21.4(1)无理方程
21.4 无理方程(1) 课件(13张ppt)
(2).解有理方程；代入无理方程的左、右两边
(3).检验；
若左边=右边，是原方程的根； 若左边≠右边，是原方程的增根，舍去.
(4).写出原方程的根；
解方程
(1). y 2 2
(2). y 2 y
【思考】 如何解下列方程
(1). y 2 - 2 0
(2). y 2 y 0
变形得：y 2 2例1.源自验x=4，x=-1是不是方程x 3x的 4解.
当x=4时
左边= 4
右边= 3 4 4 16 =4
∴左边=右边
∴x=4是方程 x 3x 4的解.
2.思考和尝试
如何解方程 x 3x 4
关键是如何去掉“根号”( a )2 =a 方程两边平方得：x2 ( 3x 4)2
即x2 3x 4 整理得： x2 3x 4 0 解得： x1 4，x2 1 都是原方程的解吗?
(1). 1 x 1 0 2
整式方程
(2). 1 1 0 分式方程 2x
(3). 2x 1 0 整式方程 (4). 2x 1 0 无理方程
(5). x 2 x 1
分式方程
(7). a 1 2x 1 整式方程
(6). x 1 无理方程 x 1
(8). 1 x 1 x3 2x
分式方程
一.问题引入 1.问题 在平面直角坐标系中,点A在x轴上，它与点 B(-1,3)之间的距离为5，求点A的坐标？
若设点A(x，0)， 可得： (x 1)2 9 5
特点：
含有根式 根号内含有未知数
无理方程
是一个方程
二.学习新知识
1.无理方程 方程中含有根式，且被开方数是含有未知
数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
检验
第3节 无理方程
第21章 第三节《无理方程》知识概要 1.无理方程的概念定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫无理方程。
2.代数方程的分类整式方程和分式方程统称为有理方程，有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程。
3.无理方程的求解思路解无理方程的基本思路是去根号，将无理方程转化为有理方程进行求解，再验根，把不符合题意 的根舍去，得到原方程的根。
方程变形的基本依据是等式的性质，解无理方程会涉及到乘方运算，所以要充分利用乘方与开方的运算性质进行同解变形，根据实际问题的背景，最后都需要验根。
经典题型精讲 (一)无理方程的概念例1.在方程x x =+532、23-=+x 、373=-x 、0342=-+x 中，哪些是无理方程?试一试：在方程①0=+x x ，②021=++x ，③07232=-+x x ，④0312=+-+x x ，⑤2113=---x x x ，⑥0251=-+xx 中，是无理方程的是______________.(只要填写方程的序号)例2.不解方程，试说明下列方程为什么无实数根?(1))1(5222+-=+x x (2)1=-+x x (3)119-=+-+x x (4)142=+x试一试：不解方程，说明下列方程是否有实数根：(1)01212=-+-x x (2))()(4)(22b a b a x x b a ≤-=--(3)523=-+-x x (4)012=-++y y(二)无理方程的求解 例3.解下列方程：(1)x x =+32 (2)011=-+-x x (3)3621=-+⋅-x x x试一试：解下列方程：(1)6922=--x x (2)03)2(=--x x (3)0232=--⋅-x x例4.解下列方程：(1)1542++=-x x (2)734=-++x x (3)1342=+-+x x (4)23823=--+x x (5)77=-+x x (6)x x x -=+-1342例5.解下列方程：(1)x x x -=---6112 (2)533265-=---x x x例6.解下列方程：(1)625222=+++x x x x (2)2)5(31522=++++x x x x换元法试一试：解下列方程：(1)215325322=++++x x x x (2)1725210422=+-+-x x x x(3)21212=--+-+x x x x (4)820x -=例7.解下列方程：(1)0226622=-----x x x x x (2)0166422=-----x x x x x例8.解下列方程：(1)335836522-=+-+-+x x x x x (2)14222=+++x x x x试一试：解下列方程：(1)315112622-=+-+--x x x x x (2)x x x x x 242222-=++++(3)1168143=--++--+x x x x(三)无理方程的解的讨论例9.已知关于x 的方程142=+--a x x 有一个增根4=x 。
§21.4无理方程(1)
3、将方程 x − 1 − 2 x = 0 化成有理方程．
2
师：强调解形如这样的无理方程的关键是使 二次根式单独在等式一边．
