第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(一)代数--观察与归纳(含答案)
第三届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(小学组)
参考答案及评分标准本卷共12题，每题10分，满分120分。
答题时间120分钟。
如图所示的算式中，相同的汉字表示相同的一位数字，不同的汉字表示不同的一位数字，则我+爱+启+智+杯= 或。
写出你的推算过程。
杯智杯启智杯爱启智杯+ 爱启智杯我爱启智杯参考答案：25或29五个杯字之和的个位数为杯，说明杯 = 0或5（进2）；若杯=0，则四个智字之和的个位数为智，智=0；从而三个启字之和的个位数为启，启=0；两个爱字之和的个位为爱，进位为我，无解。
因此，杯=5（进2），由此推出智字之和加2的个位数为智，智=6（进2）；三个启字之和加2的个位数为启，启=4（进1）或9（进2），进而得知爱等于9或8，而我=1.因此：我爱启智杯= 19465或18965，而我+爱+启+智+杯=25或29评分标准：只写出正确答案而未加说明，给5分；基本思路正确，而答案错误，给5分；答案写成19365或18965给8分。
其他情况酌情给分。
有三个封口的袋子，里面都装着同样重量和大小的小球，A袋子内装着红球，B袋子内装着白球，C袋子内混合装着红球和白球。
三个袋子分别贴有“红色”、“白色”、“混合色”的标签，可惜每一个标签都与袋子中球的实际颜色不符。
现在允许你只打开一个袋子，从中摸出一球（不准看袋子里面），看着这个球的颜色，你能立刻为三个袋子贴上正确标签吗？请说明你的具体操作方法。
参考答案：打开“混合色”标签的袋子由于三个袋子都标错了标签，所以三种标签构成一种“轮换”，不会出现“对换”。
打开“混合色”标签的袋子，由于依据假设，该袋子内必然是单色的，若拿出的是红色球，则该袋子应该标注“红色”；而原来标注红色的必然是“白色”，白色标签的也就是混合色了。
若拿出的是白色球，则该袋子应该标注“白色”；而原来标注白色的必然是“红色”，红色标签的也就是混合色了。
评分标准：只写出正确答案而未加说明，给5分；分析正确，而说明不清晰或者不简练，给7分；其他情况酌情给分。
启智杯真题2013真题和答案
1.在下面的算式中，不同的汉子代表 1—9 中不同的数字，那么，“为了一切学生”的各 字分别代表了什么数字？写出一种答案，说明你的分析过程.
2.从 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数字中选出 8 个不同的数字分别填入下面两个 算式的方框内（每个数字只许用一次） ，使它们都成立，简述理由 .
5.答案：400=43+45+47+49+51+53+55+57（8 个连续的奇数之和） 400=31+33+35+37+39+41+43+45+47+49（10 个连续的奇数之和） 400=1+3+5+7+…+33+35+37+39（20 个连续的奇数之和） 400 可以写成最多 20 个连续奇数之和，因为如果连续奇数多于 20 个，则这些奇数的中 间（平均数小于 400 21 ，即小于 19，但是小于 19 的奇数只有 9 个，总数不会多于 20 个）. 本问题的解答思路可以有多种： 比如：将 400 分别表示成 8 个、10 个、20 个连续的奇数之和，可以从 10 个连续奇数的 平均值出发向两边延伸：由于 400 10 40 ，所以这 10 个连续奇数的中间两个应该是 39 与 41 ， 以 此 两 边 各 延 伸 4 个 ， 于 是 得 到 从 31 到 49 的 10 个 连 续 奇 数 . 验 算 知 31+33+35+37+39+41+43+45+47+49=400. 6.答案：从侧面（前后左右）看，共有（16）个正方形； 从上面往下看有（5）个正方形； 从下面往上看有（5）个正方形. 7.答案：以下三种答案写出两种即可，其它答案如果合理，比照该评分标准给分 分类依据一：一类是围成的几何体每一个面均为多边形（多面体） ；另一类围成的面有 圆弧面（旋转体） 分类结果一：共分 2 类；一类是 1，3，4，5，7，9，10；另一类是 2，6，8，11 分类依据二： 一类是有两个面为平行平面 （柱体与台体） ； 另一类是有一个尖端 （锥体） ； 第三类表面没有平面图形（球） 分类结果二：共分 3 类；一类是 1，2，4，5，6，7，10；另一类是 3，8，9；第三类 11 分类依据三：按是否为柱体、锥体、台体、球分类. 分类结果三：共分 4 类；第一类是 1，5，6，7；第二类是 3，8，9；第三类是 2，4， 10；第四类 11.
