0），B （0，﹣4），|AB |=4， ∵点P 在圆（x +2）2+y 2=2上，∴设P （﹣2+cosθ，sinθ），∴点P 到直线x +y ﹣4=0的距离：d==|3+sin （θ﹣）|，∵sin （θ﹣）∈[﹣1，1]，∴d ∈[2，4]，∴S △ABP 的最大值为×4×4=16，S △ABP 的最小值为×4×2=8，∴△ABP 面积的取值范围是[8，16]，故选：C ．【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．（5分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC的中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE是共面直线C．AE与B1C1是异面直线D．AE与BB1是共面直线【分析】B1E⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1；由异面直线判定定理得：CC1与AE是异面直线，AE与B1C1是异面直线，AE与BB1是异面直线．【解答】解：在A中，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，∴B1E⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴CC1与B1E是共面直线，故A错误；在B中，∵AE∩平面BCC1B1=E，CC1⊂平面BCC1B1，且E∉CC1，∴CC1与AE是异面直线，故B错误；在C中，∵AE∩平面BCC1B1=E，B1C1⊂平面BCC1B1，且E∉B1C1，∴AE与B1C1是异面直线，故C正确；在D中，∵AE∩平面BCC1B1=E，BB1⊂平面BCC1B1，且E∉BB1，∴AE与BB1是异面直线，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查异面直线判定定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200D．240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．11．（5分）已知P（a，b）为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0上任意一点，则的最大值为（）A．2B．C．D．0【分析】设k=，则k表示直线MA的斜率，其中A（﹣1，1）是定点，可知直线MA与圆有公共点，从而可得≤1，由此能求出的最大值．【解答】解：设k=，则k表示直线MA的斜率，其中A（﹣1，1）是定点，∵M（a，b）在圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0上，∴圆C与直线MA有公共点，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，而直线MA的方程为：y﹣1=k（x+1），即kx﹣y+k+1=0，则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径，即：≤1，解得：0≤k≤，∴的最大值为．故选：C．【点评】本题考查圆的方程、性质，考查直线与圆的位置关系，考查与圆有关的最值问题，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．12．（5分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x+y﹣2=0相交于A，B两点，C 为圆上的一点，OC的中点D在线段AB上，且3=5，则圆O的半径r为（）A．B．C．D．2【分析】过O作OE⊥AB于E，连结OA，求出|OE|，由垂径定理得|AE|=|EB|，设|DE|=x，则由3=5可知|AE|=4x，由勾股定理得（4x）2+2=r2，，求解即可得答案．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，连结OA，则|OE|=，由垂径定理得|AE|=|EB|，设|DE|=x，则由3=5可知|AE|=4x，由勾股定理得（4x）2+2=r2，，解得：r=．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系关系，考查了垂径定理和勾股定理的应用，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0．【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．【解答】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y﹣5=0若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x﹣2y=0∴所求直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0故答案为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0【点评】本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．14．（5分）如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC=60°，那么这个二面角大小是90°．【分析】推导出AD=DB′=DC，AB′=AC=B′C，AD⊥DB′，AD⊥DC，从而△ADC≌△ADB′≌△DB′C，进而DB′⊥DC，由此能求出这个二面角大小．【解答】解：∵将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC=60°，∴AD=DB′=DC，AB′=AC=B′C，AD⊥DB′，AD⊥DC，∴△ADC≌△ADB′≌△DB′C，∴DB′⊥DC，∴这个二面角大小是∠B′DC=90°．故答案为：90°．【点评】本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15．（5分）如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为2，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为120π，则正四棱柱体的体积为40．【分析】由题意，求出球形容器的半径的最小值，即可求出正四棱柱体的高．再求正四棱柱体的体积．【解答】解：由题意，设该球形容器的半径的最小值为R，正四棱柱体的高为h，则4πR2=120π，∴R=．∴，h=10．则正四棱柱体的体积为V=2×2×10=40．故答案为：40．【点评】本题考查正棱柱的外接球，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（5分）已知圆M：（x﹣1﹣cosθ）2+（y﹣2﹣sinθ）2=1，直线l：kx﹣y﹣k+2=0，下面五个命题：①对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；②存在实数k与θ，直线l和圆M相切；③存在实数k与θ，直线l和圆M相离；④对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与和圆M相切；⑤对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切．其中真命题的代号是①②④（写出所有真命题的代号）．【分析】①由题意求得圆M与直线l有公共点（1，2）；②求得圆心到直线l的距离为d≤r；③由d≤r判断直线和圆不会相离；④由k存在知tanα存在，对应α存在，θ也存在；⑤举例说明不一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切．