测定刚体的转动惯量
大学物理实验实验刚体转动惯量的测量
测量转动周期
使用测量仪器记录 刚体转动的周期。
安装刚体
将刚体安装在支架 上，确保稳定和水 平。
施加扭矩
使用砝码或其他方 式施加扭矩，使刚 体转动。
重复测量
多次施加不同大小 的扭矩，并记录相 应的转动周期。
数据记录和处理
记录数据
将实验过程中测量的数据记录在实验报告中。
数据处理
根据测量数据，计算刚体的转动惯量。
学习测量刚体转动惯量的方法
扭摆法
通过测量刚体在摆动过程中周期的变化来计算转动惯量，利用单摆的周期公式 $T = 2pisqrt{frac{I}{mgh}}$，其中 $I$ 是刚体的转动惯量，$m$ 是刚体的质量，$g$ 是重力加速度，$h$ 是单摆的悬挂高度。
复摆法
通过测量复摆在摆动过程中周期的变化来计算转动惯量，利用复摆的周期公式 $T = 2pisqrt{frac{I}{mgh}}$，其中 $I$ 是刚体的转动惯量，$m$ 是刚体的质量，$g$ 是重力加速度，$h$ 是复摆的悬挂高度。
转动惯量在工程中的应用
在机械设计中，转动惯量的大小直接影响到机械系统的稳定性和动态响应；在航 天工程中，卫星的转动惯量对于其姿态控制和轨道稳定具有重要意义；在车辆工 程中，转动惯量的大小影响到车辆的操控性能和行驶稳定性。
02
实验原理
刚体转动惯量的定义和计算公式
转动惯量定义
描述刚体绕轴转动的惯性大小的物理量。
建议与展望
提出改进实验的建议和未来研究的方向，为 后续研究提供参考和借鉴。
05
实验注意事项
安全注意事项
实验前应检查实验装置是否稳 固，确保实验过程中不会发生 意外倾倒或摔落。
实验操作时应避免快速转动刚 体，以防因离心力过大导致实 验装置损坏或人员受伤。
用刚体转动仪测刚体转动惯量
用刚体转动仪测刚体转动惯量[播放视频]一、概念理解刚体转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它的重要性类似于平动中物体的质量。
一刚体对于某一给定轴的转动惯量，是刚体中每一单元质量的大小与单元质量到转轴的距离的平方的乘积的总和。
刚体的转动惯量与刚体的质量、刚体的质量分布、转轴的位置与方位有关。
对于几何形状规则的刚体，可用积分式计算出它绕过质心轴转动的转动惯量，并根据平行轴定理，计算出刚体绕任一特定轴转动的转动惯量。
但对于形状复杂的刚体，用数学方法求转动惯量则相当困难，一般宜采用实验的方法来测定。
因此，学会对刚体转动惯量的测量方法，具有重要的现实意义，如对研究机械转动性能，包括飞轮、炮弹、发动机叶片、电机、电机转子、卫星外形等的设计工作都有重要意义。
二、刚体转动惯量测量的常用方法 1. 1. 三线摆法三线摆法是通过扭转运动来测量刚体转动惯量的方法。
它具有装置简单、操作方便不受场地限制且结果精确等优点，是被广泛应用的一种测量刚体转动惯量的方法。
2．单线扭摆法单线摆（简称扭摆）是比三线摆更简单的力学实验装置。
它不仅可以测定较小物体如钟表齿轮、录音机转子等的转动惯量，且可测量金属悬丝的扭转系数和材料的切变模量。
在许多仪器仪表中（例如灵敏电流计、扭称等），扭摆又是其中的主要组成部分。
由于它结构简单、稳固耐用，对学生又有多方面的训练，所以它也是力学实验中较好的实验之一。
3．转动惯量仪法法（本实验采用此法，其特点请自行总结）。
三、理论知识准备1． 1． 均质钢块、钢环（铝环）的转动惯量 一刚体对于某一给定轴的转动惯量，是刚体中每一单元质量的大小与单元质量到转轴的距离的平方的乘积的总和。
