刚体转动惯量的测定
刚体转动惯量的测定
1mm 实验2 扭摆法测定物体的转动惯量【实验目的】1.熟悉转动惯量测试仪的使用方法。
2.掌握测试仪常数（弹簧的扭转常数）K 的测定。
3.用扭摆法测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较。
【实验仪器】转动惯量测试仪，空心金属圆柱体、实心塑料圆柱体、塑料圆球、细金属杆。
【实验原理】将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比，即M ＝－K θ （2-1） 式中，K 为弹簧的扭转常数，根据转动定律 M ＝I β式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 IM ＝β （2-2）令 LK=2ω 忽略轴承的磨擦阻力矩，由（2-1）、（2-2）得 θωθθβ222-=-==IKdt d 上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。
此方程的解为：2θ＝Acos(ωt ＋φ)式中，A 为谐振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度，此谐振动的周期为 KIT πωπ22==（2-3） 由（2-3）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I 和K 中任何一个量已知时即可计算出另一个量。
本实验用一个几何形状规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再算出本仪器弹簧的K 值。
若要测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由公式（2-3）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。
理论分析证明，若质量为m 的物体绕通过质心轴的转动惯量为I O 时，当转轴平行移动距离X 时，则此物体对新轴线的转动惯量变为I O ＋mx 2。
称为转动惯量的平行轴定理。
【实验内容】1. 测定弹簧的扭转常数，调整测试仪座底脚螺丝，使水平仪的气泡位于中心。
由于弹簧的扭转常数K 值不是固定常数，它与摆动角度略有关系，摆角在90º左右基本相同，在小角度时变小。
刚体转动惯量的测定(共10张PPT)
3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
00g,h= cm 保持h、r、x不变改变m（分别取m=10g,15g,20g,25g,30g)重复上述操作，分别测出相同半径下，不同质量的重物下落相同高度所需的时间t，每一 条件下，重复测量三次，将测量数据记入表一。 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。 保持h、r、x不变改变m（分别取m=10g,15g,20g,25g,30g)重复上述操作，分别测出相同半径下，不同质量的重物下落相同高度所需的时间t，每一 条件下，重复测量三次，将测量数据记入表一。 2、掌握转动惯量的测定方法； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。 1、了解转动惯量的物理意义；
00g,h= cm 2、掌握转动惯量的测定方法； 1、了解转动惯量的物理意义； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
实验内容及操作
• 保持h、r、x不变改变m（分别取 m=10g,15g,20g,25g,30g)重复上述操作，分 别测出相同半径下，不同质量的重物下 落相同高度所需的时间t，每一条件下， 重复测量三次，将测量数据记入表一。
刚体转动惯量的测定
• 实验目的 • 实验仪器 • 实验原理 • 实验内容及操作 • 数据记录与处理
实验目的
1、了解转动惯量的物理意义； 2、掌握转动惯量的测定方法； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数
据。
实验原理
设由塔轮、游码、横杆等组成的转动系统的转动惯量为J，系统受拉
3、学习用曲线改力直的作数据用处理力方矩法处为理数M据T。,阻力矩为Mμ，则有
2、掌握转动惯量的测定方法； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 t(s) r(cm) 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
刚体转动惯量的测定_实验报告
