两个n位大整数相乘算法
计算机算法设计与分析(第4版)[王晓东][电子教案]第2章
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2.1 递归的概念
例5 整数划分问题 前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因 而容易用递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关 系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个 数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
A(1,0) 2 A(0, m) 1 m0 A(n,0) n 2 n2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1) n, m 1
2.1 递归的概念
例3 Ackerman函数 前2例中的函都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
算法总体思想
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
1 q ( n, n ) q ( n, m ) 1 q (n, n 1) q ( n, m 1) q (n m, m)
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
n 1, m 1 nm nm n m 1
2.1 递归的概念
例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这 些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号 为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍 按同样顺序叠臵。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中 任一塔座上。
整数相乘算法
整数相乘算法整数相乘算法是计算机科学中的一个重要问题，它涉及到了很多领域，比如高精度计算、密码学、图像处理等。
在本文中，我们将介绍几种常见的整数相乘算法，并对它们的时间复杂度和空间复杂度进行分析。
一、暴力枚举法暴力枚举法是最简单直接的一种整数相乘算法。
它的思路很简单：将两个整数的每一位都相乘，再将结果累加起来。
具体实现时，可以使用两个嵌套循环分别遍历两个整数的每一位，然后将它们相乘并累加到结果中。
这种算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为两个整数的位数之和。
二、分治法分治法是一种高效的整数相乘算法。
它的思路是将大问题划分成小问题，并递归地解决小问题。
具体实现时，可以将两个整数分别拆成高位和低位两部分，然后用公式(a1 * 10^n + a2) * (b1 * 10^n + b2)= (a1 * b1) * 10^(2n) + ((a1 + a2) * (b1 + b2) - a1 * b1 - a2 * b2) * 10^n + a2 * b2来计算它们的乘积。
这种算法的时间复杂度为O(n^log3)，其中n为两个整数的位数之和。
三、Karatsuba算法Karatsuba算法是一种优化版的分治法。
它的思路是将两个整数分别拆成三部分，然后用公式(a1 * 10^n + a2) * (b1 * 10^n + b2) = (a1 * b1) * 10^(2n) + ((a1 + a2) * (b1 + b2) - a1 * b1 - a2 * b2) *10^n + a2 * b2来计算它们的乘积。
具体实现时，可以将(a1+a2)*(b1+b2)-a1*b1-a2*b2递归地计算出来，然后再用这个结果计算乘积。
这种算法的时间复杂度为O(n^log23)，其中n为两个整数的位数之和。
四、FFT算法FFT（快速傅里叶变换）算法是一种高效的整数相乘算法。
它利用了傅里叶变换中的性质，将乘积转化成卷积，然后使用快速傅里叶变换来计算卷积。
大整数乘法
大整数乘法问题描述通常，在分析一个算法的计算复杂性时，都将加法和乘法运算当作是基本运算来处理，即将执行一次加法或乘法运算所需的计算时间当作一个仅取决于计算机硬件处理速度的常数。
这个假定仅在计算机硬件能对参加运算的整数直接表示和处理时才是合理的。
然而，在某些情况下，我们要处理很大的整数，它无法在计算机硬件能直接表示的范围内进行处理。
若用浮点数来表示它，则只能近似地表示它的大小，计算结果中的有效数字也受到限制。
若要精确地表示大整数并在计算结果中要求精确地得到所有位数上的数字，就必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。
请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算。
参考解答大整数的乘法问题描述参考解答设X和Y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY。
我们可以用小学所学的方法来设计一个计算乘积XY的算法，但是这样做计算步骤太多，显得效率较低。
如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要作O(n2)步运算才能求出乘积XY。
