第十九讲(1)应变能、复合材料应力应变关系
4.应力应变关系
Levy-von Mises 增量理论 Prandtl-Reuss 全量理论
Stress-strain relations
4.2.1 Levy-Mises 增量理论
该理论认为应变增量与相应的偏应力分量成正比
2
(d x d y ) ( x y ) d (d y dz )2 ( y z )2 d2 (d z d x )2 ( z x )2 d2
2 2 2
9 2 2 2 2 2 2 2 d x y y z z x 6 xy yz zx 2
(4-6)
从方程式 (4-3),(4-4)中得，应力可以用应变表示：
ij 2G ij ij
式中,
(4-7)
1 1 2
E
x y z
1 [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy 2 yz 2 zx 2 )] 2 ( x y ) 2 4G 2 ( x y ) 2
1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
2 2 2
Байду номын сангаас
6d yz 6 yz d2 2 2 6d zx 6 zx d2 2 2 6d zx 6 zx d2
(4-15)
平衡方程式:
x yx 0 y x xy y 0 y x
(4-16)
应力应变关系
11 12 13 22 23 33
σx = λθ + 2G xx ε σy = λθ + 2G yy ε σz = λθ + 2G zz ε
称为拉梅 拉梅（ λ, G称为拉梅（Lame）弹性常数 ）
σx = λθ + 2G xx ε σy = λθ + 2G yy ε σz = λθ + 2G zz ε
写成张量的形式
τxy = 2G xy ε τ yz = 2G yz ε τzx = 2G zx ε
σij = 2G ij +λθδij ε
应力表示的本构方程
1 1 εx = [σx − µ(σy +σz )] = [(1+ µ)σx − µΘ] E E 1 1 εy = [σy − µ(σx +σz )] = [(1+ µ)σy − µΘ] E E 1 1 εz = [σz − µ(σx +σy )] = [(1+ µ)σz − µΘ] E E
各向同性材料 主应力状态：
对应的切应力分量均为零； 对应的切应力分量均为零； 所有的切应变分量也为零。 所有的切应变分量也为零。 因此，对于各向同性弹性体： 因此，对于各向同性弹性体： 应力主轴同时又是应变主轴， 应力主轴同时又是应变主轴，即： 应力主方向和应变主方向是重合的。 应力主方向和应变主方向是重合的。
不同材料其弹性常数的简化
具有一个对称 面的材料： 面的材料： 存在十三个弹 性常数 x3 x3 = - | x3 | o x1 o x2 x1 x3 x2
应力与应变关系演示文稿
（D）称为弹性矩阵，将应力与应变的关系写成矩阵形式：
D
第8页，共35页。
各向异性效应
{ } [D]{} 或 {} [ A]{ }
式中：{}为应力列阵；{}为应变列阵；[D] 、[A]为弹性矩阵。
c11c12c13c14c15c16
c21c22
c23c24
c25c26
[D]
c31c32c33c34c35c36
物体的弹性都相同。该平面称为弹性对称面，一般有3个这样的弹性
对称面。
a11a12a13o o o
对于正交各向异性体，由于对称关
a21a22a23o o o
系（正应力分量只产生线应变，不产
a31a32a33o o o
生剪应变）。因此，弹性矩阵中的36 个弹性常数中，有24个为0，在剩下的 12个只有9个是独立的。
x y z yz zx 0
x y z yz zx 0
xy
由广义虎克定律：
xy
G
xy
xy
G
第24页，共35页。
各向同性体的广义虎克定律： （用应力分量表示应变分量）
x
1 E
[
x
( y
z )];
y
1 E
[
y
( z
x )];
z
1 E
[
z
( x
第16页，共35页。
现在来确定各向同性材料独立的弹性常数的个数，设所取的坐标 为三个主轴方向，由广义虎克定律可以得到：
1 C111 C12 2 C133 2 C211 C22 2 C233 3 C311 C32 2 C333
Cij 表示在j轴方向的单位主应变所引起在i轴方向的主应力。
应力应变关系式
应力应变关系式应力应变关系是材料力学中一个重要的概念，它描述了材料在受到外力作用时，其内部产生的应力和应变之间的关系。
应力是指单位面积上承受的力的大小，应变是指材料在受力作用下的变形程度。
应力应变关系是材料力学中一个重要的公式，它对于工程设计和材料选择具有重要的指导意义。
应力应变关系公式为σ=Eε，其中σ为应力，E为材料的弹性模量，ε为应变。
这个公式表明，应力与应变之间呈线性关系，即应力随着应变的增加而增加，随着应变的减少而减少。
这个公式还可以表示为σ=克斯塔x，其中σ为应力，克斯塔为应变梯度，x为材料的剪切模量。
这个公式表明，应力与应变梯度之间呈线性关系，即应力随着应变梯度的增加而增加，随着应变梯度的减少而减少。
