第二章定解问题.
什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
定解条件和定解问题
定解条件和定解问题含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程,常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。
方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。
方程(组)中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程(组）的阶数。
如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的,否则就称为非线性的。
非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性.一、定解条件给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。
通解只要求满足方程,即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。
特解除了要求满足方程还要满足给定的外加(特殊)条件。
对偏微分方程也是如此,换句话说,只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。
描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件(或边值条件),他们统称为定解条件.初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件.边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件,即描述物理过程边界状态的数学条件。
定解条件：初始条件和边界条件的统称。
非稳态问题:定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。
1、弦振动方程 （ 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>）初始条件是指初始时刻（0t =)弦的位移和速度。
若以()x ϕ,()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为：边界条件是指弦在两端点的约束情况,一般有三种类型。
(1)第一类边界条件(狄利克雷(D ｉｒi ｃhl ｅt)边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ,则边界条件为：(0,)(0,)u t g t =或 (,)(,)u l t g l t =当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。
数学物理方程-福州大学-江飞-2.1热传导方程及其定解问题的导出
n
k
u n
k1 u
u1 uΒιβλιοθήκη k k1u nu1
一般形式：u
u n (x,y,z)
g(x, y, z,t)
或
u
u n
g
泛定方程：u t
a2
2u x2
2u y2
2u z2
f
柯 西
初始条件 u
a2u f
问 题
t0
初 边
u g
值边
热管道 1D : ut a2uxx f
t1
则有热源的热传导方程为 ut a2u f a2u F / c .
2. 扩散方程的导出
扩散物从浓度高流向浓度低
* Nerst扩散定律
在该点的扩散系数
扩散物在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷
小面积dＳ的质量dm与扩散物浓度沿曲面dＳ法线
方向的方向导数N 成正比，即
n
t1,t2
由能量守恒：Q流入 Q吸收
t2 k(x, y, z) udSdt
t1
n
N-L公式及交换下积分次
c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y序, z,t1)]dxdydz
t2 t1
ctudxdydzdt
利用高维N-L积分公式，
左端 t2 k(x, y, z) udSdt
dm D(x, y, z) N dSdt
n
因此类似热方程推导：
t2 D(x, y, z) NdSdt
t1
n
(N(x, y, z,t2) N(x, y, z,t1))dxdydz
tN(x, y, z,t) x DxN x DyN x DzN
定解问题
2本征（特征）值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。
这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。
求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。
量子力学中的本征值问题经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。
任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。
而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。
每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。
3分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，而变系数偏微分方程则不一定。
2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量分离的解。
6分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。
这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。
713非齐次方程—有界弦的受迫振动考虑有界弦的受迫振动，即研究定解问题：容易知道，直接应用分离变量法行不通(?)。
()()()()()()()()()()()[]()2,,0,,0,0,0,,0, 0,0,,0. 0,tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=+∈∈∞⎪⎪==≥⎨⎪==∈⎪⎩分离变量法处理问题的程序1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件是非齐次的，还要对边界条件进行处理。
3第二章-有限差分方法基础
2.1.1 基本方程和定解问题
u t
2u x2
( 0)
求解域： (x, t) [0,1][0, ]
(2.1.1)
初始条件： u(x, 0) f (x)
边界条件： u(0, t) a(t), u(1, t) b(t)
(2.1.2)
方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。
根据数学分析中的知识，我们知道
2u (x,t) lim u(x x,t) 2u(x,t) u(x x,t)
x2
x0
x2
所以，二阶导数可以近似为
2u
x
2
n
k
un k 1
2ukn x2
ukn
un k 1
2ukn
un k 1
称为二阶中心差分。
容易证明：
un k 1
2ukn
un k 1
t
)
ut
(
x,
t
)
lim
t 0
u(
x,
t
t
)u 2t
(
x,
t
t
)
其中，lim 后面的项称为差商(difference quotient)。 t 0
当t足够小时，可以用差商来近似导数。
即：
u(x,t t) u(x,t)
ut (x,t)
t
u(x,t) u(x,t t)
ut (x,t)
t
u(x,t t) u(x,t t)
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第二章 有限差分方法基础
§2.1 有限差分方法概述 §2.2 导数的数值逼近方法 §2.3 差分格式的性质 §2.4 发展方程的稳定性分析
第二章 分离变量法2
第三步：求特解，并叠加出一般解
求解了特征值问题后，将每特征值n 代入函数T (t )满足的方程 T ' (t ) 2 a 2T (t ) 0
可得 Tn (t ) Ane
2 2 n at
从而我们得到满足边界条件的一组特解 u n ( x , t ) Cn e
2 2 n a t
2
u t 0 ( x), 0 x l.