2017年第八届启智杯参考答案与评分标准(A1组)
图1
图2
【考察方向】逻辑推理
【参考答案】
解析：因为游戏牌 A 是“杯”，F 是“智”，C 是“赛”；又因为游戏牌 B 和 E 是同一个字，
所以游戏牌 B 和 E 是“启”。又因为游戏牌 B 和 E 是“启”，C 和 D 是“赛”， 又因为 A 和 H
不是同一个字，A 是“杯”，所以游戏牌 H 一定是“智”。
【考察方向】空间想象与基本运算的应用 【参考答案】 （1）65 罐
解析：看图可知：满箱时一共有 266 72 （罐）， 所以，工作人员取走了 72-7=65 （罐）（10 分）
第 8 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 1 / 5
【评分标准】答对得 10 分，答错不得分。
4.在某次选举中，有
四位候选人，共有 62 张有效选票（每张选票只选一位候
选人）投票后经过统计发现，每人票数互不相同，且 A 得 8 票排名最后，B 得 18 票，试问 B 的排名为第几名？ 【考察方向】穷举、假设、推理
【参考答案】：B 是第二名
解析：（1）如果 B 是第一名，那么，C,D 得票总 票数
（1）边长为 1 的小正方体的表面是否会出现相同的字相邻？ （2）适当的摆放，大长方体的六个表面（包括底面）上“启”字最多可以出现多少次？画 出示意图。
“启智杯”训练题(附答案)
1.一张三角形纸片，请你剪去一个角，还剩几个角?怎么剪?答案如图所示：2.规定四个碗可换一个炒饭，某小队28人来吃饭，问至少买多少碗炒饭才能保证每人一碗?答案：三个空碗=一炒饭(不含碗)所以只需花钱买21碗，然后21个碗可换4碗炒饭共28碗。
3.2011个碗，碗口朝下，每次翻动4个，能否经过若干次翻动，使所有碗口全部碗口朝上?每次五个呢?答案：2011个碗口全向下，需翻动奇数次，但4的倍数均为偶数，所以不行。
每次翻动5个，依次翻2011/5次即可。
1、一刀可将薄饼切成两块，2刀最多切成四块，7刀最多切成几块?答：2、有一堆小朋友，如果8人一组，多2人;如果9人一组，多3人;如果10人一组，多4人，求最少几个小朋友?答：每8人一组差6人，每9人一组差6人，每10人一组差6人，所以：[8，9，10]360-6=354(人)3、在一长方形纸上有2011个点，这些点任意三点都不在同一条直线上，现在以这20 11个点及长方形四个顶点为顶点，将长方形纸片剪开，最多剪出几个三角形?答：4+(2011-1)X2=40241、下面是一串打乱顺序的数字，请找出规律。
3 5 13 21 1 1 2 8答：1 1 2 3 5 8 13 212、有三封不同的信，四个信箱可供传递，共有多少种投信方式?答：4X4X4=64(种)3、 A、B不同，求A+B。
答：A=38 B=83A+B=38+83=1211、一根钢管锯成5段，用20分钟;锯成12段用多少时间?答：20/(5-1)=5(分)5X(12-1)=55(分)2、答：(7+4+2)X2=263、一群男生女生在一起游戏，一个女生说：“我看到的男同学比女同学多一人”，一男生说：“我们男生我能看到6人。
”问，共多少个学生?答：男：6+1=7(人)女：7-1=6(人)共：7+7=14(人)1、一猴子爬树，每爬上5米，下落4米，树高14米，爬几次能上到树顶?答：(14-5)/(5-4)=99+1=10(次)2、移动2根火柴，使4个正方形变6个。
启智杯考前模拟训练题50题有答案 的.docx
启智杯考前模拟训练题50题1.方兴超市购进一批食盐，第一个月售出这批食盐的40%,第二个月又售出420袋，这时已售出的和剩下的食盐的数量比是3:1,则方兴超市购进的这批食盐有袋.【解析】分百应用题，寻找量率对应，420所对应的率为1-40%-25% = 35% , 420+ 35% = 1200 （袋）2.已知甲乙两数的和是231,已知甲数的末位是。
，如果把甲数末位0去掉，正好等于乙数，那么乙数是,甲数是.【解析】乙数：21;甲数：210【解析】4b=5a,b:a = 5:4 , 6a =5c,a:c = 5\6 ,得到a :b:c = 20:25:244,一瓶可乐2. 5元，3个空瓶可以再换一瓶可乐.有30元，最多可以喝到—瓶可乐.【解析】3个空瓶可以换一瓶，相当于买3瓶只花2瓶的钱（借一个空瓶还回去）,30 + 2.5 + 2x3 = 18 （并瓦）5.^12345678910111213-484950"是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成一个首位不为0的多位数,则这个多位数最大为多少？最小为多少？【解析】（1）这个数的位数是9+2x41=91,所以划去80个数字后是11个11位数.（2 ）为了使这个多位数最大，应使前面的9尽量多，所以这个多位数最大为99997484950.（3）为了使这个多位数最小，除了使第一位是1之外，还应使前面的0尽量多，这个多位数最小为10000123440.6.在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：+ + +☆=.☆ ☆【解析】比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个“口”相加等于一个“口”，得到“口” =0,这与“口”在首位不能为0矛盾，所以十位上的“口+口”肯定进位，那么百位上有“口+ □+1 = 10+口”，从而“口” =9 , =8.再由个位的加法，推知“。
2017年第八届启智杯A1组试卷 参考答案与评分标准
好好 学 好好 学 +要 好 好 学 2 01 7
3.（10 分）启智杯组委会给工作人员买了一箱（正方体包装箱）的圆柱 形罐装椰奶，如图所示，已经发放了一部分，现在该包装箱内还有 7 罐，问工作人员取走了多少罐？
7.小明、小军、小强、小光四人玩翻牌游戏。共有 8 张牌，分别印有“启、智、杯、赛”的 游戏牌各 2 张（如图 1）。把所有的游戏牌正面朝下（如图 2）那样排列，然后每次翻看两张， 如果是同一个字，就是“相同”，如果不是同一个字，就是“不同”。请根据四人翻看的线索 来回答问题。 小明：翻开 A 和 H，结果是“不同”，A 是“杯”。 小军：翻开 B 和 E，结果是“相同”。 小强：翻开 F 和 G，结果是“不同”，F 是“智”。 小光：翻开 C 和 D，结果是“相同”，C 是“赛”。 请问：游戏牌 B 和 H 分别是什么字？
