2020年山西运城高三一模数学试卷(理科)
2020年山西运城高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则等于（ ）．A. B. C. D.2.复数，若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）．A. B. C. D.3.已知，则（ ）．A. B. C. D.4.函数的图象大致是（ ）．A.B.C.D.5.已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为（）．A.B.C.D.6.公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）．A.米B.米C.米D.米7.某人年的家庭总收入为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储蓄费用为（ ）．0%5%10%15%20%25%30%35%40%储蓄衣食住旅行就医40%35%30%25%20%15%10%5%0%储蓄衣食住旅行就医A.元B.元C.元D.元正视图侧视图俯视图8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）．A.B.C.D.9.已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）．A.B.C.函数在上单调递减D.函数的图象关于点对称10.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则，的关系为（ ）．A.B.C.D.11.一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）．A.B.C.D.12.设是函数的导函数，且满足，若在中，，则（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则 ．14.设，满足约束条件，则目标函数的最小值为 ．15.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点(不与重合)，若以线段为直径的圆恰好经过，则点到抛物线顶点的距离的最小值是 ．16.已知中，，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列的前项和为，且满足，，，，各项均为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式．若，求数列的前项和．（1）（2）18.在创建”全国文明卫生城”过程中，运城市”创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：组别频数由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求．在（）的条件下，”创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）概率现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：，若，则，，．19.已知椭圆：的长轴长为，离心率．（1）（2）求椭圆的方程．设，分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．（1）（2）20.已知函数．当时，证明，在恒成立．若在处取得极大值，求的取值范围．图图（1）（2）（3）21.如图，与是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，，，，连接，是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图所示的六面体．求证：．设，若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值．若平面底面，求六面体的体积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.曲线的参数方程为（为参数），在以原点О为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程．若直线与曲线，的交点分别为，（，异于原点），当斜率时，求的最小值．23.已知函数．【答案】解析:∵，，∴，故选项正确．解析:由复数，复数、在复数平面内对应的点关于虚轴对称，则，．故选．解析:．故选．解析:的定义域为．∵，∴为偶函数，故排除、．时，，（1）（2）当时，求不等式的解集．，的图象与两坐标轴的交点分别为，，，若三角形的面积大于，求参数的取值范围．C 1.A 2.B 3.A 4.∴．∵时，，且时，恒成立，∴在单调递增．∵时，，且，∴在单调递减．故选．解析:∵，且，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为．故选．解析:由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，且，，，所以乌龟爬行的总距离为．故选．解析:年就医费用（元），年就医费用（元），A 5.D 6.D 7.则费用为（元）．故选．解析:如图所示三棱锥即为三视图还原的直观图，则，，，，∴，∵平面，∴，∴为直角三角形，∴，同理，∵平面，∴，∴为直角三角形，∴，∴该三棱锥最长的棱为．故选．解析:由题意得函数的最小正周期，∵在上单调，所以，得，∵，，D 8.B 9.∴在上单调递减，又∵，，∴，解得，∴，故选项错误；又∵，故选项正确；当时，，所以函数在上单调递增，故选项错误；∵，∴点不是函数图象的对称中心，故选项错误．综上所述，故选．解析:设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，，双曲线的实半轴长为，依题意有，，以上两式分别平方相加与相减得：，，在中，由余弦定理有：，所以，，∴，∴．综上所述．故选．解析:如图，正四棱锥中，底面是正方形，A 10.B 11.边长为，高，是中点，则，，∵球的表面与这个四棱锥的每个边都相切，∴球心在上，设球心为，球心到棱的距离为，即，则，则，作，垂足为，则球心到棱的距离为，即，易知，则，即，化简得，解得，则该球的表面积为．故选．解析:的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则，故．故答案为：．解析:D 12.13.14.由题可知：作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，如图，yxO联立，解得：．联立，解得：．的交点为．化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过时，直线的截距最小，此时最小，．∴，∴的最小值为．15.解析:不妨设点在轴上方，则，∵，∴，∵，∴，∴所在的直线方程为①由，可知抛物线轴上方的曲线方程为，∴，∴的直线方程为②，联立①②可知，∴点在抛物线的准线上．∴的最小值为．16.解析:∵，且，∴，设，则，在中，由余弦定理知，∵，∴，即，令，则，当时，，∴在单调递减，∴，，即单调递减，，，即单调递增，∴，即，（1）（2）∴，即的取值范围是．解析:∵可化为，∴，∴，∴，又时，，∴，∴数列是从开始成等差数列，∵，代入，得，∴，∴是首项为，公差为的等差数列，∴，∵，，．，，，∴两式相减得，∴．解析:（1），．（2）．17.（1）．（2）．18.（1）（2）（1）（2）由题意得，∴，∵，∴，，综上，．由题意知，，获赠话费的可能取值为，，，，，，，，，．的分布列为：∴．解析:依题意得，解得，则椭圆的方程为．设，则，直线：，令，得，则．直线：，令，得，则，（1）．（2）与面积之差为定值，证明见解析．19.（1）（2）∴．解析:，所以，令，则，所以是的增函数，故，即．因为，所以，①当时，，所以函数在上单调递增，若，则，若，则，所以函数的单调递增区间是，单调减区间是，所以在处取得极小值，不符合题意；②当时，，所以函数在上单调递减，若，则，若，则，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以在处取得极大值，符合题意；（1）证明见解析．（2）的取值范围是．20.（1）（2）③当时，，使得，即，但当时，，即，所以函数在上单调递减，所以，即函数在上单调递减，不符合题意，综上所述，的取值范围是．解析:不妨设与的交点为，与的交点为，由题知，，，则有，又，则有，由折叠可知，，所以可证，由，平面，平面，则有平面，又因为平面，所以．依题意，有，平面平面，又平面，则有平面，可证，又由题意知，，以为坐标原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，，由可知，，，则，，，，，，（1）证明见解析．（2）．（3）六面体的体积的最大值是．21.（3）（1）则有，，，，设平面与平面的法向量分别为，，则有，则，所以，易得，解得．设所求几何体的体积为，设，则，∴，∵，∴当时，，当时，，∴在是增函数，在上是减函数，∴当时，有最大值，即，∴六面体的体积的最大值是．解析:曲线的直角坐标方程为：，即，∴曲线的极坐标方程为：，即，（1）曲线的极坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：．（2）．22.（2）（1）（2）∵曲线的极坐标方程为：，即∴曲线的直角坐标方程为：．设直线的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程，得，∴，把直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程，得，即，即，∴ ，∵，即，∴，∴，∴，当且仅当 ，即时取等号，故的最小值为．解析:当时，不等式可化为，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，综上，不等式的解集为：．，∴的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，，，∴三角形的面积：，由，得或（舍），∴．（1）不等式的解集为：．（2）．23.。
2020届山西省运城市高三调研测试(第一次模拟)数学(理)试题
运城市2020年高三调研测试数学（理）试卷本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓 名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.、1.已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B I 等于（ ）A. {}11x x -<<B. {}1,0,1-C. {}1,0-D. {}0,12.复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A. 345i+-B.345i+ C. 34i -+D.345i-+ 3.已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=（ ）A.B.710C. 10-D. 710-4.函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A. B.C. D.5.已知平面向量,a b r r ，满足1,13a b ==r r ，且2a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 6.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A.5101900-米 B.510990-米 C.4109900-米 D.410190-米 7.某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A. 21250元B. 28000元C. 29750元D. 85000元8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A. B. 4 C. 2D. 9.已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A. 12ω=B. 82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10.已知12,F F 是椭圆和双曲线公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A.2212314e e += B.221241433e e += C.2212134e e += D. 221234e e +=11.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2该球的表面积为（ ）A.B. 4πC.D. 3π12.设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A. ()()22sin sin sin sin f A B f B A <B. ()()22sinC sin sin sin f B f B C <C.的()()22cos sin sin cos f A B f B A > D. ()()22cosC sin sin cos f B f B C >第II 卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第.22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上)13.已知()1nx +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =__________.14.设,x y 满足约束条件3036x y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_.15.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点(不与M 重合)，若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离ON 的最小值是__________. 16.已知ABC ∆中,AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是__________.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*11911,02,,6n n n a n a a n S n N +--=->≥=∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足1234,b a b a == （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）若12n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T 18.