不等式2
2.基本不等式 (2)
法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ∴1a＋1b＋1c≥9.
5．若正数a，b满足a＋b＝1，求3a1＋2＋3b4＋2的最小值． 解：因为a＋b＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＝7.
所以3a1＋2＋3b4＋2＝17·3a1＋2＋3b4＋2[(3a＋2)＋(3b＋2)] ＝17·1＋33ba＋ ＋22＋433ba＋＋22＋4
≥17·5＋2
a＝b .
2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a2＋b2≥a＋2 b2； (2)ab≤a2＋2 b2； (3)ab≤a＋2 b2； (4)a＋2 b2≤a2＋2 b2； (5)(a＋b)2≥4ab.
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. [思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式 来证明．
[解] (1)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x.
∵x＋1x≥2，∴0<x＋1 1x≤12.
∴0<f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．即f(x)＝
2x x2＋1
的值域为(0,1]．
(2)∵0<x<32，∴3－2x>0.
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92.
2．基本不等式
1．基本不等式的理解
重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式a＋2 b≥ ab，成立的条
件是不同的．前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为
3.2均值不等式(2)基础
b a a b
b a b a 2 2 a b a b
当且仅当
b a 时，取 " " a b
即 a b 时，取 " "
1 1 变式 6 ：已知 a, b R ， a b 1 ，求 的最小值. a b
分析：
1 1 1 ”替换“ a b" 常数 ， 用“ a b
1 1 ab ab a b a b b a 1 1 a b
1 1 ab ab a b a b 解：法 1： b a 1 1 a b
b a 当且仅当 时，取 " " a b
b a 1 即 a b 时， y 的最小值为 4. a b 2
4 ( x) ( ) 4为常数 x
4 4 ( x) ( ) 2 ( x) ( ) 4 行吗？ x x
解： x 0, 0
4 x 4 2 (x ) x y 2 x
4 x
4 x 4 2 (x ) x y 2 x
分析： x
1 常数 , 凑配成常数 x2
解： x 2
x 2 0, 4 0 x2
当且仅当 x ( x 2) 2 x2 x2
4 2 42 2 x2
取 " " ,即 x 0 时， ymin 2
变式 7 ：已知 a, b R ， a 2b 1 ，求 的最小值.
解：法 1:
1 1 a 2b a 2b a b a b 2b a 1 2 a b
1 1 a b
法 2 ： a, b R ， a 2b 1 ，
1 1 1 2 a b ab
不等式的解法2
不等式的解法例1.解不等式：(x 2-x+1)(x 2+5x+6)(x 2-4x-5)＞0例2.解不等式：413323222++--x x x x ≤0 例3.解不等式：x(x-1)(x-2)2(x 2-1)(x 3-1)＜0例4.解不等式：12423--+x x x x ≤0 随堂训练：1. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)<0的解集2. .不等式0)4)(3()2()1(2≤--+-x x x x 的解 3. 不等式2)1()1(22++--x x x x ≤0的解 4. 4.解不等式（组）：①273142+-+-x x x x <1 ②⎪⎩⎪⎨⎧+->+->xx x x x 22330例题精讲：例1.解不等式： ①|x 2-3x+1|＜5 ②|x 2-3x-4|＜x+1 ③|x+3|＞|x-5|例2.解不等式：|x-5|-|2x+3|＜1例3.解不等式： ①0＜x-x 1＜1 ②12322+-+-x x x x ＜0 例4.解不等式：212-x ≤||1x 随堂训练：1. 不等式111+<-x x 的解集是 2. 2.不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的范围是4.不等式1211>--xx 的解集是 ，|x+2|<1的解集是 . 5.不等式|x 2-3x|>4的解集是 ，不等式1312>+-x x 的解集是 . 6.不等式11<-x ax 的解集是{x|x<1或x>2}，那么a 的值为 .7.解下列不等式 ①||x|-7|>3 ②||x|-7|<38.解不等式：①|x 2-48|≥16 ②x 2-5|x|+6＜09.解不等式：)0(0))((>>><---b a ab b ax b x x a例题精讲：例1.解关于x 的不等式：m 2x-2x ＞2-3m-mx (m ∈R)例2.解关于x 的不等式：x 2-ax-2a 2＜0例3.解关于x 的不等式：2a x a x --＜0(a ∈R)例4.解关于x 的不等式：2)1(--x x a ＞1 (a ＞0)例5.解关于x 的不等式：22---x x x a ＞0 随堂训练：3. 1.不等式1432≤-x x 的解集是——―― 3.不等式152++-x x x ≤1的解集是 ； 4.不等式)4)(2()2()1(2--+-x x x x ≤0的解集是 ； 5.已知关于x 的不等式cx b x a x ---))((≥0的解为-1≤x<2或x ≥3， 则不等式))((b x a x c x ---≤0的解集为 ； 6解不等式 |2x+1|+|x-2|>4例1.已知y=|x|-|x-3|, x ∈R ，求y 的范围？7.若8x 4+8(a-2)x 2-a+5>0对任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围。
不等式的性质(二)
P135
解:黄金的质量(克) ≥0.9a;白银的质量(克) ≤0.1a.
