【小初高学习]2016年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数与对数运算 第2课时
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.1第1课时对数aa高一数学
①log28＝3；②log
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1 2
14＝2；③logaa2＝2(a>0，且
a≠1)；④log3217＝－3.
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[解析] (1)①3＝log 1 18；②－2＝log319；③3＝log464；④x＝log 1 3.
2
3
(2)①23＝8；②122＝14；③a2＝a2(a>0，且 a≠1)；④3－3＝217.
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∴x＝3.即 log327＝3.………………12 分 [点评] 无理式的运算是易错点要多加练习.
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1．已知
log2x＝3，则
x
1 2
等于(
1
1
A.3
B.2 3
1 C.3 3
D．
2 4
解析：由 log2x＝3 得 x＝23，
∴x ＝(2 ) 1
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指数与对数互化的本质： 指数式 ab＝N(a>0，且 a≠1)与对数式 b＝logaN(a>0，a≠1，N>0)之间是一种等价 关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式．
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3．求下列各式的值：
(1)log4(3x－1)＝1； (2)logx4＝2；
(3)log(
2－1)
1 3＋2
＝x. 2
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解析：(1)由 log4(3x－1)＝1，得 3x－1＝4， ∴x＝53.
(2)由 logx4＝2，得 x2＝4，∴x＝2(x＝－2 舍去)．
学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.1第2课时对数运算课件新人教A版必修.ppt
3．logaMn＝ nlogaM
(n∈R)．
二、对数换底公式 logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)； 特别地：logab·logba＝ 1 (a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1)．
[双基自测]
1．lg 8＋3lg 5 的值为( )
A．－3
B．－1
第 2 课时 对数运算
考纲定位
重难突破
1.掌握对数的运算性质． 重点：对数的运算性质．
2．能熟练运用对数的运算性质进行化 难点：换底公式的应用.
简求值.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么： 1．loga(M·N)＝ logaM＋logaN . 2．logaMN＝logaM－logaN .
b＝log510＝lg15，
∴1a＋1b＝lg 2＋lg 5＝1. 答案：1
4．计算下列各式的值．
(1)12lg3429－lg 4＋lg 245；
(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解析：(1)原式＝lg472－lg 4＋lg7
5＝lg4
2×7 7×4
5＝lg(
2×
忽略对数的限制条件导致错误
[典例] 若 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求xy的值． [错解] 因为 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)， 所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即 x2－xy－2y2＝0，
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数与对数运算教材梳理素材 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、对数 1.对数一般地，如果a x=N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式a b=N ，用a 、N 表示b 的运算叫对数运算，记作b=log a N.对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log ”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、×、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念．（1）会依据定义把指数式写成对数式.例如：∵32=9，∴2是以3为底9的对数.记作log 39=2； ∵41=4，∴1是以4为底4的对数.记作log 44=1； ∵20=1，∴0是以2为底1的对数.记作log 21=0； ∵318=21，∴-31是以8为底21的对数.记作log 821=-31.（2）log a N=b 中规定底数a ＞0且a ≠1.这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log （-2）21；若a=0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值.总之，就规定了a ＞0且a ≠1.(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数.在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题．因为底数a ＞0且a ≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b ∈R ，a b＞0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N ＞0.（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称.记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a 、b 求N ；根式进行的是开方运算，由N 、b 求a ；对数式进行的是对数运算，由a 、N 求b. （5）对数恒等式：①Na alog =N ；②log a a b=b.证明：①∵a b=N ，∴b=log a N.∴a b=Nalog =N ，即Na alog =N.②∵a b =N ，∴b=log a N.∴b=log a N=log a a b,即log a a b=b. 如5log 33=5，6log 44=6,log 335=5,3222log =32等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义. （6）两个特殊的对数式：log a a=1；log a 1=0.