高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题04 大题好拿分(提升版20题)文

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专题03小题好拿分(提升版)-上学期期末考试高二数学(理)备考黄金30题含解析.doc

201（^2017学年度上学期期末考试备考黄金30题之小题好拿分［提升版】1 •已知一个几何体的三视图如图5所示，则这个几何体的体积是（）A 晋B.f C.# D罟【解析】该几何体的直观團如團,它是宙一个三棱拄切去一个三棱锥后剩余的几何体、体积V=|x 2収2 -|x|x2X2X1=学故选D..【答案】D2.已知三棱柱ABC —A I B I C I的6个顶点都在球O的球面上，若AB = 3, AC=4, AB丄AC, AA】= 12,则球O的表面积为（）A.153兀B. 160兀C. 169nD. 360H【解析】如图，由题意得BC = 5,OiA=*BC=*,OOipAAi=6,则球半径r=0A=^/001+A0iS 球=4 兀r2=169 n .故选C.【答案】c3.在正方体ABCD-A I B J C J D I中，异面直线AA|与BC】所成的角为（）A.60°B. 45°C. 30°D. 90°【解析】因为AA】〃BB|,所以ZBjBC］是AA］与BC］所成的角，ZB1BCi=45° .【答案】B4.已知三棱柱ABC—A|B|C］的侧棱与底面垂直，体积为专,底面是边长为迈的正三角形.若P为底面A|B|C］的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）【解析】如團所示，P为正三角形AiBiCi的中心，设O为厶皿的中心，由题意知：PO丄平面ABC,连接OA, 则ZPAO 即为PA与平面ABC所成的角.在正三角形ABC中，AB=BC=AC=羽，VABC- AiBiCi=£xpo=容・・.PO=G.又AO=¥><旳=1,PO 厂.\tanZPAO=^Q=^3,/ 兀/.ZPAO=y.【答案】B5.若A(—2, 3), B(3, -2), C(*, m)三点共线，则m 的值为()A. -2B. 一丄C.zD. 2【解析】因为A、B、C三点共线，则k A B=k A c，【答案】C6. 己知点A(0, 2), B(2, 0).若点C 在函数y=x?的图象上，则使得AABC 的面积为2的点C 的个数为() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【解析】设C (t,由血0, 2), B(2, 0)易求得直线AB 的方程为:.•.点C 到直线AB 的距离d =岂迢又•.•|AB |=2%6,/■S i AE£=|x|AB| - d=|t 2+t-2|・ .\|t 2+t-2|=2 贝 i 」P+t — 2==t2, /.t 2+t=0 或俘+t —4=(b 符合题意的t 值有4个，故满足题意的点c 有4个.【答案】A7. 圆x 2+y-2x-2y+l=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是(【解析】由圆的方程可得圆心坐标为(1, 1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离为d =命=車,则圆上的点到直线兀一尹=2的最大距离为迈+1. 【答案】B8.已知圆x 2 +y 2+ 2x —2y+a = 0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数G 的值是( )A. —2B. —4C. —6D. —8【解析】圆的标准方程为(x+lF + O —1)2 = 2—Q,圆心C(-l, 1),半径厂满足, = 2 — Q ,则圆心C 到直2线 x+y+2 = 0 的距离 d= I ———=y[2,所以,=4+2 = 2—a=>a=—4.屮+ 1 9. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（） A. 所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数3- (-2)-2-3解得m=|.B. 1+^/2 D. 1+2 迈A. 2D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定.【答案】D10.对HxWR, kx-kx-\ V0是真命题，则斤的取值范圉是（）A. -4<fe0B. -4<^<0C. 一4<紅0 D・一4W0【解析】由题意知心-k— 1<0对任意x€R恒成立，当*=0时，-1<0恒成立；当申时，有【答案】C11.己知命题p： 0x>O,总有（x+l）e r>l,则〃为（）A.mxoWO,使得（兀o+l）eLWlB.北）>0,使得（x（）+l）cl）WlC.Vx>0,总有（x+l）e0D.VxWO,使得（x+l）bWl【解析】因为全称命题/?（x）的否定为3.Y（）M, p（x）,故p： 3x（）>0,使得（x（）+l）c\）W 1.【答案】B212.抛物线J2=4X的焦点到双曲线x2-f =1的渐近线的距离是（）3X1-1X0窖，故选B.13・己知椭圆C：牙+)丿=1的右焦点为F,直线/： x=2,点底/,线段交椭圆C于点若FA = 3FB, 则丽=()A.迈B. 2C.V3D. 3【解析】设点4(2, Bg拘.由椭圆C:牙+护=1知应=2,护=「"=1,即c=l, /.右焦点他0). 由茹=3両，得(1, n)=3(ro-b 拘.・・l=3(xo — 1)曰M—3^o・•_4 _1・・卫)一亍，丿0—jTLv2将X" J0代入亍+护=1，得|x^)2+Qn)2=l.解得川=1,・••両=7 (2-1) 2 +泌=57?=返【答案】A214.若点O和点F(_2, 0)分别为双曲线务一尸=1(0>0)的屮心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点, 则丽•序的取值范圉为()A. 3—2迈，+oo)B. 3 + 2羽，+oo)C. -£ +cojD.扌，+ooj【解析】因为双曲线左焦点的坐标为F(_2, 0), 所以c=2.所以c2=a2+h2=a2+l1即4=圧+1,解得a=£.设P(x, y),则丽・FP=x(x+2)+y2f2因为点尸在双曲线亍一)/=1上，2所以前• FP=^+2x— 1 =3(J_*_4)—I-1 - 又因为点P在双曲线的右支上，所以X”.所以当x=y[3时，5>・序最小，且为3 + 2羽,即方•序的取值范围是3 + 2迈，+oo).【答案】By=k (x+2),15.已知直线y=k(x+2)与双曲线令一£=1,有如下信息:联立方程组”2消去丿后得到方程1,m 8A X2+B X+C=0,分类讨论：⑴当力=0时，该方程恒有一解；⑵当卷0时，A=B2~4AC>0恒成立.在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是()A. (1,苗B.迈，+oo)C. (1, 2]D. 2, +oo)【解析】依题意可知直线恒过定点(一2, 0),根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(一2, 0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即一2W—比，即0</«<4,又e=yj\+£=、!'+¥，所以4 书.【答案】B16.已知点戶为抛物线y2= 2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，直线/过点卩且与x轴平行，若同时与直线/、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点0,则点0()A.位于原点的左侧B.与原点重合【解析】设抛物线的准线与X 轴、直线f 分别交于点D, C,圆与直线I.直线胪分别切于点R 如图, 由抛物线的定义知|PC|=|P 环由切线性质知關=|PB|,于是\AC\=[B^.y.\AC\=\DO\? \BF]=\FQ\?所以Q0 = 00,而卩0|=阿，所以0 Q 重合，故选B.【答案】B217.若尺，$为双曲线C ： 1的左、右焦点，点卩在双曲线C 上，ZF l PF 2=60° ,则点卩到x 轴的距离为（） A 逅 A ，5 「亚匕5【解析】设lPFi|=n,羽2|=/点卩到工轴的距离为阿，则必丹胛2=初用1160。

