陕西省西安铁一中、铁一中国际合作学校2014届高三上学期9月月考数学(理)试题

高三模拟四考试 数学试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设a ,b 是单位向量，则“a ·b =1”是“a =b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知集合{}2,0x A y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞3. 双曲线22221y abx -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为A.53B.43C.54D.4. 函数()y f x =的图象在点(5,(5))P f 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+=A. 12B.-1C.1D.25. 运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2l o g 3和3log 2,则输出M 的值是A.0B.1C. 2D. －16. 设{}1212331,,,3,a ∈-，则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为A.1，3B.1，3，13-C.1，3，23D.1，23，3，13-7. 某几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为A.12B.C.D.8.已知等差数列{}n a 的公差0d <, 若462824,10a a a a ⋅=+=,则该数列的前n 项和n s 的最大值为 A ．60B ．55C ．50 D.459. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为14，则a 的值是A.712πB.23πC.34πD.56π10. 已知)(x f 是定义在R 上的可导函数，且)()('x f x f < 对于任意R x ∈恒成立，则A. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ⋅>⋅>B. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ⋅>⋅<C. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ⋅<⋅>D. )0()2013(),0()2(20132f e f f e f ⋅<⋅<第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分． 11.已知向量(1,2),(2,)a b λ=-= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .12. 设实数,x y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若11y z x +=+的最小值为14，则a 的值为 .13.若将()()x a x b --逐项展开得2x a x b x a b --+，则2x 出现的概率为14，x 出现的概率为12，如果将()()()()()x a x b x c x d x e -----逐项展开，那么3x 出现的概率为 .14. 已知函数()()22l o g 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 .15．已知l g l g 0a b +=，则满足不等式2211a b a b λ+++≤的实数λ的范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）16．（本小题12分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到的，求()y g x =的单调递增区间．17.（本小题12分）数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足222=-n n n a S a ．（Ⅰ）求证：数列}{2n S 为等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设1424-=n n S b ， 求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值．18.（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，侧面P C D ⊥底面ABC D ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD是直角梯形.0//,90,AB CD ADC ∠=1,AB AD PD ===2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面APD ；（Ⅱ）设Q 为侧棱PC 上一点，P Q P C λ=，试确定λ的值，使得平面PBD 与平面QBD 的夹角为45 .19.（本小题12分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2的椭圆过点（，2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．20. （本小题13分）第30届奥运会已于2012年7月27日在伦敦举行，当时某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者，这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：cm ）：若身高在180cm 以上（包括180cm ）定义为“高个子”，身高在180cm 以下（不包括180cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望.21.（本小题14分）已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+=. （Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正的数列}{na 满足：*111,ln 2,n n n aa a a n N +==++∈，求证：21n n a ≤-高三模拟数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：（每小题5分，满分50分）11．()(),44,1-∞-⋃-； 12．1； 13．516； 14．(0,1); 15． [)1,+∞.三、解答题：16. 解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++sin 2cos 22)24x x x πωωω=++=++，依题意得2223ππω=，故ω的最小正周期为32. …………6分（Ⅱ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦，由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤， 解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤， 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈. …………12分 17．