09 物体系统平衡问题的求解
探讨静力学中物体系统平衡问题的几种类型及求解方法
未知力 ， 列 平 衡 方 程 可 以全 部 求 解 出来 。 Ｘ Ｍ＾ ＝ ０ ， × ａ — Ｆ ｃ ｘ ２ ａ － ２ Ｆ ｘ ２ ａ ＝ ０ ， Ｆ ｃ 、 ， ＝ ３ Ｆ ∑Ｙｉ ＝ ０ ， Ｆ ＾ ＋ Ｆ ｃ － ２ Ｆ ＝ ０ ， Ｆ ＾ ＝ — ． Ｆ
国瑶 誊
图６ 图７ 图８ 图９
此 时 我 们 分 析一 下 这 个 物 体 系 统 的 受 力 图 。以Ｂ Ｃ 为研 究 对象时 ， 如 图８ 所示， ４ 个未知力 ， 列 平 衡 方 程无 法 全 部 求 出 ， 但 是 我 们 注 意 到 这４ 个 未 知 力 中有 ３ 个 未 知 力 交 于 一 点 ，如 Ｆ 、
物 体 系 统 平 衡 问 题 相 对 于 单 个 物 体 平 衡 问题 要 复 杂 一 些， 学生在求解 物体系统平衡 问题时 ， 常 常会 感 觉 无 从 下 手 ． 不 知 道 如 何 求 解 。对 于 物 体 系统 平 衡 问题 与单 个 物 体 平 衡 问 题 的 区别 在 于 研 究 对 象 的选 择 及 解 题 的顺 序 。研 究 对 象 可 以 是整体 ． 也 可 以取 单 个 或 一个 部 分 的 物 体 系 统 ． 解 题 顺 序 按 照 研 究 对 象 选 择 的 顺 序 而 定 。本 文 把 物 体 系统 平 衡 问 题 分 为 几 种类 型 ， 并 为每种类 型提供 解题方 法 ， 只 要 分 清 属 于 哪 种 类 型， 并 对症 下 药 ， 问 题 便 会 迎 刃 而解 。 类型一 ： 以 整体 为研 究 对 象 未 知 力 个 数 小 于 ３ 个。 如图１ 所 示， 该 物 体 系统 中 ， 包含３ 个构件Ａ Ｂ、 Ｅ Ｄ、 Ｃ Ｄ． 以整 体 为研 究 对 象， Ａ处 固定 铰 链 ２ 个约束反力 。 Ｂ 处活 动铰链１ 个 约束反力 ， 总 共３ 个约束 反力 ， 受 力 图 如 图２ 所示 ， 可 以直接列３ 个 平 衡 方 程 求解 。 如有 需 要 还 可 以 以个 体 为 研 究 对 象 ， 约 束 反 力 小 于 等 于 ３ 个， 可 以列 平 衡 方 程 求 解 。
物体系平衡问题的解题技巧及注意事项
解 ； 则 ， 分 析 与 某 些 未 知 量 相 关 的 另 一 研 究 对 象 ； 作 类 似 否 另 再 的观 察 ， 至 符 合 可解 条件 或 部 分 可解 条 件 为 止 。 直 例 ２ 图 二 （ ） 示 构 架 中 ， 体 重 Ｐ １０ Ｎ， 细 绳 跨 过 滑 ： ａ所 物 ＝ ２０ 由 轮 Ｅ而 水 平 系 于墙 上 ， 寸 如 图 ， 计 杆 和 滑 轮 的重 量 。求 支 承 尺 不 Ａ和 Ｂ处 的 约束 力 ， 以及 杆 Ｂ 的 内力 Ｆ Ｃ 。
分析： 构南 Ａ Ｄ和 Ｃ 结 Ｃ Ｂ两部 分 构 成 。 Ｃ 为主 要 部 分 ， Ｂ Ａ Ｄ Ｃ 为次 要 部分 。因 此解 题 思 路 如 下 ： １ 取 Ｃ （ ） Ｂ为 研 究 对 象 ， 力 如 受
图１ ） 示。 方 （ 所 列 程∑Ｍ＝求出Ｆ （ 取 体 研 对象 受 ｂ ０ Ｂ２ 整 为 究 ， ｏ）
图 一
处拆 开 ， 而不 应 将 物 体 或杆 件 切 断 ， 对 二 力杆 可 以切 断 。 外 ． 但 另 注 意 作用 、 作 用 关 系要 满 足 ， 一 个 力 在 不 同 图 中 画法 、 注 反 同 标 要 一 致 。对 二 力 构 件 ， 能 够 判 断 出 来 ， 二 力 构 件 的受 力 特 点 要 按 （ ） 解 物体 系 的 平 衡 问题 时 ， 整 体 符 合 可解 条 件 或 部 二 求 如
在工 程 实 际 中 ，经 常 需 要研 究 由若 干 个 物 体 借 助 某 些 约 束