高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题06 大题易丢

专题06 大题易丢分（20题）1.已知0c >，且1c ≠，设命题p ：函数xy c =在(),-∞+∞上单调递减；命题q ：函数()221f x x cx =-+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，（1）若“p 且q ”为真，求实数c 的取值范围（2）若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．【答案】（1）102c <≤；（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）∵c>0且c≠1，∴⌝ p: c>1, ⌝q ： 12c >且c≠1. 又∵“p 或q”为真，“p 且q”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．当p 真，q 假时，{c|0<c<1}∩{c | 12c > ，且c≠1}＝{c|12<c<1}．当p 假，q 真时，{c|c>1}∩{c|0<c≤12}＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是{c|12<c<1}． 2．已知集合A 是函数()2lg 208y x x =--的定义域，集合B 是不等式22210x x a -+-≥（0a >）的解集， p ： x A ∈， q ： x B ∈. （1）若A B ⋂=Φ，求实数a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 11a ≥；(2) 01a <≤.（2）易得： p ⌝： 2x ≥或10x ≤-， ∵p ⌝是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x x ≥≤-或是{|11}B x x a x a =≥+≤-或的真子集则12{110 0a a a +≤-≥->，解得： 01a <≤∴a 的取值范围为： 01a <≤点睛：本题考查了函数定义域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对区间端点值的比较，是中档题．3.已知0m ≠，向量(,3)a m m =，向量(1,6)b m =+，集合{}2|()(2)0A x x m x m =-+-=．（1）判断“//a b ”是“||10a =”的什么条件；（2）设命题p ：若a b ⊥，则19m =-．命题q ：若集合A 的子集个数为2，则1m =．判断p q ∨，p q ∧，q ⌝的真假，并说明理由．【答案】（1）充分不必要条件.（2）p q ∨为真命题p q ∧为假命题q ⌝为真命题.4．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点.（Ⅰ）证明： OD ⊥平面EFG ；（Ⅱ）求三棱锥O EFG -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）连结，通过勾股定理计算可知，由三线合一得出平面；（Ⅱ）根据中位线定理计算得出是（Ⅱ）侧棱OB ⊥底面ABCD , BD ⊂面ABCD ∴ OB ⊥ BD2,OB DB ==∴ OD = 由（Ⅱ）知： OD ⊥平面EFG ,是三棱锥O 到平面EFG 的距离F 分别是OD 的中点, OF =， DE OE == EF OD ⊥,∴ EF =DG DG == FH OD ⊥ ∴ FG =四边形ABCD 是边长为2的正方形， ,E G 是,AB BC 的中点∴ EG = ∴三角形EFG 是等边三角形∴ 2EFGS=01132G EOF EFG V V Sh --===5．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中， AB BC =， 90ABC ∠=︒， D 为棱11A B 的中点. （Ⅰ）探究直线1B C 与平面1C AD 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若1112BB A B ==，求三棱锥1C ADC -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）23.因为1B C ⊄平面1C AD ， DG ⊂平面1C AD ，所以1B C 平面1C AD .（Ⅱ）易知11B C ⊥平面11AA B B ，由（Ⅰ）可知， 1B C 平面1C AD . 所以点C 到平面1ADC 的距离等于点1B 到平面1ADC 的距离，所以111C ADC B C AD V V --=.因为1112BB A B ==，所以1111111111111212232323C ADC B C AD C B AD V V V B D BB B C o ---===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故三棱锥1C ADC -的体积为23.6．如图，在三棱锥P ACD -中， 3AB BD =， PB ⊥底面ACD ， ,BC AD AC PC ⊥==且cos 10ACP ∠=.（1）若E 为AC 上一点，且BE AC ⊥，证明:平面PBE ⊥平面PAC . （2）若Q 为棱PD 上一点，且//BQ 平面PAC ，求三棱锥Q ACD -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）137．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1CC ⊥底面ABC ， 2AC BC ==， AB = 14CC =，M 是棱1CC 上一点．（I ）求证： BC AM ⊥．（II ）若M ， N 分别是1CC ， AB 的中点，求证： CN ∥平面1AB M ．（III ）若二面角1A MB C --的大小为π4，求线段1C M 的长【答案】（I ）见解析（II ）见解析（III ）132C M =（II ）连接1A B 交1AB 于点P ． ∵四边形11AA B B 是平行四边形， ∴P 是1A B 的中点．又∵M ， N 分别是1CC ， AB 的中点， ∴NP CM ，且NP CM =， ∴四边形MCNP 是平行四边形， ∴CNMP ．又CN ⊄平面1AB M ， MP ⊂平面1AB M ， ∴CN 平面1AB M ．（III ）∵BC AC ⊥，且1CC ⊥平面ABC ， ∴CA ， CB ， 1CC 两两垂直。

2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学黄金30题含解析

1。

已知0c >，且1c ≠,设命题p:函数x y c =在(),-∞+∞上单调递减；命题q ：函数()221f x x cx =-+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数,（1）若“p 且q”为真，求实数c 的取值范围（2）若“p 且q”为假,“p 或q”为真，求实数c 的取值范围．【答案】（1)102c <≤；（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）∵c〉0且c≠1，∴⌝ p: c>1, ⌝q ： 12c >且c≠1。

又∵“p 或q"为真，“p 且q”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．当p 真，q 假时,｛c ｜0<c 〈1}∩｛c ｜ 12c >，且c≠1}＝｛c|12〈c<1}．当p 假，q 真时,{c ｜c>1｝∩｛c|0<c≤12｝＝∅。

综上所述，实数c 的取值范围是{c ｜12〈c<1｝．2．已知集合A是函数()2lg208y x x=--的定义域，集合B是不等式22210x x a-+-≥(0a>）的解集，p: x A∈，q: x B∈。

（1）若A B⋂=Φ，求实数a的取值范围；（2)若p⌝是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）11a ≥;（2）01a<≤.（2）易得：p⌝：2x≥或10x≤-，∵p⌝是q的充分不必要条件，∴{|210}x x x≥≤-或是{|11}B x x a x a=≥+≤-或的真子集则12{110aaa+≤-≥->，解得: 01a<≤∴a的取值范围为: 01a<≤点睛:本题考查了函数定义域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对区间端点值的比较,是中档题．3。

已知0m ≠,向量(,3)a m m =，向量(1,6)b m =+,集合{}2|()(2)0A x x m x m =-+-=．(1）判断“//a b ”是“||10a =”的什么条件;（2）设命题p :若a b ⊥，则19m =-．命题q ：若集合A 的子集个数为2，则1m =．判断p q ∨，p q ∧,q ⌝的真假，并说明理由．【答案】（1)充分不必要条件.(2）p q ∨为真命题p q ∧为假命题q ⌝为真命题。

高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题01 小题好拿分(基础版,30题)苏教版

专题01 小题好拿分（基础版，30题）一、填空题1．棱长均为1的正四棱锥的全面积为_________. 【答案】31+【解析】由题意得23413,14S S ⎛⎫=⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭侧底，所以正四棱锥的全面积为=31S S S +=+侧底。

答案： 31+2．若直线ax+2y+6=0与直线x+（a ﹣1）y+2=0垂直，则实数a 的值为_____．【答案】233．命题“若α是钝角，则sin α＞0”的逆否命题为_____．【答案】“若，则不是钝角”【解析】命题“若是钝角，则”的逆否命题为“若，则不是钝角”．故答案为“若，则不是钝角”．4．抛物线的准线方程是_____．【答案】【解析】抛物线的方程为故其准线方程为故答案为5．已知双曲线上一点到一个焦点的距离等于2，则点到另一个焦点距离为______．【答案】10【解析】设双曲线的焦点分别为，由题意，得，所以；故填10.【技巧点睛】本题考查双曲线的定义；处理涉及椭圆或双曲线的点与两焦点间的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行求解；但要有时需要判定该点在双曲线上的哪一支上，以免出现增解.6．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标是____．【答案】27．函数的图象在点处的切线方程为__________________．【答案】【解析】因为，所以，则，即函数的图象在点处的切线方程为，即.8．若椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点距离的倍，则该椭圆的离心率为___________．【答案】【解析】不妨设椭圆的标准方程为，则椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点的距离的倍，则，即，即该椭圆的离心率为.9．函数的单调减区间为___________________．【答案】（0,1）【解析】函数的定义域为，且，令，得，即函数的单调减区间为；故填.10．已知，，则以为直径的圆的方程为___________．【答案】【解析】因为，，所以以为直径的圆的圆心为，半径为，即该圆的方程为；故填.11．函数在区间[ －2,3 ]上的最小值为 ________．【答案】0 【解析】因为，所以，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，即当时，函数取得最小值为0；故填0.12．抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】抛物线的准线方程为；故填.13．方程22115x y k k +=+-表示双曲线的充要条件是k ∈_________. 【答案】（－1,5）【解析】若曲线表示双曲线，则需满足()()150k k +-<，所以实数k 的取值范围为()1,5-。

专题01 小题好拿分【基础版】(30题)-上学期期末复习备考高二数学(文)黄金30题

2017~2018学年度上学期期末考试备考黄金30题之小题好拿分【基础版】一、单选题1．双曲线的渐近线方程是 ( )A. B. C. D.【★★答案★★】B【解析】已知双曲线，根据双曲线的渐近线的方程的特点得到：令即得到渐近线方程为：y=±x 故选：B ．2．已知,a b R ∈，则“1ab =”是“直线10ax y +-=和直线10x by +-=平行”的（） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件【★★答案★★】C3．“0mn >”是“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【★★答案★★】B【解析】方程221mx ny +=转化为22111x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆则110m n>>，即0n m >> ∴ “0mn >”是“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件故选B .4．已知命题:p x R ∃∈， 210x x -+>，则（）A. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+≤B. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+<C. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤D. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+< 【★★答案★★】C 【解析】命题:p x R ∃∈， 210x x -+>的否定是特称命题，故可知其否定为:p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤故选C .5．“0x >”是“133x⎛⎫< ⎪⎝⎭”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【★★答案★★】A【解析】根据指数函数的单调性知道0x >”一定有“11 3.3x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭反之133x⎛⎫< ⎪⎝⎭，解出自变量的范围是1.x >- 故推不出来0x >。