在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：.（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198,Z N μμ-似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求38.2(.)802P Z <≤； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望.14≈，若()2,X Nμσ-，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=19.已知椭圆C ()222210,0y x a b a b +=>>的长轴长为4，离心率2e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设,A B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由.20.已知函数()()2cos f x ax x a R =+∈（1）当12a =时，证明()'0f x ≥，[0,)+∞恒成立；（2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围. 21.如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈u u u r u u u r 若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF所成角的余弦值为5，求λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.请考生在22、23两题中任选--题作答，如果多做，则按所做的第一-题记分.作答时请写清题号.22.曲线1C 的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=. (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A 、B （A 、B 异于原点），当斜率k ∈时，求1OA OB+的最小值. 23.已知函数()()210f x x x m m =+--> （1）当2m =时，求不等式()1f x ≤解集；（2）()()()2,g x f x g x =-的图象与两坐标轴的交点分别为,,A B C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围.。
2020年山西运城高三下学期高考模拟理科数学试卷(二)(5月)-学生用卷
2020年山西运城高三下学期高考模拟理科数学试卷（二）（5月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第1题5分i是虚数单位，i5+i=（）．A. 126+526iB. 126−526iC. −126+526iD. −126−526i2、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第2题5分已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|x2⩽1}，则集合A∩B的子集个数为（）．A. 2 B. 4 C. 8 D. 163、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第3题5分在区间[3,15]上随机取一个数，其满足log3x⩾2的概率是（）．A. 12B. 13C. 23D. 164、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第4题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区西安电子科技大学附属中学高二上学期期中文科第3题若双曲线C:mx2−y2=2的实轴长等于虚轴长的一半，则m=（）．A. 14B. 12C. 4D. 25、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第5题5分已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且公比q∈(0,1)∪(1,+∞)，则（）．A. S2n2=S n S3nB. S n+1>S nC. S2n=S n(1+q2n)D. (S6S3−1)2=S12S6−16、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第6题5分《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的x=1，则输出的y值是（）．A. 22B. 46C. 94D. 1907、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第7题5分已知向量a→，b→满足a→=(3m,2)，a→+3b→=(6m,5)，且a→在b→方向上的投影是5√22，则实数m=（）．A. 2B. ±2C. 1D. ±18、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第8题5分2020~2021学年11月西藏拉萨城关区西藏自治区拉萨中学高三上学期月考文科第10题5分在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BC =2，AB =BB 1=4，E ，F 分别是A 1D 1，CD 的中点，则异面直线A 1F 与B 1E 所成角的余弦值为（ ）．A. √10234B. −√10234C. √55D. √669、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第9题5分已知向量a →，b →满足|a →|=3，|b →|=2，且a →|a →|−b →|b →|=(35,45)，则|a →−b →|=（ ）．A. √7B. 2C. 2√2D. 310、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第10题5分过直线x +y +2=0 上一点P ，作圆(x −3)2+(y +1)2=16的两条切线，切点分别为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，若y 22−y 12=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2)，则|PA |=（ ）．A. 8B. 4√5C. 4√13D. 1011、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第11题5分已知实数m 是给定的常数，函数f (x )=x 3+1−3m 2x 2−mx +1的图象不可能是（ ）．A.B.C.D.12、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第12题5分已知[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)=2x2x+m (m>0)的图象关于点(0,12)对称，且方程[f(x)+n]=2020有实根，则mn的取值集合为（）．A. (2019,2020]B. (2019,2021)C. [2020,2021]D. [2019,2021]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第13题5分2020年新型冠状病毒疫情期间，某机构调查了甲、乙两所医院各10名治愈出院患者的住院天数，绘制成茎叶图如图所示，则甲、乙两所医院各10名治愈出院患者的住院天数的中位数之和是．14、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第14题5分若x，y满足约束条件{x−y−1⩽02x−y+2⩾0y⩽2，则z=3x+y的最大值为．15、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第15题5分已知cos(x+π4)=14且x∈(−π4,π4)，则cos8x+2sin5xsin3x=．16、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第16题5分已知三棱锥A1−ACD中，侧棱AA1⊥底面ACD，AD⊥CD，AA1=AD=CD=2，则三棱锥A1−ACD的外接球的体积为．三、解答题（本大题共5分，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第17题12分在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若√2c−ba=sinCtanA−cosC．(1) 求角A．(2) 若b=3√2，c=2，点D为BC中点，求a及AD．18、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第18题12分如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，BD是线段AC的中垂线，BD与AC交于点O，AC=8，PD=2，OD=3，OB=5．(1) 证明：平面PBD⊥平面PAC．(2) 求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．19、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第19题12分国庆节来临，某公园为了丰富广大人民群众的业余生活，特地以“我们都是中国人”为主题举行猜谜语竞赛．现有两类谜语：一类叫事物谜，就是我们常说的谜语；另一类叫文义谜，也就是我们常说的灯谜，共8道题，其中事物谜4道题，文义谜4道题，孙同学从中任取3道题解答．(1) 求孙同学至少取到2道文义谜题的概率．(2) 如果孙同学答对每道事物谜题的概率都是23，答对每道文义谜题的概率都是12，且各题答对与否相互独立，已知孙同学恰好选中2道事物谜题，1道文义谜题，用X表示孙同学答对题的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．20、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第20题12分已知抛物线C：y2=2px（p>0）经过点(1,−2)，过点M(8,−4)的直线与抛物线C交于A，B两点．(1) 求抛物线C的方程．(2) 在抛物线C上是否存在定点N，使得NA→⋅NB→=0若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第21题12分函数f(x)=2e x+ax，g(x)=xe x+2，其中常数a∈R．(1) 若函数f(x)与g(x)有相同的极值点，求a的值．(2) 若a<0，判断函数f(x)与g(x)图象的交点个数．四、选考题（本大题共2小题，共10分，选做1题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=3+2cosθy=4−2sinθ，（θ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρsin(θ+π4)=k（k∈R）．(1) 当k=2时，判断直线l与曲线C的位置关系．(2) 若直线l与曲线C相交所得的弦长为2√3，求k的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（二）（5月）第23题10分已知函数f(x)=|3x+6|，g(x)=|x−3|．(1) 求不等式f(x)>g(x)的解集．(2) 若f(x)+3g(x)⩾a2−2a对于任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;10 、【答案】 A;11 、【答案】 B;12 、【答案】 B;13 、【答案】22;14 、【答案】11;;15 、【答案】√15816 、【答案】4√3π;17 、【答案】 (1) π．4;(2) a=√10，AD=√34．2;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 16√17．85;19 、【答案】 (1) 1．2;(2)E(X)=11．6;20 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) 抛物线C上存在定点N(4,4)，使得NA→⋅NB→=0，证明见解析．;21 、【答案】 (1) −2e．;(2) 当a⩽−1时，函数f(x)与g(x)的图象有1个交点；当−1<a<0时，函数f(x)与g(x)的图象有3个交点．;22 、【答案】 (1) 直线l与圆C相离．;(2) k=7−√2或k=7+√2．;23 、【答案】 (1) (−∞,−92)∪(−34,+∞)．;(2) [−3,5]．;。
2020届山西省运城市高三调研测试(第一次模拟)数学(理)试题(解析版)
20．已知函数
（1）当 时，证明 ，在 恒成立；
（2）若 在 处取得极大值，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）根据 ，求导 ，令 ，用导数法求其最小值.
设 研究在 处左正右负，求导 ，分 ， ，三种情况讨论求解.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先通过复数 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到 ，再利用复数的除法求解 .
【详解】
因为复数 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数 ，
所以
所以
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.
3．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【答案】
【解析】设 ，利用正弦定理，根据 ，得到 ①，再利用余弦定理得 ②，①②平方相加得： ，转化为 有解问题求解.
【详解】
设 ，
所以 ，即 ①
由余弦定理得 ，
即 ②，
①②平方相加得： ，
即 ，
令 ，设 ，在 上有解，
所以 ，
解得 ，即 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.
【详解】
（1） 可以化为 ，
，
，
，
又 时，
数列 从 开始成等差数列，
，代入
得
是首项为 ，公差为 的等差数列，
，
.
（2）由（1）得 ，
，
，
两式相减得
，
，
.