证明：∵a 1=a ，∴log a a=1.∵a 0=1，∴log a 1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0. 2.常用对数当底数a=10时，对数log a N 叫做常用对数，记作lgN.（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log 10N 缩写为lgN ，其中lgN 默认它的底数为10. （2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，lg0.001等，∵102=100，∴lg100=2.又∵10-3=0.001，∴lg0.001 =-3.一般情况下，可通过.如lg200 1，lg0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，然后再按lg2 001≈3.301 2，lg0.032≈-1.494 9，lg187.5≈2.273 0.因为对数表只能查得1≤a ＜10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值时，应先用科学记数法把真数表示成a ×10n（1≤a ＜10，n ∈Z )的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值.联想发散 要会使用科学记数法记数.当N ＞10时，可把N 写成a ×10n的形式，其中n比N 的整数位数少1，如10 001=1.000 1×104；当0＜N ＜1时，可把N 写成a ×10-n，其中n 是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.001 02=1.02×10-3. 3.自然对数在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数.以e 为底的对数叫做自然对数.log e N 通常记作lnN.①自然对数与常用对数的关系： lnN ≈2.302 6lgN. ②可直接使用计算器求自然对数值.它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln 键，即可直接求出常用对数值.如ln34≈3.526 4，也可查表，求自然对数的值. 要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值. 二、对数运算1．积、商、幂的对数运算性质 （1）log a MN=log a M+log a N ，两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．该法则可以推广到若干个正因数积的对数，即log a （N 1·N 2·…·N k ）=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . （2）log aNM=log a M-log a N. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.（3）log a M n=nlog a M （n ∈R ）.正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数对数的运算法则既可正用，也可逆用，由积、商的运算法则可知，若逆用该公式，可把对数式转化成同底数的对数的和、差的形式．误区警示 使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg （-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）. 2.换底公式（1）换底公式：log a b=abc c log log （a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0）.证明：设log a b=c ，则a c=b.两边取以c 为底的对数，得clog c a=log c b ， 所以c=a b c c log log ，即log a b=abc c log log .换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简，凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的，都可考虑用换底公式求解，使用换底公式推论的前提是底数或真数能化成幂的形式.①换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是 若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N.②自然对数与常用对数的关系可以通过换底公式建立关系： lnN=e N lg lg ≈4343.0lg N≈2.302 6lgN. ③可把一般对数式转化成常用对数或自然对数，通过计算器或查表求值. ④换底公式可用于对数式的化简、求值或证明. （2）换底公式的三个推论：n a b n log =log a b ，m a b n log =nmlog a b ，log a b ·log b a=1. 推广：log a b ·log b c ·log c d ·…·log e a=1. 问题·思路·探究问题1 对数运算性质的实质是什么？思路：对数运算性质是指数运算性质的拓展引申，它们之间可以互相转化.探究:由于指数运算中遇到次数高的指数进行乘、除、乘方和开方时运算量太大，操作很繁，而对数运算恰恰将指数运算这些弱点克服，可以将乘、除、乘方和开方时运算转化为对数的加、减、乘的运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法，有力地促进了涉及与高次数运算有关领域如天文、航海、工程、贸易及军事的发展.问题2 式子log a M n=nlog a M 表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？ 思路：log a M n与nlog a M 与log a nM=n1log a M 的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的探究:一般不能，比如2=log 416=log 2216而，2log 216=8≠log 2216=2,但有类似的性质，这个性质是 log a nM=n 1log a M. 证明如下：令log a M=x,则M=a x,所以n 1=log a M=n 1x ，而M n a log =x a a n log =a x n a log =x ·n 1，所以M n a log =n1log a M.典题·热题·新题例1 (2006浙江高考,理)已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则（ ）A.1＜n ＜mB.1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D.n ＜m ＜1 思路解析：∵0<a<1,∴y=log a x 为减函数，由log a m<log a n<0,可得1<n<m. 答案：A例2 设log 189=a ，18b=5，求log 3645.思路解析：本题是条件求值问题，解题的关键是把结论化成已知的形式，换底是显然的.解：∵18b=5，∴b=log 185. ∴log 3645=aba b a b a -+=-+=++=++=29log 2918log 12log 19log 5log 36log 45log 18181818181818.