实验三刚体转动惯量的测定转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。
它与刚体的质量、形状大小和转轴的位置有关。
形状简单的刚体，可以通过数学计算求得其绕定轴的转动惯量；而形状复杂的刚体的转动惯量，则大都采用实验方法测定。
下面介绍一种用刚体转动实验仪测定刚体的转动惯量的方法。
实验目的：1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法；2、熟悉电子毫秒计的使用。
实验仪器：刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计。
仪器描述：刚体转动惯量实验仪如图一，转动体系由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒等（含小滑轮）组成。
遮光棒随体系转动，依次通过光电门，每π弧度（半圈）遮光电门一次的光以计数、计时。
塔轮上有五个不同半径（r）的绕线轮。
砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以获得不同的外力矩。
实验原理：空实验台（仅有承物台）对于中垂轴OO’的转动惯量用J o表示，加上试样（被测物体）后的总转动惯量用J 表示，则试样的转动惯量J 1 ：J 1 = J –J o (1) 由刚体的转动定律可知：T r – M r = J α (2) 其中M r 为摩擦力矩。
而 T = m(g -r α) (3) 其中 m —— 砝码质量 g —— 重力加速度 α —— 角加速度 T —— 张力1． 测量承物台的转动惯量J o未加试件，未加外力（m=0 , T=0）令其转动后，在M r 的作用下，体系将作匀减速转动，α=α1，有 -M r1 = J o α1 (4) 加外力后，令α =α2m(g –r α2)r –M r1 = J o α2 (5) （4）（5）式联立得J o =212212mr mgrααααα--- (6)测出α1 , α2，由（6）式即可得J o 。
2． 测量承物台放上试样后的总转动惯量J ，原理与1.相似。
加试样后，有 -M r2=J α3 (7) m(g –r α4)r –Mr 2= J α4 (8)∴ J =234434mr mgr ααααα--- (9)注意：α1 , α3值实为负，因此（6）、（9）式中的分母实为相加。
刚体转动惯量的测定
刚体转动惯量的测定【实验目的】1． 测定刚体的转动惯量。
2． 验证转动定律及平行移轴定理。
【实验仪器】1．JM-3 智能转动惯量实验仪。
2． 电脑毫秒计。
【实验原理】转动惯量是反映刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量及质量对轴的分布有关。
对于几何形状规则，质量分布均匀的物体，可以计算出转动惯量。
但对于几何形状不规则的物体，以及质量分布不均匀的物体，只能用实验方法来测量。
本实验是用转动惯量实验仪和通用电脑式毫秒计来测量几种刚体的转动惯量，并与计算结果加以比较。
转动惯量实验仪，是一架绕竖直轴转动的圆盘支架。
如图一和图二所示。
待测物体可以放 5 6 1. 承物台 2. 遮光细棒 3. 绕线塔轮4. 光电门5. 滑轮6. 砝码图一 刚体转动惯量实验仪 图二 承物台俯视图设转动惯量仪空载（不加任何试件）时的转动惯量为J 0。
我们称它为该系统的本底转动惯量，加试件后该系统的转动惯量用J 1表示，根据转动惯量的叠加原理，该试件的转动惯量J 2为：J 2=J 1－J 0 （1）如何测量J 0、J 1让我们从刚体动力学的理论来加以推导。
一、如果不给该系统加外力矩（即不加重力砝码），该系统在某一个初角速度的启动下转动，此时系统只受摩擦力矩的作用，根据转动定律则有。
－L 2= J 0β1 （2）（2）式中J 0为本底转动惯量，L 2为摩擦力矩，负号是因L 的方向与外力矩的方向相反，β1为角加速度，计算出β1值应为负值。
（即加适当的重力砝码），则该系统的受力分析如图三所示。
mg －T=ma （3） T ·r －L= J 0β2 （4）a=r β2 （5） 图三 示意图 β2是在外力矩与摩擦力矩的共同作用下，系统的角加速度，r 是 塔轮的半径， ⑵、⑶、⑷、⑸、式联立求解得：由于β1本身是负值所以计算时β2-（-β1）=β2+β1，则（6）应该为：同理加试件后，也可用同样的方法测出J 1……，然后代入（1）式减去本底转动惯量J 0即可得到试件的转动惯量。
刚体转动惯量测定实验
四.实验方法和步骤
5.用手轻微转动上部圆盘，使三线摆产生一个初扭转 角，然后释放圆盘，三线摆发生扭转振动 6.点击“复位”按钮，再点击“开始”按钮，系统自 动记录扭转20次所需时间，取平均即为振动周期