【解答】解：对于①，圆M：（x﹣1﹣cosθ）2+（y﹣2﹣sinθ）2=1的圆心为（1+cosθ，2+sinθ），半径为r=1；无论θ取何值，都有（1﹣1﹣cosθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2=1，∴圆过定点（1，2）；又直线l：kx﹣y﹣k+2=0可化为k（x﹣1）﹣y+2=0，过定点（1，2）；∴直线l和圆M有公共点（1，2），①正确；对于②，圆心M到直线l的距离为d==|sin（θ﹣α）|≤1，其中tanα=k；∴存在实数k与θ，使直线l和圆M相切，②正确；对于③，由d≤r知不存在实数k与θ，使直线l和圆M相离，③错误；④对任意实数k，有k=tanα，∴必存在实数θ，使得d=|sin（θ﹣α）|=1=r，直线l与和圆M相切，④正确；⑤对任意实数θ，不一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切，如θ=0°时，tan90°不存在的，∴⑤错误．综上，正确的命题序号是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l1：x+y﹣1=0，l2：2x+3y﹣5=0，l3：6x﹣8y+3=0（1）求l1与l2的交点P的坐标．（2）求过交点P且与l3垂直的直线方程，并化为一般式．【分析】（1）联立直线l1和l2的方程组成方程组，直接求解交点坐标，（2）求出直线l3：6x﹣8y+3=0，利用点斜式方程求出与l3垂直的直线方程．【解答】解：（1）由，解得x=﹣2，y=3，即点P（﹣2，3），（2）由l3：6x﹣8y+3=0可得直线的斜率为，则过交点P且与l3垂直的直线方程的斜率为﹣，则其直线方程为y﹣3=﹣（x+2），即为4x+3y﹣1=0．【点评】本题考查直线方程求解直线的交点的求法，直线的垂直，考查计算能力．18．（12分）如图，已知矩形BB1C1C所在平面与平面ABB1N垂直，BB1∥AN，BB1=2AN，∠BAN=90°，CB=AB=AN=2．（1）求证：B1C1∥平面NB1C1．（2）求证：BN⊥平面NB1C1．【分析】（1）推导出B1C1∥BC，由此能证明B1C1∥平面BCN．（2）推导出CB⊥平面ANB1B，从而C1B1⊥平面ANB1B，进而C1B1⊥BN，过N作MN垂直BB1于M，从而NB⊥NB1，由此能证明BN⊥平面NB1C1．【解答】证明：（1）因为四边形矩形BB1C1C是矩形，所以B1C1∥BC，（2分）因为BC⊂平面BCN，B1C1⊄平面BCN，所以B1C1∥平面BCN．（5分）（2）矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，且交线为BB1，CB⊥BB1，所以CB⊥平面ANB1B，（6分）又因为BC∥B1C1，故C1B1⊥平面ANB1B，（7分）又BN在平面ANB1BB1内，从而C1B1⊥BN，过N作MN垂直BB1于M，可得MN=MB1=MB=2，NB=NB1=2，（9分）又BB1=4，所以BB12=NB2+NB12，即NB⊥NB1，（10分）而C1B1⊥BN，又因为C1B1∩NB1=B1，所以BN⊥平面NB1C1．（12分【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19．（12分）在△ABC中，点A（7，4），B（2，9），C（5，8）（1）求△ABC的面积．（2）求△ABC的外接圆的方程．【分析】（1）利用两点间的距离公式求得AB的值，用两点式求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出C到AB的距离d，再根据三角形的面积公式求得△ABC的面积．（2）设△ABC的外接圆心为O（a，b）则|OA|=|OB|=|OC|，求出a的值，可得圆的标准方程．【解答】解：（1）∵A（7，4），B（2，9），∴|AB|==5，直线AB方程为：，即x+y﹣11=0．点C到直线AB的距离，故S=．△ABC（2）设△ABC的外接圆心为O（a，b）则|OA|=|OB|=|OC|，即（a﹣7）2+（b﹣4）2=（a﹣2）2+（b﹣9）2=（a﹣5）2+（b﹣8）2，∴a=2，b=4，故圆心坐标为（2，4），半径的平方为OA2=（a﹣7）2+（b﹣4）2  ；=25，∴△ABC的外接圆方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=25．【点评】本题主要考查两点间的距离公式，用两点式求直线的方程，点到直线的距离，求圆的标准方程，属于基础题．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，D为线段AC的中点，E为线段PC上一动点，且PA=5，AB=BC=4．（1）求证：BC⊥平面PAB．（2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥D﹣BCE的体积．【分析】（1）证明PA⊥BC、AB⊥BC，即可证明BC⊥平面PAB．=，即可求解三棱锥D﹣BCE的体积．（2）求出DE，通过V D﹣BCE【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，∴PA⊥BC、AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB ……（5分）（2）解：∵PA∥平面BDEPA⊂平面PAC平面PAC∩平面BDE=DE∴PA∥DE，又∵D为AC中点∴E为PC中点且DE=，==××=，又∵V D﹣BCE故三棱锥D﹣BCE的体积为：……（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．（12分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1+k=0．（1）求k的取值范围．（2）若此圆与直线x+y﹣3=0相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求k的值．【分析】（1）由方程x2+y2﹣2x﹣4y+1+k=0配方为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4﹣k．由于此方程表示圆，可得4﹣k＞0，解出即可；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．与圆的方程联立可得根与系数关系，再利OM ⊥ON得y1y2+x1x2=0，即可解出k．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2x﹣4y+1+k=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4﹣k，∵此方程表示圆，∴4﹣k＞0，即k＜4．…（4分）（2），消去x得2（y﹣2）2=4﹣k，解得：y=2±，则k＜4，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0，即y1y2+（3﹣y1）（3﹣y2）=0，∴25﹣3（y1+y2）+y1y2=0，得25﹣3×4+2+=0，解之得：k=﹣30，符合题意．…（12分）【点评】本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．22．（12分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E，F分别在BC、AD上，EF∥AB，并且E为BC中点．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（1）证明：AC⊥DE．（2）在AC上是否存在点M，使得CF⊥平面DEM，若存在确定M点位置，若不存在，说明理由；【分析】由tan，tan∠EDF=．可得∠CFD=∠EDF．∴∠CFD+∠EDF=90°．FC⊥ED，（1）可证明ED⊥面AFC，即可得AC⊥ED．（2）设ED∩FC=O，过O作OM∥AF交AC于M，则CF⊥平面DEM．【解答】解：如图∵在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E，F分别在BC、AD上，EF∥AB，并且E为BC中点．∴EC=2，FD=4，tan，tan∠EDF=．∴∠CFD=∠EDF．∴∠CFD+∠EDF=90°．∴FC⊥ED，（1）∵使平面ABEF⊥平面EFDC．AF⊥EF，∴AF⊥ED又∵ED⊥AF，∴ED⊥面AFC，∴AC⊥ED．（2）设ED∩FC=O，过O作OM∥AF交AC于M，则CF⊥平面DEM．理由：∵，∴FC⊥平面DEM．【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．第21页（共21页）。
