相交线和平行线典型例题及强化训练(通用)

4.2 相交线和平行线典型例题

及强化训练

课标要求

① 了解对顶角，知道对项角相等。

② 了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意 义。

③ 知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点 画一条直线的垂线。 ④ 知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质

⑤ 知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已 知直线外一点画这条直线的平行线。

⑥ 体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离 典型例题

1. 判定与性质 例1判断题： 1） 不相交的两条直线叫做平行线。

（ ） 2） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（ ） 3） 两直线平行，同旁内角相等。

（ ） 4）

两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

（ ）

答案：（1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” （2） 错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 （3） 错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。 （4）错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等” 例2已知：如图，AB// CD 求证：/ B+Z D=Z BED 分析：可以考虑把/ BED^成两个角的 如图5,过E 点引一条直线EF// AB 则有Z B= 1,再设法证明Z D=Z 2,需证

EF// CD 这可通过已知 AB// CD 和EF// AB 到。

证明：过点E 作EF// AB 则Z B=Z 1 （两 线平行，内错角相等）

••• AB// CD （已知），

又••• EF// AB （已作），

••• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行） •••Z D=Z 2 （两直线平行，内错角相等）。

和

Z

得 直

o

平

<536

o

o o o

F 尸

B o A

o o F

E

A B

C o

A

B F

G H E

C

D

（圍9）

o

又 o

又 直线平

•••/ FED / D=180 （两直线平行，同旁内

角互

为此 辅助 B- / Do

小发生 --------- D （等式的性平

C

° 又 v/ BED / 1+/ 2,

•••/ BED / B+/ D （等量代换）。

变式 1 已知：如图 6, AB// CD ,求证：/ BED=360 - （/ B+/ D ） 分析：此题与例1的区别在于E 点的位置及结论。我们通常所说的/ BED 都是指小

•••/ 1+/ 2+/D=180 o

•••/ 1+/2+/D- （/ 1+/ B ） =180° -180 ° •••/ 2=/ B- / D （等式的性质）。

于平角的角，如果把/ BED 看成是大于平角的角，可以认 题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作 线，不难解决此题。

证明：过点E 作EF / AB 则/ B+/仁180°（两直线 行，同旁内角互补）

v AB// CD （已知）， • EF / AB （已作），

•• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行） ••/

D+/2=180°（两直线平行，同旁内角互补）

••/ B+/ 1 + / D+/ 2=180° +180°（等式的性质） .•/

BED / 1+/ 2， •• / B+/ D+/ BED=360 （等量代 ••/ BED==360 - （/ B+/ D ）（等式 变式2已知：如图7, AB// CD 求证：/ BED / 分析：此题与例1的区别在于E 点的位置不同， 也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：过点E 作EF / AB 则/ FEB=/ B （两直线平行，内错角相

等）。 v AB// CD （已知）， 又v EF / AB （已作）， ••• EF//CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 •••/ FED / D （两直线平行，内错角相等） v/ BED / FED-/ FEB

•••/ BED / D-/ B （等量代换）。

变式3已知：如图8，AB// CD 求证：/ BED / 分析：此题与变式2类似，只是/ B 、/ D 的大 了变化。

证明：过点E 作EF / AB 则/ 1+/ B=180 （两 行，同旁内角互补） v AB// CD （已知）， 又v EF / AB （已作），

• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相

换） 的性质） D- / B o

从而结论

即/ BED" B- / Do

例3 已知：如图9, AB// CD / ABF" DCE 求证：/ BFE=/ FEC

证法一：过F点作FG// AB，则"ABF" 1（两直线平行，内错角相等）过E点作EH// CD，则"DCE" 4 （两直线平行，内错角相等）。

••• FG// AB （已作），AB// CD （已知），

••• FG// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。

又••• EH// CD （已知），

••• FG// EH （平行于同一直线的两条直线互相平行）。

•••" 2=" 3 （两直线平行，内错角相等）。" _ -=

•••" 1+" 2=" 3+" 4（等式的性质）'

即"BFE" FEC ......... ---------------------- D 证法二：如图10,延长BF、DC相交「一•于G 点。

T AB// CD（已知），

•••"仁"ABF（两直线平行，内错角相等）

又•••" ABF=/ DCE（已知），

仁"DCE（等量代换）。

• BG// E（同位角相等，两直线平行）BFE"

FEC（两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE AB相交于H点（如图11），

也可用同样的方法证明（过程略）

证法三：（如图12）连结BC

T AB// CD（已知），

ABC" BC（两直线平行，内错角相

又ABF=/ DCE（已知），

•" ABC" ABF =" BCD" DCE（等式的

即/ FBC" BCE

•BF// EC（内错角相等，两直线平行）＜

BFE=/ FEC（两直线平行，内错角相等）强化训练

一. 填空

1. 完成下列推理过程

①T" 3= " 4 （已知），

//等）o 性

B

( )