【点睛】
2020年4月山西省运城市2020届高三毕业班调研测试(一模)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前山西省运城市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次质量调研测试(一模)数学(理)试题(解析版)2020年4月本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.、1.已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭,则A B 等于（ ） A. {}11x x -<<B. {}1,0,1-C. {}1,0-D. {}0,1【答案】C【解析】【分析】 先化简集合A ,再与集合B 求交集.【详解】因为{}10212x A x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭,{}1,0,1B =-, 所以{}1,0A B ⋂=-.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法,属于基础题.2.复数12z i =+,若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,则12z z 等于（ ） A. 345i +- B. 345i + C. 34i -+ D. 345i -+ 【答案】A【解析】【分析】先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,得到22z i =-+,再利用复数的除法求解12z z . 【详解】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,且复数12z i =+, 所以22z i =-+ 所以()()()122223422255+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义,属于基础题.3.已知tan 3α=,则2cos sin 2αα+=（ ）A. 10B. 710C. 10-D. 710- 【答案】B【解析】【分析】。
2020年山西省运城市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年山西省运城市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x−14−x >0,x ∈Z}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {1,2，3，4}C. {1,2，3}D. {1,2，3，5}2. 若复数z 1=1+3i ，z 2=2+i ，则z1z 2=( )A. 1+iB. 3+3iC. −1+7iD. 3+4i3. 已知角α满足tanα=2，则cos 2α+sin2α等于( )A. √5−1B. 1C. √5+1D. 24. 函数f(x)=lg(|x|+x 2)(|x|−1)x的图象大致为( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则∠B =( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°6. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿喀琉斯悖论：他提出让乌龟在阿喀琉斯前面1000米处和阿喀琉斯赛跑，并且假定阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿喀琉斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿喀琉斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿喀琉斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以，阿喀琉斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿喀琉斯和乌龟的距离恰好为10−2米时，乌龟爬行的总距离为( )A. 104−190米 B. 105−1900米 C. 105−990米 D. 104−9900米 7. 如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 39.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图像如图所示，则f(1)=()A. 2B. 3C. 4D. 510.如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为F1，F2，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=60∘，设它们的离心率分别为e1，e2，则(e1⋅e2)min=()A. 1B. √32C. 2 D. √6411. 已知球O 是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2√5的正四棱锥S −ABCD 与一个高为6的正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1拼接而成，则球O 的表面积为( )A.100π3B. 64πC. 100πD.500π312. 已知f(x)为二次函数，其导函数f′(x)满足f′(x)lnx <f(x)x，则有( )A. f(2)<f(e)ln2，2f(e)>f(e 2)B. f(2)<f(e)ln2，2f(e)<f(e 2)C. f(2)>f(e)ln2，2f(e)<f(e 2)D. f(2)>f(e)ln2，2f(e)>f(e 2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (√x +2x 2)n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于________．14. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____． 15. 已知A 是抛物线y 2=4x 上的一点，以点A 和点B(2,0)为直径的圆C 交直线x =1于M ，N 两点．直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点．(1)求线段MN 的长；(2)若OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与|MN|相等，求直线l 的方程． 16. 在△ABC 中，AC =7，BC =13，D 在边BC 上，BD =10，AD =5，则AB =________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{n+1a n}的前n 项和为T n ，求T n ．18.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84)．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X满足60.6mm−69.4mm为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望．(参考数据：若X−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544；P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．x3+ax+4(a∈R)在x=2处有极值.20.已知函数f(x)=13(1)求a的值；(2)求f(x)在[0, 3]上的最大值和最小值；21.如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°(如图2所示)，(1)当BD的长为多少时，三棱锥A−BCD的体积最大；(2)当三棱锥A−BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3角坐标系xOy．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，其中(φ∈R)，求|PQ|的最大值．23.设函数f(x)=|2x+2|+|2x−3|．(1)求不等式f(x)>7的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≤|3m−2|有解，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|1<x<4,x∈Z}={2,3}；∴A∩B={2,3}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．把z1=1+3i，z2=2+i代入z1z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1=1+3i，z2=2+i，∴z1z2=1+3i2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=5+5i5=1+i．故选A．3.答案：B解析：解：∵tanα=2，则cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=1+2tanα2=1，故选：B．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.答案：A解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ， f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．5.答案：C解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题.由题意利用两个向量的数量积的定义可得BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可求出答案． 解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以cosB =−12， 故∠B =120°， 故选C ．6.答案：B解析：本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }，写出a 1、q 和a n ，由此求出乌龟爬行的总距离S n ． 解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }， 且a 1=100，q =110，a n =10−2； ∴乌龟爬行的总距离为S n=a1−a n q1−q =100−10−2×1101−110=105−1900．故选B．7.答案：B解析：本题考查了读图识图的能力，属于基础题．A选项，2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为6000万，是图中最大的，2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为3%，也是最多的．故A对．B选项，2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，故B错．C选项，从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C对，D选项，我国劳动年龄人口占总人口比重最大为2011年，约为74%，最小为1992年，约为67%，故极差超过6%.D对．故选：B．8.答案：D解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题．首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可．解：三视图表示的几何体为三棱锥D−ABC，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD=√CD2+BC2=√4+4+1=3．故选D．9.答案：B解析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，考查推理能力和计算能力，属于一般题．先由图象求出A、ω和φ，再赋值计算即可．解：由题意可知A=3，T=2×(7−3)=8，所以ω=2π8=π4．因为函数f(x)的图像经过点(3,0)，所以3π4+φ=π+2kπ(k∈Z)，φ=π4+2kπ(k∈Z)．又φ∈[0,2π)，所以φ=π4，所以f(1)=3．故选B．10.答案：B解析：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c.由题意与双曲线的定义得到∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，在△F1MF2中根据余弦定理可得到1e12+3e22=4，再由基本不等式求最值．解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，不妨取第一象限的公共点为M，则根据椭圆及双曲线的定义：|MF1|+|MF2|=2a1，|MF1|−|MF2|= 2a2，∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，设|F1F2|=2c，∠F1MF2=60°，在△MF1F2中由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)cos60°，化简得：a12+3a22=4c2，该式可变成：1e12+3e22=4，∴4=1e12+3e22≥2√3e1e2，(当且仅当e2=√3e1时取等号)则e1e2≥√32．∴(e1⋅e2)min=√32．故选：B．11.答案：C解析：设球的半径为R，AB=2x，S到平面ABCD的距离为√20−2x2，列出半径的表达式，由勾股定理可得R2=32+2x2，由此求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．AC=√2x，解：设球的半径为R，AB=2x，12则球心到平面A1B1C1D1的距离为3，，几何体是由一个侧棱长为2√5的正四棱锥S−ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1拼接而成，S到平面ABCD的距离为√(2√5)2−(√2x)2=√20−2x2，则：√20−2x2+3=R，又勾股定理可得R2=32+2x2，∴R=5，x=2√2∴球的表面积为4πR2=100π．故选：C．12.答案：D解析：本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是一道中档题．，x∈(0,+∞)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数值的大小即可．构造函数g(x)=f(x)lnx，x∈(0,+∞)，解：令g(x)=f(x)lnx故g′(x)=f′(x)lnx−f(x)⋅1x(lnx)2，∵f′(x)lnx <f(x)x，∴f′(x)lnx −f(x)1x <0，∴g(x)在(0,+∞)递减， ∴g(2)>g(e)，即f(2)ln2>f(e)lne，f(2)>f(e)ln2，g(e)>g(e 2)，即f(e)lne >f(e 2)lne 2，2f(e)>f(e 2)，故选D ．13.答案：180解析：本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由(√x +2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，可得n =10.再利用通项公式即可得出． 解：∵(√x +2x )n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n =10． ∴(√x +2x 2)10的通项公式为：T r+1=C 10r(√x)10−r (2x 2)r=2rC 10r x5−5r2， 令5−5r 2=0，解得r =2．∴展开式的常数项=22C 102=180．故答案为180．14.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72． 故答案为：−72．15.