江苏省七校联盟2018-2019学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案
“七校联盟”2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题（盐城卷）（考试时间：120分钟，总分160分）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、班级、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅L 的方差s 2=n121)(x x ni i-∑=，其中x =n 1∑=ni ix1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 ▲ .2、抛物线24x y =的焦点坐标为 ▲ ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,8，则该组数据的方差为 ▲ ．4、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 ▲ 条件．（请在“充分不必要、必要不充分、充分必要”中选择一个合适的填空）．5、右图给出的伪代码运行结果x 是 ▲ .6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ▲ .7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则A ，B 两名老师都被选中的概率是 ▲ ．8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 ▲ ．9、若正实数a ，b满足12a b+=，则ab 的最小值为 ▲ ． 10、记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈D的概率是 ▲11、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为 ▲ ． 12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ▲ ．13、若方程21-2x x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14、已知不等式xy≤ax 2＋2y 2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的范围是)+∞. （1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围．18、(本题满分16分)设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，(（1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值； （3）求线段MN 的长度的最小值七校联盟2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，） 1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 200x x ∃≥<，.2、抛物线24x y =的焦点坐标为 (0,1) ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,84、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 必要不充分 条件．（请在“充分必要、充分不必要、必要不充分”中选一个合适的填空）．5、 右图给出的伪代码运行结果x 是 16 ．6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是___5_____．7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教， 则A，B 两名老师都被选中的概率是． 8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 6 ．9、若正实数a ，b 满足abba =+21，则ab的最小值为 10、记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈ D的概率是5911、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为22124y x -=12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 -+2,1（1）．13、若方程21-2x x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 [-2,3]． 14、已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立， 则实数a 的取值范围是 [－1，＋∞)．解析：由题意得，当x∈[1，2]，且y∈[2，3]时，不等式xy≤ax 2＋2y 2，即a≥xy －2y2x2＝y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18.在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤2，2≤y ≤3表示的平面区域，注意到y x 可设为该区域内的点(x ，y)与原点连线的斜率，结合图形可知，yx 的取值范围是[1，3]，此时－2(y x －14)2＋18的最大值是－1，因此实数a 的取值范围是a≥－1.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离． 解：（1）根据题意：，解得，.............4分∴b 2=a 2﹣c 2=4， .............6分 ∴椭圆C 的标准方程为； .............7分 （2）由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2， .............10分设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得， .............13分解得：． ..............14分16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人；（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率， 所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为： 1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人． ……………4分 （2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人， 分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的人有：10=210+155 人 ……………8分 （3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人， 用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为1a ，2a分数在[50，60）的有3人，设为1b ，2b ，3b5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(21b b ， ),(31b b ，),(32b b分别在不同区间上有m=6种可能．),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率． …………… 14分．