【考察方向】空间想象与基本运算的应用 【参考答案】 （1）65 罐
解析：看图可知：满箱时一共有 266 72 （罐）， 所以，工作人员取走了 72-7=65 （罐）（10 分）
第 8 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 1 / 5
【评分标准】答对得 10 分，答错不得分。
7.（10 分）小明、小军、小强、小光四人玩翻牌游戏。共有 8 张牌，分别印有“启、智、杯、赛”的 游戏牌各 2 张（如图 1）。把所有的游戏牌正面朝下如图 2 那样排列，然后每次翻看两张，如果是 同一个字，就是“相同”，如果不是同一个字，就是“不同”。请根据四人翻看的线索来回答问题。 小明：翻开 A 和 H，结果是“不同”，A 是“杯”。 小军：翻开 B 和 E，结果是“相同”。 小强：翻开 F 和 G，结果是“不同”，F 是“智”。 小光：翻开 C 和 D，结果是“相同”，C 是“赛”。 请问：游戏牌 B 和 H 分别是什么字？
启智杯考前模拟训练题50题有答案 的
启智杯考前模拟训练题50题1. 方兴超市购进一批食盐，第一个月售出这批食盐的40%，第二个月又售出420袋，这时已售出的和剩下的食盐的数量比是3:1，则方兴超市购进的这批食盐有 袋．【解析】 分百应用题，寻找量率对应，420所对应的率为140%25%35%--=，42035%1200÷=（袋）2. 已知甲乙两数的和是231，已知甲数的末位是0，如果把甲数末位0去掉，正好等于乙数，那么乙数是 ，甲数是 ．【解析】 乙数：21；甲数：2103. 如图，三个图形的周长相等，则::a b c = ．【解析】 45,:5:4b a b a ==,65,:5:6a c a c ==,得到::20:25:24a b c =4. 一瓶可乐2.5元，3个空瓶可以再换一瓶可乐．有30元，最多可以喝到 瓶可乐．【解析】 3个空瓶可以换一瓶，相当于买3瓶只花2瓶的钱（借一个空瓶还回去），30 2.52318÷÷⨯=（瓶）5. “12345678910111213…484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字(顺序不变)组成一个首位不为0的多位数，则这个多位数最大为多少？最小为多少？【解析】 （1）这个数的位数是9+2×41=91，所以划去80个数字后是11个11位数．（2）为了使这个多位数最大，应使前面的9尽量多，所以这个多位数最大为99997484950．（3）为了使这个多位数最小，除了使第一位是1之外，还应使前面的0尽量多，这个多位数最小为10000123440．a 2a c c c c c 2a a2b2b a6. 在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：+++d W V ☆=_______. +dd WW W W W W V V☆☆ 【解析】 比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个“□”相加等于一个“□”，得到“□”0=，这与“□”在首位不能为0矛盾，所以十位上的“□+□”肯定进位，那么百位上有“□+□110+=+□”，从而“□”9=，“☆”8=．再由个位的加法，推知“○+△8=”．从而“+++=d W V ☆98825++=”．7. 在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【解析】 两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题．从50个偶数中取出2个，有2505049122521C ⨯==⨯(种)取法； 从50个奇数中取出2个，也有2505049122521C ⨯==⨯(种)取法． 根据加法原理，一共有122512252450+=(种)不同的取法．8. 正方形ABCD 的面积为9平方厘米，正方形EFGH 的面积为64平方厘米，如图所示，边BC 落在EH 上，已知三角形ACG 的面积为6.75平方厘米．则三角形ABE 的面积为 平方厘米【解析】 连接EG ，AG 与EG 平行，阴影部分面积=三角形AEC 的面积，AB =3cm ，所以EC =6.7523 4.5cm ⨯÷=，()24.5332 2.25ABE S cm =-⨯÷=V ．也可以用三角形AEC 的面积减去三角形ABC 的面积得到ABE 的面积26.75 4.5 2.25cm =-=9. a 、b 、c 是整数，则(a -b )/2、(b -c )/2、(c -a )/2中（ ）整数．A 、至少有一个B 、仅有一个C 、仅有两个D 、没有【解析】 若均为偶数，则有三个整数，而当奇奇偶或偶偶奇时，最少整数有一个，选A10. a #b =a +b -1 ，a ！b =a ×b -1（1）求3！[（6#8）#（6！2）]；（2）x #（x ！8）=61，求x ；【解析】 （1）68（2）7x =11. 由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？【解析】 满足条件的数可以分为4类：一位、二位、三位、四位数．第一类，组成0和一位数，有4个（0不是一位数，最小的一位数是1）；第二类，组成二位数，有339⨯=个；第三类，组成三位数，有33218⨯⨯=个；第四类，组成四位数，有332118⨯⨯⨯=个．由加法原理，一共可以组成49181849+++=个数．12. 如图，这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线的交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，则有 种不同的放法．【解析】 2516400⨯=种13. 如果a ，b 均为质数，且3741a b +=，则a b +=______.【解析】 根据题意a ,b 中必然有一个偶质数2，，当2a =时，5b =，当2b =时不符合题意，所以257a b +=+=.14. 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？【解析】 我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有32216÷=(个)棋子，而甲堆的棋子数是321648+=(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．