在描述应力应变关系时，需要注意以下几点：首先，应力应变关系只适用于线性弹性范围内，即材料在受力作用后能够恢复到原来的状态。
如果材料受到的应力超过其弹性极限，材料就会发生塑性变形，应力应变关系就不再适用。
其次，应力应变关系公式中的弹性模量和剪切模量是材料的固有属性，与材料的形状和尺寸无关。
因此，在进行材料力学实验时，需要测量这些属性，以便根据应力应变关系公式计算出材料的应力应变关系。
最后，应力应变关系公式只适用于均匀各向同性材料，即材料在各个方向上的性质相同。
如果材料不是均匀各向同性材料，例如复合材料或非晶态材料，应力应变关系公式就需要进行修改或重新定义。
总之，应力应变关系是材料力学中一个重要的概念，它描述了材料在受力作用下的应力和应变之间的关系。
通过测量材料的弹性模量和剪切模量，可以根据应力应变关系公式计算出材料的应力应变关系。
在使用应力应变关系公式时需要注意适用范围和材料性质等因素的影响。
应力和应变关系
第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。
知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
材料应力应变关系
胡克定律
E 为比例常数，是材料的弹性 模量，它反映了材料抵抗弹性 变形的能力。
IC LMV LV GP
材料的力学性能 应力应变关系
1-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验
• 第一阶段——弹性变形阶段 （曲线ob段 ） a 点对应的应力称材料的比例极限。即，材料应力应变处于
正比例关系阶段时所能承受的最大应力，用 s p 表示，即
拉伸试件
压缩试件
短圆柱试件
IC LMV LV GP
材料的力学性能 应力应变关系
1-2 轴向拉伸与压缩实验 低碳钢的拉伸试验 将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直 到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力 F 与试件的伸长量 l 之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线 F - l曲线，称为拉伸图。
基本重合，即低碳钢压缩时，弹性模量 E、
屈服点 s s均与拉伸时大致相同。 过了屈服阶段，继续压缩时，试件的长度愈来愈短，
而直径不断增大，由于受试验机上下压板摩擦力的影响，
试件两端直径的增大受到阻碍，因而变成鼓形。
压力继续增加，直径愈益增大，最后被压成薄饼，而不
发生断裂，因而低碳钢压缩时测不出强度极限s b 。
- s z
sx
ez
1 E
sz
-
sx
s y
IC LMV LV GP
材料的力学性能 应力应变关系
1-4 各向同性材料的广义胡克定律
（1）简单胡克定律
（2）广义胡克定律 据剪切胡克定律
xy
xy
G
同理
综上所 述，对
ex ey
1
E 1
E
应力应变关系
我所认识的应力应变关系一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。
在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即εσX XE =在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。
在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：111213x x y zC C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++313233z x y zC C C σεεε=++ （2-3）x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有112233==C C C ；y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和3132=C C 等 ，则可统一写为：112233==C C C a =122113312332=====C C C C C C b = （2-4）所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。
在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩v 泊松比 2(1)EG ν=+剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律E G σετγ==对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
应力应变之间关系
我所认识的应力与应变的关系弹性与塑性应变的关系：一维：胡克定律弹性变形三维：广义胡克定律屈服条件应力曾变与增量之间的关系—增量理论塑性变形比例变形时全量理论低碳钢拉伸应力应变曲线：σO O’ O’’εOB：弹性阶段 BH：屈服阶段 HC:强化阶段 CE：局部变形阶段应力和应变的关系是本构关系，是物质特性的反映。
