δ函数的物理性质分析
Diracδ函数及其性质
查找定积分表可得到：
sin 2 x ∫−∞ x 2 dx = π
∞
于是有：
2 2 ∞ sin αx ∞ sin (αx ) sin 2 αx 1 ∫−∞ αlim παx 2 dx = αlim ∫−∞ παx 2 dx = π αlim ∫−∞ (αx) 2 d (αx) = 1 →∞ →∞ →∞ ∞
lim[
α →∞
α sin αx sin αx ] = lim [ ]=0 α →∞ π πx αx
当α>0时，查找定积分表可得到：
sin αx ∫−∞ x dx = π
∞
所以有：
∞ sin αx sin αx ∫−∞ αlim πx dx = αlim ∫−∞ πx dx = 1 →∞ →∞ ∞
1 [δ ( x − a ) + δ ( x + a )](a > 0) 2a 1 δ [( x − a)( x − b)] = [δ ( x − a ) + δ ( x − b)](a ≠ b) | a −b|
δ (x 2 − a 2 ) =
| x | δ ( x ) = δ ( x) 1 ∞ δ [sin(πx )] = ∑ δ ( x − n) π n =−∞
3π δ ( r − y 0 ,θ − ) 2 δ (r − r0 ,θ − θ 0 )
δ(r-x0，θ-π)
θ 0 = arctan(
表1
y0 ) x0
考虑到脉冲强度的对应关系，下面给出两个二维δ函 数坐标变换的例子：
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值图1-2均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
Diracδ函数及其性质
δ(x，y)
δ(r)
δ(x-x0，y) δ(x，y-y0) δ(x+x0，y) δ(x，y+y0) δ(x-x0，y-y0)
δ(r-x0，θ)
(r
y0
,
2
)
δ(r-x0，θ-π)
(r
y0
,
3
2
)
(r r0 , 0 )
r0 x02 y02 表1
0
arctan(
2°δ(x)可以用一些连续函数的序列极限来表示
1)、归一化的Gauss分布函数G(x)：
G(x) 1 exp( x2 )
2
2 2
(4)
该函数具有如下的性质：
G(x)dx 1
x2G(x)dx 2
(5)
当σ→0时，G(x)就趋向于δ(x)，即：
(x) lim G(x) lim[
0
0
1
2
exp(
x2
2 2
)]
(6)
(
x)
0，x ，x
0 0
(1)
(x)dx 1
(x
a)
0，x a ，x a
0 0
(3)
f (x) (x a)dx f (a)
证明：
由(4)式可以看出，当x=0，σ→0时，
满足δ(x)函数的条件，可以表示Dirac δ(x)函数，即 (7)式成立。
3)、函数
sin 2 x的极限
x2
lim
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
辅助函数 delta函数
辅助函数 delta函数
δ函数，也称为狄拉克δ函数，是数学中的一种特殊函数。
它在物理学、工程学和数学分析中都有重要的应用。
δ函数的定义和性质使它成为处理信号、线性系统和微分方程等领域中的有用工具。
在数学上，δ函数通常被定义为满足以下性质的广义函数：
1. δ函数在实数轴上的积分为1，即∫δ(x)dx = 1。
2. δ函数在原点以外的任何点x处都等于0，即δ(x) = 0 (x ≠ 0)。
3. 在积分的意义下，δ函数的性质可以被表示为，
∫f(x)δ(x)dx = f(0)，其中f(x)是一个连续函数，且积分区间包含原点。
在物理学中，δ函数经常用于描述质点的位置、电荷分布和线性系统的冲激响应。
在信号处理中，δ函数可以用来表示单位冲激信号，它在系统分析和频域处理中起着重要作用。
在微分方程中，
δ函数可以用来表示微分方程的初值条件或者外部激励。
需要注意的是，δ函数并不是一个严格意义上的函数，而是一个广义函数或者分布。
它的定义和性质需要通过广义函数理论来进行严格的描述和推导。
总之，δ函数在数学、物理学和工程学中都具有重要的地位，它的特殊性质使得它成为处理信号、系统和微分方程等问题时不可或缺的工具。
希望这个回答能够从多个角度全面地解释δ函数的性质和应用。
狄拉克 δ 函数
证明：利用涉及 δ 函数的 “物理学家的证明方法 ”，设：左边为 D1 (x)，右边为 D2(x) 左= 右=
∞ -∞ ∞
f (x) D1(x) x = f (x) D2(x) x =
-∞
∞
-∞ ∞
f (x) δ(x - x0) x = f (x0) f (x) δ(x0 - x) x
-∞
-∞
令 x0 -x = t
∞
f (x0 - t) δ(t) (-t) = f (x0 )
