第五章 稳定性

补上补充习题奈氏判据的内容。
§5.4 稳定性裕量
一、相位裕量和幅值裕量 是系统稳定程度的度量。
Nyquist图上，曲线与单位圆相交时的频率ωc称为幅值交界频率。 Bode 图上，对数幅频特性曲线与0dB线相交时的频率ωc称为幅值穿越频率。 （开环截止频率、开环剪切频率）。
图5-16 a）正的相位裕量和幅值裕量
解：P＝1 N(＋) ＝1， N(－) ＝1/2
N(＋) － N(－) ＝1 - 1/2 = 1/2 = P/2
此非最小相位系统稳定。
例2: 如图是3个系统开环传递函数的相应Bode图，试判断闭环系统稳定性并 讨论K值变化时对系统稳定性的影响。
解：(a) P=0 ，γ=1， N(＋ ) = N(－) = 0 ，N(＋ ) - N(－) =P/2，闭环系统稳定。
例：当K＝10和K＝100时，求系统的相位、 幅值裕量。
解：
当K＝10时， γ＝21 Kg＝8dB 当K＝100时， γ＝－21 Kg＝－12dB
三、相位裕量与时间响应的关系 为得满意性能，相位裕量应在30°～60°之间，相当于 ξ=0.28～0.6。 根据相位裕量，与根据ξ一样分析系统的振荡特性。
若 P ＝2
则系统稳定
三、对数频率特性的奈氏判据（Bode判据）
对应关系： Nyquist 判据 （－1， j0 ）点
对(-1, j0)点以左的穿越
Bode判据 A(ω) = 1 ［即L(ω) = 0］ φ(ω) ＝－180° A(ω) > 1 ［即L(ω) > 0 ］ φ(ω)对－180°线的穿越
最小相位系统稳定时应有 γ>0
2. 幅值裕量 在相位交界频率处开环频率特性幅值的倒数。
K
1
g | G( j)H ( j) |
K g (dB)
20lg Kg
20lg | G(
1
jg )H (
jg ) |
20lg | G( jg )H ( jg ) |
最小相位系统稳定时应有 Kg>0
二、关于幅值裕量和相位裕量的一些说明 1. 两个裕量均可作为设计准则； 2. γ ＝30°～60°，Kg >6dB； 3. 最小相位系统稳定时，应有γ>0 及 Kg>0； 4. 对于最小相位系统，开环幅频和相频特性之间有确定的 对应关系。
K
S1 (0.35-0.025K)/0.35
S0
K
要使系统稳定，必须ai>0，且劳斯表中第一列数都大于零，即 K>0, (0.35-0.025K)/0.35 >0
得
0<K<14
§ 5.3 奈奎斯特稳定判据
一、奈奎斯特稳定判据
由幅角定理可以证明 Z=P-N
其中, Z——闭环右极点数； P——开环右极点数； N ——ω从－ ∞ →＋ ∞变化时，G(jω)H(jω)封闭曲线在 [GH]平面内包
第五章 系统的稳定性
§5.1 系统稳定的条件
一、稳定的概念及定义 稳定性是指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消除之后， 系统能够以足够的精度恢复到原来的状态。 稳定性是系统的一种固有属性，取决于系统的结构参数， 与初始条件及外作用无关。
二、系统稳定的充要条件
系统传递函数的极点全部位于［S］复平面的左半部，或系统特征方程根 必须全部具有负实部。
s(Ts 1)
判断系统稳定性。
解：N= - 1/2 ， P = 1，Z = P - 2N = 1 - 2×（- 1/2）= 2≠0， 系统不稳定。
见图5-10。
例3：Ⅱ型系统开环传递函数 G(s)H (s) 10 ， s2 (0.15s 1)
判断系统稳定性。
解：N＝－1，P＝0系统不稳定。 系统串接一个一阶微分环节 G(s)H (s) 10(2.5s 1) s2 (0.15s 1) 变稳定。
K较大时，N＝－1，P=0，系统不稳定。
结论：开环增益K的增大不利于系统稳定性。
二、奈奎斯特稳定判据的特殊情况
（1）开环传递函数中包含γ个积分环节（即有零极点） 作辅助线： 以无穷大为半径，从Nyquist曲线的起始端逆时针绕过γ×90° 作圆与实轴相交，找到ω＝0时曲线G(jω)H(jω)的起点。
若有部分闭环极点位于 ① 虚轴上，系统等幅振荡，属于临界稳定状态， ② ［S］复平面的右半部，是一种发散状况，属于不稳定状态。
§ 5.2 劳斯稳定性判据
系统特征方程
ansn + an-1sn-1+….+ a1s + a0=0
① 各项系数 ai>0;
② 列劳斯表
Sn Sn-1 Sn-2 Sn-3
…...