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的取值范围是3,)+∞， （1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围． 解：(1)对于p ：因为二次函数2()76f x x x =-+的对称轴为72x =，由题意知72m ≥， 若p 真，则7[,)2m ∈+∞； …………4分对于q ：∵22141x y m m -=--双曲线，∴（4-m ）(m-1)>0,得14m <<∴2413344m m e m m-+-==>--得3m >，故34m <<，即若q 真，则(3,4)m ∈ ………………8分 (2)由题意知：p ，q 一真一假， ………………10分 若p 真q 假，则[4,)m ∈+∞； 若p 假q 真，则7(3,)2m ∈；综合得实数m 的取值范围为7(3,)[4,)2+∞U ………………14分18、（本小题满分16分）设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，(（1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.解 （1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程2(2)30ax b x +-+=的两根为1,3-且0a < .............2分 由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧=-=41b a .............4分（2）若(1)2,00f a b =>>、，则1a b +=， .............5分+12a b +=（）， 1[+112a b +=（）] 所以141141+149[+1)]()[5]+12+12+12b a a b a b a b a b +=++=++≥（ ………………8分14-,33a b ==时式中等号成立）…………9分(3) 当b a =- ，不等式()1f x ≤即2(2)200)ax a x a -++≤≠，(即(2)(1)00)ax x a --≤≠，( ……………………… 10分①0a <时，不等式可化为2()()0x x a≥－1－， 原不等式的解集为2{|1}x x x a≤≥或 …………………… 12分② 0a >时，原不等式可化为2()()0x x a≤－1－ ∴当02a <<时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤………………………………… 14分当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x =………………………………………… 15分当2a >时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤…………………………………… 16分 19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为 90°. 已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．解：(1) ∵ S △AOC ＋S △BOC ＝S △AOB ，∴ 12x·4sin60°＋12y ·4sin30°＝12xy ， …………………4分整理得y ＝23x x －2，…………………6分过C 作OB 平行线与OA 交于D ，OA>OD ，故x>2.定义域为{x|x>2}．…………………7分(2) S △AOB ＝12xy ＝3x2x －2，(x>2)，S △AOB ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋4（x －2）＋4x －2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋4x －2＋4.∵ x －2>0，∴ x －2＋4x －2≥4，当且仅当()x －22＝4即x ＝4时取等号．所以当x ＝4时，S △AOB 有最小值为8 3.…………………15分答：当OA ＝4 km ，OB ＝4 3 km 时，使△AOB 的面积最小．…………………16分20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN 的长度的最小值解：（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴== 故椭圆C 的方程为2214x y +=…………………4分 （Ⅱ）设2222000000(,),1144x x S x y y y +=∴=-得 2000200012244SA SB y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--故……………………9分 （Ⅲ）（常规方法，函数思想）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33k M ………………11分 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k =+即222284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-……13分 故161||33k MN k=+又16180,||333k k MN k >∴=+≥= 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83………16分 （Ⅲ）方法二：利用第2问结论设1010(,),(,),0,033M N M N M y N y y y ><则 9116,()101064492233N M N M SA SD M N y y y y k k y y ⋅=⋅==-∴⋅-=+-则………13分故8,3M N MN y y =+≥=当且仅当4()3M N y y =-=时等号成立 即M,N 的长度的最小值为83……………16分。