左 = 右，故： D1(x) = D2(x)，即： δ(x - x0) = δ(x0 - x) 3. g(x) δ(x - x0) = g(x0 ) δ(x - x0 ) 证明：类似地 ，设：左边为 D1(x)，右边为 D2(x)
∞
λ(x) x = q = 1
-∞
因此，将定义在区间 (-∞ , +∞) 上，满足上述两条件的函数，称为一维 δ 函数，即：
2
z07a.nb
δ(x - x0) =
0 ∞
x - x0 ≠ 0 x - x0 = 0
，
∞
-∞
δ(x - x0) x = 1
定义了一维 δ 函数，则带电为 q ，中心位于 x = x0，长度趋于 0 的细小线段，其线电荷密度 λ(x) = q δ(x - x0)。 起初，物理上定义 δ 函数的目的仅在于简化对函数的微积分运算。直到发展了广义函数论后，才有严格的数学理论。 因此，我们在涉及 δ 函数等式的证明方面，均通过所谓用“物理学家的证明方法 ”来论证，牺牲了数学上的严谨性。 ◼ “物理学家的证明方法 ”：对于涉及 δ 函数的证明，本节均通过判断下式是否成立来论证。
δ函数——精选推荐
δ函数一、δ函数的概念1．δ函数概念的物理模型在物理学中，常常要研究某一物理量在空间或随时间的分布密度。
例如质量密度（简称密度），电荷密度，每单位时间传递的动量（即力）等等。
但是，物理学中又常常运用质点，点电荷，瞬时力等抽象模型，它们不是连续布于空间或时间中，而是集中在空间的某一点或时间的某一瞬时，这时它们的密度又如何描写呢？下面以质点的线密度分布为例来引入δ函数的概念。
设 有质量为ｍ均匀分布在长为L 的线段〔－L ∕2，L ∕2〕上，则其线密度为()x l ρ可以表示为()⎩⎨⎧≤>=220l x lm l x x l ρ，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛=l x rect l m x l ρ ①将()x l ρ对x 积分，则得到总质量()⎰⎰-∞+∞-==22l l l mdx l mdx x ρ如果让上述线段的长度0→l ，我们将得到位于坐标原点，质量为m 的质点，而线密度函数就成为质点的线密度函数，将它记为()x l ρ，则()()m ．dx x dx x l l ==⎰⎰∞∞-∞∞-→ρρ0lim若不求积分而先的极限，则有()()⎩⎨⎧=∞≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→000limlim 0x x l x rect l m x x l l l ρρ ②由此可见质点的线密度分布函数的直观图象，它在x=0处为∞，在x ≠0处为零，它的积分为m 。
在物理学中，对于质点，点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的某一瞬的抽象模型，引入了δ函数以便描述它们的密度。
2．δ函数的定义δ函数定义为()⎩⎨⎧=∞≠=000x x x δ()()()⎩⎨⎧<<><=⎰b a b a b a dx x ba01000、或、δ 显然这样的函数未免有悖常规。
其后，数学上引入了广义函数的概念，在严密的基础上证明了δ函数的一些重要性质。
按照广义函数理论，δ函数的确切定义应在积分运算下来理解。
这一点务必清楚地理解。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
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山西师范大学本科毕业论文δ函数的物理性质分析姓名陈晓林院系物理与信息工程学院专业物理学班级0901学号0952010142指导教师杨虎答辩日期成绩δ函数的物理性质分析内容摘要研究δ函数在物理学中的作用是应用用数学方式处理问题的一个典型。
这个函数作为奇函数之中的一种，其所特有的优越性也在解决物理方面问题的同时显示了出来。
这篇文章在介绍δ函数的定义及其性质的同时，同样也分析了δ函数的物理意义，而且主要分析了δ函数在物理学中的作用。
并且也举例δ函数在物理的各个学科中的不同的应用，从而对δ函数有了特别全面的了解，同时能够对用数学的方法处理物理问题时有更高层次的理解和认识。
【关键词】δ函数安培环路定理δ势阱Analysis of physical properties of Dirac functionAbstractDelta function is a typical example solving physical problems by mathematical method. As a singular function, in solving physics problems it demonstrated unique advantages. This paper introduces the definition and properties of Delta function, based on analyzed the physical meaning of Delta function, focusing on the Delta function in the application of physical. It cited the application of different physical disciplines, and thus Delta function has a more comprehensive understanding to the mathematical treatment of physical problems have a higher level of understanding and awareness.