如果刚体的质量是连续分布的，则转动惯量可表示为：⎰=dmr I 2用上式容易求出均匀钢块及钢环（或铝环）绕中心轴转动的转动惯量的理论值：221块块块理R m I =)(2122外内环环理R R M I +=]2．2．本实验原理如图2-18所示，当重物m 由静止下降距离为h 时，重物的势能将减少mgh ，设此时重物m 的速度为v t ，待测物体的角速度为t ω，根据机械能转换和守恒定律可知，减少的能量mgh 将转化为重物的平动动能和被测物体的转动动能，即222121t t I m mgh ωυ+=（5-1）221 at h =, at t =υ∴t ht 2=υ（5-2）又 r t t ωυ=∴r tt υω=（5-3）将式（5-3）代入式（5-1）得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22121r I m mgh t υ2222mr mghr I t-=υ（5-4）将式（5-2）代入式（5-4）得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=122222222h gt mr mr t h mghr I （5-5）由式（5-5）可知，若测得重物下降的距离h 和通过这段距离所用的时间t 以及转盘绕线轴半径r ，即可计算出物体的转动惯量I 。
刚体转动惯量的测定实验结论
刚体转动惯量的测定实验结论是：根据实验结果可以得出，刚体的转动惯量与其质量分布和形状有关。
具体而言，当刚体绕过质心轴旋转时，它的转动惯量可以表示为：
I = Σmr²
其中，I表示刚体的转动惯量，Σ表示对所有质点求和，m表示每个质点的质量，r表示每个质点相对于旋转轴的距离。
在实验中，通常会采用不同的方法来测定刚体的转动惯量。
以下是几种常见的实验方法和相应的结论：
1. 旋转法：通过将刚体悬挂在一个旋转轴上，测定刚体在旋转过程中的角加速度和悬挂质量等参数，计算得到转动惯量。
实验结果表明，转动惯量与刚体的质量和悬挂点的位置有关。
2. 挂轴法：将刚体固定在一个水平轴上，并允许其进行摆动。
通过测定刚体的周期和摆动轴的长度等参数，可以计算出转动惯量。
实验结果表明，转动惯量与刚体的质量和摆动轴的长度有关。
3. 转动台法：将刚体放置在一个转动台上，通过测定转动台的角加速度、刚体质量和转动台半径等参数，可以计算出转动惯量。
实验结果表明，转动惯量与刚体的质量和转动台半径有关。
需要注意的是，不同形状和质量分布的刚体的转动惯量会有所不同。
通过实验测定转动惯量可以帮助我们了解刚体的特性，并在物理学和工程学等领域中应用于相关计算和分析中。
刚体转动惯量的测定
用扭摆法测定物体转动惯量刚体定轴转动时，具有以下特征：首先是轴上各点始终静止不动。
其次是轴外刚体上的各个质点，尽管到轴的距离（即转动半径）不同，相同的时间内转过的线位移也不同，但转过的角位移却相同，因此只要在刚体上任意选定一点，研究该点绕定轴的转动并以此来描述刚体的定轴转动。
转动惯量是刚体转动时惯量大小的度量，是表明刚体特性的一个物理量。
刚体转动惯量除了与物体的质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度分布）有关。
如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。
对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。
一、目的1. 用扭摆测定弹簧的扭转常数和几种不同形状物体的转动惯量和弹簧劲度系数，并与理论值进行比较。
2. 验证转动惯量平行轴定理。
二、原理扭摆的构造见图1所示，在其垂直轴1上装有一根薄 片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。
在轴的上方可以装 上各种待测物体。
垂直轴与支座间装有轴承，使摩擦力矩尽 可能降低。
将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩 作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
