岩土工程可靠度计算方法研究_杨海菲

＊ 失 效概率对应的设计验算点 P ＊ =( X1 , …, X ＊ 上。 如果功 n) ＊ ＊ 能 函数 Z = g(X 1 , …, X n )在验算点 P ＊ 处泰勒展开得到 : ＊ Z ≈ Z ＊ = g( X1 , …, X ＊ + n)
。 目前的岩土
工程可靠度计算方法 主要有 一次 二阶矩 法 、高次 高阶 矩法 、 数值模拟法 、模糊可靠度分析及人工 智能方法 。 各方法的计 算原理 、精度和效率差异较大 , 有各自的应用条件 。
第 6 卷第 2 期 2 00 8年6 月
水利与建筑工程学报
Jour nal of Water Resources and A rchitectural Engineering
V ol . 6 No . 2 Jun . , 20 0 8
岩土工程可靠度计算方法研究
杨海菲 , 杨仕教 , 曾 晟
( 南华大学 核资源与安全工程学院 , 湖南 衡阳 42100)
[ 17]
王平 、刘东升利用 JC 法对某简单边坡可靠度 进行了计 算 张晓君采用 JC 法 对采 空区 稳定性 进行 了预测
。
。 查 晓东 、
张起森采用 JC 法对柔性路面结构可靠度进行 了计算[ 10] 。 JC 法的优点是考虑了 非正 态的 随机变 量 , 适用 于随机 变量为任意分布下结构 可靠 指标 的求解 , 运 算简 捷 , 可对可 靠度指标进行精度较 高的近 似计 算 , 能满足 工程 实际 需要 ; 能给出一套固定的 解题步 骤 , 适合 编制 计算 程序 和便 于一 般工程技术人员应用 。 但是当基本变量较 多时 , 迭代次数显 著增大 。 当极限状态方程为高次非线性时 , 其误差较大 。 1. 1. 4 映射变换法 映射变换法是通过 数学变 换的 方法将 非正 态随 机变量 变换为正态 随 机变 量 。 设 n 个 相互 独 立 的正 态 随 机 变量 X 1 , … , X n , 概率分布 函数为 F i (x i) (i =1 , 2 , … , n), 概率密 度函 数 为 f i (x i) (i = 1 , 2 , … , n ), 结 构 功 能函 数 为 ZX = g(X 1 , … , X n), 作 映 射 变 换 F i (X i )= Υ(Y i ), 则 X i =
于是结构的可靠指标为 :
＊ μ Z = ＊ σ Z
＊ g( X1 , …, X ＊ n )+
n
β =
i= 1
∑
n
g′ (X ＊ (μ -X ＊ i ) i) X
i
[
i= 1
2 ( X＊ σ i ) X )] ∑(g′
i
1 2
( 5)
从计算的 过程上与 JC 法比较 , 映射变换 法少了 JC 法的 当量 化过程 , 但多了 映射变 换过 程 , 因而二 者的 计算量 基本 相当 ; JC 法采用“ 当量正态化” 法 , 概念上比较直观 , 而映 射变 换法 在数学上更严密一些 , 所以结构可 靠度分析方 法的进一 步发 展就通过映射变换法将非正态随机变量正态化 。 1. 1. 5 实用分析法 该法是由赵国藩 院士 在取 用 Paloheimo 和 Hannus 所提 出的加权分位值 方法 中的某 些概 念后 提出的 。 此方法 中当 量正态化的方法是 把原 来的非 正态 变量 X i 按 对应 于 P f 或 1 - P f 有相同 分位值(xif) 的 条件 , 用当 量正态 变量 X′ i 来代 替 , 并要求当量正态变量的平均 值 μ X′与原来 的非正 态变量
＊ =[ σ Z
i= 1
( Xi) σ ] X) ∑(g′
＊
i
收稿日期 : 2007-12 -19 修回日期 : 2008 -01-22 基金项目 : 湖南省教育厅重点基金资助项目( 05A 044) 作者简介 : 杨海菲( 1984 —) , 女( 汉族) , 山东聊城人 , 在读硕士 , 主要从事岩土工程可靠度方面的研究 。
Study on Calculating Method for Reliability of Geotechnical Engineering
YANG Hai-fei , YANG Shi-jiao , Z ENG Sheng
(College of N uclear Resources and Safety Engineering , Nanhua University , Hengyang , Hu' nan 421001 , China)
i i
X i 的平均值 μ 相等 。 X
i
对于工程设计或规范 编制 常用 的线性 极限 状态方 程和 常用的 β 值( β <4 . 0), 实用分析法 比 JC 法计算较为简 单 , 而 精度相差不多 。 可看出 它适用于线 性极限状 态方程 β <4 . 0 的情 况[ 11] , 文献 [ 12] 对其详细方法进行了介绍 。 1. 1. 6 几何法 根据可靠指标的几何意义 , 可靠指 标的获得也 就是在功 能函 数面上寻找一点 y ＊ , 使该点与均值点的 距离最短 , 从而 使问 题成为一个优化问题 , 即 : β = min( y