专练08(理数解答题-提升)(20道)高二数学上学期期末考点必杀黄金200题(北师大版)

专练08（理数解答题-提升）（20道）一、解答题1．已知命题p ：22310x x -+≤和命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤（1）若12a =，且p 和q 都是真命题，求实数x 的取值范围. （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 2．已和知集合()(){}20A x x a x a=--<，集合211x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈.（1）当实数a 为何值时，p 是q 的充要条件；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.3．已知三棱锥,A BCD ABD -和BCD △是边长为2的等边三角形，平面ABD ⊥平面BCD（1）求证：AC BD ⊥；（2）设G 为BD 中点，H 为ACD △内的动点(含边界)，且//GH 平面ABC ，求直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围.4．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面,ABC 24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点.（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的正弦值.5．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为6的等边三角形，,D E 分别为1,AA BC 的中点.（1）证明：//AE 平面1BDC（2）若123CC =，求DE 与平面11ACC A 所成角的正弦值.6．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点A ⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P （点P 在第一象限），过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.8．在平面直角坐标系xOy 内，已知双曲线Γ：2221y x b -=(0b >)，（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求b 的值；（3）若直线:21l y x =+与Γ交于A 、B 两点，且坐标原点O 始终在以AB 为直径的圆内，求b 的取值范围.9．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）. （1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值；（ii ）求{}n a 的通顶公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：48411114n S S S ++⋅⋅⋅+< 10．已知数列{}2n n a 是首项为2，公差为1的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令311n n n c a n -=+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意的正整数n ，恒有22n n n T λ-<，求实数λ的取值范围． 11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且31n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2211log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 12．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()22b c b c a +-=．（1）求A 的大小；（2）若ABC的面积等于，5b =，求sin sin B C 的值．13．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2222sin sin sin sin sin 3A CB AC +-=，2c =. （1）求sin B 的值；（2）设D 在BC 边上，且2BD AD DC ==，求ABC 的面积.14．在①()()()a b a b a c c +-=-，②22cos a c b C -=，)cos sin a b C c B -=三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足，b = （1）若4a c +=，求ABC 的面积；（2）求a c +的取值范围.15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222sin 2a b c C ab +-=．（1）求角C 的大小；（2）若4C π>，5c =，ABC的面积为ABC 的周长．16．已知函数()2()11f x ax a x =-++，a R ∈.（1）若1a =时，当1x >时，求()2111f x x y x -+=-的最小值. （2）求关于x 的不等式()0f x >的解集.17．已知正数x ，y 满足23x y +=，且12x y+的最小值为k ．（1）求k ．（2）若a ，b ，c 为正数，且a b c k ++=，证明：22232b c a k a b c+++≥． 18．已知A ={m |a ≤m ≤b }，B ={m |2m +4m +3≤0}，A =B（1）求实数a ，b 的值；（2）若实数x ，y 满足10220240x y x y x y -+>⎧⎪+-≥⎨⎪+-≥⎩，试作出不等式组表示的平面区域，并求t =x b x a ++的取值范围.19．已知数列{}n a 满足112a =，()()11121n n n a a a +++=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对*n N ∀∈，12323412112n n n a a a a a a a a a +++++<. 20．已知函数()22f x x x =-及点P ，过点P 作直线l 与曲线()y f x =相切（1）求曲线在点()1,1P 处的切线l 方程；（2）求曲线过点()1,0P 的切线l 的斜率.参考答案1．（1）112x ≤≤；（2）102a ≤≤. 【分析】（1）由一元二次不等式可得命题p ：112x ≤≤，命题q ：1322x ≤≤，即可得解；（2）由命题间的关系转化条件为112xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ {}1x a x a ≤≤+，即可得解. 【详解】不等式22310x x -+≤即()()2110x x --≤，解得112x ≤≤，不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤即()()10x a x a ---≤，解得1a x a ≤≤+，则命题p ：112x ≤≤，命题q ：1a x a ≤≤+，（1）当12a =时，命题p ：112x ≤≤，命题q ：1322x ≤≤，若p 和q 都是真命题，则112x ≤≤；（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ {}1x a x a ≤≤+，所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩且等号不同时成立，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围为102a ≤≤. 2．（1）1a =-；（2）(]1,1-.【分析】（1）化简B ，根据p 是q 的充要条件可得A B =，根据A B =列式可得结果；（2）将p 是q 的充分不必要条件转化为A 是B 的真子集，然后按照a 与2a 的大小关系分类讨论得到A ，根据真子集关系列式可得结果.【详解】（1）211x x <-，即211011x x x x +-=<--，有()()110x x -+<，解得11x -<<，故{}11B x x =-<<，因为p 是q 的充要条件，所以A B =，故()()20x a x a --<的解集也为()1,1-，所以211a a =-⎧⎨=⎩，即1a =-；（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，当2a a <，即0a <或1a >时，{}2A x a x a =<<，由A 是B 的真子集可得211a a >-⎧⎨<⎩，解得10a -<<；当2a a =，即1a =或0时，A =∅，符合题意；当2a a >，即01a <<时，{}2A x a x a =<<，由A 是B 的真子集可得211a a ⎧-<⎨<⎩，解得01a <<，综上所述：实数a 的取值范围是11a -<≤.、【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．（1）证明见解析；（2）,55⎣⎦. 【分析】()1证明：取BD 中点G ，连接,AG CG .根据三角形的性质和线面垂直的判定和性质可得证； ()2以G 为原点，以GC 所在直线为x 轴，以GD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系. 取AD 中点,E CD 中点F ，连接,,GE GF EF ，则平面//GEF 平面,ABC 所以H 在线段EF 上运动，设1)0(EH EF λλ=≤≤，运用线面角的空间向量求解方法和二次函数的性质可求得范围.【详解】()1证明：取BD 中点G ，连接,AG CG .ABD 和BCD △是等边三角形，AG BD CG BD AG BD G ⊥⎧⎪∴⊥⇒⎨⎪⋂=⎩BD ⊥面ACG ，AC ⊂面ACG ⇒AC BD ⊥；()2以G 为原点，以GC 所在直线为x 轴，以GD 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系. 取AD 中点,E CD 中点F ，连接,,GE GF EF ，则平面//GEF 平面,ABC 所以H 在线段EF 上运动，则()(),0,0,00,1,0G B -，()()3,0,00,1,,,(00,3)0,C D A，,13310,,,,022E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设1)0(EH EF λλ=≤≤，3133,,2222GH λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ACD 的一个法向量(),,n x y z =，则00n AC n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3303+0x z x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，平面的一个法向量()1,3,1n =，设直线GH 与平面ACD 所成角为θ，则 231526sin ,55335122GH n GH n θλλ⎡⎤⋅==∈⎢⎥⎣⎦⋅-+. 所以直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的范围为1526,⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，以及运用向量法求线面角的方法，关键在于得出动点运动的轨迹，运用向量的线性关系，设出动点的坐标，属于中档题.4．（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，由题中条件，推导出DO ⊥平面ABC ，//EF DO ，由此能证明EF ⊥平面ABC ；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCE 与平面ADC 所成的角（锐角）的余弦值，即可得出正弦值.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，得DO ⊥平面ABC ，∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =，又//DE AB ，2AB DE =，所以OF DE =，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ，∴EF ⊥平面ABC ；（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，所以BC ⊥平面ADC ；∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ∠=︒， ∴tan 6023DO EF BF ==︒=(0,0,23D ，(1,2,23E -，取平面ADC 的一个法向量()0,1,0m =，设平面DCE 的一个法向量(),,n x y z =，因为(1,0,23CD =，(0,2,23CE =，则30230n CD x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得()23,3,1n =--， ∴()()22223314n =-+-+=，1m =，3m n ⋅=-，∴33cos ,m n m n m n⋅-<>===⋅ 即因此平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ，则3cos cos ,4m n θ==，所以2313sin 144θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴平面DCE 与平面ADC 13. 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.5．（1）证明见解析；（2）20. 【分析】（1）先证明四边形ADFE 为平行四边形，则AE ∥DF ，由此即可得证；（2）以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由1CC =，求得平面11ACC A 的法向量以及直线DE 的方向向量，再利用向量公式求解．【详解】证明：取BC 1的中点F ，连接DF ，EF ， ∵E 为BC 中点，∴//EF 1CC ，112EF CC = 又∵D 为AA 1的中点，//DA 1CC ，112DA CC =， ∴//EF DA ，EF DA = ∴四边形ADFE 为平行四边形， ∴//AE DF ，∵AE ⊄平面BDC 1，DF ⊂平面BDC 1， ∴//AE 平面BDC 1.（2）由（1）及题设可知，BC ，EA ，EF 两两互相垂直，则以点E 为坐标原点，EC ，EA ， EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由123CC =，则1(3,0,0),(3,0,23),(0,33,0),(3,0,0),(0,33,3)B C A C D -，所以1(0,0,23),(3,33,0)CC AC ==-，设平面11ACC A 的法向量为(,,)m x y z =由100m AC m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得333030x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令1y =，则(3,1,0)m =，又(0,33,3),(0,33,3)D ED ∴=，所以22233cos ,||||(33)(3)(3)333102310ED m ED m ED m +⋅<>====+⋅ 设DE 与平面11ACC A 所成角为θ，则sin θ=|cos ,|ED m <>=∴DE 与平面11ACC A 所成角的正弦值为20. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）. （2）利用线面平行的判定定理. （3）利用面面平行的性质.解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 6．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）由已知先求出,B C ，设(),D x y ，结合题干得ND NB λ=，NE NC λ=，结合向量关系求得,D E 点坐标，利用点斜式得DE l 方程，联立DE l 与抛物线即可求证；（2）结合三角形面积公式得112BCQ S S BC h ==⋅△，212DEN D E S S NG y y ==⋅-△，由（1）的结论可得h ，由直线DE l 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ,从而得到NG ,12,S S 作比即可求解. 【详解】()1易知()()222,2,2,2B a a C a a -，设(),D x y ，由ND NB λ=，可得()()222,4,2x a y a a λ+=，故有()()242,2Da a λλ-，同理()()224,(1)2E a a λλ--，于是直线DE 的方程是()()()2124242y a x a aλλλ-=---，即()224288)2(x ay a λλλ=-+--①与抛物线方程联立，得到()()22210y a λ--=，此方程有两个相等的根：221()y a λ=-代入①，得()22221x a λ=-，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()()22221,221Q aa λλ--()()()2321112421622BCQ Q S S BC h a a x a λλ==⋅=⋅-=-△ 设直线DE 与x 轴交于()()228,0G a λλ-，于是()()223221182822DEN D E S S NG y y a a a λλλλ==⋅-=⋅-=-⋅△ 故有122S S = 【点睛】方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于()x y 的一元二次方程，即证0∆=；（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的DEN S △.7．（1）2212x y +=；（2 .【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c 方程组求解得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设出P 的坐标()00,x y ，利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程，利用平行线的关系得出直线 l 的方程，与直线PF 的方程联立，求得Q 的坐标，利用两点间距离公式求得PQ 关于00,x y 的表达式，并利用P 的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值. 【详解】解：（1）由题意知2222222112211c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎧⎪=⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()00,,P x y 直线l 的方程为0022x x y y += 过原点O 且与l 平行的直线l '的方程为0020x x y y += 椭圆C 的右焦点()1,0F ，由00y 0x 1y 0x 1--=--整理得到直线PF 的方程为0001)0(y y x x y ---=，联立20000000000(1)02,2022y x x y y y x y Q x x y y x x ---=⎛⎫⎧⇒-⎨ ⎪+=--⎩⎝⎭∴2222000000000022222222y x y y x PQ x y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22002022004(1)4122(2)2(2)(2)x x x x x ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭===-- 【点睛】本题考查根据离心率和定点确定求的标准方程，椭圆与直线相交所得弦长问题和定值问题，属中档题，涉及椭圆上某点处的切线方程，弦长公式，运算化简能力，注意：曲线22Ax By C +=上()00,P x y 处的切线l 的方程为00Ax x By y C +=。