在弹性变形阶段，应力与应变之间的关系满足胡克定律，即：σij =Cijklεkl。
应力与应变的关系可以近似看成线性的，其中C是材料弹性常数，与弹性体内各点的坐标有关，还与温度和方向有关。
因此，对于常温下均匀弹性体，材料弹性常数是材料的特性常数。
J.Baushinger效应：强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。
其中理想的J.Baushinger效应是：屈服极限在一个方向上提高的数值与在相反方向上降低的数值相等。
应变能函数是物体在外力作用下变形的过程，根本上是一个热力学过称。
物体由一种变形状态到另一种变形状态，其中有外力对物体做功，物体与外界交换能量，物体的总能量发生变化。
热力学定律证明,理想弹性体存在应变能，即udu U ⎰=。
应变能函数是应变状态的单值函数，仅取决于应变的起始状态和最终状态，与变形过程无关，对于线弹性体，ij ij u εσ21=。
格林公式是弹性体的应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数，即ij ij ij u εεσ∂∂=)(，该公式适用于所有弹性体。
应力分析、应变分析的结果适合于连续介质力学的所有问题，与材料物质特性无关。
本构关系的影响因素有：材料、环境、加载类型、加载速度，用函数表达式表示为：),,(T t f εσ=单一曲线假设认为不管何种应力状态，加载时，应力强度和应变强度的关系是一种单一曲线关系，可由简单加载的应力应变获得。
等向强化模型是认为加载时，在各个方向强化的程度相同。
随动强化模型是认为一个方向强化的程度等于相反方向弱化的程度。
材料的力学性能 应力应变关系
材料的力学性能应力应变关系分别从静力学、几何学观点出发，建立了应力、应变的概念以及满足平衡和变形协调等条件时的方程。
仅用这些方程还不足以解决受力构件内各点的受力和变形程度，因为在推导这些方程时，没有考虑到应力与应变间内在的联系。
实际上它们是相辅相成的，有应力就有应变；有应变，就有应力（这里指等温情况）。
应力与应变间的关系，完全由材料决定，反映了材料所固有的力学性质。
不同的材料会反映出不同的应力应变关系。
材料的力学性能和应力应变关系要通过实验得到。
4.1 材料的力学性能与基本实验材料在外力作用下所表现出的变形和破坏方面的特性，称为材料的力学性能。
材料的力学性能通常都是通过实验来认识的，最基本的实验是材料的轴向拉伸和压缩实验。
常温、静载下的轴向拉伸试验是材料力学中最基本、应用最广泛的试验。
通过拉伸试验，可以较全面地测定材料的力学性能指标，如弹性、塑性、强度、断裂等。
这些性能指标对材料力学的分析计算、工程设计、选择材料和新材料开发有极其重要的作用，特别对建立复杂应力状态下材料的失效准则提供最基本的依据。
由于有些材料在拉伸和压缩时所表现的力学性能并不相同，因而必须通过另一基本实验，轴向压缩实验来了解材料压缩时的力学性能。
试验时首先要把待测试的材料加工成试件，试件的形状、加工精度和试验条件等都有具体的国家标准或部颁标准规定。
例如，国家标准GB6397-86《金属拉伸试验试样》中规定拉伸试件截面可采用圆形和矩形（见图4-1），并分别具有长短两种规格。
圆截面长试件其工作段长度（也称标距），短试件l 0 = 5d 0（图4-1a）；矩形截面长试件l0 = 11.3，短试件l 0 = 5.65，A 0为横截面面积（图4-1b）。
金属材料的压缩实验，一般采用短圆柱形试件，其高度为直径的1.5~3倍（图4-1c）。
除此之外，还规定了试验条件、试验内容及方法等。
4.2 轴向拉伸和压缩实验4.2.1 低碳钢的拉伸实验将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直到把试件拉断，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力F和试件的伸长量Dl之间的关系自动记录下来，绘出一条F - Dl曲线，称为拉伸图。
参考5-复合材料应力应变关系简介
τx
(a)
(b)
图4
2
2. 应力主轴与应变主轴不重合 由图 4a 可以看出，x 截面上的切应力为零，所以，正应力σx 为主应力，但 是，该方位存在切应变γxy，即 x 轴不是所谓应变主轴。由此可见，在偏轴的情况 下，应力主轴与应变主轴不再重合。 3. 弹性常数具有方向性 图 4a 与 b 分别代表单向拉伸与纯剪切应力状态。在应力σx 与τx 的单独作用 下，分别测出相应应变εx 与γxy，于是得材料在相应方位的弹性模量与切变模量分 别为
(c)
τ12
(a)
σ2
(b)
图2 ，材料发生剪切变形 γ12 ，在线性范围内，切应 当切应力 τ 12 作用时（图 2c） 变与切应力成正比，即
1
γ12 =
τ 12 G12
式中， G12 称为复合材料的纵向切变模量。 根据上述分析， 于是得复合材料在主轴坐标系内的应力应变关系或正轴应力 应变关系为
复合材料应力应变关系简介
纤维增强复合材料是一种常用复合材料， 也是一种典型的各向异性材料，其 应力应变关系具有许多新的特点。