1 n
= g′ (X ＊ , 则: i ) - X i＊ )
2 1 2
[
i= 1 i i
∑
(
g | σ) ] X i PX X i
1 2
( 2)
＊ = μ Z
i= 1
( X＊ ( μ i ) ∑ g′ X
n
( 4a) ( 4b)
i
式中 : μ Z, μ X ,σ Z, σ X 分别为 Z 和 X i 的均值 和标准差 。
σ X′ =
i
{Υ [
F X (x′ ]} i)
i
f X (x′ i)
[ 9]
1. 2 高次高阶矩法
为了提高结构可靠度的计算精度 , 提出了计算 可靠度的 二次 二阶矩法与四阶矩法[ 13 ～ 14] 。 其原理与一次二阶矩法相 同 , 计算可靠度指标时都是以求得极限 状态方程的 偏导获得 Taolr 级数为基础 , 计算 精度 较高 , 但 处理 一些 复杂 、不 易求 导的功能函数时 有较 大困难 。 对复 杂功能 函数 不易求 导及 个别随机变量 不存在 CDF 的问 题 , 有关 学者 提出 了应 用最 大熵原理 拟合 功能 函 数的 CDF[ 15] 和 变量 高 阶矩 的 正 态变 换 [ 16] 等改进方法求解 β 值 。 1997 年赵国藩院士根据最大熵 原理提出了结构 可靠 度分析 的四 阶矩 法 。 该方 法利用 信息 论中的最大熵 原理 构造已 知信 息下 的最 佳概 率分 布 问题 。 目前该 方法研究还比较少 , 正处于发展阶段 。
＊T
( 6a) ( 6b)
＊ ] i)
从而求得当量正态分布的均值和标准差为 : μ X′ =
i
·y＊ )2
1
x i＊ 1
Υ [ FX i(x
i
1
σ X′ i
( 7a) ( 7b)
[ 8]
g( y＊ )= 0 结果 仍为近似解 。
( 9)
几 何法具 有收敛 快 , 迭 代次数 少 , 精度高 的优点 。 但 是计算
第 2 期 杨海菲 , 等 : 岩土工程可靠度计算方法研究
＊ ＊ 其中 , μ ＊, σ ,σ 和X Z , μ X 分别为 Z Z X
i i
29
Байду номын сангаас
＊ i
的均 值和标 准差 。
非正态随机变量变换 为正 态随 机变量 后再 按前面 介绍 的方法继续求 可靠 指标 β 。 文 献[ 3] 给出 了有 关公 式和 实例 分析 。
1 岩土工程可靠度计算方法及特点分析
1. 1 一次二阶矩法
一次二阶矩法只考 虑功能 函数 泰勒级 数展 开式 的常数 项和一次项 , 然后利用随机变量的前一 阶矩和二 阶矩求功能 函数的均值和均方差 , 并以 随机 变量 相对独 立为 前提 , 求解 可靠指标的公式 。 因其计算简便 , 大多 情况下计 算精度能满 足工程要求 , 已被工程界广泛接受 [ 2 ～ 3] 。 1. 1. 1 均值一次二阶矩法 将非线性的功能函数 Z =g ( X 1 , … , X n) 在随机 变量 X i (i =1 , 2 , … , n ) 的平均 值( 中心点) 处 展开 T ay lor 级数 , 仅保 留线性项 , 即 Z ≈ g(μ , μ , …, μ )+ X X X
1 2 n n
i= 1
∑
n
g | ( X i -μ X) X i PX i
i= 1
∑
n
＊ g(X 1 , …, X ＊ n) ( X i - X i＊ ) Xi
( 1) 令
＊ g(X 1 ,
( 3) …, Xi
＊ Xn )
n
求得可靠指标 : β = μ Z = σ Z g(μ X , …, μ X)
i
文献[ 6] 推导出一次二阶矩 的更一 般 、适用的 形式 , 把相 关正态分布变量经过映射变换转变成不相 关正态分布 变量 , 然后经过正交变换转变成独立标准正态分 布变量 。 汪汉生利 用改进的一次二阶矩法对边坡稳定性进行 了分析 , 可以满足 一般工程的需要
[ 7]
。
该方法将功能函数的线性化点取在设 计验算点 , 提高了 计算可靠指标 β 的计算精度 , 保证了对同一结构问题 β 的唯 一性 。 但该方法只是在 随机 变量统 计独 立 、正态 分布 和线性 极限方程才是精确的 , 否则只能得到近似的结 果 。 1. 1. 3 JC 法 JC 法基本思路是对非正 态变量当量正态化 , 将其转换 为 等效的正态随机变量 ; 对相关随机变量 , 先变换为相互独立 的 变量 , 然后利用改进的一次二阶矩法求结构的可靠指标 。 当量正态化的条件是在设计验算点处的累积概 率分布函 数( CDF) 和概率密度函数( PDF) 值分别和原变量的 CDF 值 、 PDF 值相等 , 也就是将其转换为等效的正态随机变量 。 即 : F X′ (X i＊ )= F X i( X＊ i ) i f X ′ ( X＊ X＊ i )= f X ( i )