【key words】: δfunction Ampere’s cycle law δPotential well目录引言 (1)一、δ函数的定义（definition of Delta Function）.. （1）1.1类似于初等函数形式的定义 (1)1.2普通函数序列极限形式的定义式 (2)1.3广义函数形式的定义 (3)1.4comb(x)—梳状函数 (4)二、δ函数的物理性质及其解释 (4)2.1δ函数的筛选性 (4)2.2δ函数的积分性 (5)2.3δ函数坐标的缩放性 (5)2.4δ函数的乘积性质 (6)2.5δ函数的傅里叶变换 (8)三、δ函数在物理学中的应用 (8)3.1δ函数在电磁学中两大定理证明中的应用 (8)3.2δ函数在力学中的应用 (11)3.3δ函数在光学中的应用 (11)3.4δ势在势阱中的穿透作用 (12)参考文献 (14)致谢 (15)δ函数的物理性质分析学生姓名：陈晓林指导教师：杨虎引言δ函数作为一个为了描述一些宽度极为窄小，而幅度趋于无穷大的物理量而被引入到物理中[1]，例如：质点、点电荷、点光源或者其他一些高度集中的物理量，所以δ函数又叫做脉冲函数。
近现代的物理学中对δ函数有着很广泛的应用，而且δ函数是作为一个描述物理学中物理模型的数学工具，因此，我们学习物理的过程中就不可避免的要用到数学方面的知识，所以δ函数对于我们学习物理学有很大的帮助。
在国内外的物理学家里面对δ函数也有很多的研究，并且还在不断的探寻它对于物理学的应用。
本篇文章主要研究了δ函数的一些基础性的应用，δ函数的几种定义方法，δ函数的性质，δ函数在物理学中的应用等等。
其他的文章虽然也是研究的这几个方面的知识，但是这篇文章主要研究了δ函数性质中的物理性质的解释以及它在物理学的各个学科中有着怎样的应用，并且给举出了一些例子。
一、δ函数的定义（definition of Delta Function）1.1类似于初等函数形式的定义对于自变量一维的狄拉克δ函数-δ（x）来说，它满足于下面的条件：δ(x)=0,0,0xx≠⎧⎨∞=⎩（1）并且错误！未找到引用源。
δ(x)dx=1 （2）这说明，错误！未找到引用源。
函数在错误！未找到引用源。
处全部为零，且在x=0处出现无穷大的极值，因此x=0处的点又称为奇异点。
但是不管是否趋近于无穷大，对于它的积分却总是等于1.即对应的δ函数的“面积”或“强度”是1，所以又称为单位脉冲函数。
上述δ函数是一维的δ函数表达式（见图一（a）），也是经典定义下的传统表达式，即函数必须同时满足（1）和（2）式。
函数22(,)x x μδμ-=，对于μ=1,2,4， 每一条曲线下方总面积为1δ函数除了一维的形式，还有二维（见图一（b ））、三维等多维的形式，如下是二维δ函数表达式：（1）或（2）对于δ函数给出了类似普通函数形式的定义，然而定义式所描述的图象并不普通，这个函数是一个在原点以外处处为零，而在原点出现无穷型跳跃的函数。
表面上看（2）式避开了“()0δ=∞”这个问题，但δ函数在整个数轴积分上等于1的规定，同样包含了它在原点处存在无穷型跳跃这一奇异性态。
因此，对于δ函数的定义式（1）和（2）实质相同。
它们都为δ函数建立了一个“非正统的普通函数”图象，如一所示，一维()x δ函数是一个高度无限、宽度为零而“面积”为1的“脉冲”（见图一（a ））。
（a ）一维δ函数 （b ）二维δ函数图一 δ函数1.2普通函数序列极限形式的定义式如果有一个序列，(),n g x y ，n=1，2，3…，那么这个序列中的任何一个函数(),n g x y 都满足：()(),1lim ,0,0,0n nn g x y dxdy g x y x y +∞+∞-∞-∞→∞⎧=⎪⎨⎪=≠≠⎩⎰⎰则()(),lim ,n n x y g x y δ→∞=常用的函数有gaus 函数、sinc 函数以及rect 函数等，即： ()()2222,lim exp n x y n n x y δπ→∞⎡⎤=-+⎣⎦()()()2,lim sin sin n x y n c nx c ny δ→∞=⋅()()()2,lim n x y n rect nx rect ny δ→∞=⋅例如：()()22,lim exp n x y n n x δπ→∞=-，当n 逐渐增大时的图形为：（b ）又例如：()()lim n x n rect nx δ→∞=⋅，当n 逐渐增大时的图形为：（a ）（a ）矩形脉冲序列 （b ）高斯脉冲序列1.3广义函数形式的定义()()(),,0.0x y f x y dxdy f δ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰或者()()()0,,,x x y y f x y dxdy f x y δ+∞+∞-∞-∞--=⎰⎰其中：(),f x y 是一个在（0,0）或()00,x y 处连续的任一函数。
