数学建模论文(分配问题)(精编文档).doc
公平分配问题 数学建模
公平分配问题摘要公平分配问题是生活中常遇到的问题。
对于企业、公司、学校、政府部门多能解决的实际问题。
公平分配的原则就是让每个人多能得到同等的对待。
而考虑到时记得多重因素下，传统的平均分配的方法往往不能较好的解决其中的公平问题，很多时候根本没有公平的分配方法。
我们需要另寻其他方法。
我们将以Q值法进行逐一分析与检验，使得得出一个最佳的合理方案。
即：使得各自的分配最公平。
关键词：公平分配最佳方案最公平班级：姓名：学号：问题重述三人合作承包了1000件物品的搬运工作，总收入为20元(假设最小单位为元) 。
工作完成后，甲搬运了 515 件，乙搬运了 315件，丙搬运了170件。
分别应得收入10.3, 6.3, 3.4 元。
因为最小单位为元, 因此三人各自拿了应得的整数部分后, 剩下1元归应得数中小数最大的一位丙。
即分别收入10元，6元，4元。
由于三人表现较好，提前完成了搬运工作。
货主作为奖励，搬运费支付了21元钱。
于是甲提议重新分配收入。
21 元按完成工作量各自应得 10.815, 6.615, 3.57元。
取整数后，按小数大小分配剩余，分别得分配收入11元，7元，3元。
回答下列问题：（1）上分配方案是否公平？为什么？（2）建立数学模型确定分配方案．符号说明A、B 某人pA搬运的货物数量1pB搬运的货物数量2n1搬运p数量的货物的报酬1n2搬运p数量的货物的报酬2P 衡量不公平程度r A(n1,n2) 相对于A的不公平值r B(n1,n2) 相对B的不公平值Qk对应的人的报酬的Q值KQ甲对应的Q值的大小1Q乙对应的Q值的大小2Q丙对应的Q值得大小3基本假设假设两个人分配，分配方法就会趋于简单更便于我们对问题的处理。
故假设两个人分配的的分配问题，先从两个人入手，对一般问题的讨论。
有一般推广，并运用于多对象问题的讨论。
模型设计先讨论两个人公平分配报酬问题的情况，如下图。
要满足公平，应该有np np 2211=但这一般不成立。
数学建模 名额分配问题
名额公平分配问题问题的提出名额分配问题是西方所谓的民主政治问题，美国宪法在第一条第二条款指出：‘众议院议员名额……将根据各州的人口比例分配。
’美国宪法从1788年生效以来200多年间，关于公平和人力的实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的讨论。
并提出了多种方法，但没有一种方法能够得到普遍的认可。
下面就日常生活中的实际问题，考虑合理的分配方案问题。
设某高校有5个系共2500名学生，各系学生人数见表格。
现有25个学生代表名额，赢如何分配较为合理。
5个系的学生人数系别一二三四五总和人数11056483622481372500模型假设1、要将名额尽可能的公平的分配，首先考虑的是公平量化，所谓公平，就是学生代表的名额占有率都相等，这样，基于名额占有率相等的分配的方案就是最公平的，在名额占有率不相等时，应要求差距尽可能的小，才能使分配方案更加公平。
2、在计算各个系别的名额分配占有量，这样就确定了公平的分配方案。
3、通常计算的名额占有量是小数，而名额只能整数的分配，这就需要将小数变成整数，解决小数变整数的问题通常采用四舍五入法。
名额占有率=总名额数÷总人数名额占有量=名额占有率×学生数模型建立模型一名额占有率分配=1%，即每一百人才有一个名额。
根据名额占有率可以算出全校名额占有率=252500分配：系别一二三四五总和人数11056483622481372500名额数11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725取整11642124显然看出，这种方法出现了缺陷，分的总名额数多出一个，而这一个又无法可分，无论是四舍五入法，还是直接取整，分给二，四其中一个必定对另一个不公平。
所以需要改进。
模型二Hamilton 方法1790年，美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·哈密尔顿（Hamilton）提出了一种解决名额分配的办法，并于1792年被美国国会通过。
数学建模垃圾桶最优分配问题
数学建模竞赛论文论文题目：校园室外垃圾箱的最优配置姓名：邹星星学号：专业：姓名：颜亮学号：专业：姓名：李应凡学号：专业：2011 年 5 月 2 日摘要：校园里的垃圾箱是一道亮丽独特的风景线。
垃圾箱的数量及其摆放地点对于方便师生和美化校园有着非常重要的意义。
另一方面垃圾箱适当的数量及合理摆放有利于提高资源的利用。
显然本文讨论的关键问题就是在一定方圆内放置尽可能少的垃圾桶及其具体的摆放地点，从而使得校园室外垃圾箱得到最优配置。
首先，我们确定垃圾箱的数量。
根据公式N ≥且已知垃圾的清运次数O=2(次)，单个垃圾箱的容积B=（0.8m ³），垃圾箱的填充系数K=0.8。
那么我们只要求出垃圾的容重V 及重量W 就可以得出垃圾箱数量N 。
对于垃圾容重我们可以根据不完全统计求出平均值V=158.73。
而对于垃圾重量，为了计算方便我们取学校总人数为20000人，通过对部分人群每天丢垃圾数的调查统计，可以运用线性回归思想，用最小二乘法的MatlaV 实现一次项式函数,使用 polyfit （x,y,1）拟合曲线 ,最后可得出人数与所丢垃圾数的关系为y=0.1x ，即可得学校每天产生垃圾总量w=2000kg ，显然就得出了垃圾箱总数为不得少于99个。
其次，我们讨论摆放问题。
为了方便师生丢垃圾我们不妨在每栋教学楼的进出口出和道路的交叉口先放一个垃圾箱作为参考点（为此我们粗略描绘出了学校地图），考虑到在不同路段同学们手持垃圾投递路程R 不同，那么我们需要求出不同路段的长度L ，这点可以通过统计同学们以常速行完该段路程所花时间得出。
然后以路程与2R 得到的比例即为该路段所需垃圾箱数量N=L/2R ，减去已定垃圾箱数即为应增设的箱数N ’。
那么新增垃圾箱位置可参照一定垃圾箱位置及根据相应投递路程摆放。
显然这种摆放方案既能够满足需求又达到了合理利用资源的效果，当然同时也方便了师生，美化了校园。