采用列表法非常清楚．【答案】甲乙两堆棋子原来各有44个和20个15. 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【解析】 所求面积等于图中阴影部分的面积，为2052082140-+⨯÷=()(平方厘米)．16. 同学们，你玩过“扫雷”的游戏吗？在64个方格内一共有10个地雷，每格中至多有一个，对于填有数字的方格，其格内无地雷且与其相邻的所有方格中地雷的个数与该数字相等，你认为图中所标的数字_______是有雷的．【解析】 “扫雷”游戏主要考查观察能力和推理能力．先考虑标有①②的两个方格周边的情况．由于第六行有4个方格中的数字都是0，表示它们的周围没有雷，所以得到第五行前三列的3个方格都不是雷，而第四行第一列的方格中的数是1，表示它的周围有1个雷，所以标有①②的两个方格中恰好有1个雷，那么对于第三行第一列标有2的方格来说，它的周围有2个雷，其中一个在标有①②的两个方格中，另一个只能在第二行第二列的方格内．然后再看第二行第一列的方格，它的周围有1个雷，在第二行第二列的方格内，所以标有①的方格中没有雷，标有②的方格中有雷．再考虑标有③的方格的周边．由于第七行第一列的方格标有数字1，表示第八行第一、二列的两个方格中恰好有1个雷，而第七行第二列的方格标有数字2，说明它的周围有2个雷，那么一个雷在第八行第一、二列的两个方格中，另一个雷只能在标有③的方格中，所以标有③的方格中有雷．再看标有④⑤的方格的周边．由于第八行第七列的方格标有数字1，说明第八行第八列和第七行第八列的两个方格内恰有1个雷，而第七行第七列的方格也标有数字1，所以标有④的方格是没有雷的．而第六行第七列的方格标有数字3，说明它的周围有3个雷，所以标有⑤的方格是有雷的．所以图中所标数字为②、③、⑤的方格是有雷的．17. 如图3，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷．内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数．图中共有 个雷．【解析】 1612113332313312111234图318.7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【解析】由图可知，长方形的长是宽的4倍，宽的6倍是24厘米，则长方形的宽是4厘米，故图中空白部分的面积是44232⨯⨯=(平方厘米)．19.敌人欲从河岸B进攻对岸A，河上有13座桥，为阻止敌人进攻决定将桥炸坏．至少炸掉座桥可将敌人拦阻在河岸B．【解析】3座：5、9、1020.一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【解析】一班：二班=8:724:21⨯=和不变153一班：二班=4:520:25⨯=95一班向二班调了4份为8人，故每份842÷=（人），一班：24248⨯=（人）⨯=；二班：2124221.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【解析】这样的自然数有4个：23，37，53，73．22.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()20105150+⨯=；10天吃完需要牛的⨯-⨯÷-=，原有草量为：()2051566510头数是：15010105÷-=(头)．23.甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？【解析】甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟．24.长方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角？【解析】共有三种情况，如下图，分别剩下5、4、3个角．25.图中的三个图形都是由A、B、C、D(线段或圆)中的两个组合而成，记为A*B、C*D、A*D．请你画出表示A*C的图形．【解析】观察上图，第一个图形和第三个图形的共同之处是都有一条竖向线段，而它们共有的字母是A，因此A表示竖向线段；第二个图形与第三个图形的共同之处是都有一条横向线段，它们的共同字母是D，因此D表示横向线段．这样，由第一个图形可知B表示大圆，由第二个图形可知C表示小圆，从而A*C表示的图形应为竖向线段和小圆组合而成，即下图．26.用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？【解析】在能看见的9个面中红色出现的次数最多．观察图8—4中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、黄色相邻，所以它的对面不可能是黑黄两色．同理，由第二个正方体可知，红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理，黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色，所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了．27.图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．甲 乙 丙【解析】 从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的两块阴影，从而排除乙．故选甲答案为①．28. 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙．甲的周长为4厘米，乙的边长是甲的周长的1.5倍，丙的周长是乙的周长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？【解析】 乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长(我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移)，同样的，丙的周长也就是正方形ABCD 的周长．