对称三相电路的计算
电路设计--三相电路的功率
.
30º
.
在对称三相电路中有：
P 1 U AC I A cos 1 U AC I A cos( 30) P2 U BC I B cos 2
式中 为负载的阻抗角
对称三相负载Z=|Z| 由于△联接负载可以变为Y型 联接，故结论仍成立。
UBC
.
U BC I B cos( 30)
IB
N’
_
UC
ZC
S S A S B SC
S U
* AN ' A
I U
* BN ' B
I U
* CN ' C
I
在对称的三相电路中，显然有
S A S B SC
S 3S A
2、对称三相电路的瞬时功率
三相电路的瞬时功率为各相负载瞬时功率之和。 p A u AN i A 2U AN cosωt 2 I A cosωt φ
Z1
表W1的读数P1： P1=UACIA2cos 1 = 3803.23cos(– 30+ 36.9 ) = 3803.23cos(6.9 ) =1219W 表W2的读数P2： P2=UBCIB2cos 2 = 3803.23cos(–90 +156.9º) =3803.23cos(66.9º) =481.6W
例6： Ul =380V，Z1=30+j40，电动机 P=1700W， cos=0.8(滞后)。
求：(1) 线电流和电源发出总功率； (2) 用两表法测电动机负载的功率，画接线图，求两表读数。 A B
IA IA 1
IA 2
D
C 解：
对称三相电路的计算方法
对称三相电路的计算方法对称三相电路由于电源对称、负载对称、线路对称，因而可以引入一特殊的计算方法。
1、Y—Y联接在如图1所示的Y—Y联接中，因为N，N′两点等电位，可将其短路，且其中电流为零。
这样便可将三相电路的计算化为单相电路的计算。
令，，，则负载侧相电压：，根据三相电路的对称性，可以得到B相和C相的相电压，A相电流通过计算得到：根据三相电路的对称性，可以得到B相和C相的相电流，(a)Y—Y联接(b)A相计算电路图1 三相电路Y—Y联接计算结论：①电源中点与负载中点等电位。
有无中线对电路情况没有影响；②对称情况下，各相电压、电流都是对称的，可采用一相（A相）等效电路计算。
其它两相的电压、电流可按对称关系直接写出；③Y形联接的对称三相负载，根据相、线电压、电流的关系得：，2、电压源为△联接时的对称三相电路的计算将D电源用Y电源替代，保证其线电压相等。
图2 电压源为△联接时的等效变换负载部分，根据阻抗的Y—△等效变换，Y形联接是阻抗为Z，等效变换为△形联接时，阻抗变为Z/3，如图3所示。
图3 电压源为△联接时负载部分的等效变换根据图3所示的电路联接关系，可将上图所示的三相电路的计算化为单相电路的计算，以A相为例，如图4所示。
得到图4 △—△联接时A相电路的计算小结：①将所有三相电源、负载都化为等值Y—Y接电路；②连接负载和电源中点，中线上若有阻抗可不计；③画出单相计算电路，求出一相的电压、电流：一相电路中的电压为Y接时的相电压；一相电路中的电流为线电流。
④根据D接、Y接时线量、相量之间的关系，求出原电路的电流电压。
⑤由对称性，得出其它两相的电压、电流。
三相交流电路的功率
在三相交流电路中，不论负载如何连接，电路总的 有功功率都等于各相有功功率之和，即
P P1 P2 P3
在对称三相电路中，由于各相电压、相电流及阻抗角 都相等，因此，上式可写为
P 3PP 3UPIP cos
由于实际工作中线电压和线电流的测量较为容易，因此， 三相功率的计算通常用线电压和线电流表示。当对称负载为星 形连接时，UL＝ 3 UP，IL＝IP；当对称负载为三角形连接时， UL＝UP，IL＝ 3 IP，于是，不论对称负载是星形连接还是三角 形连接，其有功功率都可写为：
【解】每相阻抗的阻抗模为：
Z 62 82 10（Ω）
功率因数为：
cos R 6 0.6
Z 10
（1）负载星形连接时，相电压为220V，线电流等于相
电流，即
IL
IP
UP Z
220 10
22（A）
有功功率P为：kW）
（2）负载三角形连接时，相电压等于线电压，即UP′＝
P 3ULIL cos
同理，可得三相电路的无功功率和视在功率分别为：
Q 3UPIP sin 3ULIL sin
S 3UPIP 3ULIL
【例3-2】有一对称三相负载，每相电阻为R＝6Ω，电抗X ＝8Ω，三相电源的线电压为380V。求：（1）负载星形连接 时的有功功率P；（2）负载三角形连接时的有功功率P′。
UL＝380V，相电流为：
IP
UP Z
380 10
38（A）
线电流为相电流的 3倍，即 IL 3IP 3 38 65.8（A）