呈 现 一 次平方的其 他题型，移项 后再平方，从 2 解：移项，得 x − 1 = 2 x ． 而巩固解无 理方程的基 2 2 两边同时平方， x − 1 = 4 x ． 得 本思想方法．
2、解简单的无理方程的一般步骤，用流程图 可表述为：
在 学 生 对于解无理 方程有了具 体感受和实 践经验后，师 生一起归纳 解无理方程 的一般步骤， 然后用流程
3
ห้องสมุดไป่ตู้ 图进行表述．
三、巩固练习 1、课后练习 3
2、解方程： x + 2 = − x ．
学生独立完成，两位学生板书， 师生共同纠正 解： 两边平方，得 x + 2 = x ，
问 1：这个方程是今天刚刚学习的无理方程， 答 1：通过去分母，将分式方程 我们还不会求解．回忆一下之前我们是如何 转化为整式方程． 解分式方程的，是将分式方程转化为什么方 程？如何转化？ 问 2：是不是可以将无理方程转化已学习过 的方程来求解呢，转化为什么方程？ 问 3：如何转化？ 根据等式性质，若 p = q ，则 p = q 以
无理方程（ §21.4 无理方程（1）
普陀区课题组
教学目标： 教学目标： 1．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念． 2．经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想． 3．知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法． 教学重点及难点 及难点： 教学重点及难点：无理方程的解法． 教学过程： 教学过程： 教师活动 我们已经学习了整式方程、分式方程， 还有没有其它类型的方程呢？ 学生活动 设计意图 引 发 学 生的思考，带 着困惑和好 奇学习新知．
无理方程的解法
无理方程解法定义：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．1．平方法解无理方程例1解方程1x=分析：移项、平方，转化为有理方程求解．解：1=+x两边平方得：2+=++x x x721移项，合并同类项得：260+-=x x解得：3x=x=-或2检验：把3x=-是增根．x=-代入原方程，左边≠右边，所以3把2x=是原方程的根．x=代入原方程，左边 = 右边，所以2所以，原方程的解是2x=．说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．例2解方程3=分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．解：3=-两边平方得：3293-=-++x x整理得：1427=-⇒=-x x两边平方得：2+=-+x x x9(3)4914整理得：223220x x -+=，解得：1x =或22x =．检验：把1x =代入原方程，左边=右边，所以1x =是原方程的根．把22x =代入原方程，左边≠右边，所以22x =是增根．所以，原方程的解是1x =．例3解方程解：移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x 2＋3x-28＝0，所以 x 1=4，x 2=-7．经检验知，x 2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明：含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．2．换元法解无理方程例4 解方程 23152x x ++=分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)x x x x ++=++y =，这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程处理．解：y =，则2222513153(1)x x y x x y ++=⇒+=-原方程可化为：23(1)22y y -+=，即23250y y +-=，解得：1y =或53y =-．(1)当1y =215010x x x x =⇒+=⇒=-=或；(2)当53y =-0y =≥，所以方程无解．检验：把1,0x x =-=分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是1,0x x =-=．说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．例5解方程分析与解 注意到(2x 2-1)-(x 2-3x-2)=(2x 2+2x+3)-(x 2-x+2)． 设则u 2-v 2＝w 2-t 2， ① u+v=w+t ． ②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t ． ③②＋③得u=w ，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．3.用公式法解例6 解方程即所以移项得4.分式无理方程例 7 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．。