关键词：垃圾箱；数量；摆放位置；最优配置W OV'BK一.问题的重述学校室外垃圾箱的数量及其摆放地点对于方便师生和美化校园有着非常重要的作用。
数学建模垃圾桶最优分配问题
数学建模竞赛论文论文题目：校园室外垃圾箱的最优配置姓名：邹星星学号：专业：姓名：颜亮学号：专业：姓名：李应凡学号：专业：2011 年 5 月 2 日摘要：校园里的垃圾箱是一道亮丽独特的风景线。
垃圾箱的数量及其摆放地点对于方便师生和美化校园有着非常重要的意义。
另一方面垃圾箱适当的数量及合理摆放有利于提高资源的利用。
显然本文讨论的关键问题就是在一定方圆内放置尽可能少的垃圾桶及其具体的摆放地点，从而使得校园室外垃圾箱得到最优配置。
首先，我们确定垃圾箱的数量。
根据公式N ≥且已知垃圾的清运次数O=2(次)，单个垃圾箱的容积B=（0.8m ³），垃圾箱的填充系数K=0.8。
那么我们只要求出垃圾的容重V 及重量W 就可以得出垃圾箱数量N 。
对于垃圾容重我们可以根据不完全统计求出平均值V=158.73。
而对于垃圾重量，为了计算方便我们取学校总人数为20000人，通过对部分人群每天丢垃圾数的调查统计，可以运用线性回归思想，用最小二乘法的MatlaV 实现一次项式函数,使用 polyfit （x,y,1）拟合曲线 ,最后可得出人数与所丢垃圾数的关系为y=0.1x ，即可得学校每天产生垃圾总量w=2000kg ，显然就得出了垃圾箱总数为不得少于99个。
其次，我们讨论摆放问题。
为了方便师生丢垃圾我们不妨在每栋教学楼的进出口出和道路的交叉口先放一个垃圾箱作为参考点（为此我们粗略描绘出了学校地图），考虑到在不同路段同学们手持垃圾投递路程R 不同，那么我们需要求出不同路段的长度L ，这点可以通过统计同学们以常速行完该段路程所花时间得出。
然后以路程与2R 得到的比例即为该路段所需垃圾箱数量N=L/2R ，减去已定垃圾箱数即为应增设的箱数N ’。
那么新增垃圾箱位置可参照一定垃圾箱位置及根据相应投递路程摆放。
显然这种摆放方案既能够满足需求又达到了合理利用资源的效果，当然同时也方便了师生，美化了校园。
关键词：垃圾箱；数量；摆放位置；最优配置W OV'BK一.问题的重述学校室外垃圾箱的数量及其摆放地点对于方便师生和美化校园有着非常重要的作用。
数学建模论文-席位公平分配问题
数学建模论文-席位公平分配问题数学建模论文(席位公平分配问题)席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词:数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt(汉丁顿)模型1目录一、问题重述与分析: ................................... 3 1.1问题重述: ........................................ 3 1.2问题分析: ........................................ 3 二、模型假设 .......................................... 4 三、符号说明 .......................................... 4 四、模型建立: ........................................ 5 4.1公平的定义: ...................................... 5 4.2不公平程度的表示: ................................ 5 4.3相对不公平数的定义: .............................. 5 4.4模型一的建立:(比例分配模型) ...................... 6 4.5模型二的建立:(d'hondt模型和Q值模型) (6)五、模型求解 .......................................... 8 5.1模型一求解: ...................................... 8 5.2模型二的求解: .................................... 8 六、模型分析与检验 ..................................... 9 七、模型的评价: ...................................... 11 7.1、优点: ......................................... 11 7.2、缺点: ......................................... 11 7.3、改进方向: ..................................... 11 八、模型优化 ......................................... 11 九、参考文献 (12)2一、问题重述与分析:1.1问题重述:三个系学生共200名(甲系100，乙系60，丙系40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
数学建模论文——图书馆的馆藏图书分配