分析 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题仍用分离变量法求解。
第一步：分离变量
类似§ 2.1中步骤，设u( x, t ) X ( x)T (t )，代入上面的方程可得
X '' ( x) T ' (t ) 2 X ( x) a T (t )
2 (2k 1) Ck u0 sin d l 0 2l
l
举例
2 u u 2 x (0, l ), t 0 t a x 2 , u0 x [0, l ] u ( x, 0) x, l u (0, t ) u x (l , t ) 0, t 0
2 2 a 2 (n 1 (n 1 ) (1)n 2 2 ) u ( x, t ) 2 exp t sin 2 1 2 n 0 (n 2 ) l l
•
tan l
1 令 l , tan hl
上方程的解可以看作曲线y1 tan ，y2 交点的横坐标，如图：
显然它们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。这里只取正根 1 , 2 n , 于是得到特征值问题的无穷个特征值 n n2 ( n ) 2 , (n 1,2,3...) l 及相应的特征函数 X n ( x) Bn sin n x
《数理方程》第二章分离变量解法
解：设 u( x, t ) = X ( x)T (t ) 得到
T ′′( t ) X ′′( x ) = = −λ 2 a T (t ) X ( x)
如果
λ >0 则
X "+λX = 0 X ′(0) = 0 X ′(l ) = 0
X ( x ) = C cos λ x + D sin λ x
12
现确定积分常数
第二章 定解问题的分离变量解法
1
第一节 一维齐次方程、齐次边界条件混合 问题的分离变量解法
⎧utt = a 2 u xx , 0 < x < l, t > 0 ⎪ (Ι) ⎨u |x =0 = 0, u |x =l = 0, t≥0 ⎪u | = ϕ ( x), u | = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l t t =0 ⎩ t =0
固有值问题
20
第二步：求固有值 λ 和固有函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
n 2π 2 λn = ( n = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅) l
⎛ nπ a ⎞ Tn′(t ) + ⎜ ⎟ Tn (t ) = 0 ⎝ l ⎠
Tn (t ) = Cn e
这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波 ， 其振幅 An sin nπ x 随不同的时间 t 0 而不同。 l
10
nπ x0 • 对任意一点 x , U n ( x0 , t ) = An sin(ωn t + δ n )sin 0 l
这表示在任意一点
x0 处都作简谐振动。
n=4
• 驻波
o
nπ U n ( x, t ) = An sin(ωn t + δ n )sin x l
数学物理方程课后参考答案第二章
第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xuk t s x u k t s x u k dQ x x x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
§2.1 定解条件
2、定解问题的适定性
在求解的偏微分方程的定解问题时，必须首先确定三 个关键问题： 1、定解问题存在性————有解； 如果定解条件过多，互相矛盾，则定解问题无解。定解 问题有解，要求所给定解条件数合适，且互相自洽，保 证定解的存在。 2、定解问题的唯一性————解是唯一的； 如果定解条件不足，则定解问题的解就不是唯一的。定 解问题如果要求有唯一解，则所给定解条件数就要合适、 充分，使得定解问题是唯一的。
K c
u ( x, t ) 0
2
①，系统被置于固定热源当中，即边界上的温度已知：
u(x,t)
S
(S , t)
②，通过边界单位时间流入系统内的热量已知，即：
q(x,t) n
xS
(S , t)
x S
根据Fourier定律： K u ( x , t ) n
u ( x , t ) t0 ( x ) , x V
2 2 例2、对于弦振动方程: u ( x , t ) tt u ( x , t ) 0
方程中存在时间的二次偏微分项，所以初始条件不但 要给出t=0时刻的温度分布即可，还要给出t=0时刻的 弦振动的运动速度，即：
第二章 偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件
§2.2、定解问题的适定性
§2.3、偏微分方程的分类
1、定解条件
由受力分析得到的偏微分方程并不能唯一地确定系统 的运动，要完全确定系统的运动还必须给定系统的边界条 件和初始条件，一般来说，偏微分方程的通解含有多个待 定常数，只有给定合适的边界条件和初始条件，才能唯一 地确定这些待定常数。 (1)、在力学分析时，只考虑了介质内部的力学性质，并 没有考虑介质通过表面和外界进行的相互作用，因此， 微分方程只适合描述内部内部。 (2)、如果问题与时间有关，我们在进行力学分析时并没 有考虑介质的历史状况，所以严格来说，系统的解是系统 历史状态的函数。
数学物理方法习题解答完整
数学物理方法习题解答一、复变函数局部习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，那么上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，那么()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。
但33332200()(0)()lim lim ()()z z f z f x y i x y zx y x iy →→--++=++。