根据虎克定 律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度成正 比，即θK M -= （1） 式中，K 为弹簧的扭转常数。
根据转动定律 βI M =式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 图 1 IM=β （2） 令IK=2ω，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由式（1）与式（2）得 θωθθβ222-=-==I Kdtd上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，即角加速度与角位移成正比，且方向相反。
此方程的解为)cos(ϕωθ+=t A式中，A 为谐振动的角振幅，ϕ为初相位角，ω为角速度。
此谐振动的周期为KIT πωπ22==（3） 利用公式（3）测得扭摆的摆动周期后，在I 和K 中任意一个量已知时即可计算出另一个量。
本实验用一个几何形状有规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到。
测量刚体的转动惯量
测量刚体的转动惯量一. 实验简介在研究摆的重心升降问题时，惠更斯发现了物体系的重心与后来欧勒称之为转动惯量的量。
转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。
本实验将学习测量刚体转动惯量的基本方法，目的如下:1(用实验方法验证刚体转动定律，并求其转动惯量;2(观察刚体的转动惯量与质量分布的关系3(学习作图的曲线改直法，并由作图法处理实验数据。
二. 实验仪器刚体转动仪，滑轮，秒表，砝码刚体转动仪:包括:A.、塔轮，由五个不同半径的圆盘组成。
上面绕有挂小砝码的细线，由它对刚体施加外力矩。
B、对称形的细长伸杆，上有圆柱形配重物，调节其在杆上位置即可改变转动惯量。
与A和配重物构成一个刚体。
C.、底座调节螺钉，用于调节底座水平，使转动轴垂直于水平面。
此外还有转向定滑轮，起始点标志，滑轮高度调节螺钉等部分。
三. 实验原理1(刚体的转动定律具有确定转轴的刚体，在外力矩的作用下，将获得角加速度β，其值与外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即有刚体的转动定律:M = Iβ (1)利用转动定律，通过实验的方法，可求得难以用计算方法得到的转动惯量。
2(应用转动定律求转动惯量如图所示，待测刚体由塔轮，伸杆及杆上的配重物组成。
刚体将在砝码的拖动下绕竖直轴转动。
设细线不可伸长，砝码受到重力和细线的张力作用，从静止开始以加速度a下落，2其运动方程为mg – t=ma，在t时间内下落的高度为h=at/2。
刚体受到张力的力矩为T和轴摩擦力力矩M。
由转动定律可得到刚体的转动运动方程:T - M = rfrfIβ。
绳与塔轮间无相对滑动时有a = rβ，上述四个方程得到: 2m(g - a)r - M = 2hI/rt (2) fM与张力矩相比可以忽略，砝码质量m比刚体的质量小的多时有a<<g， f 所以可得到近似表达式:2mgr = 2hI/ rt (3) 式中r、h、t可直接测量到，m是试验中任意选定的。
刚体转动惯量的测定
刚体转动惯量的测定【实验目的】1． 测定刚体的转动惯量。
2． 验证转动定律及平行移轴定理。
【实验仪器】1．JM-3 智能转动惯量实验仪。
2． 电脑毫秒计。
【实验原理】转动惯量是反映刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量及质量对轴的分布有关。
对于几何形状规则，质量分布均匀的物体，可以计算出转动惯量。
但对于几何形状不规则的物体，以及质量分布不均匀的物体，只能用实验方法来测量。