深化升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简. 例3 计算：lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22. 思路解析：本题主要考查对数的运算性质. 解：原式=lg25+328lg +lg210·lg （10×2）+lg 22 =lg25+lg4+（lg10-lg2）（lg10+lg2）+lg 22=lg100+lg 210-lg 22+lg 22=2+1=3.深化升华 对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用. 例4 设3x=4y=36，求yx 12+的值. 思路解析：本题主要考查对数的定义及运算性质.从所求的值来看，解题的关键是设法把x 、y 表示出来，再结合对数的运算性质就可以求出数值. 解：∵3x=4y=36，∴x=log 336，y=log 436.则x1=log 363，y 1=log 364.∴x 2+y1=2log 363+log 364=log 36（32×4）=1. 深化升华 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但真数相等，式子两端取倒数之后，利用对数的换底公式可消除差异.例5 已知a 、b 、c 均为正数，3a =4b =6c，求证：cb a 212=+. 思路解析：本题主要考查对数的定义及其运算性质.从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a ，b ，c 的关系，不妨设3a =4b =6c=k （k ＞0），则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论.证明：设3a =4b =6c=k ，则k ＞0.由对数的定义得a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ， 则左边=kk b a 43log 1log 212+=+=2log k 3+log k 4=log k 9+log k 4=log k 36， 右边=k c 6log 22==2log k 6=log k 36，∴cb a 212=+. 深化升华 证明恒等式常用的方法（1）作差比较法；（2）化简较为复杂的一边等于较简单的一边； （3）化简左、右两边，使它们等于同一式子；（4）先证明另一恒等式，再推出所要求证的恒等式.例6 设a 、b 同号，且a 2+2ab-3b 2=0，求log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）的值.思路解析：本题考查对数性质的应用.已知只告诉我们关于a 、b 的一个齐次方程，因此不可能求出a 、b 的值，只能求出a 、b 的关系式，从求证的结论看，由对数的运算性质可得真数也是一个齐次式，这样就把条件同结论联系到一起了.解：∵a 、b 同号，∴b ≠0.把方程a 2+2ab-3b 2=0两边同除以b 2，得（b a ）2+2（ba）-3=0. ∴（b a +3）（b a -1）=0，得b a =1或ba=-3（舍去）.∴a=b. ∴log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）=log 3（3a 2）-log 3a 2=log 33=1.深化升华 ：条件代数式的求值同条件代数式的化简、证明一样，解题的关键是找到题设与结论的联系，可化简结论，用上条件，可化简条件得出结论，也可同时化简条件与结论等.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数
方法归纳 两类对数不等式的解法 (1)形如 logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当 0<a<1 时，可转化为 f(x)>g(x)>0； ②当 a>1 时，可转化为 0<f(x)<g(x)． (2)形如 logaf(x)<b 的不等式可变形为 logaf(x)<b＝logaab. ①当 0<a<1 时，可转化为 f(x)>ab； ②当 a>1 时，可转化为 0<f(x)<ab.
1 3 1 5
)
③log23 与 log54.
【解析】 (1)0<0.43<1,30.4>1，log40.3<0，故选 C. (2)①方法一：对数函数 y＝log5x 在(0，＋∞)上是增函数． 3 4 3 4 而4<3，∴log54<log53. 3 4 3 4 方法二：∵log54<0，log53>0，∴log54<log53.
1 5
∴log 1.6>log 2.9.
1 5 1 5
(2)∵y＝log2x 在(0，＋∞)上单调递增， 而 1.7<3.5， ∴log21.7<log23.5.
(3)借助 y＝log x 及 y＝log x 的图像，如图所示．
1 2 1 5
在(1，＋∞)上，前者在后者的下方， ∴log 3<log 3.
1 5 1 3 1 5
1
1
类型二 解对数不等式 [ 例 2] (1) 已知 log0.72x<log0.7(x － 1) ， 则 x 的取值范围为 ________； (2)已知 loga(x－1)≥loga(3－x)(a>0， 且 a≠1)， 求 x 的取值范围．
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.3对数的运算(2)练习(含解析)新人教A版必修1
课时23 对数的运算(2)换底公式的应用a b c abc A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.答案 9解析 由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值． 解 由已知分别求出x 和y ，∵3x ＝36,4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 4．计算：(1)log 89×log 2732；(2)log 927；(3)log 21125×log 3132×log 513； (4)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109； (2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32； (3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15； (4)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.运用换底公式不熟练致误23A.14 B.12C ．2D ．4 易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误． 答案 D正解 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、选择题1.log 29log 23＝( )A.12 B ．2 C.32 D.92答案 B解析 由换底公式log 39＝log 29log 23.∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.2．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝() A ．