令y 沿y kx =趋于0，那么依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。
4、假设复变函数()z f 在区域D 上解析并满足以下条件之一，证明其在区域D 上必为常数。
〔1〕()z f 在区域D 上为实函数； 〔2〕()*z f 在区域D 上解析； 〔3〕()Re z f 在区域D 上是常数。
证明：〔1〕令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。
由于()z f 在区域D 上为实函数，所以在区域D 上(,)0v x y =。
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若 f 0
称为弦的自由振动，振动过程中不受外力。
utt a2uxx
齐次波动方程
事实上，除了以上一维波动方程，像薄膜振动（二维），电 磁场方程（三维）等，均属于波动方程：
utt a2u f (x, y, t)
uxx
uyy
2u x2
2u y 2
utt a22u a2 (uxx uyy uzz )
2 2 2 2 x2 y2 z2
三维拉普拉斯算符
补例：电磁场方程（三维波动方程）
已知：电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式是
D
(1)
Ε Bt
(2)
B 0
(3)
H j Dt (4)
D E B H j E
(x)utt (x 2x,t) F(x 1x,t)x T ux(x x,t) ux(x,t)
T2 sin 2 T1 sin 1 F(x 1x,t)x (x)utt (x 2x,t)
整理得
utt
(x
2 x, t )
T
Y
Y
F(x,t)
T2
M2
2
M1
1
2、分析：
A x x x
B
X
T1
x
xx
X
（1）确定研究对象：设 u(x,t) 为弦位移，则u满足规律所 求。为了研究u，在x位置处取x小段弦为研究对象。
（2）物理问题的数学抽象：
1）由于弦是“细长”的，所以 (x,t) t
忽略重力
2）由于弦“绷紧”于AB两点，这说明弦中各相邻部分之间有 拉力即“张力”作用；由于弦是“柔软”的，所以相邻小段张 力总是弦线的切线方向；
y
)
2u y 2
C(x, y)u
f (x, y)
齐次： f (x, y) 0
发展史:
(1)十八世纪初：Taylor: utt a2uxx f
(2)十九世纪中期，三类数理方程：
波动方程
utt a2u f
输运方程（热传导和扩散） ut Du f
稳定场方程（势场分布、平衡 温度场分布）
T (x,t) T (x) (t)
对x受力分析，由牛顿第二定律 得
T2 cos 2 T1 cos
T2 sin 2 T1 sin 1 F(x 1x,t)x (x)utt (x 2x, t) ( 2 1)
注意到
sin
第二章 定解问题
主要内容：
1、掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步 骤。 2、掌握三类典型数理方程的推导过程和建立 （导出）数理方程的一般方法，步骤。 3、正确写出一些典型物理问题的定解问题和定 解条件。
§2.1 引言
一、数学物理方程简介：
数学物理方程是指从物理问题中导 出的反映客观物理量在各个空间、时刻 之间相互制约关系的一些偏微分方程。 方程可以分为线性和非线性方程。
偏微分方程的基本概念：
u u u
mu
F(x1, x2,L
, xn,u, x1
, x2
,L
, xn
,L
, x1m1x2m2
L
xnmn
)
0
注意： （1）方程的阶数 （2）线性和非线性 （3）齐次和非齐次
m m1 m2 L mn
例如：
A(
x,
y)
2u x2
B(
x,
高阶方程：
utt
a
u2 xxxx
程： 浅水沟
KDV
: ut
uux
uxxx
0
等离子体
薛定谔方程： ih h2 U (r) h 2
二、数学物理方程的一般性问题:
（利用数理方程求解问题的一般步骤）
（1）确定定解问题。 泛定方程+定解条件=定解问题
3）由于弦作“微小”的横向振动，故相邻点沿振动方向位移的 差别很小，即
u | ux || x |= 1 无穷小量
Y
F(x,t)
M2
T2
2
ux2
M1
1
有了以上对问题的数学描述，下边我们 来具体推导方程
T1
x
xx
X
3、研究建立方程：
（1）任意段x受力：
x轴方向:
T1 cos 1 T2 cos 2
ux
(x
x, t ) x
ux
( x, t )
F(x
1x,t)
对上式两边取x0 时的极限
utt a2uxx f (x, t)
即：弦的微小横振动方程是一维的波动方程
其中： a2 T
表示振动在弦上的传播速度
f (x,t) F (x,t) 表示力密度，表示时刻t，作用于x处 的单位质量上的横向外力。
Y轴方向： T1 sin 1 T2 sin 2
Y
F(x,t)
M2
M1
1
T2
2
T1
x
xx
X
F (x 1x, t)x F为单位长度所受的外力
1
注意到在振动过程中
xx
xx
M¼1M2
1 (ux )2 dx dx x
x
x
即这一小段的长度在振动过程中可以看作是不变的。因此， 由胡克(Hooke)定律知张力和线度都不随 t 而变，即
（2）定解问题的求解: 行波法；分离变量法；积分变换法；格林函数
法；保角变换法。
（3）解的适定性。 适定性：即存在性、唯一性和稳定性。
§2.2 三类数理方程的导出
一、弦的横振动方程（波动方程的建立）
1、物理模型：
设有一根细长柔软的弦线，绷紧于A，B两点之间，在平衡 位置AB附近产生振幅极为微小的横振动，求这弦上各点的 运动规律。
tan tan2
ux 1 ux2
ux
sin 1 ux (x, t)
sin 2 ux (x x,t)
cos 1 1 sin2 1 1 cos 2 1 sin2 2 1
得：
T1 T2 T
T2 cos 2 T1 cos
u h
以上这三类方程，从方程本身来看，其特点是二阶线性偏微分方程。可以看出， 方程中它们都是关于空间的二阶偏导数，关于时间分别是二阶，一阶偏导数和与 时间无关。因此，这三类方程在数学上又是三类不同的方程，依次分别可以称为 双曲型、抛物型和椭圆型方程。
（3）十九世纪末到二十世纪初，其他方程：