由于4 1.56AE =⨯=，6 1.59AD =⨯=，所以丙的周长为9436⨯=厘米，642EF AE AF =-=-=(厘米)．29. 在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．【解析】 用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O 和正方形水池的中心A ．过O 、A 画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．FEH BA AO30. 试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．【解析】 方方法二：31. 900000－9＝________×99999．【解析】 832. 多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．【解析】 由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而6点的个数为8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为6．33. 甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一．【解析】 甲手中的8张卡片上分别写了6，8和10．甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中．因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言．而这就意味着，这4张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是奇数．但是由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而只能都是奇数．于是3张写着偶数的卡片全都落入甲的手中．答案是唯一的．34. 三个人同时前往相距30千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都是5千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为10千米每小时．现先让其…………中一人先骑车，到中途某地后放车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段后有放下让最后那人骑行，自己继续前进，这样三人同时到达甲地．问，三人花的时间各为多少？【解析】 由于每人的速度相同，所以每人行走的路程相同，骑车的路程也要相同，这样每人骑车的距离都是1/3，所以时间就是20÷5+10÷10=5小时35. 张师傅开汽车从A 到B 为平地（见下图），车速是36千米／时；从B 到C 为上山路，车速是28千米／时；从C 到D 为下山路，车速是42千米／时. 已知下山路是上山路的2倍，从A 到D 全程为72千米，张师傅开车从A 到D 共需要多少时间？【解析】 方法一：设BC 距离为：[]28,4284=（千米），所以CD 距离为842168⨯=（千米），那么B -C -D 的平均速度为:()()8416884281684236+÷÷+÷=(千米/小时)，和平路的速度恰好相等，说明A -B -C -D 的平均速度为36千米/小时，所以从A -D 共需要的时间为：72362÷=（小时）方法二：设上山路为x 千米，下山路为2x 千米，则上下山的平均速度是：22824236x x x x +÷÷+÷=（）（）(千米/时)，正好是平地的速度，所以行AD 总路程的平均速度就是36千米/时，与平地路程的长短无关．因此共需要72362÷=(小时)．36. 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的43是草地；圆的76是竹林；竹林比草地多占地450平方米． 问：水池占多少平方米?【解析】 正方形的43是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是3份；圆的76是竹林，水池占1份，竹林的面积是6份．从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3份．3份的面积是450平方米，可见1份面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米．37. 地球表面的陆地面积和海洋面积之比是29∶71，其中陆地的四分之三在北半球，那么南、北半球海洋面积之比是（ ）．A . 284∶29B . 284∶87C . 87∶29D . 171∶113【解析】 解：设地球表面积为1，则北半球海洋面积为：0.5－0.29×34＝1.134南半球海洋面积为：0.71－1.134＝1.714南北半球海洋面积之比为：1.714∶1.134＝171∶113 答案：D38. 对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作这样的连续变换：18，42→18,24→18,6→12,6→6,6直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 ．【解析】 操作如下：1234，4321→1234，3087→1234，1853→1234，619→615，619→615，44714243前一数每次减少→…→，4→3，4→3，1→2，1→1，1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数．即1234与4321的最大公约数为1．此法也称为辗转相减法求最大公约数．39. 有一副扑克牌，一开始抓若干张（小于13张），然后进行下列操作：抓和手里现有的扑克牌数目相等的扑克牌，然后若扑克牌总数超过13张，则放回其中的13张，称为一次操作．进行了777次操作后，手里有7张牌，则一开始手里有多少张？【解析】 根据倒退法知道第777次操作后是7，那么第776次操作就是：()7132=10+÷，第775次操作就是102=5÷，找到规律是遇见奇数就是加13后除以2，遇见偶数就是直接除以2，所以操作后得到这样一串数为：7、10、5、9、11、12、6、3、8、4、2、1、7、10L L ，观察发现是12个一周期，所以77712=649÷L L ，所以第一次手里的数是8，一开始手里的数是4张扑克．