a ＋b B ．a －b C ．ab D.ab答案 C解析 log 27＝log 23×log 37＝ab .3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100答案 A解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10，选A.4.1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3C.1lg 3 D ．－1lg 3答案 C解析 原式＝log 1914＋log 1315＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 310＝1lg 3.选C. 5．已知2a ＝3b ＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 D解析 a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，由2a ＋b ＝ab 得2log 2k ＋log 3k ＝log 2k ·log 3k ，即2lg k lg 2＋lg k lg 3＝k2lg 2lg 3，得2lg 3＋lg 2＝lg k ，即k ＝18.二、填空题6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．答案 4解析 由换底公式得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)，即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5.∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.7．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．答案 81解析 log a b ·log 3a ＝4，即log 3a ·log a b ＝4，即log 3b ＝4，∴34＝b ，∴b ＝81.8．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝1，则A 的值是________．答案 98解析 ∵2x ＝72y ＝A ，∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A .∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1.∴A ＝98.三、解答题9．计算下列各式的值：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4；(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06. 解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1； (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.10．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y. 解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34. ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.►2.2.2 对数函数及其性质。
2.2.1 第1课时 对数--第二章基本初等函数(I)《新课程同步进阶攻略(人教A版必修一》
2．2 对数函数2．2.1对数与对数运算第1课时对数[目标] 1.记住对数的定义，会进行指数式与对数式的互化；2.记住对数的性质，会利用对数的性质解答问题．[重点] 对数的概念及对数的性质．[难点] 对数概念的理解及对数性质的应用.知识点一对数的概念[填一填]1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数与指数间的关系：当a>0，a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.2．两种重要对数(1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.(2)自然对数：以无理数e(e＝2.718_28…)为底的对数称为自然对数，并把log e N记为ln N.[答一答]1．在对数概念中，为什么规定a>0且a≠1呢？提示：(1)若a<0，则N取某些数值时，log a N不存在，为此规定a不能小于0.(2)若a＝0，则当N≠0时，log a N不存在，当N＝0时，则log a N有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠0.(3)若a＝1，当N≠1时，则log a N不存在，当N＝1时，则log a N有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠1.2．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(×)(2)对数式log32与log23的意义一样．(×)(3)对数的运算实质是求幂指数．( √ )(4)等式log a 1＝0对于任意实数a 恒成立．( × ) 知识点二 对数的基本性质[填一填]1．对数的性质 (1)负数和零没有对数； (2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)； (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)． 2．对数恒等式 a log a N ＝N .[答一答]3．为什么零与负数没有对数？提示：因为x ＝log a N (a >0，且a ≠1)⇔a x ＝N (a >0，且a ≠1)，而a >0且a ≠1时，a x 恒大于0，即N >0，故0和负数没有对数．4．你知道式子a log a N ＝N (a >0，a ≠1，N >0)为什么成立吗？ 提示：此式称为对数恒等式．设a b ＝N ，则b ＝log a N ， ∴a b ＝a log a N ＝N .类型一 对数的意义[例1] 求下列各式中的实数x 的取值范围： (1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)．[分析] 根据对数的定义列出不等式(组)求解． [解] (1)由题意有x －10>0，∴x >10， ∴实数x 的取值范围是{x |x >10}． (2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －1>0，x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1，且x ≠2，∴x >1，且x ≠2.∴实数x 的取值范围是{x |x >1，且x ≠2}．求形如log f (x )g (x )的式子有意义的x 的取值范围，可利用对数的定义，即满足⎩⎪⎨⎪⎧g (x )>0，f (x )>0，f (x )≠1，进而求得x 的取值范围.[变式训练1] 求下列各式中实数x 的取值范围： (1)log (2x －1)(3x ＋2)； (2)log (x 2＋1)(－3x ＋8)．