创新设计高中数学苏教选修21习题：第2章 圆锥曲线与方程 21

§2.2椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程 课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念.
3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程.
4.会求与椭圆有关的点的轨迹和方程．
椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)，焦点坐
标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)．
注：(1)以上方程中a ，b 的大小为a>b>0，其中c 2＝________；
(2)椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1 (m>0，n>0，m ≠n)，当m>n 时表示焦点在______轴上的椭圆；当m<n 时表示焦点在______轴上的椭圆．
一、填空题
1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．
2．椭圆x 216＋y 2
7
＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．
3．平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为____________________．
4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
5．方程x 22m －y 2
m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．
7．椭圆x 29＋y 2
2
＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝________，∠F 1PF 2的大小为________．
8．P 是椭圆x 24＋y 2
3
＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝PF 1·PF 2的最大值是________，最小值是________．
二、解答题
9．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭
⎫－32，52.
10.已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M 上，且PM＝PA，求动点P的轨迹方程．
能力提升
11.若点O和点F分别为椭圆
22
1
43
x y
+=的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点则
OP→·FP→的最大值为________．
12.
如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>F 1F 2时轨迹才是椭圆，如果2a ＝F 1F 2，轨迹是线段F 1F 2，如果2a<F 1F 2，则形不成轨迹．
2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．
3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
§2.2 椭 圆
2．2.1 椭圆的标准方程
知识梳理
x 2a 2＋y 2b 2＝1 F 1(－c ，0)，F 2(c,0) 2c y 2a 2＋x 2
b
2＝1 (1)a 2－b 2 (2)x y
作业设计
1．线段
解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2，∴动点M 的轨迹是线段．
2．16
解析 由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知AF 1＋AF 2＝2a ＝8， BF 1＋BF 2＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.
3．椭圆或线段或无轨迹
解析 当2a>F 1F 2时，点M 的轨迹是椭圆，当2a ＝F 1F 2时，点M 的轨迹是线段， 当2a<F 1F 2时无轨迹.
4.⎝⎛⎭⎫π4，π2
解析 因椭圆的焦点在x 轴上，
所以sin α>cos α>0，
又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4<α<π2
. 5.⎝⎛⎭
⎫0，13
解析 据题意⎩⎨⎧ m －1<0
2m>0
－(m －1)>2m
，解之得0<m<13
. 6．m －n 解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝m ＋R
a －c ＝n ＋R
，则2c ＝m －n. 7．2 120°
解析
∵PF 1＋PF 2＝2a ＝6，
∴PF 2＝6－PF 1＝2.
在△F 1PF 2中，
cos ∠F 1PF 2＝
PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2
＝16＋4－282×4×2
＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.
8．4 3
解析 设PF 1＝x ，则k ＝x(2a －x)，
因a －c ≤PF 1≤a ＋c ，即1≤x ≤3.
∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，
∴k max ＝4，k min ＝3.
9．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，
∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b
2＝1 (a>b>0)． ∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4.
∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29
＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，
∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a>b>0)． 由椭圆的定义知，2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭
⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＝3102＋102
＝210， ∴a ＝10.
又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26
＝1. 10．解 ∵PM ＝PA ，PM ＋PO 1＝4，
∴PO 1＋PA ＝4，又∵O 1A ＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c ＝3，a ＝2，b ＝1，
∴动点P 的轨迹方程为x 2
＋y 24
＝1. 11．6 解析 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)，
则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)
＝x 20＋x 0＋y 20.
∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203
＝1. ∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204
) ＝x 204＋x 0＋3＝14
(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2，
∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.
12．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，
则BD ＋CE ＝30.
由重心性质可知
GB ＋GC
＝23
(BD ＋CE)＝20. ∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12，
∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点．
∴2c ＝BC ＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10，
b 2＝a 2－
c 2＝102－62＝64，
故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264
＝1 (x ≠±10)． 又设G(x ′，y ′)，A(x ，y)，则有x ′2100＋y ′2
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＝1. 由重心坐标公式知⎩⎨⎧
x ′＝x 3，y ′＝y 3
. 故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1.
即x 2900＋y 2576
＝1 (x ≠±30)．。