连 接 而成 的物 体 系 统 的 平衡 问题 。求 解 物 体 系 的平 衡 问 题 的 步 骤 与求 解 单 个 物 体 平 衡 问题 的步 骤 基 本 相 同 ， 即先 选 择 适 当 的 研究 对 象 ． 分 离 体 ， 取 画受 力 图 ， 根 据 受 力 图 列平 衡 方 程 求 解 。 再 物体 系 的平衡 问题 是 静 力 学 的重 点 ， 同时 也 是 一 个难 点 。 这 类 解 问题 ．既 要 涉 及 比 较 复 杂 的物 体 受 力 分 析 和 各 类 平 衡 方 程 的 灵 活运 用 ． 要 涉 及 研究 对 象 的选 择 。 使 解 题 简便 ， 还 为 列方 程 时 ， 尽 量做 到 一 个 方程 中 只含 有 一 个 未 知 量 ， 及 时求 出 。为 此 ， 并 投影 轴尽 量 和 多 个 未 知 力相 垂 直 ，矩 心 尽 量 选 在 多 个 未 知 力 作 用 线 的交 点 。而 研 究对 象选 择 得 恰 当与 否 ， 解 题 的繁 简 至 关 重 要 。 对
(完整word版)物体平衡问题的解题方法及技巧
《物体平衡问题的解题方法及技巧》课堂实录陈光旭(兴山一中湖北443700）物体平衡问题是高考考查的一个热点，在选择题、计算题甚至实验题中都有考查和应用。
如2010安徽卷第18题、2010广东卷第13题、2010山东卷第17题、2010新课标全国卷第18题等等……由于处于平衡状态的物体，它的受力和运动状态较为单一，往往为一些同学和老师所忽视。
但作为牛顿第二定律的一种特殊情况，它又涵盖了应用牛顿第二定律解决动力学问题的方法和技巧，所以解决好平衡问题是我们解决其它力学问题的一个基石。
物体的平衡是力的平衡.受力分析就成了解决平衡问题的关键！从研究对象来看,物体的平衡可分为单体平衡和多体平衡;从物体的受力来看，又可分为静态平衡和动态平衡。
一、物体单体平衡问题示例：例一：（2010新课标全国卷18)如图一，一物块置于水平地面上,当用与水平方向成600角的力F1拉物块时,物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成300的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动.若F1和F2的大小相等，则物块和地面间的动摩擦因数为：A:2－3 B.3－1C.3/2－1/2 D。
1－3/2解析：将F 1分解到水平方向和竖直方向，如图二，水平方向受力平衡： F 1COS600=Fu竖直方向：FN －F 1=mg同理,对F 2进行分解，建立方程组，解出结果为A在解决这类问题时，我们用的方法就是将物体受到的力，分解到物体的运动方向和垂直与物体的运动方向，列出两个平衡方程，解出未知问题。
这种方法不光对平衡问题适用，对非平衡问题同样适用。
例二:如图三，光滑小球放在一带有圆槽的物体和墙壁之间，处于静止状态，现将圆槽稍稍向右移动一点，则球对墙的压力和对物体的压力如何变化？解析：这是单体的动态平衡问题对小球受力分析，如图四。
由于物体处于平衡,物体所受重力、墙壁的作用力的合力与圆槽的作用力等值反向。
当圆槽稍稍向右移时，θ角变小mg 恒定,F墙的方向不变，所以,斜槽和墙壁对物体的支持力都变小。
物体平衡问题的解题方法与技巧
《物体平衡问题的解题方法及技巧》课堂实录光旭（兴山一中443700）物体平衡问题是高考考查的一个热点，在选择题、计算题甚至实验题中都有考查和应用。
如2010卷第18题、2010卷第13题、2010卷第17题、2010新课标全国卷第18题等等……由于处于平衡状态的物体，它的受力和运动状态较为单一，往往为一些同学和老师所忽视。
但作为牛顿第二定律的一种特殊情况，它又涵盖了应用牛顿第二定律解决动力学问题的方法和技巧，所以解决好平衡问题是我们解决其它力学问题的一个基石。
物体的平衡是力的平衡。