经典母题30题-高考数学(文)走出题海之黄金30题系列(通用版) Word版含解析【KS5U 高考】

母题1【集合运算】（2017全国1卷文1）已知集合A=，B=，则（） A. AB = B. A B C. A B D. A B=R【答案】A 【解析】由得，所以，选A ．母题2【逻辑联结词与四种命题】（2017山东文5）已知命题2:,10p x R x x ∃∈-+≥，命题:q 若22a b <，则a b <下列命题为真命题的是（）A. p q ∧B. p q ∧⌝C. p q ⌝∨D. p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】因为:,p x R ∃∈ 1x e x ≥+是真命题，命题:q 若22a b <,则a b <是假命题，所以q ⌝是真命题，从而p q ∧⌝是真命题，故选B.母题3【复数的概念】（2017全国1卷文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（） A. i(1+i)2B. i 2(1-i) C. (1+i)2D. i(1+i) 【答案】C【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.母题4【函数的性质】（2016甲卷文12）已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,m m x y x y x y ⋯，，，，则1mii x==∑（）.A.0B.mC.2mD.4m 【答案】B【解析】 ()()222314f x x x x =--=--，其图像关于1x =对称，()f x y =的根图像关于1x =对称，故112m x x +=，2112m x x -+=，L ，12212m mx x ++=，相加得1222m x x x m+++=L ，故1mm i x m ==∑.故选B.母题5【函数的图象】（2016乙卷文9）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（）.A. B. C. D. 【答案】D 分析对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.评注排除B 选项的完整论述，设()g x =()f x '，则()4e x g x '=-.由()10g '>，()20g '<，可知存在()01,2x ∈使得()00g x '=且()0,2x x ∈时()0g x '<，所以()f x '在()0,2x 是减函数，即()0,2x x ∈时()f x 切线斜率随x 的增大而减小，排除B.母体6【导数的应用】已知函数()ln xf x x=，则（） A. ()f x 在x e =处取得最小值1eB. ()f x 有两个零点C. ()y f x =的图象关于点1,0（）对称D. ()()()43f f f π<<【答案】D【解析】分析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求得函数的最值，再根据当0x +→时， ()f x →-∞，当x →+∞时， ()0f x +→，即可判断零点个数，然后结合单调性即可判断函数值的大小．详解：∵函数()ln xf x x=∴函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()21ln xf x x -'=令()0f x '>，得0x e <<，即函数()f x 在()0,e 上为增函数；令()0f x '<，得x e >，即函数()f x 在(),e +∞上为减函数. ∴当x e =时，函数()max 1f x e=，故排除A ；当0x +→时， ()f x →-∞，当x →+∞时， ()0f x +→，故排除B ；∵2313lnln1312313222ln ln ln 013222324222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⨯≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()y f x =的图象不关于点()1,0对称，故排除C ； ∵34e π<<< ∴()()()43f f f π<<故选D.母题7【三角形函数的图象和性质】下列关函数的命题正确的个数为（）①的图象关于对称；②的周期为；③若，则；④在区间上单调递减.A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A母题8【解三角形】（2017全国1卷文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为．已知，，，则A.B. C. D.【答案】B母题9【平面向量数量积】（2017全国2卷4）设非零向量，满足，则A. ⊥B.C. ∥D.【答案】A 【解析】由平方得，即，则，故选A.母题10【等差数列通项公式和前n 项和公式】(2015·新课标全国Ⅰ，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192C.10D.12 【答案】 B【解析】由S 8＝4S 4知，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，又d ＝1，∴a 1＝12，a 10＝12＋9×1＝192.母题11【线性规划】（2017全国3卷5）设x ，y 满足约束条件3260{0 0x y x y +-≤≥≥，则z =x -y 的取值范围是A. [–3,0]B. [–3,2]C. [0,2]D. [0,3] 【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即y x z =-，易知直线y x z =-在y 轴上的截距最大时，目标函数z x y =-取得最小值；在y 轴上的截距最小时，目标函数z x y =-取得最大值，即在点()0,3A 处取得最小值，为min 033z =-=-；在点()2,0B 处取得最大值，为max 202z =-=.故z x y =-的取值范围是[–3,2]. 所以选B.母题12（2016全国丙文11）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA = 则V 的最大值是（）.A.4πB.9π2C.6πD.32π3【答案】B则33max 4439πππ3322V r ⎛⎫===⎪⎝⎭.故选B.B ACC 1B 1A 1CBA母题13（2016全国乙文11）平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（）．AB．2C．13【答案】A【解析】解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面α，即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3EAF π∠=A ． ABCDA 1B 1C 1D 1EF母题14【三视图】（2017全国2卷文6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.母题15【直线和双曲线位置关系】（2017全国1卷文5）已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A.13 B. 12 C. 23 D. 32【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以()2,0F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为()1332122⨯⨯-=，选D ．母题16【直线和抛物线位置关系】 (2014·新课标全国Ⅱ，10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B.6C.12D.7 3母题17【程序框图】（2017全国1卷文10）如图是为了求出满足321000n n->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A. 1000A >和1n n =+B. 1000A >和2n n =+C. 1000A ≤和1n n =+D. 1000A ≤和2n n =+ 【答案】D【解析】由题意，因为321000n n ->，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D.母题18【几何概型】（2016全国甲文8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯维持时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）． A.710 B.58C.38D.310【答案】B 【解析】概率40155408P -==.故选B. 母题19【直线和圆】（2016全国丙文17）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =，则CD =__________________.【解析】解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB ==223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线l：30mx y m ++=的距离3d ==，解得m = 因此直线l的方程为y x =+所以直线l 的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====. 母题20【线性规划】（2016全国1卷文16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题02 大题好拿分(基础版,20题)文