本实验是用转动惯量实验仪和通用电脑式毫秒计来测量几种刚体的转动惯量，并与计算结果加以比较。
转动惯量实验仪，是一架绕竖直轴转动的圆盘支架。
如图一和图二所示。
待测物体可以放 5 6 1. 承物台 2. 遮光细棒 3. 绕线塔轮4. 光电门5. 滑轮6. 砝码图一 刚体转动惯量实验仪 图二 承物台俯视图设转动惯量仪空载（不加任何试件）时的转动惯量为J 0。
我们称它为该系统的本底转动惯量，加试件后该系统的转动惯量用J 1表示，根据转动惯量的叠加原理，该试件的转动惯量J 2为：J 2=J 1－J 0 （1）如何测量J 0、J 1让我们从刚体动力学的理论来加以推导。
一、如果不给该系统加外力矩（即不加重力砝码），该系统在某一个初角速度的启动下转动，此时系统只受摩擦力矩的作用，根据转动定律则有。
－L 2= J 0β1 （2）（2）式中J 0为本底转动惯量，L 2为摩擦力矩，负号是因L 的方向与外力矩的方向相反，β1为角加速度，计算出β1值应为负值。
（即加适当的重力砝码），则该系统的受力分析如图三所示。
mg －T=ma （3） T ·r －L= J 0β2 （4）a=r β2 （5） 图三 示意图 β2是在外力矩与摩擦力矩的共同作用下，系统的角加速度，r 是 塔轮的半径， ⑵、⑶、⑷、⑸、式联立求解得：由于β1本身是负值所以计算时β2-（-β1）=β2+β1，则（6）应该为：同理加试件后，也可用同样的方法测出J 1……，然后代入（1）式减去本底转动惯量J 0即可得到试件的转动惯量。
刚体转动惯量的测量
刚体转动惯量的测量1. 引言刚体转动惯量是描述刚体绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性，它反映了刚体对旋转运动的抵抗能力。
测量刚体转动惯量对于研究物体的旋转运动和确定物体的物理特性具有重要意义。
本文将介绍刚体转动惯量的定义、测量方法以及实验步骤。
2. 刚体转动惯量的定义刚体转动惯量（或称为“转动惯性矩”）是描述刚体绕某一轴旋转时所表现出的抵抗力矩大小的物理量。
它与刚体质量分布和轴线位置相关，可以用数学公式表示为：I=∫r2⋅dm其中，I为刚体相对于旋转轴的转动惯量，r为质点到旋转轴的距离，dm为质点的微小质量。
3. 测量方法3.1 转动定律法利用牛顿第二定律和角加速度与力矩之间的关系，可以通过测定加速度和力矩来计算刚体的转动惯量。
具体步骤如下：1.将待测刚体固定在水平轴上，并使其能够绕该轴自由旋转。
2.在刚体上施加一个垂直于旋转轴的力矩，使刚体产生角加速度。
3.测量施加力矩前后刚体的角加速度，并计算力矩大小。
4.根据牛顿第二定律和角加速度与力矩之间的关系，计算出刚体的转动惯量。
3.2 定滑轮法利用滑轮原理，可以通过测量绕定滑轮旋转的物体的线速度、重物块质量以及滑轮半径来计算刚体的转动惯量。
具体步骤如下：1.将待测刚体固定在定滑轮上，并使其能够自由旋转。
2.在滑轮上挂一重物块，将其与刚体通过一根绳子相连。
3.调整重物块的高度，使得刚体开始自由旋转。
4.测量重物块下降的高度和旋转时间，并记录滑轮半径和重物块质量。
5.根据滑轮原理和动能定理，计算出刚体的转动惯量。
4. 实验步骤4.1 转动定律法实验步骤1.准备实验装置：水平轴、刚体、力矩测量仪器等。
2.将刚体固定在水平轴上，并保证其能够自由旋转。
3.在刚体上施加一个垂直于旋转轴的力矩，使其产生角加速度。
4.使用力矩测量仪器测量施加力矩前后的角加速度，并记录下来。
5.根据牛顿第二定律和角加速度与力矩之间的关系，计算出刚体的转动惯量。
4.2 定滑轮法实验步骤1.准备实验装置：定滑轮、刚体、重物块、绳子等。
实验一刚体转动惯量的测量
第二单元实验1 用扭摆法测刚体转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。