受力分析就成了解决平衡问题的关键！从研究对象来看，物体的平衡可分为单体平衡和多体平衡;从物体的受力来看，又可分为静态平衡和动态平衡。
一、物体单体平衡问题示例：例一：（2010新课标全国卷18）如图一，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成600角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成300的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。
若F1和F2的大小相等，则物块和地面间的动摩擦因数为：F 2A ：2－3 B.3－1 C.3/2－1/2 D.1－3/2解析：将F 1分解到水平方向和竖直方向，如图二，水平方向受力平衡： F 1COS600=Fu竖直方向：FN －F 1=mg同理，对F 2进行分解，建立方程组，解出结果为A 在解决这类问题时，我们用的方法就是将物体受到的力，分解到物体的运动方向和垂直与物体的运动方向，列出两个平衡方程，解出未知问题。
这种方法不光对平衡问题适用，对非平衡问题同样适用。
例二：如图三，光滑小球放在一带有圆槽的物体和墙壁之间，处于静止状态，现将圆槽稍稍向右移动一点，则球对墙的压力和对物体的压力如何变化？解析：这是单体的动态平衡问题 图一图二 图三对小球受力分析，如图四.由于物体处于平衡，物体所受重力、墙壁的作用力的合力与圆槽的作用力等值反向。
当圆槽稍稍向右移时，θ角变小mg 恒定，F 墙的方向不变，所以，斜槽和墙壁对物体的支持力都变小。
力学中的平衡问题及解题方法
力学中的平衡问题及解题方法力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和相互作用。
在力学中，平衡是一个关键概念，指的是物体在外力作用下保持静止或者匀速运动的状态。
解决平衡问题是力学学习的基础，本文将重点介绍平衡问题的概念及解题方法。
一、平衡问题概述在力学中，平衡是指物体的合力与合力矩均为零的状态。
合力指的是物体受到的所有力的矢量和，合力矩是指物体受到的所有力矩之和。
当一个物体处于平衡状态时，其合力为零，即物体受到的所有力相互抵消；合力矩也为零，即力矩的总和等于零。
通过解决平衡问题，我们可以推导出物体的受力关系及各个力的大小和方向。
二、解题方法解决平衡问题的思路和方法有很多，下面将介绍几种常用的方法。
1. 通过自由体图分析自由体图是解决平衡问题的重要工具。
通过将物体从整体中分离出来，将作用在物体上的力单独画在一张图上，即可更清晰地分析受力情况。
首先，选择心理上合适的参考点，计算该点的合力和合力矩，然后利用力的平衡条件和力矩的平衡条件，推导出物体的受力关系。
在绘制自由体图时，需要标注各个力的名称、大小和方向，以便更好地进行分析。
2. 利用转动平衡条件解题当物体可以绕某个轴进行转动时，我们可以利用转动平衡条件解题。
转动平衡条件是指物体的合力矩等于零，即物体受力矩的总和等于零。
通过将每个力的力矩与其距离乘积求和，然后令其等于零，我们可以解得物体的未知量。
在利用转动平衡条件解题时，需要注意选择正确的参考点和力臂的方向。
3. 使用迭加法解题迭加法是一种常用的解决力学问题的方法。
对于一个复杂的平衡问题，我们可以将其分解为多个简单的平衡问题来处理。
将物体逐步分解，每次只考虑其中的一部分受力情况，然后根据平衡条件解题。
最后通过迭代计算，得到物体的受力关系和未知量。
4. 运用静摩擦力解决问题在某些平衡问题中，静摩擦力起到重要的作用。
静摩擦力是指物体接触面上的摩擦力，当其超过一定程度时，可以阻止物体发生滑动。
通过利用静摩擦力的性质，我们可以解决涉及摩擦力的平衡问题。
物体系统的平衡问题
得
FBy ＝ 60 kN
目录
平面力系\物体系统的平衡问题 2）取AB为研究对象。
受力如图所示。 列出平衡方程 X 0 FAx FBx 0