大题好拿分【基础版】1．【题文】设条件P: 22310x x -+≤,条件q :()()22110x a x a a -+++≤,若P ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围. 【答案】102a ≤≤【解析】试题分析：利用不等式的解法求解出命题p ，q 中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a 的不等式，从而求解出a 的取值范围．试题解析：()()21:2310211012p x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤, ()():101q x a x a a x a ⎡⎤--+≤⇒≤≤+⎣⎦ 则1:,2p x ⌝<或1x > :q x a ⌝<或1x a >+,由p ⌝是q ⌝成立的必要不充分条件,即只能q p ⌝⇒⌝,故必须满足11{ 02211a a a ≤⇒≤≤≤+. 2．【题文】已知2:,21p x R m x x ∃∈≤--+； :q 方程221x my +=表示焦点在x 轴上的椭圆.若p q ∧为真，求m 的取值范围. 【答案】(]1,2.【解析】试题分析：因为(]221,2x x --+∈-∞，可命题p 为真时2m ≤，又由命题q 为时()1,m ∈+∞，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：因为()(]222112,2x x x --+=-++∈-∞，所以若命题p 为真，则2m ≤. 若命题q 为真，则101m<<，即()1,m ∈+∞. 因为p q ∧为真，所以(]1,2m ∈.3．【题文】已知命题P ：函数()()25xf x a =-是R 上的减函数；命题Q ： x R ∈时，不等式220x ax -+>恒成立.若命题“P Q ∨”是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】()-【解析】试题分析：分别求出命题,P Q 下的a 的取值，根据P Q ∨为真命题，则命题P 和Q 中至少有一个真命题，分成三种情况讨论，即可求解实数a 的取值范围．4．【题文】如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的外接球的体积．【答案】（1）64；（2）36π.【解析】试题分析：（1）该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，求其3对面积之和；（2）由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，求出其面积. 试题解析：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，则外接球的半径r3=，因此外接球的体积V＝43πr3＝43×27π＝36π，所以该几何体的外接球的体积是36π.5．【题文】某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.(2)在直观图中,①证明:PD∥平面AGC;②证明:平面PBD⊥平面AGC.【答案】（1）见解析；（2）见解析试题解析：(1)该几何体的直观图如图所示.(2)如图,①连接AC,BD 交于点O,连接OG,因为G 为PB 的中点,O 为BD 的中点,所以OG∥PD，又OG ⊂平面AGC,PD ⊄平面AGC,所以PD∥平面AGC. ②连接PO,由三视图,PO⊥平面ABCD,所以AO⊥PO.又AO⊥BO,BO∩PO=O,所以AO⊥平面PBD ，因为AO ⊂平面AGC,所以平面PBD⊥平面AGC.6．【题文】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形， PAD ∆为等腰三角形，90APD ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且1AB =， 2AD =， ,E F 分别为,PC BD 的中点.（1）证明： //EF 平面PAD ；（2）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）2V 3=. 【解析】试题分析：（1）EF ∥平面PAD ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF 与平面PAD 内一直线平行，连AC ，根据中位线可知EF∥PA，EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，满足定理所需条件；（2平面PAD ⊥平面ABCD ，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD 内一直线与平面PAD 垂直，根据面面垂直的性质定理可知CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ，满足定理所需条件；（3）过P 作PO⊥AD 于O ，从而PO ⊥平面ABCD ，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可．解：(1)如图所示，连接AC . ∵四边形ABCD 为矩形，且F 为BD 的中点, ∴F 也是AC 的中点. 又E 是PC 的中点， //EF AP , ∵EF ⊄平面PAD ， AP ⊂平面PAD .//EF ∴平面PAD(2) 证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ， CD AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴CD ⊥平面PAD . ∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD .(3)取AD 的中点O ，连接PO . ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ∆为等腰三角形， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P ABCD -的高. ∵2AD =，∴1PO =. 又1AB =， ∴四棱锥P ABCD -的体积1233V PO AB AD =⋅⋅=. 7．【题文】已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为()()()14,21,23A B C ---，，，. （Ⅰ）在ABC ∆中，求边AC 中线所在直线方程（Ⅱ）求ABC ∆的面积.【答案】(I) 95130x y -+=；(II)8.【解析】试题分析：（I ）由中点坐标公式得AC 边的中点17,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，由斜率公式得直线BM 斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；（II ）由两点间距离公式可得可得BC 的值，由两点式可得直线BC 的方程为10x y -+=，由点到直线距离公式可得点A 到直线BC 的距离d =由三角形的面积公式可得结果.试题解析：(I)设AC 边中点为M ，则M 点坐标为1722（，）∴直线71921522BMk +==+.∴直线BM 方程为： ()()9125y x --=+ 即： 95130x y -+=∴AC 边中线所在直线的方程为： 95130x y -+=8．【题文】如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB ⊥平面,//,PAD AB CD E 是PB 的中点， F 是DC 上的点且1,2DF AB PH =为PAD ∆中AD 边上的高.（1）证明： //EF 平面PAD ；（2）若3,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积.【答案】（1）见解析；（2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形得到线线平行，从而可证线面平行；（2）求棱锥髙时，利用E 是中点，转化为求P 到底面距离的一半，而易证PH ⊥平面ABCD ，高即为PH. 试题解析：（1）取PA 中点G ，连接,.GE DG∵E 为PB 中点，∴ //EG AB ， 12EG AB =,∵1//,2DF AB DF AB =，∴ //EG DF ， ∴四边形DGEF 是平行四边形，∴ //EF DG ，∵ DG ⊂平面PAD ， EF ⊄平面PAD ∴//EF 平面PAD（2）∵AB ⊥平面PAD ， PH ⊂平面PAD ，∴AB PH ⊥，∵,PH AD AB AD A ⊥⋂=，∴ PH ⊥平面ABCD ，∵ E 为PB 中点，∴E 到平面ABCD 的距离13=22h PH =，又11122BCF S CF AD ∆=⋅⋅=⨯=11333224E BCF BCF V S h -∆=⋅=⨯⨯=9．【题文】已知函数3()31f x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）求曲线在点(0,(0))f 处的切线方程．【答案】（1）极大值为(1)3f -=，极小值为(1)1f =-（2）310x y +-= 【解析】试题分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f ′（x ），求出方程f ′（x ）=0的根，根据二次函数的图象求出 f ′（x ）＜0、f ′（x ）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出f ′（0）：切线的斜率，由解析式求出f （0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f （0））处的切线方程，再化为一般式方程试题解析：（1）3()31f x x x =-+，/2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=-+，/()011f x x x ===-设，可得，或．①当/()0f x >，即11x x ><-，或时；[ ②当/()0f x <，即11x -<<时．当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -= 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =- （2）2033|3x k x ==-=-，(0)1f =13(0)310y x x y ∴-=--⇒+-=．10．【题文】已知229x y +=的内接三角形ABC 中， A 点的坐标是()3,0-，重心G 的坐标是1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求（1）直线BC 的方程；（2）弦BC 的长度.【答案】（1）48150x y --=；（2 【解析】试题分析：（1）设()()1122,,,B x y C x y ,，根据重心的性质，我们不难求出BC 边上中点D 的坐标，及BC 所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．（2）求出圆心到BC 所在直线的距离，即可求出弦BC 的长度．试题解析：(1)设()()1122,,,B x y C x y ,则由已知得12123,32x x y y +=+=-，所以BC 中点D 的坐标为33,42⎛⎫-⎪⎝⎭,故12BC k =所以BC 所在直线方程为: 313224y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,即48150x y --=． (2)由（1）得圆心到BC所在直线的距离为d ==，所以弦BC的长度为== 11．