下面我们用分治法来设计一个更有效的大整数乘积算法。
图6-3 大整数X和Y的分段我们将n位的二进制整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位(为简单起见，假设n是2的幂)，如图6-3所示。
由此，X=A2n/2+B ，Y=C2n/2+D。
这样，X和Y的乘积为：XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD (1)如果按式(1)计算XY，则我们必须进行4次n/2位整数的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超过n位的整数加法(分别对应于式(1)中的加号)，此外还要做2次移位(分别对应于式(1)中乘2n和乘2n/2)。
所有这些加法和移位共用O(n)步运算。
设T(n)是2个n位整数相乘所需的运算总数，则由式(1)，我们有:(2)由此可得T(n)=O(n2)。
因此，用(1)式来计算X和Y的乘积并不比小学生的方法更有效。
要想改进算法的计算复杂性，必须减少乘法次数。
两个n位大整数相乘算法
求最大元和次大元1。
问题描述从多个数中一次性查找出元素最大的值和最小值,查找元素规模即元素的个数n,用分治的思想编制程序,实现分治的最大元和最小元求法。
进一步改进算法，使之能一次性求出最大和和次大元（即第二大元素）. 2.算法设计思想及描述分治发的基本思想是将一个规模为n 的问题分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立与原问题相同。
递归地解决这些问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
基于课堂的分析知道，对于本问题k 的值取为2，这样可以使子问题的规模是相同的，有利于算法实现。
为平衡分治时子问题的规模，这里约定需要查找元素的规模n 是2的幂次方。
用数组存储需要查找的元素，用结构体存储返回的最大元和最小元。
每次得到局部的最大元和局部次大元，然后局部最大元和最大元比较得到新的局部最大元，次大元和次大元比较得到新的局部次大元.深入分析，这种方式局部次大元是错误的.如两组元素中，a1〉b1，a2〉b2,当然a1和a2中较大的是新的局部最大元，但是b1和b2中较大的元素不是这四个元素中第二大的。
这样的方法漏掉了b1可能是次大元的情况,也就是说所有的元素中的次大元可能在与最大元比较的时候被漏掉了。
弥补的方法就是每次将每个元素比自身小的元素都用一个淘汰数组保存起来，最后次大元就是最大元的淘汰数组中第二大的那个元素。
3.算法分析运用分治算法解决此问题，是因为这种方法的优越行,下面通过时间复杂度的比较来说明.通常算法，设置一个变量,等于需要比较的数组的第一个元素,然后依次与后面的n —1经行比较,需要比较n-1次得到最大元。
同理，求得最小元的比较次数仍然是n —1次。
设()n T 表示比较的次数则对于这种算法得到()n T 的值为()22n T n =-分治算法求最大元比较1()2()22T n nT ⎧⎪=⎨+⎪⎩ 解方程结果为() 1.52T n n =-,虽然二者都是线性增长的，可是增长率要小一些。
两个n位大整数相乘算法
求最大元和次大元1.问题描述从多个数中一次性查找出元素最大的值和最小值，查找元素规模即元素的个数n,用分治的思想编制程序，实现分治的最大元和最小元求法。
进一步改进算法，使之能一次性求出最大和和次大元（即第二大元素）。
2.算法设计思想及描述分治发的基本思想是将一个规模为n 的问题分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立与原问题相同。
递归地解决这些问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
基于课堂的分析知道，对于本问题k 的值取为2，这样可以使子问题的规模是相同的，有利于算法实现。
为平衡分治时子问题的规模，这里约定需要查找元素的规模n 是2的幂次方。
用数组存储需要查找的元素，用结构体存储返回的最大元和最小元。
每次得到局部的最大元和局部次大元，然后局部最大元和最大元比较得到新的局部最大元，次大元和次大元比较得到新的局部次大元。
深入分析，这种方式局部次大元是错误的。
如两组元素中，a1>b1,a2>b2,当然a1和a 2中较大的是新的局部最大元，但是b1和b2中较大的元素不是这四个元素中第二大的。
这样的方法漏掉了b1可能是次大元的情况，也就是说所有的元素中的次大元可能在与最大元比较的时候被漏掉了。
弥补的方法就是每次将每个元素比自身小的元素都用一个淘汰数组保存起来，最后次大元就是最大元的淘汰数组中第二大的那个元素。
3.算法分析运用分治算法解决此问题，是因为这种方法的优越行，下面通过时间复杂度的比较来说明。
通常算法，设置一个变量，等于需要比较的数组的第一个元素，然后依次与后面的n-1经行比较，需要比较n-1次得到最大元。
同理，求得最小元的比较次数仍然是n -1次。
设()n T 表示比较的次数则对于这种算法得到()n T 的值为 ()22n T n =-分治算法求最大元比较1()2()22T n n T ⎧⎪=⎨+⎪⎩解方程结果为() 1.52T n n =-,虽然二者都是线性增长的，可是增长率要小一些。
大整数乘法
为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数：