答案：解：(1)设A(y 024,y 0)，圆C 方程为(x −2)(x −y 024)+y(y −y 0)=0， 令x =1，得y 2−y 0y +y 024−1=0，∴y M +y N =y 0，y M y N =y 024−1，|MN|=|y M −y N |=√(y M +y N )2−4y M y N =√y 02−4(y 024−1)=2．(2)设直线l 的方程为x =my +n ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则 由{x =my +n,y 2=4x消去x ，得y 2−4my −4n =0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4n ，∵OP →⋅OQ →=−3，∴x 1x 2+y 1y 2=−3，则(y 1y 2)216+y 1y 2=−3，∴n 2−4n +3=0，解得n =1或n =3，当n =1或n =3时，点B(2,0)到直线l 的距离为d =2，∵圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴y028=√1+m2，又m=y024−2y0，消去m得y02⋅y04+6416=64，求得y02=8，此时m=y024−2y0=0，直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．解析：(1)根据题意利用弦长公式求出即可得到MN的长；(2)设出直线l的方程为x=my+n，P，Q点的坐标，联立直线和抛物线方程，得到关于n的式子，解出即可得到直线方程．16.答案：5√3解析：本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式．根据余弦定理弦求出C的大小，利用正弦定理即可求出AB的长度．解：如图所示：∵AD=5，AC=7，DC=3，∴由余弦定理得cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅CD =72+32−522×7×3=1114，∴AB=√AC2+BC2−2AC·BC·cosC=√49+169−2×7×13×1114=√75=5√3故答案为5√3．17.答案：解：(1)∵S n=2a n−2，∴n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2−(2a n−1−2)，化为：a n= 2a n−1．n=1时，a1=2a1−2，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为2．∴a n=2n．(2)b n=n+1a n =n+12n，∴数列{b n}前n项和T n=22+322+⋯+n+12n，1 2T n=222+323+⋯+n2n+n+12n+1，∴12T n=1+122+123+⋯+12n−n+12n+1=1+14(1−12n−1)1−12−n+12n+1．∴T n=3−n+32n．解析：(1)S n=2a n−2，可得n≥2时，a n=S n−S n−1，化为：a n=2a n−1.n=1时，a1=2a1−2，解得a1.利用等比数列的通项公式即可得出．(2)b n=n+1a n =n+12n，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵μ=65，σ=2.2，μ−3σ=58.4，μ+3σ=71.6，∴P(X>71.6)=1−P(58.4<X≤71.6)2=1−0.99742=0.0013．∴测得一根钢管的直径为73mm为⼩概率事件，故该质检员的决定有道理．(2)∵μ=65，σ=2.2，μ−2σ=60.6，μ+2σ=69.4，∴P(60.6≤X≤69.6)=0.9544，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，∴Y～B(3,0.05)，且P(Y=k)=C3k⋅0.05k⋅0.953−k，k=0，1，2，3．∴次品数Y的分布列列为：∴E(Y)=3×0.05=0.15．解析：(1)计算P(X >μ+3σ)的概率，比较73与μ+3σ的大小得出结论； (2)求出合格品的概率，根据二项分布得出分布列和数学期望． 本题考查了正态分布的性质，二项分布列，属于中档题．19.答案：解：(1)∵椭圆的短轴长为2，∴b =1，又∵e =√1−b 2a2=√1−1a 2=√22，a 2=2,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)①F 2(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，{x 2+2y 2=2y =k(x −1)，x 2+2k 2(x 2−2x +1)=2,(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， x 1+x 2=4k 21+2k2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2，|x 1−x 2|=√16k 4(1+2k 2)2−4(2k 2−2)(1+2k 2)(1+2k 2)2=2√2√1+k 21+2k 2，|AB|=2√2(1+k 2)1+2k 2， ∵K AB K CD =−12，用−12k 替换上式中的k 得 ∴|CD|=√2(4k 2+1)2k 2+1， |AB|+|CD|=2√2(k 2+1)1+2k 2+√2(4k 2+1)1+2k 2=6√2k 2+3√21+2k 2=3√2．②由①知，x 1+x 2=4k 21+2k 2，M 点的横坐标为2k 21+2k 2，代入直线方程得y =k(2k 21+2k 2−1)=−k1+2k 2， 即M(2k 21+2k 2,−k 1+2k 2)，用−12k 替换M 点坐标k 得N(11+2k 2,k1+2k 2)，MN 的中点T 的坐标为(12,0)，S ΔOMN =12×OT ×|y M −y N |=14×|2k|1+2k 2=12×|k|1+2k 2=12×11|k|+2|k|≤122√2=√28，当且仅当|k|=√22时取等号． ∴ΔOMN 面积的最大值为√28．解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由b 根据离心率求出a 即可；(2)①设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，根据弦长公式求出|AB|，再根据斜率的关系求出|CD|，整理即可；②求出M，N的坐标，代入面积公式，利用基本不等式即可求解．20.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=x2+a，∴f′(2)=4+a=0，解得a=−4．经过验证满足条件．(Ⅱ)f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0得x=−2或x=2．当x变化时如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)−10+f(x)4单调递减极小值−43单调递增1因此，当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=−43．又由于f(0)=4，f(3)=1．因此函数f(x)在[0,3]上最大值为4，最小值为−43．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)f′(x)=x2+a，f′(2)=4+a=0，解得a.经过验证即可得出．(Ⅱ)f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0得x=−2或x=2.列出表格即可得出单调性极值与最值．21.答案：解：(1)设BD=x，则CD=3−x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3−x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD∴V A−BCD=13×AD×S△BCD=13×(3−x)×12×x(3−x) =16(x3−6x2+9x)设f(x)=16(x3−6x2+9x)x∈(0,3)，∵f′(x)=12(x −1)(x −3)，∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,3)上为减函数 ∴当x =1时，函数f(x)取最大值∴当BD =1时，三棱锥A −BCD 的体积最大； (2)以D 为原点，建立如图直角坐标系D −xyz ，由(1)知，三棱锥A −BCD 的体积最大时，BD =1，AD =CD =2∴D(0,0，0)，B(1,0，0)，C(0,2，0)，A(0,0，2)，M(0,1，1)，E(12,1，0)，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，1) 设N(0,λ,0)，则EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,λ−1,0) ∵EN ⊥BM ，∴EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即(−1,1，1)⋅(−12，λ−1，0)=12+λ−1=0，∴λ=12，∴N(0,12,0) ∴当DN =12时，EN ⊥BM设平面BMN 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，由{n ⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0及BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)得{y =2xz =−x，取n⃗ =(1,2，−1) 设EN 与平面BMN 所成角为θ，则EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12,0) sinθ=|cos <EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=|−12−1|√6×√22=√32∴θ=60°∴EN 与平面BMN 所成角的大小为60°解析：(1)设BD =x ，先利用线面垂直的判定定理证明AD 即为三棱锥A −BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x 的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；(2)由(1)可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N 的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N 点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN 的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3)，展开为ρ2=4ρ(12sinθ−√32cosθ)，可得直角坐标方程：x2+y2=2y−2√3x.即曲线C的直角坐标方程为：x2+y2+2√3x−2y=0．(2)曲线C可化为(x+√3)2+(y−1)2=4，可得圆心C(−√3,1)，半径r=2，|OC|=2，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，(φ∈R)，可知：点Q在x2+y2=1圆上．∴|PQ|≤|OC|+2+1=5，即|PQ|的最大值是5．解析：本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化、涉及圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)曲线C的极坐标方程为ρ═4sin(θ−π3)，展开为ρ2=4ρ(12sinθ−√32cosθ)，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．(2)曲线C配方可得圆心及其半径，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，(φ∈R)，可知：点Q在x2+y2=1圆上，由|PQ|≤|OC|+R+r可得最值．23.答案：解：(1)∵f(x)>7，∴|2x+2|+|2x−3|>7，当x≤−1时，不等式为：−2x−2−2x+3>7，∴解得x<−32；当−1<x<32时，不等式为：2x+2−2x+3>7，∴无解；当x≥32时，不等式为：2x+2+2x−3>7，∴解得x>2；∴综上，不等式f(x)>7的解集是{x|x<−32或x>2};(2)∵f(x)=|2x+2|+|2x−3|≥|2x+2−2x+3|=5，当且仅当(2x+2)(2x−3)≤0，时取等号，即−1≤x≤32∴f(x)的最小值为5，∵关于x的不等式f(x)≤|3m−2|有解，∴|3m−2|≥5，∴3m−2≥5或3m−2≤−5，∴解得m≤−1或m≥7，3,+∞)．∴实数m的取值范围是(−∞,−1]∪[73解析：本题考查了绝对值不等式的应用，解不等式．(1)根据绝对值不等式，讨论得到不等式的解集；(2)根据绝对值不等式的性质，得到f(x)的最小值为5，得|3m−2|≥5，求得m的范围．。
2020年山西省运城市实验中学高三数学理模拟试卷含解析
2020年山西省运城市实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3,0）+f（2,1）+f（1，2）+f（0，3）=A．45 B．60 C．120 D．210参考答案：C2. 一个圆台的三视图和相关数据如右图所示，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.参考答案：A3. 若函数有极值，则a的取值范围是（）A. (－∞,－2)B. (－2,2)C. (－∞,－2)∪(2,+∞)D. (2,+∞)参考答案：D,因为函数有极值，令,且,所以由二次函数的性质可得,求解可得本题选择D选项.4. 函数f（x）=?cosx的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．【解答】解：f（﹣x）=?cos（﹣x）=?cosx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，故选：C【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题5. 定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)的图像关于y轴对称，则A．f(0)>f(3) B．f(0)＝f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(－1)<f(3)参考答案：D函数f(x＋2)的图像关于y轴对称，说明这个函数是偶函数，即f(－x＋2)＝f(x＋2)，令x＝1，得f(1)＝f(3)，函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，故得f(－1)<f(1)＝f(3)．6. 已知实数满足，则的最大值为( ▲ )A．B．C．D．参考答案：B7. 已知e是自然对数的底数，不等式的解集为（）A. (－1,0)∪(3,+∞)B. (－1,0)∪(0,3)C. (－∞,－1)∪(3,+∞)D. (－∞,－1)∪(0,3)参考答案：A【分析】化简不等式，分x＞0，x＜0将不等式写为等价形式，再根据的单调性解不等式即可．【详解】∵∴，∴或，由于函数,在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故由上述不等式组解得，或，∴不等式的解集为：（-1，0）∪（3，+∞）．故选：A．【点睛】本题考查了函数单调性的应用，指数不等式的解法，关键是知道函数的单调性，属中档题．8. 设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( )A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3]D．[2,3]参考答案：A9. 若集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：A略10. 右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是720，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是（）A.0.28B.0.38C.0.72D.0.62参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则P（X=k）取最大值时，k的值为．参考答案：45,2.【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用组合知识能求出从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数；设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而能求出P（X=k）取最大值时，k的值．【解答】解：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n==45．设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴P（X=k）取最大值时，k的值2．故答案为：2．12. 已知实数x，y满足约束条件：，若只在点(4,3)处取得最小值，则a的取值范围是______．参考答案：【分析】由约束条件作出可行域，然后对进行分类，当时显然满足题意，当时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线的斜率的大小得到的范围．【详解】由实数x，y满足约束条件：作可行域如图，联立，解得．当时，目标函数化为，由图可知，可行解使取得最大值，符合题意；当时，由，得，此直线斜率大于0，当轴上截距最大时最大，可行解为使目标函数的最优解，符合题意；当时，由，得，此直线斜率为负值，要使可行解为使目标函数取得最大值的唯一的最优解，则，即．综上，实数的取值范围是，故答案为．【点睛】本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在轴上的截距分析的取值情况，是中档题．13. 已知函数，当时，函数的最大值为_______ .参考答案：【分析】对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。