40. 小华和爸爸分享“红、黑甜品”(红豆沙加芝麻糊)．方法是：小华先将两勺红豆沙倒进盛载芝麻糊的碗中，搅匀后再取回两勺放入原先盛载红豆沙的碗中，混成后，爸爸问小华：“如果混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样，那么混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量比较，哪一个多?”．小华的正确答案是_____．【解析】 一样多41. 由于潮汐的长期作用，月球自转周期与绕地球公转周期恰好相同，这使得月球总是以相同的一面对着我们．在地球上最多能看到 50%的月球面积，从一张月球照片中最多能看到 50%的月球面积．（填“大于”、“小于”或“等于”）【解析】 小于； 小于方法一、一张静止的照片，能看到的球体面积的极限是一半，只有当距离球体无限远时才能看到球体表面积的一半．方法二、如果能看到一半，则能看到一半的直线为两条平行线，不可能相交．42. 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？【解析】 因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹．由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹．将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表．刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹．43. 甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察．已知：⑴教师不知道甲的职业；⑵医生曾给乙治过病；⑶律师是丙的法律顾问（经常见面）；⑷丁不是律师；⑸乙和丙从未见过面．那么甲、乙、丙、丁的职业依次是： ．【解析】 律师、教师、警察．由⑶可以知道丙不是律师，但是他见过律师，再由⑸知乙不是律师，又由⑷可知甲是律师．于是由⑴和⑶知丙不是教师，由⑵和⑸知丙不是医生，从而丙是警察．再由⑵知乙是教师，丁是医生．列表如下（列表的好处在于直观明了，不会犯错误）：李强马辉刘刚小丽小红小英×√×××××√√44. 右边算式中，A 表示同一个数字，在各个□中填入适当的数字，使算式完整．那么两个乘数的差(大数减小数)是 ？11AA A ⨯【解析】 由11AA 能被11整除及只有11⨯，37⨯，99⨯的个位是1，所以A 可能为1，3，7或9，而且11AA 可分解成11与1个一位数和一个两位数的乘积．分别检验1111、1331、1771、1991，只有1771满足：177111723=⨯⨯，可知原式是77231771⨯=．所以两个乘数的差是772354-=．45. 电子数字0~9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式： ．【解析】 ⑴可以看出乘积的百位可能是2或8，由于被乘数的十位和乘数都不能是9，最大可能为8，所以它们的乘积不超过898712⨯=，故乘积的首位不能为8，只能为2；⑵被乘数的十位和乘数要与图中相符，只能是0、2、6或8，0首先可以排除，所以可能为2、6或8；⑶如果被乘数的十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数．所以被乘数的十位是2，相应得出乘数是8；⑷被乘数应大于200825÷=，可能为27、28或29，检验得到符合条件的答案：288224⨯=46. 有一道关于蜗牛爬墙的题：“日升六尺六，夜降三尺三，墙高一丈九，几日到顶端”．蜗牛第 天首次到顶端．【解析】 蜗牛一整天可升三尺三6.6 3.3 3.3-=，四天可升一丈三尺二，第五天白天即已经达到顶端．47. 现有5段铁链，每段上有4个封闭的铁环．现在要打开一些铁环，把这20个铁环焊接成一个一环套一环的圆圈．如果每打开一个铁环要2分钟，焊接上一个铁环要3分钟．那么焊成这个圆圈，至少需要________分钟．【解析】 把第一段的每个都打开之后用了428⨯=(分钟)，下面用每个铁环把剩下的4 段铁链之间的两个相连，只需要4312⨯=(分钟)．所以至少需要20分钟．48. 用数字1，1，2，2，3，3拼凑出一个六位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数字，两个3之间有3个数字．【解析】 312132 23121349. 一城镇共有5000户居民，每户居民的小孩都不超过两个．其中一部分家庭每户有一个小孩，余下家庭的一半每户有两个小孩，则此城镇共有 个小孩．【解析】 5000户居民可以分为三部分：（1）只有1个小孩的；（2）有2个小孩的；（3）没有小孩的．其中（2）与（3）的居民相同，我们就可以将有2个小孩的家庭的其中1个孩子分给没有小孩的家庭，这样5000户居民每个家庭都有1个小孩，所以这城镇共有5000个小孩．50. 若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了．小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下．小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子．问共有多少个盒子？【解析】 原来有个空的，说明现在也有个空的；现在空的说明原来这盒有1个，当然现在也必须有个盒子有1个；现在盒中有1个，说明原来是2个，当然现在也必须有个盒子有2个；……考虑50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 共11个盒子．第8题。
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(八)几何--类比与猜想
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（八）【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。