上式可改写为 X*Y = (A*10^(n/2) + B)*( C*10^(n/2) + D) = A*C*10^n + A*D*10^(n/2) + B*C*10^(n/2) + B*D = A*C*10^n + ((A+B)(C+D) – A*C – B*D)*10*(n/2) + B*D 或者 = A*C*10^n + ((A-B)(D-C) + A*C + B*D)*10*(n/2) + B*D
时间复杂度：
Java
代 码 实 现 ：
尽管这个算法拥有渐进效率的优势，但其实际性能 呢？
当然是依赖于计算机系统和算法的程序实现质量。 在机器上计算8位十进制数时，分治算法的速度均快于传 统方法，并且在计算超过300位十进制数，其速度是传统 算法的两倍之多，这一优势对于现代加密算法是非常重要 的。
2,分而治之 将x和y分为以下两部分：
n/2
n/2
X=
A
B
Y=
C
D
则： X = A*10^(n/2) + B Y = C*10^(n/2) + D
X*Y = (A*10^(n/2) + B)*( C*10^(n/2) + D) = A*C*10^n + A*D*10^(n/2) + B*C*10^(n/2) + B*D
分治算法是1960由23岁的俄罗斯数学家Anatoly Karatsuba发现的，这证明了当时任何整数相乘算法的时间 效率一定是属于Ω（n^2)的观点是错误的.这个发现激励了 研究人员去寻找(渐进)更快的算法来解决这类(或其他)代 数问题.
算法分析设计快速FOURIER变换算法报告
sqrmax = 0; for (i=0; i<n; i++) if (i != k) { sqr = yre[i]*yre[i] + yim[i]*yim[i]; sqrsum = sqrsum + sqr; if (sqr > sqrmax) sqrmax = sqr; } sqrsum = sqrsum/n; /* division by n*n in two stages to avoid */ sqrsum = sqrsum/n; /* integer overflow !!!! */ sqrmax = sqrmax/n; sqrmax = sqrmax/n; if (sqrsum sqrsum else sqrsum if (sqrmax sqrmax else sqrmax > 0) = 10*log10(sqrsum); = -1000; > 0) = 10*log10(sqrmax); = -1000;
} } return; } //完整改进版 1、 #include <math.h> #include <float.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <malloc.h> #include <time.h> #include <sys\timeb.h> #define maxIndex 10000L
快速 FOURIER 变换算法
一、方法一般原理 快速傅氏变换（ FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、 偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。 一个分治法将规模为 n 的问题分成 k 个规模为 n／m 的子问题去解。设分解阀值 n0=1， 且 adhoc 解规模为 1 的问题耗费 1 个单位时间。 再设将原问题分解为 k 个子问题以及用 merge 将 k 个子问题的解合并为原问题的解需用 f(n)个单位时间。用 T(n)表示该分治 法解规模为|P|=n 的问题所需的计算时间，则有：
java大数乘法
java大数乘法Java大数乘法Java是一种高级编程语言，它的强大之处在于它可以处理各种类型的数据，包括大数。
在Java中，大数是指超过了基本数据类型的范围的数字，例如1000位的整数。
在计算机科学中，大数乘法是一种重要的算法，它可以用来计算大数的乘积。
本文将介绍Java中的大数乘法算法。
一、大数乘法的基本原理大数乘法的基本原理是将两个大数分别拆分成若干个小数，然后将小数相乘，最后将结果相加得到最终的乘积。
例如，要计算123456789012345678901234567890的平方，可以将它拆分成123456789012345678901234567和890，然后将这两个数相乘，最后将结果相加得到最终的乘积。
二、Java中的大数乘法实现在Java中，可以使用BigInteger类来实现大数乘法。
BigInteger类是Java中的一个内置类，它可以处理任意长度的整数。
下面是一个使用BigInteger类实现大数乘法的示例代码：```import java.math.BigInteger;public class BigMultiplication {public static void main(String[] args) {BigInteger a = new BigInteger("123456789012345678901234567");BigInteger b = new BigInteger("890");BigInteger c = a.multiply(b);System.out.println(c);}}```在上面的代码中，我们首先创建了两个BigInteger对象a和b，分别表示要相乘的两个大数。
然后，我们使用multiply()方法将它们相乘，得到一个新的BigInteger对象c，表示它们的乘积。
最后，我们使用println()方法将结果输出到控制台。