2020年山西运城高三下学期高考模拟理科数学试卷(6月适应性测试)-学生用卷
2020年山西运城高三下学期高考模拟理科数学试卷（6月适应性测试）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第1题5分⩽0}，B={x|lnx>1}，则A∩B=（）．已知集合A={x|x−3x−1A. {x|e<x<3}B. {x|e<x⩽3}C. {x|1<x<e}D. {x|1⩽x<e}2、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第2题5分若复数z=(a2−4)+ai2021(a∈R)，i为虚数单位，则“z为纯虚数”是“a=2”的（）．A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第3题5分已知a=log42.5，b=log21.5，c=0.4−1.5，则（）．A. a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. c<a<b4、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第4题5分函数f(x)=xtanx(−1⩽x⩽1)的图象可能是（）．A.B.C.D.5、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第5题5分在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6，则ξ在(2,+∞)内取值的概率为（）．A. 0.8B. 0.4C. 0.3D. 0.26、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第6题5分执行如图所示的程序框图，则输出的T=（）．A. 85B. 43C. 32D. 17、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第7题5分已知向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=√3，且a →与b →的夹角为π6，则|2a →−b →|=（ ）． A. 12 B. √13 C. 13 D. 18、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第8题5分已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 13=135，则a 7=（ ）． A. 15 B. 25 C. −15 D. −259、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第9题5分根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u =lny ，v =(x −4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为u ^=−0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ）．A. eB. ln2C. e 2D. 2ln210、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第10题5分已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)（A >0，ω>0，0<φ<π）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）．A. f (x )的最小正周期为π2B. f (x )的最大值为4C. (−7π24,0)是f (x )的一个对称中心 D. 函数f (x )在区间(−π,−512π)上单调递增11、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第11题5分 已知直线y =34x 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0）相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C的左焦点，且满足AF ⊥BF ，则双曲线C 的离心率为（ ）．A. √10+12B. √104C. √102D. √10−112、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第12题5分已知函数f(x)=ln(x +√x 2+1)满足对于任意x 1∈[12,2]，存在x 2∈[12,2]，使得f (x 12+2x 1+a )⩽f (ln x 2x 2)成立，则实数a 的取值范围为（ ）．A. (−∞,ln22−8]B. [ln22−8,−54−2ln2]C. [ln22−8,+∞)D. (−∞,−54−2ln2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第13题5分我校高一、高二、高三共有学生2400名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这2400名学生中抽取一个容量为48的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高二年级的学生人数为．14、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第14题5分已知函数f(x)={x2−2ax+12,x⩽1x+4x+a,x>1，若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是．15、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第15题5分已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然情况下（没有外力介人，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO=1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上RO计算，若甲得这种传染病，则4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为．16、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第16题5分农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称角黍，是端午节大家都会品尝的食品．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第17题12分(sinB−sinC)．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA−sinC=ba+c(1) 求角A．(2) 从三个条件：①a=3；②b=3；③△ABC的面积为3√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．18、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第18题12分如图，由直三棱柱ABC−A1B1C1和四棱锥D−BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB= 2，BC=CC1=4，C1D=CD=2√5，平面CC1D⊥平面ACC1A1．(1) 求证：A1C1⊥DC．(2) 在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角的正弦值为√3？若存在，3的值，若不存在，说明理由．求BPBC19、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第19题12分，(a∈R)．已知函数f(x)=e x+ax−12(1) 判断函数f(x)的单调性．(2) 设g(x)=12−lnx，F(x)=f(x)−g(x)，求证：当a∈(−2,0)时，函数F(x)只有一个零点．20、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第20题12分已知椭圆E：x 2a2+y2=1(a>1)的离心率为√32，右顶点P(a,0)是抛物线C：y2=2px的焦点．(1) 求抛物线C：y2=2px的标准方程．(2) 若C上存在两动点A，B（A，B在x轴异侧）满足OA→⋅OB→=20，且△PAB的周长为2|AB|+4，求|AB|的值．21、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第21题12分某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.01，0.05．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为16万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元．生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.02．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元．(1) 若选择生产线②，求生产成本恰好为20万元的概率．(2) 为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，共10分，选做1题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第22题10分在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是：{x=m+√22ty=√22t（t是参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=6sinθ．(1) 若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2，试求实数m值．(2) 设M(x,y)为曲线C上任意一点，求y−x的取值范围．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第23题10分已知函数f(x)=|2x−a|+|x−1|，a∈R．(1) 若不等式f(x)⩽2−|x−1|无解，求实数a的取值范围．(2) 当a<2时，函数f(x)的最小值为2，求实数a的值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 C;12 、【答案】 A;13 、【答案】800;14 、【答案】[3,+∞);15 、【答案】120;;16 、【答案】4√2;2717 、【答案】 (1) π．3;(2) ①(6,9]；②(6,+∞)；③[6√3,+∞)．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 存在，BPBC =√29−25．;19 、【答案】 (1) 当a⩾0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(ln(−a),+∞)上单调递增，在(−∞,ln(−a))上单调递减．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) y2=8x．;(2) 30．;21 、【答案】 (1) 0.0192．;(2) 应选生产线②；证明见解析．;22 、【答案】 (1) m=1或m=−7．;(2) [3−3√2,3+3√2]．;23 、【答案】 (1) (−∞,0)∪(4,+∞)．;(2) a=−2．;。
山西省运城市康杰中学2020年高考数学模拟试题(1)理(含解析)
2020年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0] C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A． B． i C．﹣D．﹣ i3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤04．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．486．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A． B． C．6 D．77．已知公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，则取最小值时n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知，则y=f（x）的对称轴为（）A． B． C． D．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．1110．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A． B． C． D．411．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k的值为．14．已知的展开式中，x3项的系数是a，则= ．15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：语文优秀语文不优秀总计外语优秀16 10外语不优秀14总计（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．p（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.828附：其中：n=a+b+c+d．19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．2020年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁U A）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A． B． i C．﹣D．