当首饰的质量为定值时,黄金含量越多,首饰的体积越小.
设首饰的体积为V cm3,
则
V≤
0.9a 0.1a 19.3 + 10.5
V ≤0.06a
答:这件首饰的体积不大于0.06a克.
P135
解:设李明的冲刺速度为x m/s,
则
∴原不等式的解是 x ≤5 在数轴上表示如Leabharlann 图：8x－7x≤3＋＋2 2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
例２ 解不等式 3（1+x）＞2（1+2x）
3（1＋x）＞2（1＋2x）
解：去括号，得 3＋3x＞2＋4x
移项，得 3x-4x＞ 2－3
合并同类项，得 ∴ 原不等式的解是
-x＞-1 x＜1
或不答的共有(25-x)道题. 根据题意，得
解这个不等式，得 所以小明至少答对了22道题.
学到了哪些知识？ 在思想、方法上你有什么收获？ 在解不等式时，要注意什么问题？
P134
解: 39.98≤ V ≤40.02.
解:设蛋白质的含量为x g, 由题意,得 x ≥300×0.6%
x ≥1.8 答:蛋白质的含量不小于1.8 g.
P135
解:由题意,得 12x+40≤1000
12x ≤960 x ≤80
答:他们的平均体重x不大于80kg.
P135
解:若对调后得到的两位数比原来的两位数大, 则 (10a+b)-(10b+a)>0,即 9a-9b>0, a>b. 若对调后得到的两位数比原来的两位数小, 则(10a+b)-(10b+a)<0,即 a<b. 若对调后得到的两位数等于原来的两位数, 则(10a+b)-(10b+a)=0,即 a=b.
常见的重要不等式2
(1) 绝对值不等式设a,b 为任意实数，则有 ba b a b a +≤±≤-(2) 伯努利（Bernoulli ）不等式.11 ,10 .1)1(10,1X X X X X ααααααα+≥+≥≤+≤+≤≤->）（时或当时，则当设 另外，设1≥a ,记11-=na X ，则0X >.由())1(1111-+=+≥+=nna n nX X a 得na a n1)1(1-≤- (3) 柯西（Cauchy ）不等式））（（则均为实数与设2n 22212n 22212n n 2211n 21n 21)(.,,,,,,Y Y Y X X X Y X Y X Y X Y Y Y X X X ++++++≤+++(4) 詹森（Jensen ）不等式）（）（（）（有，，，的任意正数且对满足则对任意的上可导且为下凸函数）在区间（设函数n n 2211n n 2211n 21n 21n 21f f )f f 1,,.f X X X X X X I X X X I X λλλλλλλλλλλλ+++≥+++=+++∈ (5) 赫尔德（Holder ）不等式设n X X X ,,,21 与n Y Y Y ,,,21 均为非负实数，则对任意的,11p 11,1=+>>qq p 且满足有q1q n q2q1p1p n p2p1n n 2211）（）（Y Y Y X X X Y X Y X Y X ++++++≤+++当1<p 时上述不等式反向.特别地，当2==q p 时，就是上的柯西（Cauchy ）不等式.．对于一般情形有，1,11>⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑∑∑p b a b a qq k k p p k k k k k .这里()() ,,,,2121b b a a 与分别为使上式两边两个因子收敛的数列.将这个不等式移植到连续变量的情形就是赫尔德不等式.定理 设p,q 互为相伴数，.1,1>>q p 则对任何qp L g L f ∈∈,有L fg ∈且有赫尔德不等式.qm qEpm Epm Ed g d fd fg 11}{}{⎰⎰⎰≤(6) 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式设n 21n 21,,,,,,Y Y Y X X X 与 为两组实数ppp p ppp p ppp p Y Y Y X X X Y X Y X Y X 1n 211n 211n n 2211])[(）（）（（）（）+++++++≤++++++ 当1<p 时，不等式反向. (7) 平均值不等式设n X X X ,,21为n 个正实数，则有()nnin in ii nn ni in X X n X X X n 11111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤∑∑∑。
基本不等式(二)
基本不等式：ab ≤a ＋b2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一 基本不等式求最值 1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二 基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)－2 (2)3 (3)3解析 (1)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(2)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.(3)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋22解析 (1)a 2＋1ab ＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b＝a (a －b )＋1aa －b＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x 、14、ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e－xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．43．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ． m B ． m C ．7 m D ． m 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．一、选择题1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．102．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在3．下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则b a ＋a b≥2C ．函数x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2 D ．函数y ＝2－3x －4x的最小值为2－434．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－22C ．6－4 2D ．6＋426．已知a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) B ．－12C ．1D ．－17．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )C ．2D ．4 二、填空题8．设x >－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．9．