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ， 如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点， 则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥． 故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）． 由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上． 代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0． 故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞） 【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0． （2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2， 求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ． 因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11． 面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上， 所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1， 又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|， 由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ， 由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]． 【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
江苏省昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学
昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学1.已知倾斜角为45°的直线经过点(2,3)A m ，(2,3)B -，则m 的值为___________2.已知直线1:2320l x y +-=和直线2:(21)10l mx m y +-+=平行，则m 的值为__________3.若长方体的三个面的对角线分别为3,4,3，则长方体的对角线长度为______________4.直线220x y +-=被圆224210x y x y +-++=截得的弦长等于_______________5.圆心在直线20x y +=上，且与直线1x y +=相切于点(2,1)-的圆的标准方程为_____________6.半径为5cm 的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3cm 和4cm ，则这两个平面之间的距离是______________cm7.过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 斜率为_______________8.如图，在棱长为2cm 的正方体1111ABCD A BC D -中，四面体1111A B C D D 的体积等于________3cm9.如图，空间四边形ABCD 中，平面ACD ABC ⊥平面，ABC 为1的等边三角形，30CAD ∠=，90ACD ∠=，P 为棱AC 上的一个动点，则BP PD +的最小值为_____________10.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PB +的最大值是________________11.关于异面直线,a b ，有下列四个命题①过直线a 有且只有一个平面α，使得b α ②过直线a 有且只有一个平面α，使得b α⊥ ③在空间存在平面β，使得a β，b β ④在空间不存在平面β，使得a β⊥，b β⊥ 其中，一定正确的是______________12.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(4)1M x a y a -+--=，若圆M 上存在点P ，过点P 做圆O 的两条切线，切点为A 、B ，使得60APB ∠=︒，则实数a 的取值范围是_____________13.已知P 为平面内一点，且(1,0),(1,0)A B -，若P A ，PB ，则点P 的横坐标等于________14.若实数1212,,,x x y y ：满足222211221 ,1x y x y +=+=，121212x x y y +=，则112211x y x y +-++-的最大值为_____________15.已知直线l 经过点(2,3)P 且斜率为32-（1）求直线l 的一般式方程（2）求与直线l 平行，且过点(3,1)-的直线的一般式方程（3）求与直线l 垂直，且过点(3,1)-的直线的一般式方程16.如图一个圆锥的底面半径为1，高位3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱（1）试用x 表示圆柱的高h（2）当x 为何值时，圆柱的全面积忒大，最大全面积为多少17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 为AB 中点，1BC BB =，在11190A B C ∠=︒求证：（1）11BC A DC 平面 （2）11BC AC ⊥18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ABCD ⊥平面平面，四边形ABCD 为正方形，PAB 为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F（1）求证： AD EF //（2）求证：PB AEFD ⊥平面（3）记四棱锥P AEFD -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V19.如图，已知圆O 的方程为225x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于点A 、B ，与x 负半轴交于点Q 。
2018-2019学年高二(上)期中数学试卷
2018-2019学年高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）双曲线﹣=1的焦距为．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为．4．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．5．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．6．（5分）点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为．7．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．8．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是．9．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．11．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．12．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．14．（5分）若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：+=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．17．（14分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．（1）求BC边所在直线方程；（2）求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．18．（16分）已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）双曲线﹣=1的焦距为8．