有功功率P′为：
P 3ULIL cos 338065.80.6 26（kW）
邱关源《电路》第五版第12章-三相电路分析
12.1 三相电路三相电路由三相电源、三相负载和三相输电线路三部分组成。
三相电路的优点：发电方面：比单项电源可提高功率50%;输电方面：比单项输电节省钢材25%;配电方面：三相变压器比单项变压器经济且便于接入负载；运电设备：结构简单、成本低、运行可靠、维护方便。
以上优点使三相电路在动力方面获得了广泛应用，是目前电力系统采用的主要供电方式。
三相电路的特殊性：(1)特殊的电源；(2)特殊的负载(3)特殊的连接(4)特殊的求解方式研究三相电路要注意其特殊性。
1. 对称三相电源的产生三相电源是三个频率相同、振幅相同、相位彼此相差1200的正弦电源。
通常由三相同步发电机产生，三相绕组在空间互差120 °当转子以均匀角速度「转动时，在三相绕组中产生感应电压，从而形成对称三相电源。
a. 瞬时值表达式U A (t)二' 2U cos tW(t)二2U cos( t -120°)u C(t)二2U c°s( t 120°)A、B、C三端称为始端，X、Y、Z三端称为末端b. 波形图如右图所示c. 相量表示U：=U 0oU；=U -120oU：=U 120od. 对称三相电源的特点U A U B U c = 0u A u；U C-oe. 对称三相电源的相序定义：三相电源各相经过同一值（如最大值）的先后顺序。
正序（顺序）：A —B—C—A负序（逆序）：A —C—B—A （如三相电机给其施加正序电压时正转，反转则要施加反序电压）以后如果不加说明，一般都认为是正相序。
2. 三相电源的联接（1）星形联接（Y联接）X, Y, Z接在一起的点称为丫联接对称三相电源的中性点，用N表示。
4〜C ------------------------------- °N （2）三角形联接e联接）注意：三角形联接的对称三相电源没有中点3. 三相负载及其联接三相电路的负载由三部分组成，其中每一部分称为一相负载，三相负载也有二种联接方式。
对称三相电路的计算
A
+
•
UA_
•
N
•
UC
UB
C+
+B
•
IA
c
•
IB
•
IC
a
Z
设
•
UA Uψ
nZ
•
UB
Uψ
120 o
Z
b
•
UC
Uψ
120 o
Z | Z | φ
以N点为参考点，对n点列 写节点方程：
A
+
•
UA_
•
UC
N•
UB
C+
+B
•
IA
a
•c
IB
•
IC
Z
nZ
Z
b
1 1 1•
1• 1• 1•
( )U nN U A U B U C
一．三相电路系统 三相电路系统由三相电源和三相负载联接组成，包括
三相三线制的Y-Y、Y-△、△-Y、△-△联接及三相四线制 的Y0-Y0联接。根据电源、负载及线路的对称与否，又可分 为对称三相系统和不对称三相系统。
二、对称三相电路的计算 对称三相电路的计算方法是一相计算法。
1、Y–Y接(三相三线制)， Y0 –Y0(三相四线制)
ZY 22 30 ， 三角形连接的负载阻抗 Z 3860 。 求：（1）三角形连接的各相电压 U A 、UB 、UC ；
（2）三角形连接的负载相电流 I AB 、IBC 、ICA ；
（3）传输线电流 I A 、I B 、IC 。
解：根据题意，设 U AB 3800 V
（1）由线电压和相电压的关系，可得出三角形
② 对称情况下，各相电压、电流都是对称的，只要算出某一相 的电压、电流，则其他两相的电压、电流可直接写出。
第二十八讲 对称和不对称三相电路的计算
§１２—３ １２ ３ §１２－４ １２－
重点： 重点：
三相电路
对称三相电路的计算 不对称三相电路的概念
１、对称三相电路的计算； 对称三相电路的计算； ２、中线的作用。 中线的作用。
一、知识回顾
１、对称三相电源 ２、对称三相电源的连接方式 ３、三相负载的连接方式
线电压（电流）与相电压（电流） ４、线电压（电流）与相电压（电流）的关系
４、举例
相序仪电路。 例１２－３ 相序仪电路。已知 １２－ 1/(ω C)=R，三相电源对称。 ，三相电源对称。 灯泡承受的电压。 求：灯泡承受的电压。 解： U AN 设
•
A R C N' R
•
C B • • o o ) = U∠0 V, U BN = U∠ − 120 V, U CN = U∠120o V (正序
３、中线的作用
(1) 、正常情况下，三相四线制，中线阻抗约为零。 正常情况下，三相四线制，中线阻抗约为零。 A 每相负载的工作情况没有相互联 相对独立。 系，相对独立。 N C B N'