得
FAx FBx FBx 34.64 kN
X 0 FAy FBy 0
得
FAy FBy FBy 60 kN
M A 0 FBy 3m - 40 kN m M A 0
FDx=4kN FE＋FDy=0 FDy =－5kN
目录
平面力系\物体系统的平衡问题
2）取AB为研究对象，受力如图所示。列出平衡方程
MA=0 FBy×6m－q1×6m×3m－FDx×5m=0
其中FDx＝FDx 。解得
FBy＝15.33 kN
Y = 0 FAy＋FBy－FDy－q1×6m=0
其中FDy＝FDy 。解得
得
FBy
1 12
(10F
72q)kN
1 12
(10 6
721)kN
11kN
MB 0 －FAy 12m q12m6m F 2m 0
得
FBy
1 12
(2F
72q)kN
1 12
(2 6
721)kN
7kN
目录
平面力系\物体系统的平衡问题
2)取 CBE为研究对象。 画受力图，F1为链杆1的受力（假设为拉力）。 列出平衡方程
2）逐个取物体系统中每个物体为研究对象，列出平衡方程， 解出全部未知量。
至于采用何种方法求解，应根据问题的具体情况，恰当地选取 研究对象，列出较少的方程，解出所求未知量。并且尽量使每一个 方程中只包含一个未知量，以避免解联立方程。
目录
平面力系\物体系统的平衡问题 【例3.12】 组合梁的荷载及尺寸如图所示，求支座A、C处的
物体系统的平衡问题
第三章 平衡方程的应用
各种力系的独立方程数
力系 名称
独立 方程数
平面任 意力系
3
平面汇 交力系
2
平面平 行力系
2
平面 力偶系
1
空间任 意力系
q = 5kN/m， = 45；求支座 A、C 的反力和中间铰 B
处的内力。
静定多跨梁一般由几个部分梁组成，组成的次序是先 固定基本部分，后加上附属部分。仅靠本身能承受荷 载并保持平衡的部分梁称为基本部分，单靠本身不能 承受荷载并保持平衡的 部分梁称为附属部分。 求解这类问题通常是先 研究附属部分，再计算 基本部分。
第三章 平衡方程的应用
解：AB 梁是基本部分， BC 梁是附属部分。
1）先取BC梁为研究 对象，列平衡方程
n
M B (Fi ) 0
i1
F 1 FC cos 2 0
FC 14.14kN
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FBx FC sin 0 FBy F FC cos 0
第三章 平衡方程的应用
第一节 物体系统的平衡问题
物体系统：由若干个物体通过约束联系所组成的系 统称为物体系统，简称为物系。
内力和外力：内力和外力的概念是相对的。当取整 个系统为研究对象时，系统中物体间的相互作用为 内力。但当研究物系中某一物体或某一部分的平衡 时，物系中的其它物体或其它部分对所研究物体或 部分的作用力就成为外力，必须予以考虑。
6
对于 n 个物体组成的系统，在平面任意力系作用下， 可以列出 3n 个独立平衡方程。在平面汇交力系作用 下，可以列出 2n 个独立平衡方程。
物体平衡问题解法
物体平衡问题解法长沙市明德中学 李启洪1．正交分解法这是最基本的方法。
这种方法是利用物体所受合外力为0这一条件来求解。
建立一适当的直角坐标系，将物体所受各力分别向两坐标轴分解，转化为同一直线上的力来合成。
由于物体受的合外力为0，故y 轴上的合力Fy=0，x 轴上的合力Fx=0。
由此列方程求解。
例1：如图所示，重为G 的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=1/√ eq o(sup 11(--),3)，物体做匀速直线运动。
求牵引力F 的最小值和方向角θ。
解：物体的受力图如图。
建立坐标系，有：Fcosθ-μN=0 ①Fsinθ+N -G=0 ②由①、②消去N 得：F=μG／(cosθ+μsinθ)令tgφ=μ，则cosθ+μsinθ=√1+μ2cos(θ-φ)∴ F= 当θ=φ时，cos(θ-φ)取极大值1，F 有最小值。