【题文】已知⊙C 经过点()2,4A 、()3,5B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上. （1）求⊙C 的方程；（2）若直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2268240x y x y +--+=（2）304k ≤≤试题解析：（1）解法1：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则2222242406{35350 {8 2422022D E F D D E F E F D E ++++==-++++=⇒=-=⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以⊙C 方程为2268240x y x y +--+=. 解法2：由于AB 的中点为59,22D ⎛⎫⎪⎝⎭， 1AB k =，则线段AB 的垂直平分线方程为7y x =-+而圆心C 必为直线7y x =-+与直线220x y --=的交点，由7{220y x x y =-+--=解得3{ 4x y ==，即圆心()3,4C ，又半径为1CA ==，故⊙C 的方程为()()22341x y -+-=.（2）解法1：因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，则圆心()3,4C 到直线3y kx =+1≤，将其变形得2430k k -≤，解得304k ≤≤. 解法2：由()()()()2222341{162903x y k x k x y kx -+-=⇒+-++==+，因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，则()()22623610k k ∆=+-+≥，解得304k ≤≤. 点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．12．【题文】（1）若抛物线的焦点是椭圆2216416x y +=左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆2216416xy +=共焦点，且以y =为渐近线，求此双曲线的标准方程. 【答案】（1）232y x =-；（2）2211236x y -=. 【解析】试题分析（1）求出椭圆的左顶点，设抛物线的方程为22(0)y px p =->，可得焦点坐标，即可求解抛物线的方程；（2）求得椭圆的焦点，可设双曲线的方程为()22221,0x y a b a b-=>，根据渐近线的方程，得出关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而得到双曲线的方程.试题解析：（1）椭圆2216416x y +=左顶点为()8,0-，设抛物线的方程为22(0)y px p =->，可得82p-=-，计算得出16p =，则抛物线的标准方程为232y x =-；（2）椭圆2216416x y +=的焦点为()(),-，可设双曲线的方程为()22221,0x y a b a b-=>，则2248a b +=，由渐近线方程by x a=±，可得ba=计算得出6a b ==，则双曲线的方程为2211236x y -=.13．【题文】已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,离心率e = 4.（1）求椭圆的方程；（2）过点()2,1P 作一弦，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程.【答案】（1）221164x y +=；（2）240x y +-=. 【解析】试题分析（1）根据椭圆的几何性质，求解出,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设斜率为k ，把直线方程代入椭圆的方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式，列出方程，即可求解k 的值，得到直线的方程. 试题解析：（1）由已知得，222{24 c a b a b c ==+= ，解得2216{ 4a b ==，椭圆的方程为221164x y +=；点睛：本题主要考查了椭圆标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质，以及利用方程的根与系数的关系是解答的关键.14．【题文】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A ， 122F F =，椭圆的离心率12e =. （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）[]0,12.【解析】试题分析：（1）由题意可得到： 2,1a c ==， b =（2）设()00,P x y ，利用向量的数量积即可得21001354PF PA x x ⋅=++，结合022x -≤≤，利用二次函数求最值即可. 试题解析：（1）由已知可得122,2c c e a === 所以2,1a c == 因为222a b c =+所以b =所以椭圆的标准方程为： 22143x y +=15．【题文】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2C x py =的焦点为()0,1F ，过O 作斜率为k 的直线l 交抛物线于A （异于O 点），已知()0,5D ，直线AD 交抛物线于另一点B .（1）求抛物线C 的方程；（2）OA BF ⊥，求k 的值.【答案】(1) 2:4C x y =;(2) k =. 【解析】试题分析：（1）由抛物线22x py =的焦点为0,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，结合题意得抛物线方程；（2）已知直线:OA y kx =代入抛物线方程： 24x y =，消去y ， 240x kx -=，得()24,4A k k，直线AB与直线BF 联立得得222164154141k k B k k ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭，，由B 在抛物线C 上可解得k .试题解析：（1）由题意，12P=，所以2p =，所以抛物线2:4C x y = （2）已知直线:OA y kx =代入抛物线方程： 24x y =，消去y ， 240x kx -=，得()24,4A k k ；245,k 04ADk k k-=≠.直线245:54k AB y x k -=+，代入抛物线方程： 24x y =， 22452004k x x k ---=，得2525,4B k k⎛⎫- ⎪⎝⎭.()225254,4,,14OA k k BF kk ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 由OA BF ⊥得2204250OA BF k =+-=，解得k =. 16．【题文】已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F 、2F，离心率e =过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，三角形2ABF 的周长为8. （1）求椭圆的方程；（2）若弦3AB =，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=;（2）:AB y x =±+.（2）设点A 的坐标为()11x y ，, B 的坐标为()22x y ，， AB 的斜率为k （k 显然存在）(()()22222214{ 411240x y k x x k y k x +=⇒+++-==1221220{ 12441x x k x x k ∆>⇒+=-=+恒成立())21212443AB a e x x x x k =++=++=+=⇒=±.:AB y x =+. 点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．17．【题文】已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率e =()（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，已知()2,1P ，求PAB ∆面积的最大值. 【答案】(1) 22182x y +=;(2)2.【解析】试题分析: （1）根据椭圆的离心率和椭圆过点()即可求出22a b ，，则椭圆C 的方程可求；（2）设直线l 方程12y x m =+，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为PAB 的底，由点线距离公式求出PAB 的高，然后用基本不等式求最值．试题解析：（1）∵222222c a b 3e a a 4-===∴22a 4b =∵椭圆过点()∴22a 8,b 2==22x y 182∴+= （2）1l y x m 2=+设的方程为 22x 2mx 2m 40++-=代入椭圆方程中整理得21212x x 2m,x x 2m 4∴+=-=-()2224m 42m 40m 4=-->∴<AB 则P l d=点到直线的距离22PAB1m4mS222+-∴==≤=2m=2m2=当且仅当，即.18．【题文】在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E的一个焦点为圆C：22420x y x+-+=的圆心．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12的直线1l，2l，当直线1l，2l都与圆C相切时，求P的坐标．【答案】（Ⅰ）221.1612x y+=（Ⅱ）()2,3-，或()2,3--，或1855⎛⎫⎪⎪⎝⎭，或18,55⎛-⎝⎭.【解析】试题分析：（1）圆心坐标是已知的，故椭圆的焦点是已知的，从而半焦距c已知了，又有离心率，故半长轴长a也能求出，从而求出b，而根据题意，椭圆方程是标准方程，可其方程易得；（2）设P点坐标为()00,x y，再设一条切线的斜率为k，则另一条切线的斜率为12k，三个未知数00,,x y k需要三个方程，点P在椭圆上，一个等式，两条直线都圆的切线，利用圆心到切线的距离等于圆的半径又得到两个等式，三个等量关系，三个未知数理论上可解了，当然具体解题时，可设切线斜率为k，则点斜率式写出直线方程，利用圆心到切线距离等于圆半径得出关于k的方程，而12,k k是这个方程的两解，由韦达定理得12k k，这个结果又是12，就列出了关于P点坐标的一个方程，再由P点在椭圆上，可解出P点坐标．试题解析：（1）圆的标准方程为()2222x y-+=，圆心为()2,0，所以2c=，又12cea==，4a=，22212b a c=-=，而据题意椭圆的方程是标准方程，故其方程为2211612x y+=．4分（2）设()00,P x y，得()()10102020:,:l y y k x x l y y k x x-=--=-∵1212k k=，依题意()2,0C到1l=整理得()()222010*********x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦同理()()222020*********x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦∴12k k 是方程()()2220000222220x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦的两实根10分()()()2022002012202208220{21222x x y y k k x --≠⎡⎤∆=-+->⎣⎦-==--12分∴()()2200220011612{2222x y x y +=--=-14分()()18182,32,3,55P P ⎛⎛⇒--- ⎝⎭⎝⎭或或或16分 19．【题文】已知函数．（1）求函数的单调区间．（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间单调减区间（2）【解析】试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围。