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则．我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题．我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出．我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性．如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理．我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：宁波工程学院参赛队员(打印并签名) ：1．李瑜苗2．杨路捷3．吴建明指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组日期： 2010 年 8 月 7 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：图书馆的馆藏图书分配摘要本文根据题意将数据进行分析处理，建立三个模型得到各类图书的综合权重，以综合权重来确定应有的册数比例，给图书馆提供合理的图书采购方案．对于问题一，利用已知的信息，采用AHP层次分析法[1]和模糊综合评价法[2]，综合考虑各类图书的重点实验室和重点学科建设的需求与否、常用和热门程度、重要公共课与否、技能课图书与否、上年的出借册次分布五个指标，确定各指标对各类图书隶属度关系和模糊矩阵，从而得到相对重要程度的权重．即各类书的相对重要程度的权向量分别为：0.0484 0.0508 0.0367 0.0418 0.0405 0.0564 0.03680.0621 0.0554 0.0418 0.0375 0.0472 0.0357 0.05560.0495 0.0362 0.0414 0.0448 0.0673 0.0521 0.0357对于问题二，采用和问题一类似的方法，对确定了的一年内的相对流通量、图书平均借用时间、图书利用率三个指标进行处理，从而得到书籍在该校的实际使用价值的相应权重．但值得注意的是，在问题二的处理过程中，采用了熵值法对三个指标赋权，减少了主观因素对反映实际使用价值过程的影响．即各类书的实际使用价值的权向量分别为：0.0415 0.0533 0.0402 0.0432 0.0506 0.0542 0.03890.0582 0.0497 0.0468 0.0421 0.0581 0.0436 0.05640.0549 0.0354 0.0473 0.0447 0.0585 0.0535 0.0288由上数据可知对应的权值越大相应的价值越大．对于问题三，引进了一种“席位分配[4]”的数学模型，在满足各类图书的最低更新率的基础上，使得结果的相对不公平指标最小，从而得到了最优化的购书分配方法．即A、B类书增加270册，C、N类书增加520册,D类书增加164册,E、R、S、U、V类书增加218册,X类书增加1773册,F类书增加1058册,G类书增加191册,H3类书增加599册,I类书增加898册,J类书增加213册,K类书增加234册,Q类书增加247册,P类书增加1987册,O类书增加966册,TH类书增加1068册,TM、TS类书增加109册,TN类书增加143册,TQ类书增加483册,TP类书增加693册,TU、TV类书增加315册,Z类书增加965册．对于问题四，通过所编写的MATLAB的程序，不善于数学建模的人只需要输入上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况和下一年计划投入的总资金额这两个数据，就可以得到图书馆下一年的购书资金分配方案．关键词：AHP层次分析法熵值法图书分配席位分配一、问题的提出现代化图书馆馆藏图书，主要目的不是为了收藏而是为了使用．除了国家图书馆等特大型的图书馆以外，一般图书馆都有特定的服务群体，办馆宗旨就是要尽量好地为这些特定群体服务，提高馆藏资源的利用率、读者文献信息需求的满足率以及对图书馆服务功能的满意率．图书馆每年用于购书的经费是有限的，如何合理分配使用，以便使有限的购书经费最大限度地发挥其特定的经济效益是图书馆工作的重要环节之一．以某学校图书馆为例，要实现办馆效益，必须做到入藏文献合乎本校教师、学生（有时也兼顾社会）的需求，使图书馆藏书结构（学科结构、文种结构、文献类型结构等）能满足本校教学科研的要求，以求藏书体系与本校专业设置相适应．所购图书要能够真实地反映读者的实际需要，使读者结构和藏书结构尽量吻合，以便减少读者借不到图书的现象，即降低读者拒借的比率、增加满足率．文献只有在流通中才能传播信息，产生效益．文献资料得不到利用，购置文献资料所耗费的资金就体现不出其价值．因此，图书馆在增加藏书规模的同时，要千方百计地把文献提供给读者，以增加图书的出借次数、出借时间以及在借图书的数量等，力求使有限的价值投入获得最大的办馆效益．该校图书馆每学年都要投入大量资金购置图书，图书覆盖全院各学科专业、具有较完整的中外文文献资源．如何合理分配资金用于各种图书的购置成为一个非常有价值的问题．二、基本假设1、假设该校各专业学生比例大致不会变且总人数相对稳定；2、假设所借的图书没有不归还或丢失；3、假设每年借书人数相对稳定；4、假设题目给的数据真实有效．三、定义符号说明四、模型的分析、模型的建立及求解4．1 问题一的分析及模型建立：4．1．1 问题一的提出和分析已知：①该普通高校的重点学科、重点专业的设置情况；②上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况表．要求：同时考虑重点实验室和重点学科建设的需求、常用书籍和流行热门书籍、重要公共课、技能课图书（如英语、计算机类）的普通要求等几个方面，以确定各类图书对于该校图书馆的相对重点程度（即相对权重）．分析：根据题目要求，我们以各类图书的重点实验室和重点学科建设的需求与否、常用和热门程度、重要公共课与否、技能课图书与否、上年的出借册次分布这五个指标来衡量各类图书对于该校图书馆的相对重点程度（即相对权重）．首先，通过层次分析法[1]确定个指标之间的权重，利用方根法计算出反映各指标相对权重的权向量，并进行一致性检验；然后，确定各类图书与各指标之间的隶属度关系，最后，利用加权平均型合成算子确定模糊综合评价[2]结果，得到各类图书对于该学校图书馆的相对重要程度（即相对权重）．4.1.2模型一的建立及求解首先，用层次分析法确定权重,判断矩阵由A．L．Saaty的1～9比率标度方法确定,结果见下关系表如下表1：由表可得14/32453/412341/21/21231/41/31/213/21/51/41/32/31R ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎭⎝用方根法计算得出权向量：)(12345{,,,,}0.36470.29410.17950.09460.0672ωωωωωω== 进行一致性检验：最大特征根0166.5m a x =λ，一致性指标0042.01m a x =--=n nCI λ，平均随机一致性指标12.1=RI ，随机一致性比率CR=1.000375.0<=RICI，因此该判断矩阵具有满意的一致性．