3第二章 化工过程系统的稳态模拟与分析

回代后得到的变量值
方程的主元素选择过程
2.4 过程系统模拟的联立模块法
Simultaneously modular method simulating the process system
两种系统模拟方法的比较
Comparison of two system simulation methods 内容 占用存储空间 迭代循环圈 计算效率 指定设计变量 对初值要求 计算错误诊断 编制、修改程序 序贯模块法 小 多 低 不灵活 低 易 较易 面向方程法 大 少 高 灵活 高 难 较难
x4 y4 x1 y1 x2 y2 x3 y3
2.4.2 建立简化模型的切断方式
Establishment of tearing mode for simple model 流股全切断方式类似于面向方程法。主要区别在 于后者是严格模型方程，变量数也要大得多。 因此，对于较大系统，流股全切断方式建立的简 化模型方程数是很大的。
Ak和Bk。将Ak和Bk代入，得到线性方程组。 过程系统的模型方程组一般由线性方程和非线性方程组
成，因而线性化的对象应该是非线性方程。
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation 2、稀疏线性方程组的解法 稀疏非线性方程组 稀疏线性方程组
回路切断方式：
相当于把若干个单元作为一个“虚拟单元”处理， 建立虚拟单元的简化模型。 虚拟单元所包含的各单元间的连接流股变量则不 出现在简化模型中，从而大大降低了简化模型的维数。
2.4.2 建立简化模型的切断方式
Establishment of tearing mode for simple model 通常以循环回路为一个虚拟单元，切断再循环流 股，故称为回路切断方式。
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation
降维求解
大型稀疏非线性方程组
线性化后，联立求解
迭代
误差
线性化后方程组的解
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation 1、线性化方法 对于n维非线性方程组 用n维线性方程组逼近 F(x) = 0 F( x) ≈ Ax + B = 0
1
该拟线性方程组的解（用下标QL表示）为：
xQL A B
作台劳展开可得到牛顿迭代解（下标NR）：
x
k 1 NR
x (J ) F (x )
k k
k 1
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation 式中J为雅可比矩阵：
2.4.1 联立模块法的原理
Principle of Simutaneous modular method 初值的选取方法： （1） 猜值； （2）用序贯模块法迭代求解几次，得到个点的初值。
联立模块法的计算效率主要依赖于简化模型的形式。
2.4.2 建立简化模型的切断方式
Establishment of tearing mode for simple model 简化模型对象范围的划分：
x 3 y=G（x） x 虚拟单元 1 2 y=G（x）
作业： 查找甲苯加氢脱烷基过程的合成 工艺路线及工艺参数
回
顾
物料衡算 Material balance
相平衡 Phase-equilibria 传递方程 Equations of transport 化学反应动力学 Chemical kinetics
在求解大型稀疏线性方程组时，应尽可能减少填充，否 则会使计算效率下降。 减少填充与提高数值稳定性和计算精度是矛盾的。如， 为减少填充，需把55作为主元素，但如果它的绝对值很小， 会引入较大的误差，使计算精度、数值稳定性变差。
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation 主元容限： 通常把绝对值最大的元素作为主元，进行消元。目 的是提高计算精度。但如果这样选取的主元导致较大的 填充，将引起计算效率的下降。往往选择一个绝对值不 是最大，且不会引起填充量过大的元素作为主元。 人为规定一个界限ε＞0。当矩阵元素的绝对值大于 ε，该元素就具备了作为主元的资格，若它引入的填充 量也不是很大，就可定为主元。这个界限称为主元容限。 经验给定，但应满足提高计算精度和减少填充量的统一 要求。
入非零元素 。
新出现的非零元素称作填充量，填充时与消元成零的非零
元素之差称作填充增量。填充量与主元选取的次序有关。
高斯消去法就是通过矩阵的行变换达到消元的目的，从 而将方程组的系数矩阵由对称矩阵变为三角矩阵，最后 获得方程组的解。
假定a11≠0，我们首先保留矩阵的第一行，并利用它来 消去其余三行中的第一列。
化工过程分析的作用
能量衡算 Energy balance
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation 牛顿迭代具有二阶收敛特性。下面方程也具有二阶收敛。
xQL
k 1
( A ) B
k 1
k
Ax
k
k 1
B
k
系数A和B均是向量x的函数。
从x的第k次近似解xk可以计算得到Jk、F(xk)，从而得到
{状态变量} 图2-24 联立模块法
2.4.1 联立模块法的原理
Principle of Simutaneous modular method 特点： ①把序贯模块法中最费时、收敛最慢的回路迭代计算， 用由简化模型组成的方程组的联解而代之，使计算加速，尤 其是处理有多重再循环流或有设计规定要求的问题时具有较 好的收敛行为。因此，联立模块法计算效率较高。 ② 因单元模块数比之过程方程数要少得多，所以简化 模型方程组的维数比面向方程法也小得多，求解起来也容易 得多。 ③能利用大量原有的丰富的序贯模块软件。可在原有 序贯模块模拟器上修改得到联立模块模拟器。
2.4.1 联立模块法的原理
Principle of Simutaneous modular method 优点： ① 计算效率较高； ② 对初值要求较低； ③ 迭代循环圈较少； ④ 计算出错时诊断较容易； ⑤ 能利用大量原有的软件。
2.4.1 联立模块法的原理
Principle of Simutaneous modular method
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation 挑选主元素的过程： ① 选择纵列最小的变量，如不止一个，任选其一； ② 在与此变量有关的方程中，选择橫列最小的方程所对 应的元素作为主元； ③ 如果橫列最小的方程不止一个，则选择绝对值最大的 元素作为主元；
联立模块法与序贯模块法的共同之处在于面向模块；与面向方程 法共同在于联立求解过程系统模型方程。
2.4.1 联立模块法的原理
Principle of Simutaneous modular method
严格模块
1
2
…….
n
简化模型方程
由于简化模型是严格模块的近似，所以计算结果往往不是 联立解 问题的解，必须用严格模块对这组解进行计算，修正简化模 型的系数。重复这一过程，直到收敛到原问题的解。




第一行与第一列非零元素间的交叉点会出现新的填充量
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation
常规消去法：
通常采用下列两方面的技术 a.只对非零元素进行计算 b.只存储非零元素 （如压缩存储技术）
不经济的 计算效率低
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation 填充量：
用高斯消去法进行消元过程的同时，会在原来零元素处引
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation
完成主元选择后的增广矩阵
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation
④ 检验选出主元的绝对值是否大于用户给出的主元容限。 不大于，则返回①,否则进行下一步； ⑤ 用这样选择出的主元进行常规的高斯消元，然后返回①。 上述过程中，步骤①和②都是为了避免填充。而 步骤③和④是为了保证计算精度和系数矩阵非奇异。
F( x) ≈ Ax + B = 0
x
k 1 NR
x (J ) F (x )
k k
k 1
k 1 xNR x k ( J k ) 1 ( Ak x k B k )
令J=A
k 1 k 1 xNR x k ( Ak ) 1 ( Ak x k B k ) ( Ak ) 1 B k xQL
2.3.3 联立拟线性方程组法解大型 稀疏非线性方程组
Solution of couple imitate-linear equation