二、考察的思维能力1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。
2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。
3、面临两个个体，其中一个性质清楚，另一个有待认识，于是对这两个对象进行比较，通过两个个体中若干相同或相似之处，类比猜想这两个人个体在其它方面的相同或相似，实现对另一个对象的合情判断1.有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，全程350公里，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。
如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？【参考答案】小鸟飞行时间与两辆车的相遇时间相同，即：350÷（15＋20）=10（小时），则小鸟飞行了10×30=300（千米）。
2.如果2元钱一瓶汽水，喝完后五个空瓶换一瓶汽水，问：你有40元钱，最多可以喝到几瓶汽水？【参考答案】8元钱可以买4瓶却能喝5瓶，则40÷8=5，5×5=25（瓶）。
3. 在一块正方形纸上剪下一个宽为0.5分米的长方形纸条，剩下的面积为1865平方分米，剪下的长方形纸条的面积是__________平方分米。
【参考答案】此题用弦图来解：如图，设原正方形的边长为a,则剪下一个长方形纸条后剩下部分的长为a ，宽为（a －0.5），那么，图中存在这样一个关系：（2a －0.5）2＝+⨯418650.52，则a ＝613，那同步练习 几何---类比与猜想、想象与操作姓名： 日期：么剪下的长方形纸条的面积S ＝613×0.5＝1213＝1121（dm 2） 4.一个纸箱里装有2013张小卡片，上面分别写着1～2013这2013个自然数，从纸箱中任意摸出若干张小卡片，然后算出这些卡片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入纸箱中，经过若干次这样的操作后，纸箱中还剩下一张卡片，这张卡片上的数是多少？【参考答案】每次操作都不改变纸箱中所有数之和除以100的余数，所以最后一张卡片上的数等于1～2013的和除以100的余数。
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第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（一）代数---观察与归纳【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。
二、考察的思维能力1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。
2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。
3、从个别事例开始，先观察、研究这类问题的几个简单的、特殊的情况的共同特征，通过逆推、比较、分析，从中发现一般规律，找到解决问题的途径和方法，叫做归纳思维同步练习1．找规律填数（1）30、36、31、40、32、44、（）、（）（2）2, 6, 4, 12, 10, 30, 28，（），（）【参考答案】（1）30、36、31、40、32、44、（33 ）、（48 ）（2）2, 6, 4, 12, 10, 30, 28，（84 ），（82 ）乘3减22．根据规律填数。
43×101=4343 29×101=292951×101=（）86×（）=8686（）×101=7272 （）×（）=9494【参考答案】51×101=（5151 ）86×（101 ）=8686（72 ）×101=7272 （94 ）×（101 ）=94943．根据规律填数。
67×67=4489667×667=4448896667×6667=（）66......67× 66......67=44......488 (89)【参考答案】101个4，100个84．观察下面的几个算式,找出规律：1＋2＋1=4,1＋2＋3＋2＋1=9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16,1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25,……利用上面的规律,请你迅速算出：1＋2＋3＋……＋99＋100＋99＋……＋3＋2＋1=________.【参考答案】1002=100005. 一串分数按规律排列：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51……，那么，第100个分数是多少？ 2011是排列中的第 个分数。
【参考答案】通过分子、分母规律，发现分子与分母之和的规律为：和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个……；1＋2＋3＋4＋…＋13=91，100－91=9，第100个分数为第14组的第9个，分母为9，分子为14－9＋1=6，所以第100个分数为96。
分子与分母的和为11＋20=31的有30个，排列规律为： 427328229130…，2011…。
2011是第20个分数，2011排列在：（1＋2＋3＋…＋29）＋20=455（个）6. 如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走5m ，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加10°。
第一次直走5m 后转动10°，第二次直走5m 后转动20°，第三次直走5m 后转动30°，如此下去。
那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米。
【参考答案】一共移动了450度，一共移动了10+20+30+…+90=450度，一共移动了5×9=45（米）。
7．如图，将黑白两种小球自上而下地层层地排，每层又是从左到右逐颗地排下去。
当白球第一次比黑球多2013个时，那么，恰好排到第几层的第几个？【参考答案】奇数层是黑球，偶数层是白球，每层小球的个数＝2×层数－1，每两层中白球比黑球多2个，2013÷2＝1006……1，当排到1006×2＝2012（层）时，白球比黑球多2012个。