设a ＞b ＞c ，则a －c a －b ＋a －cb －c的最小值是________． 10．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．三、解答题11．已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的范围．12．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．13．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层每平方米的平均综合费用最小值是多少(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)当堂检测1．答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C. 2．答案 B解析 y ＝x x －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．答案 2解析 ①当x ∈(0,2)时， x,4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋4－2x 22＝2， 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－25－4x ·15－4x ＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y，即x ＝4y 时，等号成立． 2．答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． 3．答案 B解析 A 错误，当x ＜0时或x ≠1时不成立；B 正确，因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，且b a＋a b≥2；C 错误，若运用基本不等式，需()x 2＋22＝1，x 2＝－1无实数解；D 错误，y ＝2－(3x ＋4x )≤2－43，故最大值为2－4 3. 4．答案 C解析 由于x ，y 为正数，故(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9.当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时取“＝”．5．答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b c≥4＋2 2b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·2b c＝6＋42， 当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立．6．答案 A解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立．7．答案 D解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时，等号成立． 二、填空题8．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5 ≥2 t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值9. 9．答案 4解析a －c a －b ＋a －c b －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝1＋1＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2 b －c a －b ·a －b b －c＝4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即|a －b |＝|b －c |， 又a ＞b ＞c ，∴b ＝a ＋c2时，等号成立．10．答案 5解析 二次函数顶点为(6,11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4,7)得a ＝－1， ∴y ＝－x 2＋12x －25， 年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立． 三、解答题11．解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立．所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的范围是(0,18]． 12．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.13．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得，f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)． 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”． 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。
不等式的性质(二)
不等式的性质（二）1．理解同向不等式，异向不等式概念；2．掌握并会证明定理1，2，3；3．理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；4．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法教学方法：引导式教学过程（）一、复习回顾上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：<sub> </sub>这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.二、讲授新课在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：<sub> </sub>是同向不等式.异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：<sub> </sub>是异向不等式.2．不等式的性质：定理1：若<sub> </sub>，则<sub> </sub>定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.证明：∵<sub> </sub>，∴<sub> </sub>由正数的相反数是负数，得<sub> </sub>说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.定理2：若<sub> </sub>，且<sub> </sub>，则<sub> </sub>.证明：∵<sub> </sub>∴<sub> </sub>根据两个正数的和仍是正数，得<sub> </sub><sub> </sub>∴<sub> </sub>说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.定理3：若<sub> </sub>，则<sub> </sub>定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.