无理方程解法
无理方程解法教学目标1. 理解无理方程的概念，会识别无理方程2. 掌握无理方程的基本解法,通过去根号转化成有理方程求解3. 理解解无理方程需要验根，并掌握验根的方法教学重难点1. 通过探索换元法解无理方程的原理,提高观察力和代数变形能力2. 通过代数变形合理化简无理方程教学内容知识梳理一.概念方程中含有根式,切被开放数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程. 整式方程和分式方程统称有理方程,有理方程和无理方程统称代数方程.二.解法基本思想:将无理方程转化为有理方程.基本方法:(1)两边平方法(2)换元法⎧⎨⎩两个根式互为倒数时根号外与根号内含未知数项的系数对应相等或成比例时验根:把解得的无理方程的根代入原方程检验,既要看每一个根式是否有意义,同时还要看方程左右两边是否相等,只有同时满足以上两点的根才是原方程的根,否则是增根.概念一.判断方程属于哪种类型73x =+22=6=1=+8=9=二.不解方程,判断无理方程解的情况8=-0=2x =-6=10= (6). 241=--+-x x三,填空题1.在一元一次方程,一元二次方程,分式方程,无理方程中必须验根的是______________2.1=的根是___________3.若关于x m =无实数解,则m __________k x =-的根是________=的根为________6.m =的根为1,2x =m 的值为______________7.满足34)1(342--=-x x x 的x 的值有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个两边平方法解下列方程(1) 2x =0=(3) 2)2x =3=x 1=- (6)6x -=(7) 2232=--+x x (8) 01582=++-+x x(9) 33x 2x 3=++- (10) 972=-++x x=换元法 1.解方程112421222+++=+x x x x 时，若设y x x =++1242，那么，原方程可变为关于y 的方程 。
八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制
八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制一. 教材分析八年级数学下册21.4无理方程2教学设计沪教版五四制，这一节内容是在学生已经掌握了无理数的概念、实数的概念以及一元二次方程的解法的基础上进行学习的。
无理方程是实数范围内的一类方程，它不能用传统的解法直接求解，需要采用特殊的方法。
本节内容主要介绍了求解无理方程的方法，包括换元法、有理化方法等，以及如何运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于无理数和一元二次方程的概念有一定的了解。
但是，对于无理方程的解法，大部分学生可能会感到困惑，因此需要通过实例讲解，让学生理解无理方程的解法，并能够运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握无理方程的解法，能够运用无理方程的解法解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解，培养学生解决无理方程的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等。
2.教学难点：如何运用无理方程的解法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例讲解法、问题驱动法、合作交流法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决无理方程。
2.新课讲解：讲解无理方程的解法，包括换元法、有理化方法等，并通过实例进行讲解。
3.课堂练习：让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
4.实际问题解决：让学生运用无理方程的解法解决实际问题。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调无理方程的解法和实际问题的解决方法。
七. 说板书设计板书设计如下：无理方程的解法设t = a + b√c ，则原方程可以转化为关于 t 的一元二次方程。
2.有理化方法将方程两边同时乘以共轭式，将无理方程转化为有理方程。
八. 说教学评价通过课堂练习和实际问题解决的情况，评价学生对无理方程解法的掌握程度。
21.4(1)无理方程
下列关于x的方程属于哪一种类型？
2 (1) x3 x2
(2) x 1 0
5
1 3 7 (3) x 5 12
(4) x 2 2x 20 0
4 2
(5)ax a 1(a 0)
x 3x 2 (6) 1 5
2
(7) 3x 2 2