故通过一致性检验．利用MATLAB 软件对其进行归一化处理：确定各指标对各类图书的隶属度，得到模糊矩阵R⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=0.02060.0388640.0964220.0316690.0465120.0465120.0465120.0465120.0340910.0340910.0340910.0681820.0303030.0606060.0606060.04545510.0422535250.0704225310.0422535210.04225352 R利用加权平均型合成算子，将权向量ω与模糊关系矩阵R 合成，得到模糊综合评价结果向量B ：)0.03570.05210.0508 0.0484( =⋅=R B ω即各类书的相对重要程度的权向量分别为：0.0484 0.0508 0.0367 0.0418 0.0405 0.0564 0.03680.0621 0.0554 0.0418 0.0375 0.0472 0.0357 0.05560.0495 0.0362 0.0414 0.0448 0.0673 0.0521 0.03574．2 问题二的分析及模型建立：4．2．1 问题二的提出及分析已知：①图书最终的实现价值应取决于图书的被利用率；②上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况表．要求：评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短等，并根据该校上一年各类图书的出借情况，提出一种评价图书在该校实际使用价值的方法．分析：与问题一类似，我们同样先给出用来评价图书在该校的实际使用价值的三个指标：一年内的相对流通量、图书平均借用时间、图书利用率．然后，我们采用熵值法[3]对这三个指标进行赋权处理，从而得到指标的权向量；利用MATLAB软件对各类图书的三个评价指标数据表中的数据进行归一化，从而得到各指标对各类图书的隶属度模糊矩阵．最后，利用加权平均型合成算子确定模糊综合评价结果，得到各类图书在该学校图书馆的实际使用价值．4．2．2 模型二的建立及求解图书最终的实现价值应取决于图书的被利用率．因而评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短等多方面的指标．在模型二的评价中，设定了三个指标来评价图书在该校的实际使用价值，三个指标如下：一年内的相对流通量（出借册数/册数）、图书平均借用时间（出借总时间/出借册数）、图书利用率（出借种类数/内容种类数）（数据见下表）．采用熵值法对三个指标进行赋权处理：1．对原始数据进行标准化处理，得到标准矩阵321)(⨯=ij y Y 计算公式为)3,2,1;21,,2,1(===j i Mx y jij ij 其中j M 为第j 个指标的最大值．得到Y 矩阵（见附录1）2．将各指标同度量化，计算第j 项指标下第i 类书指标值的比重)31,21(211≤≤≤≤=∑=j i i y y p i ijijij得到p 矩阵（见附录2） 3．计算第j 项指标的熵值211ln (1)j ij iji e k p p j n ω==-≤≤∑ 其中21ln 1=k 则2111ln (13)ln 21j ij ij i e p p j ω=-=≤≤∑．得到e ω矩阵（见附录3）4．计算第j 项指标的差异性系数1(13)j j g e j ω=-≤≤，其值越大，指标就越重要；5．确定指标权重，第j 项指标的权数211'(13)jj jj g j gω==≤≤∑．得到'ω的一个指标权重向量 '(0.3297 0.3322 0.3382)ω=．利用MATLAB 软件对模型二中各类图书的三个评价指标数据表中的数据进0.04346410.06133970.05723880.021782'0.0367540.0486470.0497270.0324120.0443670.0500980.0536740.032131R ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎭⎝利用加权平均型合成算子，将权向量'ω与模糊关系矩阵'R 合成，得到模糊综合评价结果向量'B ：'''(0.04150.05330.05350.0288)B R ω==即各类书的实际使用价值的权向量分别为：0.0415 0.0533 0.0402 0.0432 0.0506 0.0542 0.0389 0.0582 0.0497 0.0468 0.0421 0.0581 0.0436 0.0564 0.0549 0.0354 0.0473 0.0447 0.0585 0.0535 0.0288由上数据可知对应的权值越大相应的价值越大．4．3 问题三的分析及模型建立 4．3．1 问题三的提出及分析已知：①通过前两问研究，我们得到了各类图书的相对重要程度和其在该校的实际使用价值所对应的权重；②上一年该普通高校图书馆的馆藏图书的分布及流通情况表；③图书馆计划投入100万元用于购置各种图书．要求：在所确定的购书资金分配方案应尽可能符合学校学科发展的需要和教学科研需要，又应当尽可能提高读者的满意率，与此同时，图书馆自然还应当注意到各类馆藏图书的更新率，以及用于购书的总经费是有限制的这四个条件的约束下，尽可能满足目标函数（所购图书实际效益最大）．分析：在前两问的研究基础之上，我们引进两个新概念———读者满意度（（册数/内容种类数）/（出借册数/出借种类数））和实际效益的综合评价值．但由于读者满意度越大，图书所需更新的比率应该相对越小，所以用读者满意度的倒数来作为衡量综合评价值的第三指标．于是，就有了衡量综合评价值的三项指标，即图书相对重要权重、图书实际使用价值权重、读者满意度的倒数．