﹣ i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，2），设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，由坐标原点到直线l的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l的方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心C（1，2），∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+2，即x+2y﹣5=0．故选：C．5．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算甲和乙坐在一起排法数目，再计算其中甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法数目，结合题意，用“甲和乙坐在一起排法数目”减去“甲乙相邻且乙和丙坐在一起”的排法数目即可得答案．【解答】解：根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙与剩余的3个人进行全排列，有A44=24种情况，则甲和乙坐在一起有2×24=48种不同的排法，其中，如果乙和丙坐在一起，则必须是乙在中间，甲和丙在乙的两边，将3个人看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙丙与剩余的2个人进行全排列，有A33=6种情况，则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有2×6=12种；故甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起排法有48﹣12=36种；故选C．6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A． B． C．6 D．7【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．故选：A．7．已知公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，则取最小值时n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出a n，S n，利用基本不等式能求出取最小值时n的值．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，∴a3=a1+2d=5，且（a1+d）2=a1（a1+4d），由d≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1，∴，∴，∴当n=7的取等号，故选：B．8．已知，则y=f（x）的对称轴为（）A． B． C． D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】化简函数f（x）的解析式，求出函数的对称轴即可．【解答】解：，∴对称轴方程为，∴x=﹣，令k=1，得x=，故选：B．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．10．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A． B． C． D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】利用线性规划的知识求出则Z max在点D处取得最大值，由此得出a、b的关系式，再利用基本不等式求的最小值．【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示；由，解得D（4，6），目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则Z max在点D处取得最大值；即4a+6b=12，所以2a+3b=6，所以，当且仅当a=b=时取“=”．故选：A．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，结合等腰直角三角形可得|AF1|=4a，设|BF1|=x，运用勾股定理，可得a，c的关系，由离心率公式即可得到所求．【解答】解：由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，相加可得|AF1|+|BF1|﹣|AB|=4a，|AB|=|BF1|且，∴|AF1|=4a，设|BF1|=x，则，，又∵，即有8a2+（2a﹣2a）2=4c2，化简可得（5﹣2）a2=c2，即有e==．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】问题转化为，令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：f（x）＞e x+2转化为：，令，则，∴g（x）在R上单调递减，又∵∴g（x）＞0的解集为（﹣∞，0），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k的值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：14．已知的展开式中，x3项的系数是a，则= ．【考点】67：定积分；DB：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数a的值，再求定积分，可得要求式子的值．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=C5r（）r x5﹣2r，令5﹣2r=3则r=1∴x3的系数为，∴dx=lnx|=ln，故答案为：ln15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，从而sin（B﹣C）=1，由此能证明．（2）由，得，，由，a=2，利用正弦定理求出b，c，由此能求出三角形△ABC的面积．【解答】证明：（1）由及正弦定理得：…整理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，所以sin（B﹣C）=1，又…所以…解：（2）由（1）及，得，，又因为，a=2…所以，，…所以三角形△ABC的面积…18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：语文优秀语文不优秀总计外语优秀16 10外语不优秀14总计（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．p（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.828附：其中：n=a+b+c+d．【考点】BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）根据题意知随机变量X～B（3，），计算对应的概率，写出X的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）由题意得列联表：语文优秀语文不优秀总计外语优秀16 10 26外语不优秀14 60 74总计30 70 100…（2）因为，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为全市高三年级学生“语文成绩与外语成绩有关系”；…（3）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是，…则X～B（3，），；…X的分布列为X 0 1 2 3P…数学期望为．…19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P﹣ABCD的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．∴cos＜，＞===．得h=1或h=﹣（舍）则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）圆心到直线x+y+1=0的距离，由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，知b=c，由此能求出椭圆方程．（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0；当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+（y﹣c）2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，，代入得b=c=1，∴，故所求椭圆方程为…（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0，适合题意．…当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，…∴△=16k2﹣8（k2+2）=8k2﹣16＞0，∴k2＞2．设S（x1，y1），T（x2，y2），则，…由，当t≠0，得…整理得：，由k2＞2知，0＜t2＜4，…所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），…综上可得t∈（﹣2，2）．…21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k l1=k l2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在 x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③当0＜＜e，即＜t＜时，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，∴综合①、②、③得 m∈（0，1）．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得x≤﹣，故x≤﹣；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得x≥，故x≥．综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．（2）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴∴得a=1，∴ +=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（+）≥2+2=4，当且仅当=即m=2n时及m=2，n=1时，等号成立，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．。
山西省运城市康杰中学2020届高考数学模拟试题(五)理
康杰中学2020高考数学（理）模拟题（五）【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．已知集合，，则A．B．C．D．2. 已知复数满足，则的概率为A．B．C．D．3．等比数列各项均为正数，，则A.20B.36C.9D.4．已知命题：存在，使得是幂函数，且在上单调递增；命题：“”的否定是“”.则下列命题为真命题的是A．B．C．D．5．早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的为A．1.2 B．1.6C．1.8 D．2.46．如图，已知是函数的图象与轴的两个相邻交点，是函数的图象的最高点，且，若函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式是A．B．C．D．7.函数的图像大致为8．已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于A．7 B．5 C．4 D．39．如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则A.为的和B.为的算术平均数C.和分别是中最大的数和最小的数D.和分别是中最小的数和最大的数10．点A，B，C，D在同一球面上，，若四面体ABCD体积最大值为3，则这个球的表面积为A. B.C. D.11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A．B．C．3 D．212．设过曲线 (为自然对数的底数)上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是__________.14.如图，在中，为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为__________.15.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为__________.16．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，角的平分线，求的值.18．（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点在圆上，,矩形和圆所在的平面互相垂直，已知.（1）求证：平面平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为.19．（本小题满分12分）春节来临，有四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，他们获得火车票与否互不影响.若获得火车票的概率分别是，其中，又等比数列.且两人恰好有一人获得火车票的概率是.（1）求的值；（2）若是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设X表示，能够回家过年的人数，求X的分布列和期望E（X）.20．（本小题满分12分）已知抛物线的标准方程为，为抛物线上一动点，为其对称轴上一点，直线与抛物线的另一个交点为.当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时，的面积为18.（1）求抛物线的标准方程；（2）记，若值与点位置无关，则称此时的点为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数.其中，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线交曲线于两点.（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，求点到两点的距离之积.23．（本小题满分10分）已知函数.（1）求证：的最小值等于2；（2）若对任意实数，，求实数的取值范围.2020届数学理模拟（五）参考答案1．D【解析】根据题意，集合，故选D．2．C【解析】在单位圆上动，故概率为3．A【解析】4．C【解析】当时，为幂函数，且在上单调递增，故是真命题，则是假命题；“”的否定是“”，故是假命题，是真命题．所以均为假命题，为真命题，选C．5．B【解析】由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，故其体积为，又故.故选B．6．A【解析】由已知，得，则，，于是，得，又，∴，，由及，得，故．因为与的图象关于对称，则7.D【解析】奇函数，排除A；当时，排除B；有无数个零点，排除C，故选D.8. B【解析】选项代入不等式组中，验证当时成立.9．C【解析】由程序框图知A为其中最大的数，B为最小的数，故选C.10．D【解析】由体积最大得高为3，得11．A【解析】设椭圆离心率，双曲线离心率，由焦点三角形面积公式得，即，即，设，由柯西不等式得最大值为.12.C【解析】成立即13. -90 【解析】令，得，展开式常数项为14.【解析】，由系数和为1得.15.【解析】从8个顶点任取4个有种，构成三节棍体的三棱锥有一个面在长方体的面上，所以有种.16.【解析】是与中最大值，单调递减，单调递增，故或解得17．18．（1）[证明]平面平面，，平面平面，. ，又为圆的直径，.,（2）解：设的中点为，的中点为I，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（如图）. 过点作，交，.在中，根据射影定理，得.，，设，则点的坐标为，则.又.设平面的法向量为，则令，解得.由（1）可知，取平面的一个法向量为，，即，解得.当的长为时，二面角的大小为.19．20．解：（1）由题意，，，抛物线的标准方程为. （4分）（2）设，设直线的方程为，联立得..由对称性，不妨设.①当时，同号，又，不论取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”.②当时，异号.又，当且仅当时，与无关，此时的点为“稳定点”.（12分）21．解：（1）（1分）令，①当时，，∴，函数在上单调递增；（2分）②当时，，所以，即，∴函数在上单调递增；（3分）③当时，，令，得，且，由,由∴在和上单调递增，在单调递减，（5分）综上，当时，函数在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. （6分）（2）∵存在，使得成立，∴存在使得且成立，∴，由（1）知，当时，上单调递增，（8分）又时，由可知，，则在上单调递增，此时，∵且∴且恒成立，∴且，∵可看作关于的一次函数，则，∴（10分）同理，，∴，（11分）又∵，∴（12分）22．解：（1）由直线的参数方程为（为参数），得的普通方程为，∴直线的极坐标方程为. （3分）曲线的直角坐标方程为（5分）（2）∵直线：经过点，斜率为1，∴直线的标准参数方程为（为参数）（7分）将直线的参数方程代入，化简得∴. （10分）23．解：（1）∵∴（4分）当且仅当时“=”成立，即当且仅当时，∴的最小值等于2 （5分）（2）当即时，可化为，即成立，∴（6分）当时，∵，当且仅当时“=”成立，即当仅当时“=”成立.∴,且当时, ∴的最小值等于1.∵，∴，即. （8分）由（1）知由（1）知当且仅当时，.综上所述，的取值范围是（10分）。