2017_2018学年高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题03小题好拿分(提升版,30题)理

小题好拿分【提升版】一、单选题1．“0x ∀>， 2sin x x >”的否定是（） A. 0x ∀>， 2sin x x < B. 0x ∀>， 2sin x x ≤ C. 00x ∃≤， 002sin x x ≤ D. 00x ∃>， 002sin x x ≤ 【答案】D【解析】“0x ∀>， 2sin x x >”的否定是00x ∃>， 002sin x x ≤,故选D. 2．下列说法中，正确的是（）A. 命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b >，则221a b≤-”B. 命题“存在x R ∈，使得210x x ++<”的否定是：“任意x R ∈，都有210x x ++>”C. 若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题D. “a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件【答案】C3．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（）A. 1612π+B. 3212π+C. 2412π+D. 3220π+ 【答案】A4，球的半径为2，所以几何体的表面积为： 221422412162S πππ=⨯⨯+⨯+=+，故选A ．4．已知圆锥的高为5表面积为（）A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π 【答案】B【解析】设球的半径为R ，则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径， ∴R 2=（R ﹣h ）2+r 2，即R 2=（R ﹣5）2+5，解得：R=3，故该球的表面积S=4πR 2=36π，故选：B.5．在四面体S ABC -中， ,2,AB BC AB BC SA SC ⊥===平面SAC ⊥平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为（）A.163π B. 8π C. 83π D. 4π 【答案】A【解析】AB BC ⊥， A B BC ==2AC ∴=， 2,SA SC ==SAC ∴为等边三角形又平面SAC ⊥平面BAC取AC 中点D ，连接SD ，则球心O 在SD 上，有r =3r =∴该四面体外接球的表面积为163π 故选A .6．已知矩形,4,3ABCD AB BC ==.将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B AC D --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是（） A. 9π B. 16π C. 25π D. 与θ的大小无关【答案】C【解析】由题意得，在二面角D B AC --内AC 的中点O 到点A,B,C,D 的距离相等，且为522AC =，所以点O 即为外接球的球心，且球半径为52R =，所以外接球的表面积为24=25S R ππ=.选C. 7．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（）①//DF 平面11D EB ； ②异面直线DF 与1B C 所成角为60︒； ③1ED 与平面1B DC 垂直； ④1112F CDB V -=． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A8．圆锥的轴截面SAB 是边长为4的正三角形（S 为顶点），O 为底面中心， M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周），若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹长度为（）【答案】D【解析】过M 点作3MP AM ⊥交AB 于3P ，过3P 作12PP AB ⊥交圆锥底面圆周为12,P P ，则12PP ⊥平面3AMP ，所以12AM PP⊥，即点P 轨迹为线段12PP ，因为SAB ∆是边长为4的对边三角形，所以2,AO SO ==，所以12OM SO == 因为0390AMP ∠=，所以23OM AO OP =⋅，解得332OP=，所以12PP ==D.点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征及其应用，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定和性质，等边三角形的性质等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中正确作出点P 的轨迹是解答的关键. 9．已知直线，平面且给出下列命题： ①若∥，则； ②若，则∥；③若，则； ④若∥，则. 其中正确的命题是A. ①④B. ③④C. ①②D. ①③ 【答案】A10．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11ACC A ，则MN 的最小值是（）1【答案】A【解析】作1MM AD ⊥于点1M ，作1NN CD ⊥于点1N ，易证11//M N AC ，设11DM DN x ==，则11,1MM x NN x ==-，在直角梯形11MNN M ，易得)()22221112633MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，当13x =时， MN 故选A.【方法点睛】本题主要考查正方体的性质、线面平行的判定与性质以及求最值问题，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.11．如图，在长方体ABCD A B C D '-'''中，点,P Q 分别是棱,BC CD 上的动点，4,3,BC CD CC '===直线CC '与平面'PQC 所成的角为030，则PQC ∆'的面积的最小值是（）B. 8D. 10 【答案】B【解析】以C 为原点，以CD ，CB ，CC ′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则C （0，0，0），((0,23,0,,23,C P C a ''=- 设P （0，a ，0），Q （b ，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3． ()()(,0,23,0,,23,QC b PC aCC ∴=-=-=''' 设平面PQC ′的一个法向量为(),,n x y z = 则00{{ 00ay n PC n QC bx '-+=⋅=∴⋅=-+'＝令z=1，得2223231212,,123,23,1n n CC CC n b ⎛⎫=∴⋅===++ ⎪ ⎪⎝''⎭22221112121cos ,324n CC ab a b b ∴==∴+=∴='+a 2b 2≥2ab，解得ab≥8． ∴当ab=8时，S △PQC =4，棱锥C′-PQC 的体积最小，∵直线CC ′与平面PQC ′所成的角为30°，∴C 到平面PQC ′的距离12=∵V C′-PQC =V C-PQC′，114833PQC PQC S S '∆'∆∴⨯⨯=⨯= 故选B点睛：本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，对于三棱锥的体积往往进行等积转化,可以求对应的三角形的面积.12．已知抛物线22y px =，直线l 过抛物线焦点，且与抛物线交于A ， B 两点，以线段AB 为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定点睛:本题考查直线与圆的位置关系以及抛物线的定义的应用,属于中档题. 以线段AB 为直径的圆的圆心为AB 中点M,圆心到抛物线准线的距离为MN,由图可知MN 为梯形APQB 的中位线,即()12MN AP BQ =+,再根据椭圆的定义可得2AB r AF BF AP BQ ==+=+,圆心M 到准线的距离等于半径,故直线与圆相切.13．若直线l ：ax ＋b y ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 ( )【答案】B【解析】圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的标准方程为()()22214x y +++=，圆心()2,1M --，所以()()2110,21,12a b a b b a ⨯-+⨯-+=+==- ，则()()()()22222222122555a b a a a -+-=-+--=+≥，选B.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系以及二次函数的最值，属于中档题。

高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题05 小题易丢分(30题)苏教版

专题05 小题易丢分（30题）一、单选题1．放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该烟花模型的表面积为（）A. (18πB. (21π+C. (18πD. (21π 【答案】D2．已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ， P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e 的最大值是（）A.3B. 3C. 2D. 3点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出12a a 、与1PF 、2PF 的数量关系，然后再利用余弦定理求出与c 的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.3．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为2c ，直线l 过点2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭且与双曲线C 的一条渐近线垂直；以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于,M N 两点，若3MN c =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A. y =B. y =C. 2y x =±D. 4y x =±4．设双曲线C 的中心为点O ，若直线1l 和2l 相交于点O ，直线1l 交双曲线于11A B 、，直线2l 交双曲线于22A B 、，且使1122A B A B =则称1l 和2l 为“WW 直线对”.现有所成的角为60°的“WW 直线对”只有2对，且在右支上存在一点P ，使122PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（） A. ()1,2 B. [)3,9 C. 3,32⎛⎤⎥⎝⎦D. (]2,3 【答案】D【解析】由双曲线的对称性知11OA OB =， 22OA OB =，因为1122A B A B =所以11OA OB ==22OA OB =，根据题意所成的角为60°的“WW 直线对”只有2对，则ba>e 2∴=>又因为在右支上存在一点P ，使122PF PF =由焦半径公式得22ex a ex a -=+，得3ex a =，故3a x e =因为x a ≥即3aa e≥ e 3∴≤ 综上则该双曲线的离心率的取值范围是(]2,3 故选D点睛：本题考查了双曲线的离心率问题，综合性较强，一定要理解题目中给出的条件意思，将其转化为数学语言，如“所成的角为60°的“WW 直线对”只有2对”将其转化为离心率问题，需要熟练运用基础知识5．已知点()111,P x y ， ()222,P x y ， ()333,P x y ， ()444,P x y ， ()555,P x y ， ()666,P x y 是抛物线2:2C y px =（0p >）上的点， F 是抛物线C 的焦点，若12345636PF P F P F P F P F P F +++++=，且12345624x x x x x x +++++=，则抛物线C 的方程为（）A. 24y x = B. 28y x = C. 212y x = D. 216y x =【答案】B6．在三菱柱111ABC A B C -中， ABC 是等边三角形， 1AA ⊥平面ABC ， 2AB =， 1AA ，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为（）A. 1B. 7C. 12D. 2 【答案】A【解析】如图，作1//BD AB 交11A B 的延长线于D ，连接1DC ，则1DBC ∠就是异面直线1AB 和1BC 所成的角（或其补角），由已知BD ==， 11BC C D =22211BD BC C D +=，知190,DBC ∠=∴异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，正弦值为1，故选A.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF∥平面PBC ； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B∴四边形EFCB为梯形，所以直线BE与直线CF相交。

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大题好拿分【提升版】1．【题文】已知命题()()2:7100,:110p x x q x a x a -+≤--+-≤（其中0a >）.（1）若2a =，命题“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；（2）已知p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[]2,3；（2）[)4,+∞.【解析】试题分析：（1）分别求出,p q 的等价命题， 25,13p x q x ⇔≤≤⇔-≤≤，再求出它们的交集；（2）25p x ⇔≤≤， 11q a x a ⇔-≤≤+，因为p 是q 的充分条件，所以][2,51,1a a ⎡⎤⊆-+⎣⎦，解不等式组可得。