证明：∵<sub> </sub><sub></sub>∴<sub> </sub>说明：（1）定理3的证明相当于比较<sub> </sub>与<sub> </sub>的大小，采用的是求差比较法；（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若<sub> </sub>，则<sub> </sub>即<sub> </sub>.定理3推论：若<sub> </sub>.证明:∵<sub> </sub>,∴<sub> </sub> ①∵<sub> </sub>∴<sub> </sub> ②由①、②得<sub> </sub>说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）三、课堂练习1．证明定理1后半部分；2．证明定理3的逆定理.说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.课堂小结通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.课后作业1．求证：若<sub> </sub>2．证明：若<sub> </sub>板书设计§6.1.2 不等式的性质1．同向不等式3.定理2 4.定理3 5.定理3异向不等式证明证明推论2．定理1 证明说明说明证明第三课时教学目标1．熟练掌握定理1，2，3的应用；2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；3．掌握反证法证明定理5.教学重点：定理4，5的证明.教学难点：定理4的应用.教学方法：引导式教学过程（）：一、复习回顾上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.（学生回答）好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.二、讲授新课定理4：若<sub> </sub>若<sub> </sub>证明：<sub> </sub><sub></sub><sub> </sub>根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当<sub> </sub><sub></sub><sub> </sub>说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.推论1：若<sub> </sub>证明：<sub> </sub><sub> </sub> ①又<sub> </sub>∴<sub> </sub> ②由①、②可得<sub> </sub>.说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；（2）所有的字母都表示正数，如果仅有<sub> </sub>，就推不出<sub> </sub>的结论.（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.推论2：若<sub> </sub>说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；（2）应强调学生注意<i>n</i>∈N<sub> </sub>的条件.定理5：若<sub> </sub>我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即<sub> </sub>，所以不能仅仅否定了<sub> </sub>，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.说明：假定<sub> </sub>不大于<sub> </sub>，这有两种情况：或者<sub> </sub>，或者<sub> </sub>.由推论2和定理1，当<sub> </sub>时，有<sub> </sub>；当<sub> </sub>时，显然有<sub> </sub>这些都同已知条件<sub> </sub>矛盾所以<sub> </sub>.接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.例2 已知<sub> </sub>证明：由<sub> </sub><sub></sub><sub> </sub>例3 已知<sub> </sub>证明：∵<sub> </sub>两边同乘以正数<sub> </sub><sub> </sub>说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.三、课堂练习课本P<sub>7</sub>练习1，2，3.课堂小结通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.课后作业课本习题6.1 4，5.板书设计§6.1.3 不等式的性质。
不等式公式四个
不等式公式四个一、基本不等式1：a^2 + b^2≥slant2ab（a,b∈ R），当且仅当a = b时取等号。
1. 推导。
- 对于(a - b)^2，因为任何实数的平方是非负的，所以(a - b)^2≥slant0。
- 展开(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2≥slant0，移项可得a^2 + b^2≥slant2ab。
2. 应用示例。
- 已知a = 3，b = 4，则a^2 + b^2=3^2+4^2 = 9 + 16=25，2ab = 2×3×4 = 24，满足a^2 + b^2≥slant2ab。
- 求y=x+(1)/(x)(x>0)的最小值。
- 根据a^2 + b^2≥slant2ab，这里a = x，b=(1)/(x)，则x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时取最小值2。
二、基本不等式2：(a + b)/(2)≥slant√(ab)（a>0,b>0），当且仅当a = b时取等号。
1. 推导。
- 由a^2 + b^2≥slant2ab，因为a>0,b>0，令A=√(a)，B = √(b)，则A^2=a，B^2 = b。
- 代入A^2 + B^2≥slant2AB得到a + b≥slant2√(ab)，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
2. 应用示例。
- 已知a = 4，b = 9，(a + b)/(2)=(4+9)/(2)=(13)/(2)，√(ab)=√(4×9)=6，满足(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
- 求y = x(1 - x)（0< x<1）的最大值。
- 因为y=x(1 - x)，这里a=x，b = 1 - x，根据(a + b)/(2)≥slant√(ab)，y=x(1 - x)≤slant((x+(1 - x))/(2))^2=(1)/(4)，当且仅当x=1 - x即x=(1)/(2)时取最大值(1)/(4)。
初中数学知识点必备：不等式
初中数学知识点必备：不等式学校数学学问点：不等式1用小于号或大于号表示大小关系的式子，叫做不等式(inequality)。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的x的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集(solution set)。
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality of one unknown)。
