平面直角坐标系中求面积(各种情况都有)
平面直角坐标系中如何求几何图形的面积
图1图2图3平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、 求三角形的面积1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你能求出三角形ABC 的面积吗2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。
二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。
归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。
怎样确定点的坐标一、 象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。
例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。
例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ）A 、（0，-2）B 、（2,0）C 、（4,0）D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。
解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。
平面直角坐标系面积问题
平面直角坐标系面积问题介绍平面直角坐标系是数学中常见的一种坐标系，由两条相互垂直的数轴组成。
在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的位置来描述平面上的几何图形。
而面积问题则是研究平面上各种几何图形的大小。
本文将介绍平面直角坐标系中常见的几何图形，并讨论如何计算这些图形的面积。
我们将重点关注矩形、正方形、三角形和圆形这四种常见几何图形。
矩形矩形是平面上最简单的几何图形之一，由四条边和四个顶点组成。
在平面直角坐标系中，我们可以用两个对角顶点的坐标表示一个矩形。
矩形的面积计算公式为：A=l⋅w，其中A表示矩形的面积，l表示矩形的长度，w表示矩形的宽度。
对于一个顶点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)的矩形，其长度l=|x2−x1|，宽度w=|y2−y1|。
根据上述公式可以计算出矩形的面积。
正方形正方形是一种特殊的矩形，其四条边长度相等且四个角均为直角。
在平面直角坐标系中，我们可以用一个顶点和边长表示一个正方形。
正方形的面积计算公式为：A=s2，其中A表示正方形的面积，s表示正方形的边长。
对于一个顶点坐标为(x,y)的正方形，其边长s可以通过计算两个对角顶点之间的距离得到。
然后根据上述公式可以计算出正方形的面积。
三角形三角形是平面上最基本的几何图形之一，由三条边和三个顶点组成。
在平面直角坐标系中，我们可以用三个顶点的坐标表示一个三角形。
三角形的面积计算公式有多种，下面介绍两种常用方法。
海伦公式海伦公式适用于已知三边长度的情况。
假设三边长度分别为a、b和c，则三角形的半周长s=a+b+c。
三角形的面积A可以通过以下公式计算：2A=√s⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c)矢量叉积法矢量叉积法适用于已知三个顶点坐标的情况。
假设三个顶点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)，则三角形的面积A可以通过以下公式计算：A=12|(x1y2+x2y3+x3y1)−(y1x2+y2x3+y3x1)|圆形圆形是平面上最常见的几何图形之一，由一个圆心和半径组成。
割补法求平面直角坐标系内面积
割补法求平面直角坐标系内面积
首先，我们需要确定要求解的曲线以及积分的区间。
假设我们
要求解的曲线为y=f(x)，并且我们要求解的区间为[a, b]。
接下来，我们将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为
Δx=(b-a)/n。
然后我们在每个小区间内选择一个x值，记为xi，
然后计算对应的y值，记为yi=f(xi)。
接着，我们可以利用割补法的思想来逼近曲线下面积。
我们将
每个小区间内的面积近似为矩形的面积，即ΔAi = yi Δx。
然后
将所有小矩形的面积相加，即ΣΔAi = Σyi Δx。
当n趋向于无
穷大时，这个和就会趋近于曲线下的面积。
最后，我们可以利用定积分的概念来表示曲线下的面积，即A
= ∫[a, b] f(x) dx。
这里的定积分就是将割补法逼近的和Σyi
Δx在区间[a, b]上的极限，表示曲线与x轴之间的面积。
在实际计算时，我们可以利用数值积分的方法，比如梯形法则
或者辛普森法则来进行近似计算。
这些方法都是基于割补法的思想，通过将区间分成若干小段，并在每个小段上进行近似计算，最终得
到曲线下面积的近似值。
总之，割补法是一种常用的数值积分方法，可以用来求解平面直角坐标系内曲线与坐标轴围成的图形的面积。
通过将区间分割，并在每个小区间上进行面积的近似计算，最终可以得到曲线下面积的近似值。
七年级数学：平面直角坐标系中不规则图形面积的计算
2
2
2
1
1
1
4 4 (1 4) 2 1 2 2
2
2
2
4
巩固练习
• 1、如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD
各个顶点的坐标分别是A(0，0)，B(3，6)，
C(14，8)，D(16，0)，确定这个四边形的
面积.