要满足条件，必须还要再排一层黑球和一层白球，并且白球比黑球多1，所以恰好排到2012＋2＝2014（层），每层白球比上层黑球多2个，则白球应少排1个，所以白球是2×2014－1－1＝4026（个）。
8.将奇数1、3、5、7、9、……按下表排列成五列。
1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 2533 35 37 39……例如：19排在第3行第3列，37排在第5行第4列。
那么2011排在第几行第几列？【参考答案】首先要算出2011这个数是这个数列中的第几个数。
（2011＋1）÷2＝1006，由1，23，4，5，67，8，9，10，11，1213，14，15，16，17，18，19，20……上表可看出，每行有4个数，而1006÷4＝251……2。
就是说第1006个数是第252行中从右往左数第二个。
偶数行的数是从小到大依次排列在第4、3、2、1列的，因此2011这个数排在第252行第3列。
9. 把正整数按以下方法排列，相信你能发现这些数字的排列方法。
1 2 5 10 17 ……4 3 6 11 18 ……9 8 7 12 19 ……16 15 14 13 20 ……25 24 23 22 21 ……………………如图，比如第5列第2行的数是18，可以记作为（5，2）；则（11，7）所表示的数字是多少？2013可以记作（ ， ）？【参考答案】第一行第11个数是1＋1＋3＋…＋19＝101，那么第11列第7个数是101＋7－1＝107，即（11，7）表示的数是107.又1＋（1＋2n －1）×n÷2＝1＋n 2，又1＋452＝2025＞2013，1＋442＝1936＜2013，2013－1936＝76，（45＋45－1）－76＝13，所以2013在第13列第45行，可以记作（13，45）。
10. 现有如下数字塔：（1）第10行有多少个数？（2）第100行最后一个数是多少？12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16… … … … … … … …【参考答案】（1）2n-1=2×10-1=19（个）（2）1002=1000011. 一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________．【参考答案】)4()2(4)2()2222++=-++n n n n n （12. 有一串数，第100行的第六个数是 。
【参考答案】第1行最后一个数是1×2=2；第2行最后一个数是2×3=6；第3行最后一个数是3×4=12；…第99行最后一个数是99×100=9900，第100行第一个数为9901，第二个数是9902，…第6个数是9906。
13.将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，2处拐一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯…，问拐第20个弯的地方是哪个数？【参考答案】第一个拐弯为2；第三个拐弯为3；第三个拐弯为5；第四个拐弯为7；第五个拐弯为10；第六个拐弯为13；第七个拐弯为17；第八个拐弯为21；...第20个拐弯为：1+（1+2+3+4+ (10)×2=111。
14. 70个数排成一列，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一列数最左边的几个是这样的：0、1、3、8、21……，问最右边的一个数被6除余几？【参考答案】余数的规律：0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5、0、1、3、…除第一个数和最后一个数外，每个余数的3倍除以6的余数等于它两边两个数之和除以6的余数。
70÷12=5（个周期）…10，第10个余数是4。
15.将五位数“12345”重复写403次组成一个2015位数：“123451234512345……”，从左往右删去这个数中所有位于奇数位上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位的数字；按上述规则一直删下去，直到剩下一位数为止，则最后剩下的数字是多少？【参考答案】第一次操作剩下的数是21的倍数；第二次操作剩下的数是22的倍数；第三次操作剩下的数是23的倍数；……第十次操作剩下的数是210＝1024的倍数；第十一次操作剩下的数是211＝2048的倍数。
显然，最后剩下的一位数应是第1024位上的数字。
1024÷5＝204……4，最后剩下的是第205个周期上的第4个数字：4.16.在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的21，得到25和57两个数，看作第二次操作；……第n 次操作就在上一次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的n1。
经过n 次操作后所有数之和记作n S ，那么10S 等于多少？【参考答案】观察发现，第一次比开始增加4，第二次比第一次增加6，第三次比第二次增加8……,第十次比第九次增加22，10S ＝4＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＋22＝138.17.某小区按照分期付款的方式福利售房，政府给予一定的贴息。
小明家购得一套现价为12万的房子，购房时首期（第一年）付款3万元，从第二年起，以后每年应付房款5000元与上一年剩余利息的和。
设剩余欠款年利率为0.4%。
请将第三年、第十年应付房款填入不表格。
年份 第一年 第二年 第三年 …第十年 交房款（元） 30000 5360 …【参考答案】年份 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 第六年 第七年 第八年 第九年 第十年… 交房款（元）30000 5360 5340 5320 5300 5280 5260 5240 5220 5200 … 第三年：5000＋90000×0.4%＝5360（元），第四年5000＋85000×0.4%＝5340（元），第五年5000＋80000×0.4%＝5320（元），…第十年5000＋50000×0.4%＝5200（元）。