【分析】由双曲线的标准方程可知：a2=9，b2=7，则c2=a2+b2=16，即可求得c，则焦距为2c=8．【解答】解：由双曲线﹣=1可知：a2=9，b2=7，则c2=a2+b2=16，∴c=4，焦距2c=8，故答案为：8．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单性质，属于基础题．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（5分）直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为﹣1．【分析】由于l2的斜率存在，因此l1∥l2⇔且截距不等．即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴，化为a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或﹣1．当a=3时，l1与l2重合，应舍去．因此a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，属于基础题．4．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．【分析】通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：=．所以弦长为：．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，解题比较简洁，可以利用直线与圆的方程联立方程组，求解弦长，比较麻烦．5．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为2．【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设所求点坐标为M（x，y）作MQ⊥l于Q根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离即x+1=3，解之得x=2，代入抛物线方程求得y=±4故点M坐标为：（2，y）即点M到y轴的距离为2故答案为：2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．6．（5分）点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为3x ﹣y+3=0．【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．【解答】解：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线．A、B的中点坐标（1，6），AB的斜率为：中垂线的斜率为：3则l的方程为：y﹣6=3（x﹣1）即：3x﹣y+3=0故答案为：3x﹣y+3=0【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查计算能力，是基础题．7．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4．【分析】由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点F（c，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．利用=c即可得出．【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是2＜r＜8．【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系，【解答】解：圆x2+y2=9的圆心（0，0），半径为3，圆x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）的圆心（﹣4，3），半径为：r，因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，所以，解得2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点评】本题考查两个圆的位置关系，通过圆心距在半径差与半径和之间求解，也可以联立方程组，利用判别式解答．9．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）【分析】求解a2＞2a，得出a＞2或a＜0，根据充分必要的定义判断即可得出答案．【解答】解：∵a2＞2a，∴a＞2或a＜0，根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可．10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．11．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．12．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为．【分析】设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．【解答】解：∵个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），∵P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴，且a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=，∴椭圆方程为．故答案为：．【点评】本题考是椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．可得+=1，+=1，相减可得：+=0，利用中点坐标公式、斜率计算公式及其•k=，即可得出，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．∵+=1，+=1，相减可得：+=0，把x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=k代入可得：+=0，又•k=，∴﹣=0，解得=．∴e==．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【分析】由双曲线的标准方程可知：则x=2secα，y=tanα，由3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=+，由﹣1＜sinα＜1，1﹣sinα＞0，1+sinα＞0，由基本不等式的性质可知∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）≥12+2=12+8，则+≥6+4，即可求得3x2﹣2xy的最小值．【解答】解：由线﹣y2=1，设x=2secα，y=tanα，3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα，=﹣，==，=+∵﹣1＜sinα＜1，1﹣sinα＞0，1+sinα＞0∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+），=12++≥12+2=12+8，当且仅当=等号成立，解得：sinα=3﹣2（3+2舍去）时，取得最小值，∵[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）=2（+），+≥6+4，∴3x2﹣2xy的最小值是6+4，故答案为：6+4．【点评】本题考查双曲线的参数方程，三角恒等变换，基本不等式性质的综合应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．