y C (14,8)
B (3,6)
A(0,0)
x D(16,0)
尖子生思维训练
平面直角坐标系中 不规则图形面积的计算
例题一： 已知A（2，0），B（0，3），C（4，2）， 求△ABC的面积。
2
方法 1 y 4 3 2 1
O
B(4, 4)
E(4,1)
A(2,1)
F(4,0)
1 234
x
SOAB SOFB S梯形AEOF SAEB
1 OF BF 1 (AE OF) EF 1 AE BE
6
• 3、已知，如图在平面直角坐标系中， S△ABC=24，OA=OB，BC=12，求 △ABC三个顶点的坐标．
• 4、如图，△ABC在直角坐标系中，
• (1)请写出△ABC各点的坐标；
• (2)求出S△ABC ；
• (3)若把△ABC向上平移2个单位，再向右 平移2个单位得△A′B′C′，在图中画出 △ABC变化位置，并写出A′、B′、C′的坐 标．
2
2
2
1 4 4 1 (2 4)1 1 23 2
3
2
2
2
方法 2
y
4
3
B(4, 4)
2
1
A(2,1)
F(4,0)
坐标的面积公式
坐标的面积公式在数学中，我们经常需要计算平面上各种图形的面积。
当图形的边界由坐标轴上的点确定时，我们可以使用坐标的面积公式来计算图形的面积。
坐标的面积公式是一个基础且实用的数学工具，在几何学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
1. 点与坐标轴在平面直角坐标系中，我们将平面分成四个象限，我们通常用两个数来表示一个点在坐标系中的位置。
这两个数分别为x坐标和y坐标，分别对应横轴和纵轴的位置。
例如，点A的坐标为(x, y)。
2. 矩形的面积公式首先，让我们以矩形为例来介绍坐标的面积公式。
矩形是由四条边界分割的图形，两条边界分别与x轴和y轴平行。
假设矩形的两个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)和(Dx, Dy)。
则矩形的面积可以通过以下公式计算：面积 = |(Bx - Ax) * (Cy - Ay)|上述公式表示矩形的面积为矩形两条边长之积的绝对值。
3. 三角形的面积公式接下来，我们来介绍计算三角形面积的公式。
假设三角形的三个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)和(Cx, Cy)。
三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = |(Ax * (By - Cy) + Bx * (Cy - Ay) + Cx * (Ay - By)) / 2|上述公式使用了行列式的概念来计算三角形的面积，其中绝对值保证了面积的正值。
4. 多边形的面积公式除了矩形和三角形，我们还可以使用坐标的面积公式计算更复杂的多边形的面积。
对于n边形，我们可以将其划分为若干个三角形，然后使用三角形的面积公式分别计算每个三角形的面积，再将这些面积相加得到多边形的面积。
这个方法被称为三角剖分。
三角剖分方法的基本思想是找到多边形中一个顶点和相邻的两个顶点形成的三角形，计算该三角形的面积，并将它加入到总面积中。
然后，我们再移动到下一个顶点，重复相同的计算过程，直到遍历完所有的顶点。
最后，将得到的所有三角形的面积相加即可得到多边形的面积。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
在平面直角坐标系中求几何图形的面积
如图所示，求△ OAB的面积。
y
方法三：
5 4 3 2 1
N
B(3,4)
•
M
s1 s3
1 2 3 4
s2
• A(5,2)
-2
o• -1 -1 -2
5P
x
S=S长方形OPMN– S1 – S2 –S3
二、坐标系中四边形面积的求法
例4.如图所示，则四边形AOBC的面积是
y
。
方法一：
5 4 3
•
C(3,4)
• s1 A(0,2)
2 1 -2 o• -1 -1 -2 1 2
s2
3
4
5
• B(5,0)
x
S=S1+S2
如图所示，则四边形AOBC的面积是
y
。
方法二：
5 4 3
•
C(3,4)
• A(0,2)
2 1 -2 o• -1 -1 -2 1
s1
2 3
H
s2
4 =9+4 =13 5
• B(5,0)
x
S=S1+S2
5 4 3 2 1
N
B(3,4)
•
M
s1
s2
• A(5,2)
-2
o• -1 -1 -2
1
2
3
4
5
x
S=S梯形OAMN– S1 –S2
如图所示，求△ OAB的面积。
y
方法二：
5 4 3 2 1
B(3,4)
•
M
s1
• A(5,2)
s2
1 2 3 4 5P x
-2
o• -1 -1 -2
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y
4
B (0,3)