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求最大元和次大元1.问题描述从多个数中一次性查找出元素最大的值和最小值，查找元素规模即元素的个数n,用分治的思想编制程序，实现分治的最大元和最小元求法。
进一步改进算法，使之能一次性求出最大和和次大元（即第二大元素）。
2.算法设计思想及描述分治发的基本思想是将一个规模为n 的问题分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立与原问题相同。
递归地解决这些问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
基于课堂的分析知道，对于本问题k 的值取为2，这样可以使子问题的规模是相同的，有利于算法实现。
为平衡分治时子问题的规模，这里约定需要查找元素的规模n 是2的幂次方。
用数组存储需要查找的元素，用结构体存储返回的最大元和最小元。
每次得到局部的最大元和局部次大元，然后局部最大元和最大元比较得到新的局部最大元，次大元和次大元比较得到新的局部次大元。
深入分析，这种方式局部次大元是错误的。
如两组元素中，a1>b1,a2>b2,当然a1和a2中较大的是新的局部最大元，但是b1和b2中较大的元素不是这四个元素中第二大的。
这样的方法漏掉了b1可能是次大元的情况，也就是说所有的元素中的次大元可能在与最大元比较的时候被漏掉了。
弥补的方法就是每次将每个元素比自身小的元素都用一个淘汰数组保存起来，最后次大元就是最大元的淘汰数组中第二大的那个元素。
3.算法分析运用分治算法解决此问题，是因为这种方法的优越行，下面通过时间复杂度的比较来说明。
通常算法，设置一个变量，等于需要比较的数组的第一个元素，然后依次与后面的n-1经行比较，需要比较n-1次得到最大元。
同理，求得最小元的比较次数仍然是n-1次。
设()n T 表示比较的次数则对于这种算法得到()n T 的值为()22n T n =-分治算法求最大元比较1()2()22T n nT ⎧⎪=⎨+⎪⎩ 解方程结果为() 1.52T n n =-,虽然二者都是线性增长的，可是增长率要小一些。
实际编程时的实现有细微差距。
另外，求最大元，次大元的时候次大元总是在最大元的淘汰数组中，所以求次大元时，多了从最大元数组中找次大元的情形，n取对数，增长率仍然是比较小的。
4.代码#include "iostream.h"#define N 10int max(int a,int b){return((a>b)?a:b);}int min(int a,int b){return((a<b)?a:b);}void Search(int a[],int *max0,int *second0,int n){int g[30];int i,m;int max1,max2,second1,second2;if(n==1){*max0=a[0];*second0=a[0];}else if(n==2){*max0=max(a[0],a[1]);*second0=min(a[0],a[1]);}else{m=n/2;for(i=0;i<m;i++)g[i]=a[i];Search(g,&max1,&second1,m);for(i=0;i<n-m;i++)g[i]=a[i+m];Search(g,&max2,&second2,n-m);*max0=max(max1,max2);*second0=max(min(max1,max2),max(second1,second2));}}void main(){cout<<"用分治法同时求最大元和次大元\n";int a[N];int i,max,second;cout<<"输入"<<N<<"个数:\n";for(i=0;i<N;i++)cin>>a[i];Search(a,&max,&second,N);cout<<"输出结果:\n";cout<<"max="<<max<<"\n";cout<<"second="<<second<<"\n";}两个n位大整数相乘算法（1）问题的描述通过分治法求两个大整数的乘法（2）算法设计思想及算法分析设X和Y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY。
我们可以用小学所学的方法来设计一个计算乘积XY的算法，但是这样做计算步骤太多，显得效率较低。
如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要作O(n2)步运算才能求出乘积XY。
下面我们用分治法来设计一个更有效的大整数乘积算法。
x = |A|B| y=|C|D| 大整数X和Y的分段我们将n位的二进制整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位(为简单起见，假设n是2的幂)，如上由此，X=A2n/2+B ，Y=C2n/2+D。
这样，X和Y的乘积为：XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD (1)如果按式(1)计算XY，则我们必须进行4次n/2位整数的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超过n位的整数加法(分别对应于式(1)中的加号)，此外还要做2次移位(分别对应于式(1)中乘2n和乘2n/2)。
所有这些加法和移位共用O(n)步运算。