然后，利用熵值法来可以确定综合评价实际效益中三个指标之间的相对权重，继而得到各类图书综合评价值．在制定购书资金的分配方案时，我们又引进一个称为“席位分配”的数学模型．这个模型从每个席位对应的人数出发，定义了一个相对不公平指标，将有限的代表席位逐个分配到各个小组，结果使得相对不公平指标最小．而不公平程度以各类图书的i ice （每个综合评价值所对应的图书册数）的方差值来衡量，方差值越小，不公平程度也越小．而在图书更新过程中，还应该注意到各类书的更新率．通过资料查找，我们发现图书馆的各类图书的更新率至少应达到3%．所以，采用在满足最低更新率的基础上，进行“席位分配”的方法，利用MATLAB 软件所编程序，最终得到最优的购书资金分配方案． 4．3．2 模型三的建立及求解应用模型二提到的熵值法，确定该三项指标在综合评价中的权重．（附录） 得到三项指标的权向量：''( 0.3314 0.3323 0.3363)ω=再运用模糊综合评价的方法，求得21类书的综合评价值e 为：0.0461 0.0548 0.0397 0.0452 0.0497 0.0537 0.0391 0.0585 0.0552 0.0444 0.0430 0.0505 0.0390 0.0537 0.0533 0.0374 0.0456 0.0460 0.0593 0.0528 0.0327在本模型中，以该类书的综合权重反映书的应有册数比重． 要考虑21类书的购书比例，假设有A 、B 两类书的综合评价值为1e 、2e ，该类书原有的册数为1c 、2c ，模型希望达到的是2211e c e c =，若2211e ce c <，则认为A 书是亏欠的，应补．推广到21类书，为了保证每类书都有一定更新率，在满足各类图书最低分配率的基础上，将剩余的经费分配给其余亏欠的图书，直到达到资金上限（100万）．具体步骤如下：1．先满足每类书3%的更新率，判断剩余的资金M 是否大于零，若0>M ，则转步骤2；若0M <=，则转步骤4．2．比较所有的)213,2,1( =i e cii ，值最小的那类书，所对应的1+i c ，即购一本书，然后1+=i i c c ，i p M M -=，对更新的比值计算方差． 3．再判断M ，若0>M ，则转步骤2；若0M <=，则转步骤4．4．各类书的购书过程结束，输出每类书所购的册数，及每循环一次所得的方差．选择方差最小的所对应的购书比值（即最符合各类书应有的册数比），剩余的资金再按照册数符合综合权重的原则分配．5．输出最终各类书的所购的册数以及所花费的资金．4．4 问题四的分析及求解问题四是前三问的分析综合得到的权重以确定图书的采购方案，根据题意只要简要的阐述馆方输入哪些数字，怎样操作获得合理的购书方案即可．我们决定编一个小系统，馆方只需两个数据的txt 文件（其中第一个txt 数据为：重点学科和重点专业 常用 重要公共课 技能课图书 出借册书；第二个txt 数据为：出借册数 册数 出借时总时间 出借种类 内容种类）和一个计划投入总资金，利用MATLAB 软件读取上面的数据就可以得到比较合适的购书方案．（matlab 程序见附录问题四）五、结果分析由综合评价值e 矩阵可知“自动化技术、计算机技术综合权重”最大，“常用外国语”“文学”“ 经济”“数理科学和化学” “机械仪表工业” “建筑科学、水利工程”也较大，将模型出来的结果与题目给出的数据进行比较，可知权重大的重点类建设对象或是重点学科．而“综合性图书”权重最小，与题目给的数据也较符合．根据综合权重的柱状图与原册数的实际比例作对比综合权重大的原有册数也多，但有存在例外．并且模型得出的权重大小波动较小，而原有册数差距较大．分析原因：1：图书馆现有图书分布并不合理； 2：模型中设置的权重并不很合理．六、模型推广本题不仅可以用于优化图书的采购方案问题，也可以用于各类相似的评价问题中．模型三用到的席位分配模型，可以用以解决生活、工作中可能产生的资源分配公平与否的问题．与此同时，本文涉及的模型可以用以评价多种属性（指标）的对象．七、模型的评价与改进优点：1、利用多种方法确定权重，一定程度上减少了主观因素对结果的影响．2、基于层次分析、模糊综合评价模型并进行改进，结果符合实际．3、模型三的算法逻辑清晰、易懂，运用软件，减少大量计算量．缺点：1、模型一中，运用层次分析法确定五个指标的权重，带有主观因素，一定程度上影响结果．2、多次运用模糊综合评价，算法较单一．参考文献：[1]吴祈宗，运筹学与最优化方法，北京：机械工业出版社，2003年；[2]张秀兰，基于模糊综合评判法的研究及应用，科技信息2008年14期：91—92，2008年；[3]沈红丽，因子分析法和熵值法在高校科技创新评价中的应用，河北工业大学学报第38卷第1期，2009年2月；[4]靖培栋刘忠厚，图书馆外文核心期刊购买模型探讨，中国图书馆学报（双月刊）1999年第4期第25卷44-48，1999年；[5]臧秀平李萍张建丁声铎，改进的模糊综合评判法在评标中的应用，江苏科技大学学报（自然科学版）第21卷第6期，2007年12月．附件问题一MATLAB代码：%Maxlmta.m%和法求最大特征根clcclear alldisp('please choose the filename you want toplot'); %查找数据的文件夹[filename,pathname]= uigetfile(' *.txt', 'choose the file you want to plot');ifpathname==0 %pathname返回0说明文件打开失败，可能是取消了，或是文件不存在等等原因return %return用于退出整个程序endname =[pathnamefilename]; %文件的路径和名字fid=fopen(name,'r+'); %读取文件x=fscanf(fid,'%c'); %count得到数据个数，A是列向量，用于存放所有数据A=str2num(x);%下面的A是一个测试的程序矩阵%A=[1 1/2 4 3 3;% 2 1 7 5 5;% 1/4 1/7 1 1/2 1/3;% 1/3 1/5 2 1 1;% 1/3 1/5 3 1 