2019届苏教版(理科数学) 直线与圆的位置关系 单元测试

1．圆x 2＋y 2＋4y ＋3＝0与直线kx －y －1＝0的位置关系是________．
2．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，且AB ＝3，则实数m ＝________.
3．(2018·南京调研)已知直线x －y ＋3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交于M ，N 两点，若OM →·ON →
＝3，则圆的半径r ＝________.
4．若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.
5．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则△ABP 的外接圆方程是________．
6．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．
7．若直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________．
8．已知直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－3
2，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为________．
9．圆心在曲线y ＝2
x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________．
10．(2018·无锡模拟)已知P 是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形P ACB 的最小面积为2，则k 的值为________．
11．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当 ∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．
12．已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1(a >0)与直线y ＝2x 相交于P ，Q 两点，则当△CPQ 的面积最大时，实数a 的值为________．
13．在圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －7＝0上总有四个点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0的距离是1，则实数m 的取值范围是________．
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则|OA →＋OB →
|的最小值是________．
答案精析
1．相交或相切
解析 由直线kx －y －1＝0的性质可得其恒过定点(0，－1)，将点代入x 2＋y 2＋4y ＋3＝0，得0＋1－4＋3＝0，则直线过圆上的点，所以直线与圆的位置关系为相交或相切． 2．±22
解析 因为圆心到直线的距离为d ＝|m |2
， 则由弦长公式L ＝2r 2－d 2，
得3＝2 12－⎝⎛
⎭
⎫|m |22，解得m ＝±2
2.
3. 6
解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将x －y ＋3＝0与x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)联立，消去y ，得2x 2＋6x ＋9－r 2＝0，所以x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝12(9－r 2)，所以y 1y 2＝1
2(9－r 2)，
由OM →·ON →
＝3，得12(9－r 2)＋12(9－r 2)＝3, 所以r ＝ 6.
4．18
解析 由题意得，直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弧所对的圆心角相等，皆为直角，因此圆心到两直线的距离皆为2
2×22＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，即a 2＋b 2＝
(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18. 5．(x －2)2＋(y －1)2＝5
解析 设圆心为O ，则O (0,0)，则以OP 为直径的圆为△ABP 的外接圆． 圆心为(2,1)，半径r ＝OP
2＝ 5.
所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 6．10 2
解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)，故EF ＝ 5. ∴BD ＝2
10－(5)2＝25，
∴S 四边形ABCD ＝1
2·AC ·BD ＝10 2.
7．±3
解析 ∵∠POQ ＝120°，∴圆心O (0,0)到直线的距离为1
2，
∴d ＝
|－1|
k 2＋1
＝1
2
，即k 2＋1＝4，∴k ＝±3. 8．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0
解析 由于圆x 2＋y 2＝25的半径为5，直线被圆截得的弦长是8，所以圆心到直线的距离d ＝
52－⎝⎛⎭⎫822
＝3.过点P ⎝
⎛⎭⎫－3，－32且斜率不存在的直线方程为x ＝－3，此时圆x 2＋y 2＝25的圆心到直线的距离d 1＝|0－(－3)|＝3，符合题意；当过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－3
2且直线的斜率存在时，可设直线的方程为y ＋3
2＝k (x ＋3)，即2kx －2y ＋6k －3＝0，所以圆x 2＋y 2＝25的圆心到
直线的距离d 2＝
|6k －3|
(2k )2＋(－2)2＝|6k －3|
2
1＋k 2
＝3，解得k ＝－3
4
，此时直线的方程为3x ＋4y ＋
15＝0.综上所述，所求直线的方程为x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0. 9．(x －1)2＋(y －2)2＝5
解析 由圆心在曲线y ＝2
x (x >0)上，设圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a ，2a (a >0)， 又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，
所以圆心到直线的距离d 等于圆的半径r ，
由a >0得d ＝2a ＋2
a ＋15≥4＋1
5＝5，当且仅当2a ＝2
a ，即a ＝1时取等号，
所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为 5. 则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. 10．2
解析 圆C 的圆心为C (0,1)，半径为1，S 四边形P ACB ＝P A ·AC ＝P A ＝CP 2－CA 2＝CP 2－1，
可知当CP 最小，即CP ⊥l 时，其面积最小，由最小面积CP 2－1＝2得CP min ＝5，由点
到直线的距离公式得CP min ＝
51＋k
2
＝5，因为k >0，所以k ＝2.
11．x ＋y －3＝0
解析 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有cos ∠ACB 2＝d
5，要使∠ACB 最小，则d 要取到最
大值．
此时直线l 与直线CM 垂直． 而k CM ＝4－2
3－1
＝1，
故直线l 的方程为y －2＝－1×(x －1)，即x ＋y －3＝0. 12.
102
解析 因为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1(a >0)的圆心为(a ，a )，半径为1，圆心到直线y ＝2x 的距离d ＝
|2a －a |
22＋(－1)2
＝a 5
， 弦PQ 的长为2
1－⎝⎛⎭
⎫a
52＝21－a 25
，
所以△CPQ 的面积S ＝1
2×2
1－a 25×a 5
＝
1－a 25×a 5
≤
⎝
⎛⎭⎫
1－
a 252＋⎝⎛⎭⎫a 52
2＝1
2
，
当且仅当
1－a 25＝a 5
，即a ＝10
2时等号成立，
此时△CPQ 的面积取得最大值1
2.
13．(－17,3)
解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9. 若圆上有四个点到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离是1， 则圆心到直线的距离小于2，∴d ＝|7＋m |
5<2，即|7＋m |<10，
∴－10<m ＋7<10，∴－17<m <3. 14．8
解析 如图，设AB 的中点为D ，延长CD 交圆C 于点E ，易知D 为CE 的中点．
∵|OA →＋OB →|＝|OC →＋CA →＋OC →＋CB →|
＝|2OC →＋CE →
|，设E (4＋2cos θ，3＋2sin θ)， ∴|OA →＋OB →| ＝(8＋2cos θ)2＋(6＋2sin θ)2 ＝104＋8(3sin θ＋4cos θ) ＝104＋40sin (θ＋φ)≥
104－40＝8.。