I N = I A+ I B+ IC ≠ 0
•
•
•
•
(2) 假设中线断了 三相三线制 A相电灯没有接入电路 三相不对称 假设中线断了(三相三线制 相电灯没有接入电路 三相不对称) 三相三线制), 相电灯没有接入电路(三相不对称 A N' C B 灯泡未在额定电压下工作，灯光昏暗。 灯泡未在额定电压下工作，灯光昏暗。
• • • • • •
jωC U AN + U BN / R + U CN / R jU AN + U BN + U CN U N'N = = jωC + 1 / R + 1 / R 2 + j1
对称三相电路的计算
I•AZL
ZL
a Z
•
+
I
B
•
IB
ZLZL
+•B U BC
Z
•
CIC
•
IC
ZL ZL
c
•
aI abZ/3 bb Z/3
•
cI bZc /3
Z
•
I ca
A
+
•
ZL
•
IA
UA
–
a
Z/3
UA
1 3
U
AB
30
N
N'
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小结对称三相电路的一般计算方法:
(1)将所有三相电源、负载都化为等值Y-Y连接电路。 (2)连接负载和电源中性点，中性线上的阻抗可不计。 (3)画出单相计算电路，求出一相的电压、电流：
一相电路中的电压为Y形联结时的相电压。 一相电路中的电流为线电流。 (4)根据形联结、Y形联结时线量、相量之间的 关系，求出原电路的电流电压。 (5) 由对称性，得出其他两相的电压、电流。
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例3-2 对称三相电源线电压为380V，Z=(6.4+j4.8)，
ZL =(6.4+j4.8)。求负载 Z 的相、线电压和电流。
求：线电流、相电流，画出相量图(以A相为例)。
•
解 画出一相计算图
_
UAN
•
+I A
A
•
I
''
A
设
•
U AN
220
0 V
•
U AB
380
30
V
N_
+
I•A' B
§8-2 对称三相电路的计算
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X
根据对称性，B、C相的负载电流和电压分别为：
IB 15.83 157.69 A UB 202.7 119.03 V
IC 15.8382.31 A UC 202.7120.97 V
X
例题2 已知Y－对称三相电路如图所示，其中A相
电源电压为 UA 22030 V ，负载阻抗为 Z 15 j12， 线路阻抗为 ZL 1 j1 。试求负载的相电流、线电流、 相电压和线电压。 ＋ U － A Z a I
U N' N (U A U B U C ) Z 0 3 1 Z ZN
C
A
N
UA
U
ZN
B
B
IA
IN
Z
N
UC
Z
IB
Z
N和N’点是等电位点。 IC UA IA Z 一相计算方法 UB IB I A120 Z （通常选A相） UC IC I A 120 Z
§8-2 对称三相电路的计算
北京邮电大学电子工程学院
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内容提要
三相电路的基本连接形式
三相负载 对称三相电路的计算
X
1.三相电路的基本连接形式
电源 Y形 负载 有中线 三相四线制 Y-Y连接 Y形： 无中线 形： Y- 连接 三相三线制 Y形： -Y连接 形： - 连接
令 U A 2200 V
X
解（续）
UA 2200 IA 15.83 37.69 A Z ZL 10 j8 1 j0.5
A相负载电压：
U A I A Z 15.83 37.69 (10+j8) =15.83 37.69 12.8138.66 202.70.97 V
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对称三相电路的计算————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：§7.2 对称三相电路的计算如图7-6（a ）所示，其中l Z 为输电线阻抗，N Z 为中性线阻抗，N 和'N 为中性点，负载阻抗Z Z Z Z C B A ===。