2020年山西省运城市高考数学一模试卷(理科)
2020年山西省运城市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合1{|0}2x A x x -=<+，{1B =-，0，1}，则A B 等于( )A ．{|11}x x -<<B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{0，1}2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于( )A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+ D ．345i-+ 3．（5分）已知tan 3α=，则2cos sin 2(αα+= ) A ．7210B ．710C ．7210-D ．710-4．（5分）函数2||()||ln x f x x x=-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知平面向量a ，b 满足1||3a =，||1b =，且|2|||a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 6．（5分）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，⋯⋯，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为( )A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米7．（5分）某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为( )A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为( )A ．4B ．23C ．22D ．259．（5分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()28f π=()02f π=且()f x 在(0,)π上是单调函数，则下列说法正确的是( ) A ．12ω=B ．62()8f π+-=C ．函数()f x 在[π-，]2π-上单调递减D ．函数()f x 的图象关于点5(4π，0)对称 10．（5分）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1e ，2e 的关系为( )A ．2212314e e += B ．221241433e e +=C ．2212134e e += D ．221234e e += 11．（5分）一个正四棱锥形骨架的底边边长为2锥的每个边都相切，则该球的表面积为( ) A．B ．4πC．D ．3π12．（5分）设()f x '是函数()(0)f x x >的导函数，且满足2()()f x f x x'>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则( ) A ．22(sin )sin (sin )sin f A B f B A < B ．22(sin )sin (sin )sin f C B f B C < C ．22(cos )sin (sin )cos f A B f B A >D ．22(cos )sin (sin )cos f C B f B C >二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n = ． 14．（5分）设x ，y 满足约束条件3036x yx y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．15．（5分）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点（不与M 重合），若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离||ON 的最小值是 ．16．（5分）已知ABC ∆中，AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，0(2)n a n >，21916n n a n S +--=，*n N ∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足12b a =，34b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：．（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(,198)Z N μ-，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求(38.280.2)P Z <；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：14，若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=；(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．19．已知椭圆2222:1(0,0)y x C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．20．已知函数2()cos ()f x ax x a R =+∈． （1）当12a =时，证明()0f x '，在[0，)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围．21．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ∠=∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，2AB =，连接是BD 、E 边BC 上一点，过E作//EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体P ABEFD -．（1）求证：BD AP ⊥；（2）设()BE EC R λλ=∈，若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF 所成角的5，求λ的值； （3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）曲线1C 的参数方程为1cos ,2(11sin 22x y ϕϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，(B A ，B 异于原点），当斜率3[3]k ∈时，求1||||OA OB+的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1|||(0)f x x x m m =+-->． （1）当2m =时，求不等式()1f x 的解集；（2）()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围．2020年山西省运城市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合1{|0}2x A x x -=<+，{1B =-，0，1}，则A B 等于( )A ．{|11}x x -<<B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{0，1}【解答】解：{|21}A x x =-<<，{1B =-，0，1}，{1AB ∴=-，0}．故选：C ．2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于( )A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+ D ．345i-+ 【解答】解：12z i =+，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称， 22z i ∴=-+，则122(2)(2)342(2)(2)55z i i i i z i i i ++--===---+-+--． 故选：A ．3．（5分）已知tan 3α=，则2cos sin 2(αα+= ) AB ．710C．D ．710-【解答】解：tan 3α=，2222222sin cos 12tan 1237cos sin 211310cos sin cos tan ααααααααα+++⨯∴+====+++，故选：B ．4．（5分）函数2||()||ln x f x x x =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D ．当0x >时，2()lnxf x x x =-，3321()x lnx f x x +-'=，令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >．所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B ， 故选：A ．5．（5分）已知平面向量a ，b 满足1||3a =，||1b =，且|2|||a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：平面向量a ，b 满足1||||13a b ==，||1a ∴=，||3b =． |2|||a b a b +=+，222442a a b b a a b b ∴++=++，320a a b ∴+=，设a 与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π，则3213cos 0θ+=， 求得1cos 2θ=-，23πθ∴=，故选：C ．6．（5分）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，⋯⋯，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为()A．5101900-米B．510990-米C．4109900-米D．410190-米【解答】解：由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{}na，且1100a=，110q=，0.1na=，∴乌龟爬行的总距离为4111000.1101101190110nna a qSq-⨯--===--，故选：D．7．（5分）某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为()A．21250元B．28000元C．29750元D．85000元【解答】解：设教师2018年家庭总收入为n，则15%8000010%4750n⨯-⨯=，解得85000n=，则该教师2018年的旅行费用为8500035%29750⨯=，故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为() A．4B．23C．22D．25【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：最长的棱长为222222AB =+． 故选：C ．9．（5分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()28f π=()02f π=且()f x 在(0,)π上是单调函数，则下列说法正确的是( ) A ．12ω=B ．62()8f π+-=C ．函数()f x 在[π-，]2π-上单调递减D ．函数()f x 的图象关于点5(4π，0)对称 【解答】解：因为()f x 在(0,)π上是单调函数，所以周期大于2π，()28f π∴=()02f π=对应的点在一个周期内，且相差8T． ∴38288T πππ=-=，3T π∴=，∴23ω=．故A 错误． ∴2()2sin()3f x x ϕ=+，由()02f π=得22,32k k Z πϕππ⨯+=+∈． 0ϕπ<<，0k ∴=时，23πϕ=．∴22()2sin()33f x x π=+． 762()2sin 2sin()81243f ππππ+-==+，故B 正确． 当[x π∈-，]2π-时，22[0,]333x ππ+∈，这是sin y x =的增区间．故原区间是原函数的增区间．故C 错误． 因为53()2sin 2042f ππ==-≠，故D 错误． 故选：B ．10．（5分）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1e ，2e 的关系为( ) A ．2212314e e += B ．221241433e e +=C ．2212134e e += D ．221234e e += 【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：121122||||2||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩，解得112||PF a a =+，212||PF a a =-， 设12||2F F c =，1223F PF π∠=，则： 在△12PF F 中由余弦定理得，2221212121224()()2()()cos 3c a a a a a a a a π=++--+-， 化简得：2221234a a c +=，该式可变成：22122234a a c c+=．∴2212314e e +=． 故选：A ．11．（5分）一个正四棱锥形骨架的底边边长为22锥的每个边都相切，则该球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π【解答】解：过P 作PO ⊥面ABCD 于O ，分别取PB ，BC 的中点F ，E ，连接OF ，OE ，PE ，OB ，可得PO OE ⊥，PO OB ⊥，因为底边边长为22则1OE =，2OB PO ==，所以1OF =，所以O 为表面与这个正四棱锥的每个边都相切的球的球心，且球的半径1R =，所以球的表面积244S R ππ==． 故选：B ．12．（5分）设()f x '是函数()(0)f x x >的导函数，且满足2()()f x f x x'>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则( ) A ．22(sin )sin (sin )sin f A B f B A < B ．22(sin )sin (sin )sin f C B f B C < C ．22(cos )sin (sin )cos f A B f B A >D ．22(cos )sin (sin )cos f C B f B C > 【解答】解：令2()()f x g x x =， 0x >，2()()f x f x x'>，()2()0xf x f x ∴'->， 则3()2()()0f x x f x g x x '-'=>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 因为34A π=，所以12B C π+<，即10sin sin()cos 12B C C π<<-=<， (sin )(cos )g B g C ∴<，∴22(sin )(cos )f B f C sin B cos C<， 22(sin )cos (cos )sin f B C f C B ∴<，故选：D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =10 ． 