一、正轴应力应变关系
考虑图 1 所示纤维增强复合材料，轴 1 沿纤维纵向，轴 2 沿纤维横向，轴 3 与轴 1、轴 2 构成直角坐标系。轴 1、轴 2 与轴 3 称为材料的主轴。
可以证明，在 E1 ,E2 , µ21与µ12四个弹性常数中，只有三个是独立的。
E1 E2 µ σ σ ε 2 = − 12 1 + 2 E1 E2 τ γ 12 = 12 G12
ε1 =
σ1
−
µ 21σ 2
(1)
二、偏轴力学特性
一般情况下，微体的应力状态如图 3 所示，应力σx，σy 与τx 并非沿材料主轴 的方向。在这种情况下，复合材料的应力应变关系，不仅与上述四个弹性常数有 关，而且与主轴的方位角α密切相关，材料的变形具有明显的方向性。复合材料 的上述特性，引发了一些新的力学现象，兹分述如下。
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2
平面应变状态任意方位应变
定义： 1） 方位角 a： 以 x 轴为始边，为正 2） 正应变：OB向正应变 拉应变为正 3） 切应变：直角BOD的改变量，增大为正
结论
任一方位应变： x y x y xy a cos2a - sin2a 2 2 2 xy a x y sin2a cos2a 2 2 2 互相垂直方位切应变：
畸变能密度
体积改变 形状不变
形状改变 体积不变
相应的应变能密度 －畸变能密度 vd 由 得
vε 1 2 2 2 1 2 3 - 2 1 2 2 3 3 1 2E
vd
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 6E
2 2 2 2 2 2 2 x y a x y xy a 0 2 2 2 2
最大应变与主应变
max x y 1 2 2 x y xy min 2 2
x Ea (a ) x (a ) xy Ga (a ) Ga xy (a )
Ea
§9 复杂应力状态下的应变能
应变能密度一般表达式
体应变 畸变能密度
应变能密度一般表达式
dW dV ε
1dydz 1dx 2dzdx 2dy 3dxdy 3dz
x [ x - ( y z )]
适用范围：各向同性材料，线弹性范围内
§8 复合材料应力应变关系简介
正轴应力应变关系
偏轴力学特性
基本概念
1、复合材料：
由良种或两种以上性能不同的材料所构成的材料。
2、分类：
纤维增强（树脂）复合材料：层合、编织、缝纫； 颗粒增强 薄片增强
1 1 E1 12 2 E1 12 0
21
E2 1 E2 0
0 1 0 2 1 12 G12
偏轴力学特性
拉伸与剪切之间存在耦合效应 应力主轴与应变主轴不重合 弹性常数具有方向性
2 max x y 2 xy
xy / 2 xy tana 0 x min 2 x min
广义胡克定律（三向应力状态）
1 E 1 y [ y - ( z x )] E 1 z [ z - ( x y )] E
2
E2
E1－纵向弹性模量 12－纵向泊松比
E2－横向弹性模量 21－横向泊松比
可以证明（见第 10 章）：12 E2 21 E1
1
1 21 2
E1 E2
2
2 12 1
E2 E1
γ 12
τ 12 G12
G12－纵向切变模量
单层板正轴应力应变关系
1 2 2 3 3 dxdydz 2 1 1 vε 1 1 1 2 2 3 3 2
2
2
2
dV ε
单位体积内的应变能－应变能密度
对各向同性材料
vε
1 2 2 2 1 2 3 - 2 1 2 2 3 3 1 2E
体应变
dV (1 1 )(1 2 )(1 3 )dxdydzo dxdydz－原体积
微体的体积变化率－体应变
dV dVo 1 2 1 2 3 1 2 3 E dVo 3(1 2 ) av 1 av 1 2 3 － 平均应力 3 E
第 7 章 应力、应变状态分析
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9
引言 平面应力状态应力分析 应力圆 平面应力状态的极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力
平面应变状态应变分析
各向同性材料的应力应变关系 复合材料的应力应变关系简介
上讲回顾
复杂应力状态下的应变能
三向应力圆
三 向 应 力 圆
3、单层板：
单向纤维在树脂基体中呈扁平形式的层片——预浸带。
4、层合板壳：
单层板以不同角度铺设后经高温固化而成的板或壳。
5、特点： 比强度、比刚度大，可设计，等等。
单层板正轴应力应变关系
1, 1
1
E1
2 , 1 12
1
2 , 2
2
E2
E1
1, 2 21
a a 90
互垂方位的切应变 数值相等、符号相反 上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适 用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关
应变圆
x y x y xy 2 2 sin2a a cos2a 2 x 2 y xy 2 R x a y2 xy2 cos2 a sin2a