7.重新稳定圆盘，按“开始”按钮连续测量6次 8.重新调整摆长约为700mm和500mm，重复3-7步骤，分 析不同摆长对转动惯量测试值的影响
刚体转动惯量测定实验刚体转动惯量的测定刚体转动惯量实验报告刚体转动惯量实验仪刚体转动惯量刚体的转动惯量三线摆测刚体转动惯量刚体转动惯量数据处理测量刚体的转动惯量刚体转动惯量误差分析
工程中常见非均质物体
一．实验目的
1.了解并掌握用“三线摆”测取物体转
动惯量的原理与方法 2.掌握用“等效法”简化并解决实际工
四.实验方法和步骤
（二）非均质物体转动惯量测定
1. 点击“非均质物体转动惯量测试”按钮，进入测试界 面 2.松开三线摆顶部固定螺栓，转动手轮，使三线摆长为 600mm，调整圆盘至水平状态 3.输入等效圆柱质量m=80g，直径d=16mm、摆长l=600mm 4.将非均质物体放入圆盘，使其转动中心与盘心重合， 转动上部圆盘产生扭转振动，记录振动周期
r B’
R
三．实验原理
设圆盘最大转角为θmax，当圆盘转
角为θ 时，有
A
C
B
r l , r max l max
设三线摆作初始转角等于0、转动角 速度等于ωn的简谐振动，则有：
d max sin n t , n max dt max
四.实验方法和步骤
（二）非均质物体转动惯量测定
6.使两等效圆柱中心间距s为30、40、50、60mm，测出 其扭转振动周期，并用平行移轴定理计算转动惯量 7.用插入法求得非均质物体转动惯量
刚体转动惯量测定
θ＝ω0t+1/2βt2
同一次转动过程中，时间分别为t1、t2的角位移可以表示为：
θ1＝ω0t1+1/2βt12
（5）
θ2＝ω0t2+1/2βt22
（6）
取θ1 =2π， θ2＝6π并消去ω0，可以得到：
2 (6t1 2t2 )
t1t2 (t2 t1)
（7）
（二）验证平行轴定理
J=JC+md2
（2）
Mμ—阻力矩
Mμ =Jβμ
（3）
3、将（2）和（3）代入（1）式中，可得：
mfgr+Jβμ=J β 由此可得转动惯量的表达式：
J mf gr （4）
1. 承物台 2. 遮光细棒 3.
4、本实验的刚体转动可认为是匀变速转动，角位移公式：
图二 承物台俯视图
刚体转动惯量测定
1. 学习使用刚体转动惯量实验仪，测定规则物体的转动惯量，
2. 用实验方法验证平行轴定理。
二、实验原理
（一）转动惯量的测定
1、由转动定律可知： M=Jβ
其中： M—合外力矩 J—转动惯量 β—角加速度
2、本仪器转动时受到两个力矩的作用即：
M′+Mμ＝Jβ
（1）
其中：M′—动力矩 M′ ＝Fr ≈mfgr
三、实验内容 （一）测圆环的转动惯量Jx 1. 测承物台的转动惯量J0 2. 测承物台加圆环的转动惯量J 3. 求圆环的转动惯量Jx＝J－J0，并
与J理比较求相对误差 （二）验证平行轴定理
1.先将小圆柱放在孔（2，2′）位置， 测J1
2.后将小圆柱放在孔（1，3 ′ ）位置， 测J2
3.验证：J2－J1=2mzd2
刚体转动惯量的测定
用扭摆法测定物体转动惯量刚体定轴转动时，具有以下特征：首先是轴上各点始终静止不动。
其次是轴外刚体上的各个质点，尽管到轴的距离（即转动半径）不同，相同的时间内转过的线位移也不同，但转过的角位移却相同，因此只要在刚体上任意选定一点，研究该点绕定轴的转动并以此来描述刚体的定轴转动。
转动惯量是刚体转动时惯量大小的度量，是表明刚体特性的一个物理量。
刚体转动惯量除了与物体的质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度分布）有关。
如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。
对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。
一、目的1. 用扭摆测定弹簧的扭转常数和几种不同形状物体的转动惯量和弹簧劲度系数，并与理论值进行比较。
2. 验证转动惯量平行轴定理。
二、原理扭摆的构造见图1所示，在其垂直轴1上装有一根薄 片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。
在轴的上方可以装 上各种待测物体。
垂直轴与支座间装有轴承，使摩擦力矩尽 可能降低。
将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩 作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
根据虎克定 律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度成正 比，即θK M -= （1） 式中，K 为弹簧的扭转常数。