(8) x 2 x
方程两边同时平方。 如何“检验”？
代入原方程， 看等式是否成立。
舍去
写出原方程的根 结束
(1) 2 x 3 x
2 2 ( 2 x 3) x 方程两边平方，得：________________， 解： x2 2x 3 0 整理，得_______________________ ， 3 ，x2=_____ 解这个方程，得 x1=_____ 1 。 3 ， 3 代入原方程两边，左边=_____ 检验：把x=_____ 右边，可知x=_____ 3 是 3 ，由左边____ 右边=_____ _____________________ 。 原方程的根 1 代入原方程两边，左边=_____ 1 ，右边 把x=_____ 1 ，由左边____ 右边，可知x=_____ 1 是 =_____ 原方程的增根，应舍去 。 ______________________ x3 所以，原方程的根是______________ 。
间的距离是15，求点P的坐标。
下列关于x的方程属于哪一种类型？
2 (1) x3 x2
1 3 7 (3) x 5 12
(4) x4 2 2x2 20 0
(5)ax a 1(a 0)
x 3x 2 (6) 1 5
2
分式方程
整式方程
无理方程(1)
1 无理方程 知识定位
未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理
1、无理方程：根式方程就是根号内含有未知数的方程。
根式方程又叫无理方程。
有理方程和根式方程(无理方程)合称为代数方程
常用方法：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法。
2、解无理方程的步骤：去根号、解有理方程、检验、总结。
注意点：用乘方法化无理方程为有理方程并求出其解后，应验根：
1）有理方程的解满足无理方程时，其为无理方程的解；
2）有理方程的解不满足无理方程时，其为无理方程的增根；
3）有理方程的所有解都是无理方程的增根时，原无理方程无解。
例题精讲
【题目】解方程 71x x +-=
【答案】3x =-或2x =
【解析】 移项得：71x x +=+
两边平方得：2721x x x +=++ 移项，合并同类项得：260x x +-=
解得：3x =-或2x =
检验：把3x =-代入原方程，左边≠右边，所以3x =-是增根．
把2x =代入原方程，左边 = 右边，所以2x =是原方程的根．
所以，原方程的解是2x =．
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
① 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；。
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x ( x 1) 11 2 x
2 2
2x2 6x 0
x 1 2 Байду номын сангаасx
x 2 x
1 2x 1 2 2x 1
方程中含有根式，且根式里含有未知 数，这样的方程叫做无理方程 无理方程也可叫做根式方程
判断下列关于x的方程是不是无理方程？若不是， 请说出它是什么方程？
(1) x 2 5x 1 0
2
×
(4)
a 1 2x 7×
(2) x 5 x 1 0 √
(3)
x 1 7 0
√
1 (5) x 2 x 1 x (6) 3× x3 2x
√
思考
怎样解无理方程
x 3x 4
解简单无理方程的一般步骤：
无理方程 写出原方程的根 是 否(舍去) 检验 有理方程的根 代入原方程 去根号
有理方程 解这个方程
解方程:
2 x x 1
2
方程两边平方得:
(2 x x) 1 即： 4x 4x x x2 1
小丽
移项，方程两边平方得:
小明
(2 x ) 2 (1 x) 2 即： 4x 1 2x x2
练一练
用一根12厘米长的细 铁丝弯折成一个直角三角形，使 得两条直角边的差为1厘米，求 它各边的长？
用一根12厘米长的细铁丝弯折成 一个直角三角形，使得两条直角 边的差为1厘米，应该怎样弯折？
若设较短直角边为x厘米，则可得方程 ：
2 2 x ( x 1 ) x+x+1+ =12
即： x 2 ( x 1) 2 =11-2x
x+1 x
x 2 ( x 1) 2
观察
下列左边各方程与右边各方程相比它具有什么特征？
是方程
的根，
今天你学到了什么？
课外练习
一、判断题 1、无理方程的根一定是无理数 2、含有根号的方程叫做无理方程
×
×
3、如果x=a使无理方程中的根式为零， 就称x=a是该方程的增根 × 4、解无理方程验根时，只要考虑每个 根式有意义即可 ×
谢谢！
x ( x 1) 11 2 x
2 2
x+1 x
x 2 ( x 1) 2
解：若设较短直角边为x厘米，则可得方程 ：
已知x=-1是方程 的一个根，求方程的另一个根． 解： 把x=-1代入方程 得：
经检验：
是方程 是方程 代入关于x的方程
的根， 的增根,应舍去． 得
∴把
经检验： ∴方程的另一个根是