3
2
1
A (4,0)
O
1
234
x
图（1）
4
（2）这个△AOB的面积是多少，你会求吗？
y
4
B (3,3)
3
2
1
A (4,0)
O
1
234
x
图（2）
5
2、如图所示，A(-4,-5),B(-2,0),C(4,0), 求△ABC的面积。
y
4
3
2
1
DB
C
●
●
-5 -4 -3 -2 -1O -1
方法2
E(6,3)
B(6,2)
x
-2 2O 1 2 3 4 5
-1 -1 6 7 8
1
A(-1,-2)
D(6,-2)
-
2
17
题型四
18
例1.已知，△ABC 三个顶点A、B、C的坐标分别为A（-2，4），B（2，
0），C（2，5）。
（1）在所给的平面直角坐标系xoy中画出△ABC，并求△ABC的面积。
（2）点P在x轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标。
y 7 6 5
4 3 2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 01 2 3 4 5 6 7x
-2
-3
-4
-5
-6
19
-7
总结
平面直角坐标系中求面积
方法一：一边在坐标轴上三角形面积的求法 方法二：一边平行于坐标轴的三角形面积的求法 方法三：利用割补法求图形的面积 方法四：与图形面积相关的点的存在性问题
２.若BC的坐标不变,
B (-4,0) O
△ABC的面积为6,点A
y
的横坐标为-1,那么
A
点A的坐标为_(_-1,2)或(-1_,.-2)
(-4,0B)
C (2,0x )
(2,0)
Cx
8
题型二
9
例1：三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A（4，1），B（4，5），C（-1，2）， 求三角形ABC的面积.
则D(1,0) E(5,0)，由点的坐标可知
AD=4 BE=2 OD=1 DE=4 CE=1
∴ S四边形ABCD= S△AOD+ S梯形ABED+S△BEC
= 1 OD·AD+ 1(BE+AD)·DE +1 ·EC ·BE
2
2
2
=
1 2
×1×4+
1 ×6×4+
2
1
2 ×1×2
= 15
已知△ABC中，A(-1,-2),B(6,2),C(1,3), 求△ABC的面积.
12 345
x
-2
-3
-4
A●
-5
解：过点A作AD⊥X轴于点D
∵A(-4,-5)
∴D(-4,0)
由点的坐标可得 AD=5 BC=6
∴ S△ABC = 1 ·BC·AD= 1 ×6×5=15
2
2
练习. １．已知A(1,4),
B(-4,0),C(2,0). △ABC的面积是＿12＿＿．
y
A (1,4)
6y
5
4
C(1,3)
3
2
1
B(6,2)
-2 -1O -1
1
2 3 4 56 7 8
x
A(-1,-2)-2 -3
15
y
5 F(-14,3) C(1,3)
3
方法1
E(6,3)
B(6,2)
-2 2O 1 2 3 4 5
-1 -1 6 7 8
1
A(-1,-2)
D(6,-2)
x
-
2
16
y
5
4
C(1,3)
3
10
例2.已知，△ABC 三个顶点A、B、C的坐标分别为A
（-2，4），B（2，0），C（2，5）。在所给的平面
直角坐标系xoy中画出△ABC，并求△ABC的面积。
y 7 6 5
4 3 2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 01 2 3 4 5 6 7x
-2
-3
-4
-5
-6
11
-7
题型三
（3）若A（-1,0），B（4,0），则线段AB的长为_5___ （4）若A（0,5），B（0,3），则线段AB的长为__2___
（5）若A（-3，-2），B（-5，-2），则线段AB的长 为__2___
（6）若A（3,2），B（3，-3），则线段AB的长为_5__
题型一
3
问题1 如图（1）， △AOB的面积是多少？
12
例1、探究展示
如图，四边形ABCO在平面直角坐标系中，
且求A四（边1形,4A）B，COB（的5面,2积）。，Cy（6,0A）(，1,4)O（0,0），
4
●
3
B (5,2)
F2
●
1
●
-5 -4 -3 -2 -1O
1D 2
-1
C (6,0)
●
x 3 4E 5 6
-2
-3
-4
解：过点A作AD⊥X轴于点D，过点B作BE⊥X轴于点E
专题训练 平面直角坐标系中求面积
一、自主学习
1、（1）已知点P在x轴上，且到y轴的距离为2， 则 点P的坐标为(_-_2_,_0_)_(_2_,_0_)
（2）已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则 点P的坐标为_(_4_,_3_)_(_-_4_,_3_)_(_4_,_-_3_)_(_-_4_,_-_3_)_
20