1];%RI--随机一致性指标%n--A的列长度%w--权向量%lmta--最大特征根%CI--一致性指标%CR--一致性比率%RIn--A的一致性指标%flag--标志变量%Wij Wi W--临时变量RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51];%将A的每一列向量归一化Asum=sum(A);n=length(A);for j=1:nfor i=1:nWij(i,j)=A(i,j)./Asum(1,j);endend%将Wij按行求和Wij=Wij';Wi=sum(Wij);Wi=Wi';%将Wi归一化W=sum(Wi);disp('权向量');w=Wi./W%计算lmtadisp('最大特征根\n');lmta=sum(1/n*(A*w)./w)%计算CRdisp('A的一致性指标');RIn=RI(1,n);disp('一致性指标');CI=(lmta-n)/(n-1)CR=CI/RIn;%判断一致性检验if CR<0.1|n<=2disp('通过一致性检验')flag=1;elsedisp('不能通过一致性检验')flag=0;end问题二MATLAB代码：%shuangzhifa.m%层次分析法中的熵值法function tclear allclc%输入数据[filename pathname]=uigetfile('*.txt','please choose the file'); name=[pathname filename];if filename==0returnendfid=fopen (name,'r+');x=fscanf (fid,'%c');x=str2num(x);%对x标准化得到yxsize=size(x);temp=max(x);for i=1:xsize(1)y(i,:)=x(i,:)./temp;endclear temp;%计算p(i,j)temp=y';temp=sum(temp);for i=1:xsize(1)for j=1:xsize(2)p(i,j)=y(i,j)/temp(j);endendclear temp;%计算e(j)k=1/log(xsize(1));for j=1:xsize(2)tempsum=0;for i=1:xsize(1)temp=p(i,j)*log(p(i,j));tempsum=tempsum+temp;ende(j)=-k*tempsum;end%求差异性系数g(j)g=1-e;clear temp;temp=sum(g);for j=1:xsize(2)w(j)=g(j)./temp;endwreturn问题三MATLAB代码：%shijixiaoyiguihua.mfunction tempclear allclcc=[8991 17322 5481 7266 1731 35256 6375 19983 29946 7101 7794 8220 744 2850 2715 3645 4767 2796 23112 10503 1347];e=[0.0461 0.0548 0.0397 0.0452 0.0497 0.0537 0.0391 0.0585 0.0552 0.0444 0.043 0.0505 0.039 0.0537 0.0533 0.0374 0.0456 0.046 0.0593 0.0528 0.0327];price=[225674.1 486748.2 121130.1 189916 65951.1 1131718 128137.5 561522.3 7339765 199538.1 304745.4 206322 20162.4 100035 98011.5 102424.5 185913 64587.6 834343.2 305637.3 60749.7];tmp=c./e;ptmp=tmp;pc=c;eachprice=price./c;x=zeros(1,21);ppx=round(c*0.03);x=ppx+x;pprice=ppx.*eachprice;px=x;STD=std(ptmp);while sum(eachprice.*px)<=(1000000-sum(pprice)) [pnumber pindex]=min(ptmp);px(pindex)=px(pindex)+1;pc(pindex)=pc(pindex)+1;ptmp=pc./e;ptemp=std(ptmp);STD=[STD ptemp];endn=size(STD,2);STD=STD(1,[1:n-1]);[number index]=min(STD);for i=1:index[pnumber pindex]=min(tmp);x(pindex)=x(pindex)+1;c(pindex)=c(pindex)+1;tmp=c./e;endxsumprice=sum(x.*eachprice)+sum(pprice)return问题四MATLAB代码：%wenti4.mfunction tempclear allclcdisp('读入一个txt的矩阵数据文件\n');disp('数据的顺序为：重点学科和重点专业常用重要公共课技能课图书出借册书\n');[filename pathname]=uigetfile('*.txt','请选择数据');name=[pathname filename];dif=fopen(name,'r');x1=fscanf (dif,'%f');n=size(x,1);w=[0.3647 0.2941 0.1795 0.0946 0.0672];%人为定义的一个奴隶度关系得到的权向量xsum=sum(x1);for i=1:nx1(i,:)=x1(i,:)./xsum;endx1=x1';w1=w*x1; %得到第一个w1disp('请输入第二个数的txt文件的矩阵数据\n');[filename pathname]=uigetfile('*.txt','输入的数据格式为：出借册数册数出借时总时间出借种类内容种类\n');name=[pathname filename];if filename==0returnendfid=fopen (name,'r+');data=fscanf (fid,'%c');data=str2num(data);x2=[data(1)/data(2) data(3)/data(1) data(4)/data(5)];%对x2标准化得到yxsize=size(x2);temp=max(x2);for i=1:xsize(1)y(i,:)=x2(i,:)./temp;endclear temp;%计算p(i,j)temp=y';temp=sum(temp);for i=1:xsize(1)for j=1:xsize(2)p(i,j)=y(i,j)/temp(j);endendclear temp;%计算e(j)k=1/log(xsize(1));for j=1:xsize(2)tempsum=0;for i=1:xsize(1)temp=p(i,j)*log(p(i,j));tempsum=tempsum+temp;ende(j)=-k*tempsum;end%求差异性系数g(j)g=1-e;clear temp;temp=sum(g);for j=1:xsize(2)w(j)=g(j)./temp;endxxsum=sum(x2);for i=1:xsize(1)x2=x2./xxsum;endx2=x2';w2=w*x2; %得到第二w2数据w3=(data(1)/data(4))/(data(2)/data(5));pw=[w1 w2 w3];ppw=pw;ppwsum=sum(ppw);n=size(ppw,1);for i=1:nppw(i,:)=pw(i,:)./ppwsum;R=ppw';%对pw标准化得到ypwsize=size(pw);temp=max(pw);for i=1:pwsize(1)y(i,:)=pw(i,:)./temp;endclear temp;%计算p(i,j)temp=y';temp=sum(temp);for i=1:pwsize(1)for j=1:pwsize(2)p(i,j)=y(i,j)/temp(j); endendclear temp;%计算e(j)k=1/log(pwsize(1));for j=1:pwsize(2)tempsum=0;for i=1:pwsize(1)temp=p(i,j)*log(p(i,j)); tempsum=tempsum+temp;ende(j)=-k*tempsum;end%求差异性系数g(j)g=1-e;clear temp;temp=sum(g);for j=1:pwsize(2)ppw(j)=g(j)./temp;pxxsum=sum(ppw);for i=1:xsize(1)ppw=ppw./pxxsum;endppw=ppw';w=ppw*pw; %得到w数据e=w*R;c=data(1);disp('请输入一个txt的图书总价数据的矩阵');[filename pathname]=uigetfile('*.txt','请择择文件');name=[pathname filename];dif=fopen(name,'r');price=fscanf (dif,'%f');%c=[8991 17322 5481 7266 1731 35256 6375 19983 29946 7101 7794 8220 744 2850 2715 3645 4767 2796 23112 10503 1347];%e=[0.0461 0.0548 0.0397 0.0452 0.0497 0.0537 0.0391 0.0585 0.0552 0.0444 0.043 0.0505 0.039 0.0537 0.0533 0.0374 0.0456 0.046 0.0593 0.0528 0.0327];%price=[225674.1 486748.2 121130.1 189916 65951.1 1131718 128137.5 561522.3 7339765 199538.1 304745.4 206322 20162.4 100035 98011.5 102424.5 185913 64587.6 834343.2 305637.3 60749.7];tmp=c./e;ptmp=tmp;pc=c;eachprice=price./c;x=zeros(1,21);ppx=round(c*0.03);x=ppx+x;pprice=ppx.*eachprice;sum(pprice)px=x;STD=std(ptmp);zongzijin=input('请输入总资金数：（单位\元）');while sum(eachprice.*px)<=(zongzijin-sum(pprice))[pnumber pindex]=min(ptmp);px(pindex)=px(pindex)+1;pc(pindex)=pc(pindex)+1;ptmp=pc./e;ptemp=std(ptmp);STD=[STD ptemp];endn=size(STD,2);STD=STD(1,[1:n-1]);[number index]=min(STD);for i=1:index[pnumber pindex]=min(tmp);x(pindex)=x(pindex)+1;c(pindex)=c(pindex)+1;tmp=c./e;endxsumprice=sum(x.*eachprice)+sum(pprice) return。
数学建模解决基本人力资源分配问题
数学建模解决基本人力资源分配问题091001000摘要中国是一个典型的多人口国家，人口基数大是我国的一个显著特点，但与此同时也给我国带来了一个很大并且很难解决的问题，那就是就业问题。
说到就业问题就不能不谈到人力资源分配问题，多人口也就意味着多劳动力，但劳动力分配不均反而给社会带来了负担。
因此不仅仅是知识型人才的分配，就算是社会基层的工作人员的分配也是很重要的问题。
与此对应的是企业公司的收益问题，收益最大化是每个企业的最终目标这是不可否认的，这样的话，人员分配与收益最大的平衡将成为一个很值得考虑的问题。