不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的`方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。
三角形中任意两边之差小于第三边。
三角形中任意两边之和大于第三边。
不等式(组)1、不等式：用不等号(“”、“≤”、“”、“≥”、“≠”)表示不等关系的式子。
2、不等式的基本性质：(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。
3、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的全部解，组成这个不等式的解集。
提示大家：解不等式指的是求不等式解集的过程叫做解不等式。
学校数学学问点：不等式21.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.留意：一般说二元一次方程有很多个解.2.二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.留意：一般说二元一次方程组只有解(即公共解).4.二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)留意：推断如何解简洁是关键。
5.一次方程组的应用：(1)对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能简单一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则难列易解(2)对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；(3)对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。
不等式 2
不等式2知识梳理： 绝对值不等式：含绝对值的不等式性质（双向不等式） a b a b a b -≤±≤+ 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号解指对不等式：(1) 当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(2) 0)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪1. 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围 ．2. (1) 已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是_______.(2)已知函数22(),[1,),()0x x af x x f x x++=∈+∞≥对于任意恒成立，试求a 的取值范围________.3. (1) 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__________.(2) 若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围_______. 4. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于m ∈[－2,2]，f (x )<－m ＋5恒成立，求x 的取值范围．5. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.6．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．7. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．8. 已知抛物线C:y=-x²+mx-1,点A(3,0),B(0,3),求C 与线段AB 有两个不同焦点时m 的取值范围___________.9. 关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥2a 在R 上恒成立，则实数a 的最大值是________．10. 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围_________．11. 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0,若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值____．12.(1)解不等式log x+1(x2-x-2)＞1?(2)?13.___________?14.设a＞0且a≠1，解不等式?15.a ＞０且a ≠1，解关于x 的不等式： 1log a x >-?16. 已知函数.1)1(log )(),49(log )21()(21221---=+x x g x x f x f 函数满足（Ⅰ）求函数f (x )的表达式；（Ⅱ）若f (x )>g (x )，求x 的取值范围？不等式2知识梳理： 绝对值不等式：含绝对值的不等式性质（双向不等式） a b a b a b -≤±≤+ 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号解指对不等式：(3) 当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(4) 0)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪1. 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围 ． 解：设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在(),-∞+∞上能成立()min 3f x ⇔≤-．2. (1) 已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是_______.解: 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22，∴k ＋1<22，k <22－1.(2)已知函数22(),[1,),()0x x af x x f x x++=∈+∞≥对于任意恒成立，试求a 的取值范围________.解：()22()20,[1,)23f x x x a x a x x a =++≥∈+∞⇒≥-+⇒≥-对于任意3. (1) 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__________. 解：（－2，1）(2) 若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围_______.解：()3,0),(3,02121≥≤⇒⊆x x x x 017(0)03(3)0f m f ∆>⎧⎪⇒≤⇒≤-⎨⎪≤⎩4. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于m ∈[－2,2]，f (x )<－m ＋5恒成立，求x 的取值范围．解:将f (x )<－m ＋5变换成关于m 的不等式m (x 2－x ＋1)－6<0，则命题等价于m ∈[]－2，2时，g ()m ＝m ()x 2－x ＋1－6<0恒成立．