2．【题文】设命题p:函数f(x)=lg(ax 2-x+ 116a )的定义域为R;命题q:方程221104x y a a +=-+表示椭圆 (1)如果p 是真命题,求实数a 的取值范围;(2)如果命题"p 或q ”为真命题,求实数a 的取值范围。

【答案】（1）2a >；（2）4a >-【解析】试题分析：（1）命题p:函数f(x)=lg(ax 2-x+116a )的定义域为R 转化为ax 2-x+1016a >在R 上恒成立（ⅰ）()0a =舍；ⅱ） 20,10,4a a >∆=-<解不等式求解（2）由（1）知2,p a q >真，真： 100{40 ,104a a a a ->+>-≠+解得 410,3,a a -<<≠且 q p 或为真即求p 真q 真的并集即得解. 试题解析：（1）命题p:函数f(x)=lg(ax 2-x+116a )的定义域为R 转化为ax 2-x+1016a >在R 上恒成立（ⅰ）()0a =舍；ⅱ）20,10,a 24a a >∆=-解得；所以2a >. （2）由（1）知2,p a q >真，真： 100{40 ,104a a a a ->+>-≠+解得 410,3,a a -<<≠且 q p 或为真即求p 真q真的并集，所以 4.a >-3．【题文】设命题p ：已知点()()3,1,4,6A B -，直线320x y a -+=与线段AB 相交；命题q ：函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R 。

如果命题p 、命题q 有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围。

【答案】7224a a -≤≤>或【解析】试题分析：化简命题p 可得724a -≤≤，化简命题q 可得2a >，由p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围.4．【题文】已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形， 060BAD ∠=，又PD ⊥平面ABCD , 点E 是棱AD 的中点， F 在棱PC 上，且4AD PD ==. （1）证明：平面BEF ⊥平面PAD ；（2）若//PA 平面BEF ，求四棱锥F BCDE -的体积.【答案】（1）见解析；（2.试题解析：（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ， BE ⊂平面ABCD ∴PD EB ⊥,又∵底面ABCD 是060A ∠=的菱形，且点E 是棱AD 的中点 ∴EB AD ⊥，又∵PD AD D ⋂= ∴BE ⊥平面PAD ,∵BE ⊥平面PAD ， BE ⊂平面BEF ∴平面BEF ⊥平面PAD .（2）连接AC 交BE 于G ，连接GF ，则GF =平面PAC ⋂平面BEF ， ∵//PA 平面BEF ∴//PA FG ，∵底面ABCD 是菱形，且点E 是棱AD 的中点 ∴AEG CBG ∆~∆,∴::1:2AG GC AE BC ==, ∴::1:2PF FC AG GC ==，∵梯形BCDE 的面积()0244sin602S +=⨯=∴18333F BCDE V -=⨯=.5．【题文】如图，在三棱锥P ABC -中， PA ⊥平面ABC ， AC BC ⊥， D 为侧棱PC 的中点，它的正视图和俯视图如图所示.(1)求证： AD ⊥平面PBC ； (2)求三棱锥D ABC -的体积；【答案】（1）见解析; (2)163. 【解析】试题分析：（1）由PA ⊥平面ABC ，知PA BC ⊥，由AC BC ⊥，知BC ⊥平面PAC ，从而得到BC AD ⊥. 由此能够证明AD ⊥平面PBC ；（2）由三视图得4BC =，由（1）知90,ADC BC ∠=⊥平面PAC ，由此能求出三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥. 又,AC BC PA AC A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，又因为AD ⊂平面PAC ，所以BC AD ⊥.由三视图可得，在PAC ∆中， 4PA AC ==， D 为PC 的中点，所以AD PC ⊥. ∵BC PC C ⋂=，所以AD ⊥平面PBC .(2) 由三视图可得4BC =，由（1）知90ADC ∠=︒， BC ⊥平面PAC ，又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B ADC -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223D ABCV-=⨯⨯⨯⨯⨯=.6．【题文】一条光线经过P(2,3)点,射在直线l:x＋y＋1＝0上,反射后穿过点Q(1,1).(1)求入射光线的方程;(2)求这条光线从P到Q的长度.【答案】(1) 5x－4y＋2＝【解析】试题分析：（1）设点Q′（x′，y′）为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，可得直线QM的方程，与l联立可得点M的坐标，利用中点坐标公式可得Q′的坐标．设入射线与l交于点N，利用P，N，Q′共线，得到入射光线PN的方程；（2）利用两点间的距离公式求出PQ′即可．试题解析：(1)设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点.∵1lk=-,∴k QQ′＝1.∴QQ′所在直线方程为y－1＝1·(x－1),即x－y＝0.由10, {0, x yx y++=-=解得l与QQ′的交点M的坐标为11,22⎛⎫--⎪⎝⎭.又∵M为QQ′的中点,由此得1'1,22{1'1,22xy+=+=-解得'2,{' 2.xy=-=-∴Q′(－2,－2).设入射光线与l交点为N,则P、N、Q′共线.又P(2,3),Q′(－2,－2),得入射光线的方程为223222y x ++=++, 即5x －4y ＋2＝0.(2)∵l 是QQ′的垂直平分线,从而|NQ|＝|NQ′|, ∴|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ=即这条光线从P 到Q 点睛：在求一个点关于直线的对称点时，可以根据以下两个条件列方程（1）两点的中点在对称直线上；（2）两点连线的斜率与对称直线垂直.7．【题文】在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ： 24y x =-与直线m ： 1y x =-的交点为圆C 的圆心，设圆C 的半径为1．（1）过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）过点A 作斜率为12-的直线l 交圆于A ， B 两点，求弦AB 的长．【答案】(1) 切线为3y =或34120x y +-=;(2) AB =试题解析：（1）由题设知，联立24y x =-和1y x =-，解得点()3,2C ，则切线的斜率必存在，设过点()0,3A 的圆C 的切线方程为3y kx=+1=，解得0k =， 34-，故切线为3y =或34120x y +-=．（2）直线l ： 260x y +-=，则圆心C 到直线l 的距离为d =，则弦长AB ==8．【题文】已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心， P 是圆上动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP 上的点M ，满足0.2.MQ AP AP AM ⋅== （1）当P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹教育不同的两点,,F H O 是坐标原点，且3445OF OH ≤⋅≤时，求k 的取值范围. 【答案】（1）2212x y +=（2）2k ≤≤或2k -≤≤试题解析：（1）由题意知MQ 中线段AP的垂直平分线，所以2CP QC QP QC QA CA =+=+=>=所以点Q 的轨迹是以点,C A 为焦点，焦距为2，长轴为1,1a c b ∴====故点Q 的轨迹方程式2212x y += （2）设直线()()1122:,,,,l y kx b F x y H x y =+ 直线l 与圆221x y +=相切2211b k ⇒=⇒=+联立222221{ 1242202x y k x kbx b y kx b+=⇒+++-==+（） ()()()22222221641221821800k b k b k b k k ∆=-+-=-+=>⇒≠2121222422,1212kb b x x x x k k-+=-=++ ()()22121212121OF OH x x y y k x x kb x x b ⋅=+=++++()()()()()2222222222222212212414111212121212k b k kk k kb k kb b kkkkk k+-++-+=++=-++=+++++所以22231411412532k k k k k +≤≤⇔≤≤⇒≤≤⇒≤≤+或k ≤≤为所求. 9．【题文】如图,在三棱锥D-ABC 中,已知△BCD 是正三角形,AB ⊥平面BCD,AB=BC=a,E 为BC 的中点,F 在棱AC 上,且AF=3FC (1)求三棱锥D-ABC 的体积 (2)求证:平面DAC ⊥平面DEF; (3)若M 为DB 中点,N 在棱AC 上,且CN=38CA,求证:MN ∥平面DEF【答案】（13；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据等积法，利用D ABC A BCD V V --=求解。

（2）由题意得DE BC ⊥，又AB BCD ⊥平面，所以AB DE ⊥，再线面垂直的判定得DE ABC ⊥平面，从而DE AC ⊥。

又根据题意得到EF AC ⊥,从而AC DEF ⊥平面，根据面面垂直的判定可得平面DAC ⊥平面DEF 。

（3）连CM 交DE于点O ，则得2=3CO CM ，又2=3CF CN ，从而有//OF MN ，根据线面平行的判定定理可得MN ∥平面DEF 。