本文就针对某中型百货商场如何对售货员的分配使得商场需要的人数最少，支付工资最少这一问题进行建模。
本文建模主要从售货员的人数，售货员的交接及岗位需要的人数与时间来着手分析问题，以配备售货员人数最少为目标来解决问题。
1.问题的重述一家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示:为了保证售货员充分休息，要求售货员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，应如何安排售货员的休息日期，既满足工作需要，又要使配备的售货员的人数最少？2•问题的分析在本模型中，要解决售货员分配人数最少的问题，最先要明白的是售货员的人员分配方式及每天所需的售货员人数，其次要注意的是对售货员连续两天休息时间的安排。
从题中可看出，售货员的时间安排都应该是5天工作2天休息接着再是5天工作2天休息，为使配备人员最少就要使得各售货员之间的工作与休息时间衔接好。
因为每个售货员都工作5天，休息2天，所以只要计算出连续休息2 天的售货员人数，也就计算出了售货员的总数。
把连续休息2天的售货员按照开始休息的时间分成7类，再按照每天所需的售货员的人数写出约束条件，即可建立模型，求出最优方案。
3. 假设与符号X l,X2，…,X7分别表示从星期一，二，…，日开始休息的人数Min二X 1+X2+X3+X4+X5+X 6+X 7为所要求的目标函数4. 模型的建立与求解目标函数为：X l+X 2+X 3+X 4+X 5+X6+X 7.再按照每天所需售货员的人数写出约束条件。
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公平席位的分配
系别：机电工程系模具班学号：1号
摘要：
分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。
分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题。
代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型。
而当代表的人数在总和没有发生变化的情况下，所占比例却发生了变化时，一个如何分配才能使分配公平的问题就摆在了我们的面前。
因此，我们要通过建立数学模型来确定一种能够使分配公平的方法来分配
关键字：理想化原则; 整数规划; 席位公平分配
问题的提出：
某学院有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会。
如果按学生人数的比例分配席位，那么甲乙丙系分别占10、6、4个席位，这当然没有什么问题（即公平）。
但是若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦。
比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？
问题重述
学院的最初人数见下表，此系设20个席位代表。
甲乙丙
总人数
１００６０４０
２００
学生人数比例：100/200 60/200 40/200
按比例分配方法：分配人数=学生人数比例初
按比例分配席位：甲乙丙共
10 6 4 20
若出现学生转系情况：
甲乙丙总人数
103 63 34 200 学生人数比例：103/200 63/200 34/200
按例分配方法：比例分配出现最小数时，先按整数分配席位，余下的按小数的大小分配席位
按比例分配席位：甲乙丙
10.815 6.615 3.57
按比例分配席位,丙系却缺少一席的情况,按比例分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配方法.
模型假设
分配席位的情况
单位人数席位数
A单位X n m
B单位Y n。
m。
若公平分配，则会出现的情况应当是m=m1，即X/n=Y/m1 当m＞m。
时,则对B单位不公平.其不公平值为
R=(m-m。
)/m。
（１）
当m＜m。
时,则对A单位不公平.其不公平值为T=(m。
-m)/m
为了使分配达到最公平，则应当使不公平值最接近、最小。
因此分配过程中，应当使用使不公平值尽量小的分配方案以达到目的。
假设m＜m。
,使分配结果对A不公平,再给A一个席位.则对于m不应当出现下列的情况:
⒈ X/(n+1)＞m。
说明还是对A不公平，应当再给A一席
⒉ X/(n+1)＜m。
说明给A一个席位，对B是不公平的
⒊ m＞Y/(n。
+1) 说明给B一席位后，对A不公平
其不公平值为R=(n。
+1)Y/Xn。
—1
⒋ m＜Y/(n。
+1) 不存在
分析与模型建立
使用使不公平值尽量小的分配方案决定席位分配，则有T＜R，增加的一席应该给A，若T＞R，增加的一席应该给B。
其对应的不等式应该为
X2/n(n+1)＜Y/n(n。
+1)
所以使P=Q/n1(n1+1) (Q表示单位X或Y或其他单位)
故所增加的席位的分配应当由P的大小来决定。
推广到一般的情况下，有N个组，先按一般分配，剩余的按P是大小来分配，本问题中工分配了19个席位，具体为：
甲10.815 N1=10
乙 6.615 N2=6
丙 3.570 N3=3
第二十席位的分配由上面的公式有:
P1=1032/110=96.4 P2=632/42=94.5 P3=362/12=96.3
所以由上可得第二十席位应当分配给乙组.
所以最后的分配情况应当为:
甲10
乙7
丙 3
模型求解
第二十一席位的分配由上面的公式有:
P1=1032/110=96.4 P2=632/42=94.5 P3=362/12=96.3 所以由上可得第二十一席位应当分配给乙组.
所以最后的分配情况应当为:
甲11
乙 6
丙 4
模型推广
优点：大大降低了不公平值；方法简便易行。
缺点：虽然降低了不公平值，但还不是最公平的。
仍有待于进行深入的研究与探索
结语
公平的席位分配是一个实用性很强的问题，它的方法仍有待于进行深入的研究与探索，如何使更多有效的方法在企业管理中得到的充分应用，是每一个对此感兴趣的人都应该给予高度重视的问题.。