解：(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >12，且x ≠1.即实数x 的取值范围是{x |x >12，且x ≠1}．(2)因为底数x 2＋1≠1，所以x ≠0. 又因为－3x ＋8>0，所以x <83.综上可知，x <83，且x ≠0.即实数x 的取值范围是{x |x <83，且x ≠0}．类型二 利用对数式与指数式的关系求值[例2] 求下列各式中x 的值： (1)4x ＝5·3x ；(2)log 7(x ＋2)＝2； (3)lne 2＝x ；(4)log x 27＝32；(5)lg0.01＝x .[分析] 利用指数式与对数式之间的关系求解． [解] (1)∵4x＝5·3x，∴4x3x ＝5，∴⎝⎛⎭⎫43x ＝5，1.log a N ＝x 与a x ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)是等价的，转化前后底数不变.2.对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个.[变式训练2] 求下列各式中x 的值． (1)log 2x ＝32；(2)log x 33＝3；(3)x ＝log 51625；(4)log 2x 2＝4.解：(1)由log 2x ＝32，得x ＝232＝23＝2 2.(2)由log x 33＝3，得x 3＝33＝(3)3，∴x ＝ 3. (3)由x ＝log 51625，得5x ＝1625＝5－4，∴x ＝－4. (4)由log2x 2＝4，得x 2＝(2)4＝4，∴x ＝±2. 类型三 对数基本性质的应用[例3] 求下列各式中x 的值：[解](1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1.∴x＝21＝2.对数的基本性质及对数恒等式是进行对数化简、求值的重要工具，要熟记并能灵活应用. [变式训练3]求下列各式中的x：解：(1)∵ln(lg x)＝1，∴lg x＝e，∴x＝10e.(2)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.1．把对数式m＝log n q化为指数式是(B)A．m n＝q B．n m＝q C．n q＝m D．q m＝n解析：利用对数定义得n m＝q.2．log 3181等于( B )A ．4B ．－4 C.14 D ．－14解析：log 3181＝log 33－4＝－4.3．＝34.4．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12 ＝24.解析：∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1.∴log 2x ＝3.∴x ＝23.5．把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式． (1)5－2＝125；(2)8x ＝30；(3)3x ＝1；(4)log 13 9＝－2；(5)x ＝log 610；(6)x ＝ln 13；(7)3＝lg x .解：(1)－2＝log 5125；(2)x ＝log 830；(3)x ＝log 31；(4)(13)－2＝9；(5)6x ＝10；(6)e x ＝13；(7)103＝x .——本课须掌握的三大问题1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2) a log a N ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化学习至此，请完成课时作业18。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1对数与对数运算第一课时对数课件新人教A版必修13
log3 x, x 0, (2)若函数 f(x)= 3x , 1 x 0, 求 f(f(f(-2-
3x 2 , x 1,
2 ))).
(2)解:因为-2- 2 <-1,所以 f(-2- 2 )=- 32 2 2 =- 1 . 9
(4)因为 logx64=-2, 所以 x-2=64,所以 x= 1 .
8
题型二 对数的简单性质 [例2] 求下列各式中的x. (1)log3(x2-1)=0;
解:(1)因为 log3(x2-1)=0,
所以
x 2
x
2
1 1
0, 1,
所以 x=± 2 .
(2)log(x+3)(x2+3x)=1.
又- 1 ∈(-1,0],所以 f(f(-2-
2
))=f(-
1
)=
3
1 9
.
9
9
因为
3
1 9
>0,所以
f(
3
1 9
)=log3
3
1 9
=-
1
.即原式=-
1
.
9
9
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(1)指数式与对数式互化时的技能及应注意的问题 ①技能:若是指数式化为对数式,只要将幂作为真数,指数当成对数 值,而底数不变即可;若是对数式化为指数式,则正好相反. ②注意问题:利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母 的位置改变;对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下 角,真数正常表示. (2)对数性质的运用技能 logaa=1及loga1=0是对数计算的两个常用量,可以实现数1,0与对数 logaa及loga1的互化.
高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数2.2.1对数与对数运算(第1课时)对数
〔跟踪练习1〕
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；
(2)102＝100；
1
(3)42
＝2；
(4)log1 32＝－5. 2
(3)原式＝(alogab) logbc＝blogbc＝c.
• 『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 • (1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式： • ①它们是同底的；②指数中含有对数情势；③其值为对数的真数． • (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
〔跟踪练习3〕 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(19)log34的值． [解析] 原式＝3·3 log36－24·2 log23＋(10lg3)3＋(3 log34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4176.
• 3．对数与指数的关系
• 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝____ln_N_______.
• 4．对数的基本性质 • (1)___零___和_负_数______没有对数．
• (2)loga1＝_0____(a＞0，且a≠1)． • (3)logaa＝_1____(a＞0，且a≠1)． • 5．对数恒等式
B．log1 9＝－2 3
C．log1 (－2)＝9 3
D．log9(－2)＝13
[解析] 将(13)－2＝9写成对数式为log13 9＝－2，故选B．
• 4．若log2(log3x)＝0，则x＝_3____. • [解析] 由题意得log3x＝1，∴x＝3.