∵x 2－x ＋1>0，∴g (m )在[－2,2]上单调递增，∴只要g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6<0， 即x 2－x －2<0，∴－1<x <2.5. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.解：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图象及一元二次方程x 2＋mx ＋4＝0的根的分布知，⎩⎪⎨⎪⎧ f （1）≤0，f （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5≤0，2m ＋8≤0.解得m ≤－5. 解法二：当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇔m <－x 2－4x，当x ∈(1,2)时恒成立⇔m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，当x ∈(1,2)时恒成立．令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(1,2),则g (x )min ＝g (1)＝－5，∴m ≤－5.6．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解: 由题意得x 2＋12x ≥(12)n max ＝12，∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．7. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2510x x +≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞．8. 已知抛物线C:y=-x²+mx-1,点A(3,0),B(0,3),求C 与线段AB 有两个不同焦点时m 的取值范围___________.解：线段AB 的方程：y=3-x(0≤x ≤3)，与抛物线方程联立： --->3-x= -x²+mx-1-->f(x)= x²-(m+1)x+4=0 两个交点--->f(x)=0在[0,3]上有两个根---> (1)f(x)的对称轴x=(m+1)/2∈[0,3]--->m ∈[-1,5](2)判别式=(m+1)^-16＞0--->(m+5)(m-3)＞0--->m ∈(-∞,-5)∪(3,+∞) (3)f(0)=4＞0, 显然成立；(4)f(3)=9-3(m+1)+4≥0--->3m-10≤0--->m ∈(-∞,10/3] (1)(2)(3)(4)求交集--->m ∈(3,10/3]9. 关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥2a 在R 上恒成立，则实数a 的最大值是________．解：本小题考查了绝对值的定义，令f (x )＝|x －2|＋|x －a |，当a >2时，易知f (x )的值域为[a －2，＋∞)，使f (x )≥2a 恒成立，需a －2≥2a 成立，即a ≤－2(舍去)．当a <2时，f (x )的值域为[2－a ，＋∞)，使f (x )≥2a 恒成立，需2－a ≥2a 成立，即a ≤23.当a ＝2时，需|x －2|≥a 恒成立，即a ≤0(舍去)．综上a 的最大值为23.10. 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围_________．解：由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x )．解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.11. 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0,若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值____． 解：由f (x )≤0得,|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2,由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.12. (1)解不等式log x+1(x 2-x-2)＞1?解:原不等式同解于log x+1(x 2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x ＞3。
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1.设a >2,p =a +1a −2,q =2−a 2+4a −2,试比较p,q 的大小关系.
2.比较1+log x 3与2log x 2(x ∈(0,1)∪(1,+∞))的大小.
3.比较log 2425与log 2526的大小.
4.设x >0,证明:212√x +24√x 2·26√x .
5.设a,b,c 都是正数,证明:abc (a +b −c )(b +c −a )(c +a −b ).
6.设a,b,c >0,求证:c a +a b +c +b
c 2.
比大小
1.根据均值不等式,p =(a −2)+1a −2+2>2+2=4.又q =2−(a −2)2+2<22=4,所以p >q .
2.1+log x 3=log x x +log x 3=log x 3x,2log x 2=log x 4.
1∗.x ∈(0,1).f (a )=log x a 是减函数,且3x <3<4.因此1+log x 3>2log x 2.2∗.x >1.f (a )=log x a 是增函数.令3x >4得到x >43.综上所述,x ∈(0,1)∪(43,+∞)时1+log x 3>2log x 2;x ∈(1,43)时1+log x 3<2log x 2;x =43
时1+log x 3=2log x 2.3.作差并化为同底,log 2425−log 2526=lg 25lg 24−lg 26lg 25=lg 225−lg 24·lg 26lg 24·lg 25.由均值不等式,有√lg 24·lg 26<lg 24+lg 262=lg (24×26)2=lg (252−1)2<lg 252
2=lg 25.
所以lg 24·lg 26<lg 225,从而log 2425>log 2526.
结论可以推广为log x (x +1)>log (x +1)(x +2)(x >1).
对数的形式通常要化同底.
4.由均值不等式,得212√x +24√x 2√212√x 24√x =2·212√x +4√x 2.又12√x +4√x 2 √12√x 4√x =x 16,所以原命题得证.指数的形式通常运用基本不等式.
5.如果a +b −c,b +c −a,c +a −b 中有负数,不妨设a +b −c <0,则c >a +b,b +c −a 与c +a −b 均为正数,结论成立.
设三者均非负,由均值不等式得到
√(a +b −c )(b +c −a ) (a +b −c )+(b +c −a )2
=b.同理可得√
(b +c −a )+(c +a −b )2
=c,√ (c +a −b )+(a +b −c )2=a.将三式相乘,原命题得证.
轮换式的证明通常寻找相似的项,平分系数或指数.
6.考虑配一项,将分式消去.原式=c a +a b +c +b +c c −1 33√
a ·
b +
c ·c −1=3−1=2.。