【分析】（1）由椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，求得a=8，则b2=a2﹣c2=64﹣16=48，即可求得椭圆方程；（2）根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，则求得a′=2，则b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：（1）∵A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，根据椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，∴a=8，…4分在椭圆中：b2=a2﹣c2=64﹣16=48，…6分∴椭圆方程为：；…8分（2）∵A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，∴a′=2，…10分在双曲线中：b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，…12分∴双曲线方程为：．…14分．【点评】本题考查椭圆及双曲线的标准方程，椭圆及双曲线的定义，属于基础题．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：+=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【分析】求出命题p，q为真时，m的范围，结合命题p、命题q中有且只有一个为真命题，分类讨论，综合后可得实数m的取值范围．【解答】解：命题p为真：由题意得，m＞8﹣m＞0，解得4＜m＜8．…3分命题q为真：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点则圆心O到直线l的距离：d=≤3，解得：﹣3≤m≤3．…7分因为命题p、命题q中有且只有一个为真命题若p真q假，则：解得：3＜m＜8．…10分若p假q真，则：解得：﹣3≤m≤4 …13分综上：实数m的取值范围是3＜m＜8或﹣3≤m≤4．…14分．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，复合命题，难度中档．17．（14分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．（1）求BC边所在直线方程；（2）求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．【分析】（1）求出BC的斜率，可得BC边所在直线方程；（2）求出圆心与半径，即可求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，得出直线方程，即可求该直线被圆M截得的弦长．【解答】解：（1）∵k AB=﹣，AB⊥BC (1)分∴k BC=，∴BC边所在直线方程y=x﹣2．…4分（2）在上式中，令y=0得：C（4，0）…5分∴圆心M（1，0）又∵AM=3 …7分∴外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9 …9分（3）∵P（﹣1，0），直线l过点P且倾斜角为，∴直线l的方程为y=（x+1） (10)分点M到直线l的距离为…12分直线l被圆M截得的弦长为2．…14分．【点评】本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．（16分）已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．【分析】（1）由题意可知：（a＞b＞0），由准线方程为：x==m+1，即可求得a2=m（m+1），b2=m，由e===，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），求得=（2m+1，m+1），=（1，m+1），由•=m2+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由离心率e===，即可求得椭圆离心率的取值范围．（1）椭圆的右焦点F（m，0），故焦点在x轴上，设椭圆方程为：【解答】解：（a＞b＞0），∴c=m，准线方程为：x==m+1，∴a2=m（m+1），b2=m …2分由e===，可得b=c，从而m=1，…4分故a=，b=1，∴椭圆方程：；…6分（2）由题意可知：A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），∴=（2m+1，m+1），=（1，m+1），…9分故•=2m+1+（m+1）2=m2+4m+2＜7，解得：0＜m＜1，…12分由离心率e===，…14分故所求的离心率范围为（0，）．…16分．【点评】本题考查椭圆方程及简单几何性质，考查向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．【分析】（1）根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标（0，4），并可设P（2b，b），从而由条件便可求出|MP|=，这样便可求出b的值，即得出点P的坐标；（2）容易求出圆N的圆心坐标（b，），及半径，从而可得出圆N的标准方程，化简后可得到（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，从而可建立关于x，y的方程，解出x，y，便可得出圆N所过的定点坐标；（3）可写出圆N和圆M的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦AB 的直线方程，进而求出圆心M到直线AB的距离，从而求出弦长，显然可看出b=时，AB取最小值，并求出该最小值．【解答】解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，∴，解得，∴P（0，0）或．（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，由，解得或，∴圆过定点（0，4），．（3）因为圆N方程为，即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，点M到直线AB的距离，相交弦长即：，当时，AB有最小值．【点评】考查圆的标准方程和一般方程的形式，圆心和切点的连线垂直于切线，以及直径所对圆周角为直角，以及两圆的相交弦所在直线方程的求法，配方求二次函数最值的方法，直角三角形边的关系．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由OM∥l，能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A （﹣4，0），∴a=4，又，∴c=2．…（2分）又∵b2=a2﹣c2=12，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）直线l的方程为y=k（x+4），由消元得，．化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，∴x1=﹣4，．…（6分）当时，，∴．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，则．…（8分）直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（10分）（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为，…（12分）由OM∥l，得=…（14分）=，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．…（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．。