对于这类电路，一般用节点电压法进行分析，以N 参考节点，有)(1)31('C B A l N N l N U U U ZZ U Z Z Z +++=++ 又因为0=++C B A U U U ，所以0'=N N U ，各相电源和负载的相电流等于线电流，即l A l N N A A Z Z U Z Z U U I +=+-= ' A l B B I a Z Z U I 2=+= A lC C I a Z Z U I =+= 由此可见，各线（相）电流独立，0'=N N U 是各线（相）电流独立，彼此无关的充要条件，因此，对称的Y Y -电路可以拆分为三个独立的单相电路，根据三相电源、三相负载和三相输电线路的对称性，分析计算三相中任意一相，而将其他两线(相)可以根据相序关系依次写出，这时对称三相电路可归结为一相的计算方法。
如图7-7所示为一相计算电路(A相)。
注意，在一相计算电路中，联接N 、N '的关系线是0'=N N U 的等效线，与中性线阻抗N Z 无关，此外，中性线的电流为0=++=CB A N I I I I NN '='N N U +-AA 'lZ ZAI图7-7 一相计算电路分析表明，对称的00Y Y -电路在理论上不需要中性线，可以移去，而在任一时刻, A i 、B i 、C i 中至少有一个为负值，对应此负值电流的输电线则作为对称电路系统在该时刻的电流回路。
§7.3 不对称三相电路的概念不对称三相电路主要有两种可能情况：第一，三相电源的大小或角度不相等而使相位有差异；第二，负载阻抗不相等。
在实际电力系统中，三相电源一般都是对称的，而三相负载的不对称是主要的、经常的。
例如。
各相负载分配不均匀、电路系统发生不对称故障（如短路或断线）等都将引起不对称。
下面将主要研究三相电源对称而三相负载不对称的三相电路。
N +--++-A U BU CU A Z B Z CZ N 'A I BI CI S图7-10 不对称三相电路图7-10所示电路中，开关S 断开（不连中性线）时，由于A Z 、B Z 、C Z 不相等，就构成了不对称的Y Y -电路。
该电路的节点电压方程为CC B B A A C B A N N Z U Z U Z U Z Z Z U ++=++)111('即有CB A CC B BAA NN Z Z Z Z U Z U Z U U 111'++++= 由于负载中性点与电源中性点之间的电压不等于零，此时的Y Y -不对称电路的电压相等关系如图7-11所示。
从电压向量图可以看出，中性点不重合，这种现象称为中性点位移。
在电源对称的情况下，可以根据中性点位移的情况判断负载的不对称程度。
当中性点位移较大时，会造成负载端的电压严重不对称，从而可能使负载的工作不正常；另一方面，如果负载变换时由于各相的工作相互关联，因此，彼此都相互影响。
NN 'N C U 'CU N B U ' BU N A U 'AU图7-11 不对称电路的电压向量关系图7-10所示电路中当开关S 闭合时，就是00Y Y -电路。
在不考虑中性线阻抗的情况下，中性点间电压为零，三相电路就相当于三个单相电路的组合。
中性线电流为CB A I I I I ++= 中性线阻抗等于零的不对称00Y Y -电路特点是：三相负载端电压是对称的，它们的有效值是相等的；由于，三相电流是不对称的，中性线电流不等于零。
因此，在给居民生活用电进行输送时，为了确保用电安全，均采用00Y Y -联接方式，为了减小或消除负载中性点偏移，中性线选用电阻低、机械强度的导线，并且中性线上不允许安装保险丝和开关。
§7.4三相电路的功率7.4.1 三相电路的平均功率 在三相电路中，三相电源发出的有功功率等于三相负载吸收的有功功率，即等于各相有功功率之和。
设A 、B 、C 三相负载相电压的有效值分别为A U 、B U 、C U ，三相负载电流有效值为A I 、B I 、C I ，A 、B 、C 三相负载相电压与相电流的相位差分别A ϕ、B ϕ、C ϕ，则三相电路的平均功率表示为C C C B B B A A A C B A I U I U I U P P P P ϕϕϕcos cos cos ++=++=（7-6）在对称三相电路中，p C B A U U U U ===，p C B A I I I I ===， B A ϕϕ=ϕϕ==C ，所以ϕcos 3p p I U P = （7-7）如果负载为星形联接，则3lp U U =，l p I I =；如果负载为三角形联接，则l p U U =，3l P I I =，所以式（7-7）可以统写为ϕcos 3l l I U P = （7-8） 值得注意的是，上式中l U 、l I 是线电压和线电流，ϕ是相电压与相电流之间的相位差。