刚体的转动惯量与刚体的总质量、形状大小和转轴的位置有关。
对于形状较简单的刚体，可以通过数学方法算出它绕特定轴的转动惯量。
但是对于形状较复杂的刚体，应用数学方法计算它的转动惯量非常困难，故大都用实验方法测定。
刚体的转动惯量在机械动平衡方面有着广泛的应用，凡是涉及往复式直线运动与旋转运动的相互转换，都必须借助具有较大转动惯量的“飞轮”才能实现，其中典型的例子是蒸汽机和内燃机。
此外，为了让机械转动更平稳，最简单的方法就是在其转动轴上加上一个形状规则、质量分布均匀，且具有一定转动惯量的飞轮。
因此，学会刚体转动惯量的测定方法，具有重要的实际意义。
【实验目的】1. 了解ZG-2型转动惯量测定仪测刚体转动惯量的原理和方法。
2. 测定弹簧的扭转常数及几种不同形状刚体的转动惯量。
3. 验证刚体转动的平行轴定理。
【实验原理】1. 弹簧的扭转常数及刚体的转动惯量图1 ZG-2转动惯量测定仪将待测物体在水平面内转过一定角度θ后，在弹簧恢复力矩的作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
忽略轴承的摩擦阻力矩，根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比，即θK M -=（1）式中K 为弹簧的扭转常数。
根据转动定律βI M =式中I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由此可得θβIK -= （2）令ω2=IK，由(2)式得 -=-==θθβI Kdtd 22ω2θ上述微分方程表示转动惯量仪运动具有角谐振动的特性，即角加速度β与角位移θ成正比，并且方向相反。
此微分方程的解为：)cos(ϕωθ+=t A式中θ为角位移，Ａ为谐振动的角振幅， ϕ为初相位角，ω为圆频率。
此谐振动的周期为KI T πωπ22==则 224T I K π= （3）根据(3)式，只要测得转动惯量仪的摆动周期T ，在I 和K 中任何一个量已知时就可计算出另一个量。
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T2 I T12 T 2 I1
（3）
式中，圆环的转动惯量
I1
1 2
m
r12
r22
1 8
m
d12
d
2 2
将圆环的转动惯量代入(3)式，得
mT 2
I
d12
d
2 2
8 T12 T 2
利用(4) 式还可测得金属杆的切变模量[1]：
16m L
下落时间t，就可由m～1/t2直线的斜率k计算出转动惯量：
gr 2 I k
2h
（7）
实验内容
分别测出转台、转台上加圆盘、转台上加圆环时的转动
惯量。测量数据记入表4～5
表4
刚体
转台
T ( s ) m(g) 次m数(g)
1 2
3
平均值 t t 2
砝码下落高度 h=
10
15
20
m， 绕绳轮半径 r= cm
d1 2
d
2 2
2d 2uc d12
d 2
d
2 2
2
2T1uc T1 2
T12 T 2
2Tuc T 2
T12 T2
U(N) 2uc N 2urel N N
3、写出结果表示式
c
1
u T s2 T u2 T
c1
1
11
考虑到手指的动作误差，30周期的最大计时误差约0.5s，
则由此产生的周期测量不确定度 u1 0.5 (30 3)
2、将一铁环 I1
1 8
m d12
d
2 2
同心地放在圆盘上，重复步骤1。
3、记下环的质量m, 用游标卡尺测出环的内外直径d1和d2，
对于一段长为L的钢丝，如图3-。设其中截面积为 d d
的体积元所受切向力dF，产生切应变 L (当 L时) 。
根据切变模量定义
即：
N dF dd L
dF N 2dd
L
d d
dF
r
L
图 钢丝受扭力矩
精品课件！
精品课件！
此力对该体积元绕轴线的扭转力矩：
计算百分误差
E环
I环测 I环理 I 环理
100%
E盘