解：（Ⅰ）∵122=-n n n a S a ，∴当n≥2时，1)()(2211=-----n n n n n S S S S S ，整理得，1212=--n n S S （n≥2），又121=S ， ∴数列}{2n S 为首项和公差都是1的等差数列．∴n S n =2，又0>n S ，∴n S n =.∴n≥2时，11--=-=-n n S S a n n n ，又111==S a 适合此式，∴数列}{n a 的通项公式为1--=n n a n . …………6分（Ⅱ）∵121121)12)(12(21424+--=+-=-=n n n n S b n n ， ∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n 1211215131311+--++-+-=n n =1221211+=+-n n n ，2112n n T n∴==+时，的最小值为23. …………12分 18．解：（I ）取PD 的中点F ，连结,E F A F ，因为E 为PC 中点，∴//EF CD ，且112E F C D ==， 在梯形ABCD 中，//,1A B C D A B =，∴//,,EF AB EF AB =四边形ABEF 为平行四边形，∴//,BE AFBE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴//BE 平面PAD .…………6分（II ）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C P ，平面PBD 的法向量为(1,1,0),BC =-(0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈，(0,2,1)Q λλ∴-，设平面Q B D 的法向量为(,,)n a b c =， (1,1,0),DB = (0,2,1)DQ λλ=-，由02(1)0n DB a b n DQ b c λλ⎧⋅=+=⎨⋅=+-=⎩，∴2(1,1,)1n λλ=-- ，∴0cos 45n BC n BC ⋅===⋅，注意到(0,1)1λλ∈∴=. …………12分19．解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为22221x y ab+= （a ＞b ＞0），则22211,2c a a b =+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故2,1a b ==⎧⎨⎩，所以，椭圆方程为2214x y +=．…………4分（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m （m≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由22,440,y kx m x y =++-=⎧⎨⎩消去y 得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4（m 2－1）＝0， 则△＝64 k 2b 2－16（1＋4k 2b 2）（b 2－1）＝16（4k 2－m 2＋1）＞0，且122814km x x k -+=+，21224(1)14m x x k-=+．…………6分 故 y 1 y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2．因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以，1212y y x x ⋅＝22121212()k x x km x x m x x +++＝k 2，即222814k m k-+＋m 2＝0，又m≠0， 所以 k 2＝14，即 k ＝12±．…………10分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且△＞0，得0＜m 2＜2 且 m 2≠1．设d 为点O 到直线l 的距离，则 S △O P Q ＝12d | PQ |＝12| x 1－x 2 | | m |＝，所以 S △O P Q 的取值范围为 （0，1）．…………12分 20．解：（I ）根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽出5人，则每个人被抽到的概率为51204=，所以应从“高个子”中抽1824⨯=人，从“非高个子”中抽11234⨯=人.用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名‘高个子’被选中”，则232537()1()111010C P A P A C ===-=-=,因此至少有1人是“高个子”的概率是710；…………6分（II ）依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X 的所有可能为0,1,2,3.()34381014C P X C ===, ()124438317C C P X C ===,()214438327C C P X C ===， ()34381314C P X C ===， 因此，X 的分布列如下：所以X的数学期望01231477142EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………13分 21．解：（Ⅰ）2)(ln 1)(),,0()(xa x x f x f +-='+∞的定义域为， 令a e x x f -=='10)(得， 当)(,0)(,),0(1x f x f e x a>'∈-时是增函数；当)(,0)(,),(1x f x f ex a<'+∞∈-时是减函数；∴111)()(,)(---===a a a e e f x f e x x f 极大值处取得极大值在，无极小值. …………4分（Ⅱ）①当21e e a <-时，即时1->a ， 由（Ⅰ）知),0()(1aex f -在上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，()11max ()a a f x f e e --∴== ，又当,(.0)(],0(2e e x x f e x a a --∈<∈当时当,0)(,2x f e x a a --==时],(.0)(],0(,02e e x x f e x a a --∈<∈=当时当时，).0()(1-∈a e x f ，∴1)()(=x g x f 与图象的图象在],0(2e 上有公共点，⇔11≥-a e .解得1,1,1≥->≥a a a 所以又.②当121-≤≥-a e e a 即时，],0()(2e xf 在上是增函数，∴2222)(],0()(e ae f e x f +=上的最大值为在， 所以原问题等价于.2,1222-≥≥+e a ea解得又1-≤a ，∴无解， 综上，实数a 的取值范围是[)1,+∞. …………10分 （Ⅲ）令a =1，由（Ⅰ）知，l n 11(0),l n 1x x x x x+≤>∴≤-， 11a = ，假设*1()k a k N ≥∈， 则1ln 21k k k a a a +=++>，故*1()n a n N ≥∈从而1l n 221n n n n a a a a +=++≤+1112(1)2(1)n n n a a a +∴+≤+≤≤+ ， 即1221nnn n a a +≤∴≤-. …………14分。