高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)
高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中0,N0，那么MlogaNloga(MN)M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNNnlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)logba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a1y某10a1y某1yloga某yloga某图象O(1,0)O(1,0)某某定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数果对于yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将某yf(某)中反解出某f1(y)；f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(某)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题：1．log89的值是log23A．（）23B．1C．32D．22．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.（）C.0D.32B.54123．已知lg2=a，lg3=b，则lg12等于lg15（）A．2ab1abB．a2b1abC．2ab1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某的值为 yA．1B．4（）C．1或4C．(C．ln5D．4或-1（）5.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）y6.已知f(e某)=某，则f(5)等于A．e57．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是yyyABCD8．设集合A{某|某10},B{某|log2某0|},则AB等于A．{某|某1}C．{某|某1}B．{某|某0}D．{某|某1或某1}2O某O某O某O某（）9．函数yln某1,某(1,)的反函数为（）某1e某1,某(0,)B．y某e1e某1,某(,0)D．y某e1e某1,某(0,)A．y某e1e某1,某(,0)C．y某e1二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg11log23＋lne＋2=10011．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.25y8413，14.y=1－2某(某∈R)，217.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a扩展阅读：高一数学上册_第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logbaab．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogMaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)log④aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)⑥换底公式：logbNaNloglog(b0,且b1)ba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a10a1y某1ylog某1a某yyloga某图象(1,0)OO(1,0)某某定义域(0,)值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(0某1)a变化对在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．图象的影响(6)反函数的概念设函数yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(某)中反解出某f1(y)；③将某f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(某)的图象"1③若P(a,b)在原函数上．一、选择题：1．log89log的值是23A．23B．12．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.3B.5243．已知lg2=a，lg3=b，则lg12lg15等于A．2ab1abB．a2b1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某y的值为A．1B．45.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(12，＋∞)B．［1，＋∞)1)6.已知f(e某)=某，则f(5)等于C．32（）C.0（）C．（）C．1或4C．(12，1]（）D．2D.122ab1abD．4或-1）D．(－∞，（）A．e5B．5eC．ln5D．log5e7．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是（）yyyyABCDO某O某某OO某8．设集合A{某|某210},B{某|lo2某g0|}则,AB等于（）A．{某|某1}B．{某|某0}C．{某|某1}D．{某|某1或某1}9．函数yln某1某1,某(1,)的反函数为（）A．ye某1e某1,某(0,)B．ye某1e某1,某(0,)C．ye某1e某1e某1,某(,0)D．ye某1,某(,0)二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg1100＋lne＋21log23=（11．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.132，14.y=1－2某(某∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.254y817.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 2.2.1.2 对数的运算 新人教A版
【 解 析 】 (1)法 一 ： 原 式 ＝ lg(2×7)－ 2(lg7－ lg3) ＋ lg7 － lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
法二：原式＝lg14－lg732＋lg7－lg18 ＝lg37142××178＝lg1＝0. (2)原式＝2＋l2gl3g62－＋2l＋g32lg2 ＝42llgg22＋＋2llgg33＝12. (3)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.
lglg1225＋llgg245＋llgg58·llgg25＋llgg245＋lglg1825 ＝3llgg25＋22llgg52＋3llgg52llgg25＋22llgg25＋33llgg52＝133llgg253llgg25 ＝13.
【解析】 原式＝log5102＋log50.25 ＝log5(102×0.25)＝log525＝log552＝2. 【答案】 2
课堂探究 互动讲练 类型一 利用对数的运算性质化简与求值
[例 1] 计算：(1)lg14－2lg73＋lg7－lg18； (2)2＋2lglg02.3＋6＋lg32lg2； (3)lg25＋lg2·lg50.
知识点二 对数换底公式 logab＝llooggccba(a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0)． 特别地：logab·logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
【化解疑难】
1．换底公式的推导 设 x＝logab，化为指数式为 ax＝b，两边取＝logcb.