I 盘测 I 环理 I 盘理
100%
再见
[1] 切变弹性模量N
物体在平行于表面的力的作用下，只改变形状、不改变 体积的形变称为切变，如图x所示。
应力F/S与应变 的比值称为切变弹性模量：
NF SF S
F
lL
l
L
F
图 切应变
d
2 2
2
u
2 c
d1
d2
d12
d
2 2
2
u
2 c
d 2
U(I) 2uc I 2urel I I
u rel
N
uc N
N
u
c L
L
2
4u
c d
d
2
2d1uc d12
T 2 4 2I
k
（1）
图1 扭摆装置
式中：I为圆盘的转动惯量，k为钢丝的扭转恢复系数。
为了消去k，在圆盘上同轴加上一个质量为m，内外半径
分别为r1、r2的圆环，然后同圆盘一起绕轴作角振动，由（1） 式可得此时振动周期T1满足：
T12
4
k
2
I
I1
（2）
式中，I1为圆环的转动惯量。由(1)、(2)两式消去k，可得:
dM dF N 3dd
L 作用在整个截面上的力矩：
M
N
r
2
3dd
Nr 4
k
L
2L
00
k Nr 4 为钢丝的扭转弹性系数。将k代入（1）式得：
2L
N 8L I 128L I
r 4T 2
d 4T 2
N
d12
d
2 2
d 4 T12 T 2
（4）
(5)
实验内容
1、使圆盘作扭转振动，测出往返振动30个周期所需时间，
重复测5次，数据记入表 1。
表1
测周期
无环时
有环时
30个周期 / s 周期 / s
平均周期 / s
T
T1
A类标准不确定度s (T) / s
合成标准不确定度 / s
u T s2 T u2 T
一、用扭摆测刚体的转动惯量
实验目的
用扭摆测定形状不同的物体的转动惯量。 学习几种常用测量工具的使用。 学习一种比较测量法。
实验原理
扭摆如图1所示，一根钢丝上端固定，下端悬一水平圆盘， 钢丝固定于圆盘中心。使圆盘旋转一 角度，释放后圆盘就以钢丝为轴作扭 转振动。这种振动为角谐振动，这样 的装置就叫扭摆。其振动周期T满足：
25
30
35
表5
圆环d外（m）
圆环d内（m）
圆环m环（kg） 圆盘d盘（m）
圆盘m盘（kg）
根据表4数据，用坐标纸作出m～1/t-2图线，在线上取两 点计算出直线的斜率k，进而算出转动惯量I台、 I台+环、 I台+盘。
计算环及盘转动惯量的理论值：
I环理
d外2
d内2 8
m环I盘理Fra bibliotekd盘2 8
m盘
2
1
3
5 4
图2 JM-2转动惯量 仪
设Mm为轴的摩擦力矩、T为绳中张力、r为塔轮半径，有： M Tr M I
T m(g a)
h 1 at2 2
a r
当g＞＞a时，由以上各式得
m
2hI gr 2
1 t2
M gr
k 1 t2
C1
（6）
由（6）式可知，保持h、r不变，测出不同砝码m对应的
记入表2
表2
环的质量 m（g）
环的内径d1（cm）
环的外径d2（cm）
4、用千分尺测出钢丝不同位置的直径，记入表3，并用米尺
测出钢丝长度L。
表3
测直径（cm） 校零示值Z。(cm) 直径示值Zd
L=
cm
1 2 3 4 5 6 平均值 标准差s
d Zd Z0
ud
s2
(Z0
)
s2 (Zd
)
仪 2 3
数据处理
1、将各直接测量的平均值分别代入式（4）和式（5），计 算I及 N 2、计算不确定度：
u rel
I
uc I
I
2
1 T
T12
T T
2
2
u
2 c
T
T1 T12 T
2
2
u
2 c
T1
d1
d12
I I U I
k
N N U N
k
有效数字和单位都不要写错。
二、用JM-2转动惯量仪测刚体转动惯量
实验目的
验证刚体的转动定理并测定刚体的转动惯量。 研究物体的转动惯量随质量和质量分布而改变
的规律。
实验原理
如图1，圆盘2可绕轴转动。绳绕在与滑轮子固连的塔轮 1上，滑轮3的摩擦可忽略，下端挂砝码4。在绳的张力作用 下，圆盘将作匀角加速运动。