【解答】解：已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，可得46n n C C =，可得4610n =+=．故答案为：10．14．（5分）设x ，y 满足约束条件3036x yx y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 1- ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点(1,3)A -时，直线的截距最小， 此时z 最小， 此时1231z =⨯-=-， 故答案为：1-．15．（5分）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点（不与M 重合），若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离||ON 的最小值是 2 ．【解答】解：设(M a ，2)a ，则22MF ak =，NF ∴的方程为2)22y x a=-，① 28y x =，∴取2y x =，得2y x'=，∴直线l 的方程为222()y a x a a-=-，② 联立①②，可得点N 在抛物线的准线2x =-上，因此，原问题转化为：准线上的动点N 到抛物线顶点的距离的最小值． 显然当N 位于(2,0)-时，||ON 有最小值为2， 故答案为：2．16．（5分）已知ABC ∆中，AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是 [3,)+∞ ．【解答】解：设AB BC x ==，ABC α∠=，如图建立平面直角坐标系．则：(cos ,sin )A x x αα，(0,0)B ，(,0)2xD ．由已知得21sin 22ABC S x α∆==，24sin x α=． ∴2222(cos )2x AD x x sin αα=-+化简后并令22554cos cos 4sin y x x ααα-=-=．(0,)απ∈ ∴245cos y sin αα-'=，405y cos α'==令得，并令此时αθ=． 因为45cos y α=-在(0,)π上递增，(0,)αθ∴∈时，0y '<，函数递减，(,)αθπ∈时，0y '>，函数递增．故43,,55cos sin αθαα===即，3min y =．易知，当0x →或x π→时，y →+∞． 故23AD ，所以3AD．故AD 的取值范围是[3,)+∞．故答案为：)+∞．三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，0(2)n a n >，21916n n a n S +--=，*n N ∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足12b a =，34b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）21916n n a n S +--=，*n N ∈①，2219(1)16n n a n S ++-+-∴=，*n N ∈②，由②-①可得2221119(1)1[91]6n n n n n a n a n S S a ++++-+-----==，整理得：2212169n n n a a a +++=--，即2212(3)n n a a +++=．0(2)n a n >，123n n a a ++∴+=． 所以213n n a a ++-=，又当1n =时22119116a S a --===-，0(2)n a n >，22a ∴=，212(1)3a a -=--=也适合．13n n a a +∴-=，所以数列{}n a 是以1-为首项，以3为公差的等差数列． 34n a n ∴=-．各项均为正数的等比数列{}n b 满足122b a ==，348b a ==，∴公比2q =， 2n n b ∴=．（2）由（1）知：11(34)22n n n n c a b n -==-，0123112225282(34)2n n T n -∴=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-①， 12312122252(37)2(34)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯+⋯+-+-②，由①-②可得：1012312(12)123(2222)(34)213(43)212n n nn n T n n ----=-⨯++++⋯+--=-+⨯+--，(37)27n n T n ∴=-+．18．在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：．（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(,198)Z N μ-，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求(38.280.2)P Z <；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：14，若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=；(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．【解答】解：（1）350.02450.12550.20650.25750.24850.13950.0466.2μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故~(66.2,198)Z N ，易知14σ=．∴1(66.21466.214)10.6826(80.2)110.841322P Z P Z --<+-=-=-=．又1(66.221466.2214)10.9544(38.2)0.022822P Z P Z --⨯<+⨯-===．故(38.280.2)(80.2)(38.2)0.8185P Z P Z P Z <=-=． （2）由题意一位市民得分高于或低于μ的概率各为12．该市民参与活动获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100． 133(20)248P X ∴==⨯=；1339(40)24432P X ==⨯⨯=；111(50)248P X ==⨯=；1313(70)224416P X ==⨯⨯⨯=；1111(100)24432P X ==⨯⨯=． 故X 的分布列为：X 20 40 50 70 100 P3893218316132所以391312040507010041.2583281632EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故该市民参与活动获赠话费的数学期望为41.25元．19．已知椭圆2222:1(0,0)y x C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率3e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．【解答】解：（1）由题意可得24a =，3c e a ==，222b a c =-，可得：24a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2214y x +=；（2）由（1）可得(1,0)A ，(0,2)B ，设(,)P m n ，则2214n m +=，直线PA 的方程为：(1)1n y x m =--，令0x =，则1M n y m =--，所以||21nBM m =---，直线PB 的方程为：22n y x m -=+，令0y =，可得22N m x n -=-，所以2||12mAN n -=--221112114484414(22)()()||(|||||)||||(2)(1)2222122222222PMN PAB MPN PAN BAN PAN MAN BAN n m m n mn m n mn n m S S S S S S S S AN OM OB AN BM m n mn n m mn n m ∆∆∆∆∆∆∆-++--+--+-=---=-=-==---+====----+--+．所以PMN ∆与PAB ∆面积之差为定值2．20．已知函数2()cos ()f x ax x a R =+∈． （1）当12a =时，证明()0f x '，在[0，)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围． 【解答】（1）证明：当12a =时，21()cos 2f x x x =+，()sin f x x x '=-， 令()sing x x x =-，则()1cos 0g x x '=-即()g x 在R 上单调递增， 所以()(0)0g x g =，故()0f x '，在[0，)+∞恒成立； （2）解：()2sin f x ax x '=-，令()2sin g x ax x =-，则()2cos g x a x '=-，①12a时，则()2cos 0g x a x '=-，所以()f x '单调递增，且(0)0f '=， 当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，在0x =处取得极小值，不符合题意； ②当12a -时，则()2cos 0g x a x '=-，所以()f x '单调递减，且(0)0f '=， 当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，在0x =处取得极大值，符合题意；③102a -<时，(2x π∈-，)2π时，则()2cos 0g x a x '=-，所以()f x '单调递减，且(0)0f '=，在0x =处取得极大值，符合题意； ④102a <<时，则存在1(2x π∈-，0)使得11()2cos 0g x a x '=-=，存在2(0,)2x π∈使得22()2cos 0g x a x '=-=，1(x x ∈，2)x ，()2cos 0g x a x '=-<，()f x '单调递减，(0)0f '=，在0x =处取得极大值，符合题意．综上可得：a 的取值范围是1(,)2-∞．21．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ∠=∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，2AB =，连接是BD 、E 边BC 上一点，过E作//EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体P ABEFD -．（1）求证：BD AP ⊥；（2）设()BE EC R λλ=∈，若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF 所成角的5，求λ的值； （3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值．【解答】解：（1）证明：不妨设EF 与AC 的交点为N ，BD 与AC 的交点为M ，由题知，CD BC =，30DCA BCA ∠=∠=︒，则有BD AC ⊥，又//BD EF ，则有EF AC ⊥，由折叠可知，PN EF ⊥，则有PN BD ⊥， 又ACPN N =，且都在平面PAN 内，BD ∴⊥平面PAN ，又AP 在平面PAN 内，BD AP ∴⊥；（2）依题意，有PN EF ⊥，平面PEF ⊥平面ABEFD ，又PN 在平面PEF 内，则有PN ⊥平面ABEFD ，PN AC ∴⊥，又由题意知，EF AC ⊥，故以N 为坐标原点，NA ，NE ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，2,23,1,3AB AD BD BC AM CM ======， 由BE EC λ=可知，2331EF PN CN λ===+， 则341333(0,0,0),(0,0,),(,0,0),(3,0),(0,(,3,0)1111N P A B F D λλλλλλλ+-++++， ∴41333(,0,),(,3,)1111AP BP λλλλλλ+=-=--++++，3333(0,,),(3,)111FP DP λλλ==-+++， 设平面PAB 与平面DFP 的法向量分别为(,,),(,,)m x y z n a b c ==， 则(41)303(1)30AP m x z BP m x y z λλλ⎧=-++=⎪⎨=--+=⎪⎩，可取(3,3,41)m λ=+， 同理可得(1,3,1)n =-，∴25|cos ,|||||||512(41)m n m n m n λ<>===++， 因为(0,1)λ∈，故14λ=； （3）设所求几何体的体积为V ，设(03)CN x x =<<，则3FN ， ∴2323(23)(3)11313133[231][(1)(3)1])12)32233x x x V x x x x x x -=+⨯+-+-=-+，∴2334)2)(2)V x x x '=-=+-， ∴当02x <<时，0V '>，当23x <<时，0V '<，()V x ∴在(0,2)单调递增，在(2,3)单调递减，∴()(2)8122)max V x V ==-+⨯=∴六面体P ABEFD -． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）曲线1C 的参数方程为1cos ,2(11sin 22x y ϕϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，(B A ，B 异于原点），当斜率k ∈时，求1||||OA OB+的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为1cos ,2(11sin 22x y ϕϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），得直角坐标方程为2211()24x y +-=，即220x y y +-=．∴曲线1C 的极坐标方程为2sin 0ρρθ-=，即sin ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=，即22cos 3sin ρθρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为23x y =；（Ⅱ）设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为cos (sin x t y t ααα=⎧⎨=⎩为参数，)63ππα．把直线l 的参数方程代入220x y y +-=，得2sin 0t t α-=， 解得10t =，2sin t α=， 1||||sin OA t α∴==．把直线l 的参数方程代入23x y =，得22cos 3sin t t αα=，第21页（共21页）解得10t =，223sin t cos αα=， 223sin ||||OB t cos αα∴==． ∴2111||||sin (2sin )3sin 3sin cos OA OB ααααα+=+=+．k ∈，即tan α∈， ∴63πππ，∴13sin 2α，∴112sin 2sin sin ααα+．当且仅当12sin sin αα=，即sin α=时取等号．故1||||OA OB +． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1|||(0)f x x x m m =+-->．（1）当2m =时，求不等式()1f x 的解集；（2）()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围．【解答】解：（1）2m =时，()2|1||2|1f x x x =+--， 当1x <-，则2221x x ---+，解之得51x -<-； 当12x -<，则2221x x +-+，解之得113x-； 当2x ，则2221x x +-+，无解；综上所述1{|5}3x x -， （2）由题意知4,1()3,1,x m x g x x m x m x m x m ---<-⎧⎪=--⎨⎪+>⎩，所以()g x 的图象与坐标轴交点为(4,0)A m --，(0,)B m -，(3m C ，0)， 则面积为12[(4)]||(3)233m S m m m m =----=+， 令12S >，解之得3m >或6m <-（舍)，故3m >．。