有一个函数只要这个函数在积分中的作用与上式一样，那么就可以认为它是δ函数。
总之，δ函数不是一般的函数，它不像普通函数一样完全由数值对应关系来确定的。
它是一个广义函数，它的属性完全由它在积分中的作用体现出来的。
1.4comb(x)—梳状函数定义:()()comb x x n δ+∞-∞=-∑是间隔为1的无穷多个δ函数的和（图如下）。
梳状函数图象00x x x x comb n a a δ+∞-∞--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑= ()0n ax xna δ+∞=-∞--∑=()()0n ax xna δ+∞=-∞-+∑二、δ函数的物理性质及其解释2.1δ函数的筛选性δ函数的筛选性质，根据一般的广义的形式的定义就可以得到。
筛选性单位脉冲函数与一个在t=0处连续且有界的信号f(t)相乘，它的乘积只有在x=0处得到f （0），其余各点的乘积都为零。
()()()()0t f t dt t f dt δδ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰=()()0f t dt δ+∞-∞⎰=()0f()()()()000t t f t dt t t f t dt δδ+∞+∞-∞-∞-=-⎰⎰=()()0f t t dt δ+∞-∞⎰=()0f t比如，在()f x x =时，得到：()0x x dx δ∞-∞=⎰()x x a dx a δ∞-∞-=⎰2.2δ函数的积分性研究积分()()xF x t dt δ-∞=⎰. 且由δ函数的定义可得,当积分上限0x <,积分值是0；当0x >，积分值是1.()()()()0,01.0xx F x t dt x δ-∞<⎧⎪==⎨>⎪⎩⎰ ()F x 称为阶跃函数。
即()F x 是()x δ的原函数，()x δ是()F x 的导数，()()dF x x dxδ=2.3δ函数坐标的缩放性设n 维常熟，且不为0，则有：=（n 0）根据δ函数的坐标缩放性质，还得到了两个推论，推论如下：推论1：=说明函数具有对称的性质，它为偶函数，在几何上表示δ函数图形前后左右是对称的，且它的导数是奇函数。
推论2：例如：证明：由δ函数定义2222x,lim exp ()N N N x y δπ→∞⎡⎤-+⎣⎦（y ）=式可得：2222x,lim exp ()N N N x y δπ→∞⎡⎤-+⎣⎦（y ）==22lim exp()N N N x π→∞-22lim exp()N N N y π→∞-=(x)(y) (1)同理可得 ()()(),ax by ax by δδδ= (2)根据22lim exp ()N N N ax δπ→∞⎡⎤-⎣⎦（ax)=使=,那么上式可以变为：22lim exp ()N N N ax δπ→∞⎡⎤-⎣⎦（ax)=== (3)同理可得， (4)把（3），（4）式的结果带入到（2）式，能够得出：=2.4δ函数的乘积性质δ函数的这个特性也叫做δ函数的抽样特性。
它表示任何一个连续的函数和δ函数相乘，它的结果只能抽取此函数在δ函数所在点的函数值，这个离散点为()()0f x x x δ-，这样就把一个连续函数与离散点联系起来，可以对离散点进行分析运算[2]若f(x)在点处连续，就有：f(x)f(x) 由此得出推论：x=0和x=0例如：comb（ax）comb（by）=1,n mn mx yab a bδ∞∞=-∞=-∞⎛⎫--⎪⎝⎭∑∑证明如下：由梳状函数定义式comb（x）= (1) 则有comb（ax）comb(by)== (2) 利用以及=（2）式变为comb（ax）comb（by）==梳状函数图象2.5δ函数的傅里叶变换设 f （x ）.F T−−→()F μ；()().F T x δμ−−→∆由卷积定理可知：()()()f x x f x δ*=给等号两边同时作傅里叶变换，并利用卷积的性质，若()()11f x F ξμ=⎡⎤⎣⎦，()()22f x F ξμ=⎡⎤⎣⎦则 ()()()()2212f x f x F F ξμμ*=⋅⎡⎤⎣⎦ 式， 可得：()()()F F μμμ⋅∆= （1） 所以 ()1μ∆= （2） 也就是 ()1x ξδ=⎡⎤⎣⎦ 推论：()()1x ξδ= （3） （3）式表明了：常量的傅里叶变换（频谱）是脉冲。