设T(n)是2个n位整数相乘所需的运算总数，则由式(1)，我们有:T(1)=1(2)由此可得T(n)=O(n2)。
因此，用(1)式来计算X和Y的乘积并不比小学生的方法更有效。
要想改进算法的计算复杂性，必须减少乘法次数。
为此我们把XY写成另一种形式:XY=AC2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2n/2+BD (3)虽然，式(3)看起来比式(1)复杂些，但它仅需做3次n/2位整数的乘法(AC，BD和(A-B)(D-C))，6次加、减法和2次移位。
由此可得:T(1)=1T(n)=3T(n/2)+cn (4)用解递归方程的套用公式法马上可得其解为T(n)=O(n log3)=O(n1.59)。
利用式(3)，并考虑到X 和Y的符号对结果的影响，我们给出大整数相乘的完整算法MULT如下:function MULT(X，Y，n); {X和Y为2个小于2n的整数，返回结果为X和Y的乘积XY} beginS:=SIGN(X)*SIGN(Y); {S为X和Y的符号乘积}X:=ABS(X);Y:=ABS(Y); {X和Y分别取绝对值}if n=1 thenif (X=1)and(Y=1) then return(S)else return(0)else beginA:=X的左边n/2位;B:=X的右边n/2位;C:=Y的左边n/2位;D:=Y的右边n/2位;ml:=MULT(A,C,n/2);m2:=MULT(A-B,D-C,n/2);m3:=MULT(B,D,n/2);S:=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);return(S);end;end;上述二进制大整数乘法同样可应用于十进制大整数的乘法以提高乘法的效率减少乘法次数。
下面的例子演示了算法的计算过程。
设X=314l,Y=5327，用上述算法计算XY的计算过程可列表如下，其中带'号的数值是在计算完成AC，BD，和(A-B)(D-C)之后才填入的。
X=3141 A=31 B=41 A-B=-10Y=5327 C=53 D=27 D-C=-26AC=(1643)'BD=(1107)'(A-B)(D-C)=(260)'XY=(1643)'104+[(1643)'+(260)'+(1107)']102+(1107)'=(16732107)'A=31 A1=3 B1=1 A1-B1=2C=53 C1=5 D1=3 D1-C1=-2A1C1=15 B1D1=3 (A1-B1)(D1-C1)=-4AC=1500+(15+3-4)10+3=1643B=41 A2=4 B2=1 A2-B2=3D=27 C2=2 D2=7 D2-C2=5A2C2=8 B2D2=7 (A2-B2)(D2-C2)=15BD=800+(8+7+15)10+7=1107|A-B|=10 A3=1 B3=0 A3-B3=1|D-C|=26 C3=2 D3=6 D3-C3=4A3C3=2 B3D3=0 (A3-B3)(D3-C3)=4(A-B)(D-C)=200+(2+0+4)10+0=260（3）代码/************************************************************************///函数功能：分治法求两个N为的整数的乘积//输入参数：X,Y分别为两个N为整数//算法思想：//时间复杂度为：T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)/************************************************************************/#define SIGN(A) ((A > 0) ? 1 : -1)double doubleegerMultiply(double X, double Y, double N){double sign = SIGN(X) * SIGN(Y);double x = abs(X);double y = abs(Y);if((0 == x) || (0 == y))return 0;if (1 == N)return x*y;else{double XL = x / (double)pow(10., (double)N/2);double XR = x - XL * (double)pow(10., N/2);double YL = y / (double)pow(10., (double)N/2);double YR = y - YL * (double)pow(10., N/2);double XLYL = IntegerMultiply(XL, YL, N/2);double XRYR = IntegerMultiply(XR, YR, N/2);double XLYRXRYL = IntegerMultiply(XL - XR, YR - YL, N/2) + XLYL + XRYR;return sign * (XLYL * (double)pow(10., N) + XLYRXRYL * (double)pow(10., N/2) + XRYR);}}double _tmain(double argc, _TCHAR* argv[]){double x = 1234;double y = 4321;cout<<"x * y = "<<IntegerMultiply(x, y, 4)<<endl;cout<<"x * y = "<<x*y<<endl;return 0;}。