F min =tgφ=μ=1／√3 φ=300F 1F 3 y F Nθ f xG∴ θ=3002．正弦定理法正弦定理在解决三力平衡问题中有广泛应用，它可使解题过程大大简化。
物体在三个互成角度的共点力作用下处于平衡，则这三个力组成一个闭合三角形。
如图所示，有：例2：如图，C 点为光滑转轴，绳AB 能承受的最大拉力为1000N ，杆AC 能承受的最大压力为2000N 。
问A 点最多能挂多重的物体？(绳、杆的自重不计)解：选节点A 为研究对象。
受力如图。
由正弦定理：F 1／sin450=F 2/sin600=G/sin750 当F 1=1000N 时， G=F 1sin750/sin450=1366N 当F 2=2000N 时 G′= F 2sin750/sin600=2230．7N 故G 不能超过1366N 。
3．图象法图象法即利用力的合成的平行四边形法则，也称矢量三角形法。
C图2。
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讲授法
教学重点
教学难点
图示法
教学难点
【考勤】
班长报告考勤情况。
【复习旧课】
平面力系的平衡方程
【理论教学】
第3章平面力系
前面讨论的都是单个物体的平衡问题对于物体系统的平衡问题，其要点在于如何正确选择研究对象，一旦确定了研究对象，则计算步骤与单个物体的计算步骤完全一样。
一、有关概念
1、物体系：由若干个物体通过约束按一定方式连接而成的系统。
2、静定系统：总的未知量数目N不超过独立平衡方程的数目M的系统。
3、超静定系统：总的未知量数目N超过独立平衡方程的数目M的系统。
二、静定物系统平衡，每个物体也平衡。可取整体或部分系统或单个物体为研究对象。
★分清内力和外力。在受力图上不考虑内力。
★灵活选取平衡对象和列写平衡方程。尽量减少方程中的未知量，简捷求解。
解：（1）选梁BC为研究对象，作用在它上的主动力有：力偶 和均布荷载q；约束力为B处的两个垂直分力 、 ，C处的法向力 ，如图所示。列平衡方程，
解得
（2）选整体为研究对象，作用在它上的主动力有：集中力 力偶 和均布荷载q；约束力为固定端A两个垂直分力 、 和力偶矩 ，以及C处的法向力 ，如图所示。列平衡方程
★如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下平衡，则有 个独立的平衡方程，可解 个未知量。可用不独立的方程校核计算结果。
1、先取系统中某些物体为研究对象，列出平衡方程，解得部分未知量；再以整个系统为研究对象，列出平衡方程，求出全部未知量。
例3-7：见第32页
练习1：水平梁是由AB、BC两部分组成的，A处为固定端约束，C处为铰链连接，B端为滚动支座，已知： ， ， ，几何尺寸如图所示，，试求A、C处的约束力。
解得A、C端的约束力为
方向如图所示。
练习2：
求图示三铰拱的支座反力。
解：取整体为研究对象，画受力图：
由∑MA= 0：
由∑Fy = 0：
（）
由∑FX= 0：
取右半部分为研究对象，画受力图：
由∑MC= 0：
即：
将FBX代入式：
得：
FAX=FBX－20=－11KN（ ）
【课堂小结】
先取系统中某些物体为研究对象，列出平衡方程，解得部分未知量；再以整个系统为研究对象，列出平衡方程，求出全部未知量。
【作业布置】
课后复习
教 师 备 课 教 案 首 页
课时授课计划编号：9
授课日期
授课时数
授课班级
12道桥8
12道桥9
12道桥10
12道桥11
2
课 题：物体系的平衡问题(一)
教学目的：掌握物体系平衡问题的解法
教学重点：物体系平衡问题的解法
教学难点：应用
课堂类型与教学方法：理论教学、讲授法
教具挂图：三角板
教学过程：如下
教研室主任签字：年 月 日任课教师：冯春盛