|素养提升|
1．运用对数的运算性质应注意 (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误： ①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN ＝loga(M±N)．
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第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 对数与对数运算 第2课时 对数的运算性质习题 新人教A 版必修1一、选择题1．下列式子中正确的个数是导学号 22840697( ) ①log a (b 2－c 2)＝2log a b －2log a c ； ②(log a 3)2＝log a 32；③log a (bc )＝(log a b )·(log a c )； ④log a x 2＝2log a x . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A2．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于导学号 22840698( ) A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C.ab 2c3 D.2ab 3c[答案] C[解析] lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c3，故选C.3．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于导学号 22840699( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27[答案] D[解析] 原式可化为：log 8m ＝2log 34，∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13 ＝3，m ＝27，故选D.4．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解为导学号 22840700( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－1或x ＝4 C ．x ＝4 D ．x ＝－1且x ＝4 [答案] C[解析] 一定要注意对数的真数大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝x ＋5x －1>0x ＋5>0，解得x ＝4，故C.5．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12 等于导学号 22840701( )A.13B.123 C.122D.133 [答案] C[解析] log 7[log 3(log 2x )]＝0，则log 3(log 2x )＝1，log 2x ＝3，x ＝8，因此x －12 ＝122.故选C.6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b)2的值等于导学号 22840702( )A ．2 B.12 C ．4 D.14[答案] A[解析] 由根与系数的关系，得 lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2，故选A.二、填空题7．化简log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3)＝________.导学号 22840703 [答案] 32[解析] log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3) ＝log 2[(1＋2)2－32]＝log 222＝log 2232 ＝32.8．若lg x －lg y ＝a ，则lg(x2)3－lg(y2)3＝________.导学号 22840704[答案] 3a[解析] ∵lg x －lg y ＝a ，∴lg(x2)3－lg(y2)3＝3(lg x 2－lg y2)＝3(lg x －lg y )＝3a .三、解答题9．计算：(1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log31；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.导学号 22840705[分析] 直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合． [解析] (1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log31＝(12)2＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234. (2)原式＝lg25＋lg823 ＋lg 102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝2lg2＋lg31＋12lg0.62＋13lg23＝2lg2＋lg31＋lg0.6＋lg2＝2lg2＋lg31＋－＋lg2＝2lg2＋lg3lg6＋lg2＝2lg2＋lg3＋＋lg2＝2lg2＋lg32lg2＋lg3＝1.[点评] 在解题中，对于常用对数要注意要10＝2×5,2＝10÷5,5＝10÷2的拆解与公式的灵活运用．10．(1)计算：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n)×log 9n32； (2)设lg2＝a ，lg3＝b ，求log 512.导学号 22840706 [解析] (1)原式＝(log 23＋2log 232log 22＋3log 233log 22＋…＋n log 23n log 22)×log 9n32＝(log 23＋log 23＋log 23＋…＋log 23)×log 9n32＝n ×log 23×5n ×12log 32＝52.(2)log 512＝lg12lg5＝lg3＋lg4lg 102＝lg3＋lg221－lg2＝lg3＋2lg21－lg2.因为lg2＝a ，lg3＝b ，所以log 512＝b 1－a ＋2a 1－a ＝2a ＋b1－a.一、选择题1．若x log 34＝1，则4x＋4－x的值为导学号 22840707( ) A.83 B.103C ．2D ．1[答案] B[解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－x＝3＋13＝103，故选B.2．lg8＋3lg5的值为导学号 22840708( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 [答案] D[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D. 3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝导学号 22840709( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100[答案] A[解析] a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m＝10，故选A.4．已知方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两个实数根为α、β，则(14)α·(14)β等于导学号 22840710( )A.136B ．36C ．－6D ．6[答案] B[解析] 由题意知：α＋β＝－log 26，(14)α·(14)β＝(14)α＋β＝(14)－log26＝4log26＝22log26＝36，故选B.二、填空题5．lg 52＋2lg2－(12)－1＝________.导学号 22840711[答案] －1[解析] lg 52＋2lg2－(12)－1＝lg 52＋lg4－2＝－1.6．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log (abc )x ＝________.导学号 22840712 [答案] 1[解析] ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1.三、解答题7．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值.导学号 22840713[分析] 用换元法把对数方程转化为一元二次方程，由根与系数的关系求出a 与b 的关系式，可得结果．[解析] 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ， 则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0. 所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个实根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，所以lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )(lg b lg a ＋lg alg b)＝a ＋lg bb 2＋a2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·b ＋lg a 2－2lg a lg blg a lg b ＝2×22－2×1212＝12.8．已知3x＝4y＝6z.导学号 22840714 (1)若z ＝1，求(x －1)(2y －1)的值； (2)若x ，y ，z 为正数，求证：2x ＋1y ＝2z.[解析] (1)由3x ＝4y＝6得x ＝log 36，y ＝log 46，所以(x －1)(2y －1)＝(log 36－1)(2log 46－1) ＝log 32·log 49＝lg2lg3·2lg32lg2＝1.(2)证明：设3x＝4y＝6z＝m (m >1)， 则x ＝log 3m ，y ＝log 4m ，z ＝log 6m . 所以1x ＝log m 3，1y ＝log m 4，1z＝log m 6.又因为2log m 3＋log m 4＝log m 36＝2log m 6，所以2x ＋1y ＝2z.。