7.4.2 三相电路的无功功率 在三相电路中，三相电源的无功功率也等于三相负载的无功功率，即等于各相无功功率之和，表示如下C C C B B B A A A C B A I U I U I U Q Q Q Q ϕϕϕsin sin sin ++=++= （7-9）同平均功率分析过程一样，不管接受以哪种方式联接，都有ϕsin 3l l I U Q = （7-10）7.4.3 三相电路的视在功率与单相电路相同，三相电路的视在功率可以表示为 22Q P S +=（7-11）而在对称三相电路中，有l l p p I U I U S 33== （7-12）7.4.4 相电路的瞬时功率为了研究问题的方便，在此仅讨论对称三相电路的瞬时功率，它等于各相电路的瞬时功率之和。
首先，以Y 形联接为例讨论三相电路负载的瞬时功率。
设各相负载在时域中的相电压分别为p A U u 2=sin t ω p B U u 2=sin )120( -t ω p C U u 2=sin )120( +t ω由于p U 是相电压的有效值，所以乘以系数2。
如负载ϕ∠=Z Z X ，则相电流滞后相电压ϕ角，所以：p A I i 2=sin )(ϕω-t p B I i 2=sin )120(ϕω-- t p C I i 2=sin )120(ϕω-+ t其中p I 是相电流的有效值。
各相负载的瞬时功率为 )sin(2sin 2ϕωω-⋅==t I t U i u P p p A A A)]2cos([cos ϕωϕ--=t I U p p)120sin(2)120sin(2ϕωω--⋅-== t I t U i u P p p B B B)]2402cos([cos ϕωϕ---=t I U p p)]1202cos([cos ϕωϕ-+-= t I U p p)120sin(2)120sin(2ϕωω-+⋅+==t I t U i u P p p C C C)]4802cos([cos ϕωϕ---=t I U p p)]1202cos([cos ϕωϕ---= t I U p p各相负载的瞬时功率之和为P I U P P P P p p C B A ==++=ϕcos 3 （7-13） 因此，对称三相电路的总瞬时功率是一个常数，等于三相电路的平均功率，这个结论对负载Y 形联接和∆联接都适用，这也是三相制的优点之一；不管是三相发电机还是三相电动机，它的瞬时功率为一个常数，这就意味着它们的机械转矩是恒定的，从而避免运转时的振动，使得运行更加平稳。
7.4.5 三相功率的测量 1 三相四线制电路 在三相四线制电路中，当负载不对称时须用三个单相功率表测量三相负载的功率，如图7-12所示，这种测量方法称为三瓦计法。
在三相四线制电路中，当负载对称时，只需要用一个单相功率表测量三相负载的功率，图7-12中的任意一个功率表都可以测量，此时电路总功率可表示为C B A P P P P 333===也就是任意一相电表的测量功率都是总功率的31，该测量方法称为一瓦计法。
载负相三W W W 123******A BC N图7-12 三瓦计法测功率2 三相三线制对于三相三线制电路，不管负载对称还是不对称，也不管负载是星形还是三角形联接，都可以用两个单相功率表测量三相负载的功率，如图7-13所示，这种测量方法称为二瓦计法。
载负相三W W 12****A BCAI BI CI图7-13 二瓦计法测功率在图7-13所示的电路中，线电流从*端分别流入两个功率表的电流线圈（图中A I 、B I ），它们的电压线圈的非*端共同接到非电流线圈所在的第三条端线上，由此可见，这种测量方法半功率表的接线只触及端线，而与负载和电源的联接方式无关。
设两个功率表的读数分别用1P 和2P 表示，根据功率表的工作原理，有]Re[*1A AC I U P = ]Re[*2B BC I U P =∴ ]Re[**21B BC A AC I U I U P P +=+又 CA AC U U U -= CB BC U U U -= ***CB A I I I -=+ ∴ ]Re[**21B BC A AC I U I U P P +=+]~~~Re[C B A S S S ++= ]~Re[S =而]Re[S 正是图7-13中三相负载的有功功率，也就是平均功率，在对称三相制中令︒∠=0A A U U ，ϕ-∠=AA I I ，则有 [][]⎪⎭⎪⎬⎫+==-==)30cos(Re )30cos(Re *2*1 ϕϕB BC B BC A AC A AC I U I U P I U I U P （7-14）其中ϕ为负载的阻抗角。
值得注意的是，在一定条件下，两个功率表之一的读数可能为负，求代数和时读读数应取负值。
所以，单独一个功率表的读数是没有意义的。