根据转动定律 βI M =式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 图 1 IM=β （2） 令IK=2ω，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由式（1）与式（2）得 θωθθβ222-=-==I Kdtd上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，即角加速度与角位移成正比，且方向相反。
此方程的解为)cos(ϕωθ+=t A式中，A 为谐振动的角振幅，ϕ为初相位角，ω为角速度。
此谐振动的周期为KIT πωπ22==（3） 利用公式（3）测得扭摆的摆动周期后，在I 和K 中任意一个量已知时即可计算出另一个量。
本实验用一个几何形状有规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到。
刚体转动惯量的测量
刚体转动惯量的测量1. 引言刚体转动惯量是描述刚体绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性，它反映了刚体对旋转运动的抵抗能力。
测量刚体转动惯量对于研究物体的旋转运动和确定物体的物理特性具有重要意义。
本文将介绍刚体转动惯量的定义、测量方法以及实验步骤。
2. 刚体转动惯量的定义刚体转动惯量（或称为“转动惯性矩”）是描述刚体绕某一轴旋转时所表现出的抵抗力矩大小的物理量。
它与刚体质量分布和轴线位置相关，可以用数学公式表示为：I=∫r2⋅dm其中，I为刚体相对于旋转轴的转动惯量，r为质点到旋转轴的距离，dm为质点的微小质量。
3. 测量方法3.1 转动定律法利用牛顿第二定律和角加速度与力矩之间的关系，可以通过测定加速度和力矩来计算刚体的转动惯量。
具体步骤如下：1.将待测刚体固定在水平轴上，并使其能够绕该轴自由旋转。
2.在刚体上施加一个垂直于旋转轴的力矩，使刚体产生角加速度。
3.测量施加力矩前后刚体的角加速度，并计算力矩大小。
4.根据牛顿第二定律和角加速度与力矩之间的关系，计算出刚体的转动惯量。
3.2 定滑轮法利用滑轮原理，可以通过测量绕定滑轮旋转的物体的线速度、重物块质量以及滑轮半径来计算刚体的转动惯量。
具体步骤如下：1.将待测刚体固定在定滑轮上，并使其能够自由旋转。
2.在滑轮上挂一重物块，将其与刚体通过一根绳子相连。
3.调整重物块的高度，使得刚体开始自由旋转。
4.测量重物块下降的高度和旋转时间，并记录滑轮半径和重物块质量。
5.根据滑轮原理和动能定理，计算出刚体的转动惯量。
4. 实验步骤4.1 转动定律法实验步骤1.准备实验装置：水平轴、刚体、力矩测量仪器等。
2.将刚体固定在水平轴上，并保证其能够自由旋转。
3.在刚体上施加一个垂直于旋转轴的力矩，使其产生角加速度。
4.使用力矩测量仪器测量施加力矩前后的角加速度，并记录下来。
5.根据牛顿第二定律和角加速度与力矩之间的关系，计算出刚体的转动惯量。
4.2 定滑轮法实验步骤1.准备实验装置：定滑轮、刚体、重物块、绳子等。
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操作注意事项：
• 必须在砝码落地之前结束8组数据的采集！
• 弦线同塔轮表面之间不能产生滑动！
六、 数据记录与处理
表1：测量实验台角加速度
km tm(s) kn tn(s) β1
匀减速 123
567
匀加速 R塔轮=20mm,m砝码=35g
4
km
1 2 34
平 tm(s)
平
8 均 kn
5678 均
2. 由此计算刚体转动的角加速度；
3. 由角加速度求得转动惯量。
本实验测量的基本出发点:
由转动惯量的叠加原理，测量实验载物台（可
以待旋测转 刚的 体平 放台 到） 转自台身上的，转测动量惯它量们共J 1同，的然转后动把惯
量 J 2 ，即可以得到该刚J1 体的转动惯量 J 3 ：
J3 J2J1
• 实验目的
按“复位”键，进入设置状态后再按 “0109”， 使计时器进入等待状态；
释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使实验台产 生匀加速转动。按电脑计时器的“OK”键，获得8 组数据
2.圆环+实验转台(数据记录表2）：
3.圆柱+实验转台(数据记录表3）：
按照同样的方法分别作匀减速、匀加
速转动时的角加速度 1 2测量。
计时结束，按“回车”键可以倒序显示数据， 按“OK”键可以顺序显示数据。
• 实验内容及步骤
内容1：测定圆环的转动惯量
内容2：验证平行轴定理
平行轴定理
理论分析表明，质量为m的物体围绕通过质心 O的转轴转动时的转动惯量J0 (最小)。则当转轴 平行移动距离d后，绕新转轴转动的转动惯量为：
J=J0 +md2
考察牛顿第二定律： Fma 质点动力学基本定律