Nyquist图上，曲线与负实轴相交时的频率ωg 称为相位交界频率。 Bode 图上，对数相频特性曲线穿越－180°线时的频率ωg 称为相位穿越频率。
图5-16 b）负的相位裕量和幅值裕量
1. 相位裕量
在幅值交界频率ωc上，使系统达到不稳定边缘所需要附加
的相角滞后量（或超前量）。 γ＝φ(ωc )- ( -180°) = 1大
正穿越：由下→上 对应相角增大
Bode判据：
在开环Bode图上，当ω从0 →＋ ∞变化时，若L(ω) >0 dB的所有频段内， φ(ω)曲线在－180° 线上正负穿越次数之差等于P/2，则系统稳定。
若恰在L(ω)=0dB处， φ(ω)曲线穿过－180 °线，系统临界稳定。
an an-2 an-1 an-3 b1 b2 c1 c2
an-4 …… an-5 …… b3…… c3……
其中，b1 = ( an-1an-2-anan-3 ) / an-1 b2 = ( an-1an-4-anan-5 ) / an-1 c1 = ( b1an-3-b2an-1 ) / b1 c2 = ( b1an-5-b3an-1 ) / b1
(b) P=0 ，γ=2， N(＋ ) - N(－) = 0-1 ≠ P/2，闭环系统不稳定。 (c) P=1 ，γ=1， N(＋ ) - N(－) = 1 – 1/2 = P/2，在此时K值下闭环系统稳定。
若K值增大， L(ω)曲线平行上移，闭环系统仍稳定； 若K值减小， L(ω)曲线平行下移，闭环系统可能不稳定。
N ：ω从0 →＋ ∞变化时，曲线对（－1， j0 ）点的包围 次数。
应用举例：
例1：单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)
K 0.1s 1
，用奈氏判
据 判断K＝4和K＝－4时系统稳定性。
解：K＝4时，N = 0，且P ＝ 0，系统稳定。
K＝－4时，N = －1/2，且P ＝ 0，系统不稳定。
例2：判断由一个振荡环节
1/2 ——曲线始于或止于（－1， j0 ）点以左的实轴上。
奈奎斯特稳定判据改为：
当ω从0 →＋ ∞变化时，若开环Nyquist曲线在（－1， j0 ）点以左实轴 上的正穿越次数减去负穿越次数等于P/2，则闭环系统稳定，否则不稳定。
N(＋ ) - N(－) = P / 2
如： N(＋ )＝2
N(－) ＝1
解： ① a4=1 a3 =3 a2 =1 a1=3 a0=1 ，ai>0 ② 列劳斯表
S4
1
S3
3
11 3
S 2 ε(0) 1 (可用一个很小的正数ε代替0)
S1 3－(3/ε)
S0
1
③ ε>0, 3－(3/ε) < 0，系统不稳定，且存在2个右极点。
例: 系统结构图如图，试求系统稳定时K的取值范围。
例1：一单位反馈系统
G(s)
s2 (T1s
k(T4s 1) 1)(T2s 1)(T3s
1)
在某一K值下开
环Nyquist曲线如图，试分析系统闭环稳定性。
解： γ＝2，逆时针作2×90°辅助线。
由系统开环传递函数知 P＝0。
由图知 N＝0。
故 P = 2N ，闭环系统稳定 。
例2：设某非最小相位系统传递函数的开环传递函数 G(s)H (s) K
则判据改为 Z = P - 2 N N ：ω从0 →＋ ∞变化时，曲线对（－1， j0 ）点的包围次数。
奈奎斯特稳定判据： 当ω从0 →＋ ∞变化时， 开环频率特性曲线G(jω)H(jω) 逆时针包围［GH］平面内 ( -1, j0)点的次数N如果等于开环 右极点数P的一半，则闭环系统是稳定的，否则闭环系统 不稳定。 Z = P-2N即为闭环右极点数。
Bode判据的特殊情况：
若开环传递函数中有γ个积分环节。 辅助线：在φ(ω)曲线最左端由下至上补作γ·90°的虚线段， 找到相当于 ω＝0时φ(ω)曲线的起点。
φ(ω)起于或止于-180°，算半次穿越，也有正负之分。
例1：用波德判据判断具有下列传递函数的 非最小相位系统的稳定性。
G(s)H (s) 10(s 3) s(s 1)
（2）开环奈氏曲线形状复杂 “穿越”：开环Nyquist曲线穿过（－1， j0 ）点以左的实轴部分。 正穿越：曲线由上→下穿过（－1， j0 ）点以左的实轴段，
对应相角增大； 负穿越：曲线由下→上穿过（－1， j0 ）点以左的实轴段，
对应相角减小。
穿越次数： 1——曲线完整穿越（－1， j0 ）点以左的实轴一次；
③ 考察表中第一列各数符号 ▪ 第一列所有元素均大于0，则系统稳定； ▪ 第一列出现负数，则系统不稳定，而符号变化次数即系
统存在右极点数。
例：设系统特征方程
s5 +3s4 +2 s3+ s2 ＋5s + 6=0 解： ① a5=1 a4=3 a3=2 a2 =1 a1 =5 a0 =6 ，ai>0
解：闭环传递函数
Φ(s) = K / [s(0.1s+1)(0.25s+1) + K] R(s)