对比分析，可以看出：
• 质量是对物体运动惯性的量度； • 转动惯量是对物体转动惯性的量度。
• 恒力矩法的实验原理
刚体的定轴转动定律：
M合 =J
首先,设以某初始角速度转动的转台的转动惯
量为 J 1，未加外力时，在磨擦阻力矩 M
的作用
下，实验台以角加速度 1 做减速运动，即
M J11
式1
所受张力为: Tm(ga)，
张力矩M为 : M T R m (g R2 )R 式2
此时，转台的合外力矩 M 合 由引线的张力矩M
和磨擦力矩 M 构成，即:
MMJ12
式3
代式1、2入3，可得： m (g R 2 )R J 11 J 12
J1
=
mR(g-R2 2 1
)
tn(s)
Байду номын сангаас
β2
2π(Kntm- Kmtn) tn2tm tm2tn
由表一的β1和β2按照下式求得实验台 转动惯量为：
J1
=
mR(g-R2 2 1
)
（公式1）
表2：测量实验台加上圆环的角加速度
km tm(s) kn tn(s) β1
匀减速 123
567
匀加速 R塔轮=20mm,m砝码=35g
4
km
1.学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯 量的原理和方法； 2.测量刚体的转动惯量随其转轴不同的改变，验证平行轴定理； 3.学会使用通用电脑计时器测量时间； 4.了解应用:对于形状复杂、质量分布不均匀的刚体(如电机转子、 枪炮的弹丸等)都需要用实验方法来测定转动惯量。
• 实验仪器
仪器实体图
实验台
转台下方有5级塔轮，半径分别为 35、30、25、20、 15mm
mKm0tm1 2tm2
nKn0tn12tn2
两式中消去 0 ，可得到：
2π(Kntm- Kmtn) tn2tm tm2tn
即：只要从计时器测得遮挡次数 k和对应的时间 t ，就
可以算出角加速度 。
用恒力矩法测量刚体转动惯量的方法为：
1. 测量刚体转动时的计数和对应的时间 （km，tm）（kn，tn）；
tm(s) kn
平 tm(s)
平
5 6 7 8 均 kn
m(R外 2 +R内 2 )
计算百分偏差（相对误差）：
E=J环 (实 验 J(理 值 论 )-J值 (理 )论 值 )100%
保留2位有效数字
表3：测量二圆柱与转轴中心距离100mm时的
角加速度
匀减速
R圆柱=15mm，m圆柱=151g
匀加速 R塔轮=20mm,m砝码=35g
km
1234
km
1 2 34
刚体转动惯量的测定
刚体转动涉及的基本概念
刚体：一种理想的力学模型。 指在受到外力作用下，其形状、大小保持不变， 内部各部分的相对位置保持不变的理想物体。
运动特征：各点的线速度一般不等；但具有相等的角速度
转动惯量：J mi ri2 转动惯量的单位：kg m2
i
刚体转动定律的物理意义：
M J 刚体转动基本定律
测量转动惯量的具体操作步骤
1.空实验转台(数据记录表1）：
(1) 测量β1（匀减速测量）：
•按“复位”键，状态稳定后再按 “0109”，使计 时器进入等待状态； •用手转动实验转台，按电脑计时器的“OK”键， 获得8组数据。
(2) 测量β2 （匀加速测量）：
选择塔轮半径R及砝码质量，将一端打结的细线 沿塔轮上开的细缝塞入，并且不重叠的密绕于所选 定半径的轮上，细线另一端通过滑轮后连接砝码托 上的挂钩，用手将载物台稳住；
1 2 34
平 tm(s)
平
8 均 kn
5678 均
tn(s)
β2
2π(Kntm- Kmtn) tn2tm tm2tn
公式（2）
由表2的β1和β2用下式求得实验台加上 圆环的转动惯量为：
J21
=
mR(g-R2 2 1
)
即可得到圆环转动惯量
J环 =J1 -J 2
计算圆环的转动惯量的理论值：
J=
1 2
转台上的小孔离中心转轴的距离分别为 50、75、100mm
通用电脑记时器
电源 开关
输入I 通断 输入II 通断 输入通断开关与转台下方的光电开关连接，用于接通或断 开信号输入，开关推进为接通，弹出为断开。 本机有两组输入端口及通断开关。
光电门的开关应1路接通，另l路断开作备用
按下“复位”键，出现上图所示数字后，在 数字区按“0109”，表示每组测量9个数据（第一 个为零），按“OK”键启动计时。
如何求得角加速度 ？
采用计时器计录遮挡次数和相应的时间。 固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡 一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲，计数器计 下遮档次数k和相应的时间t。
从第一次挡光(k=0，t=0)开始计次、计时，且初始角速度为ω0， 对于匀变速运动，测量得到任意两组数据(km，tm)，(kn，tn)，对应的 角位移θm、θn分别为：