2019年高三数学专题复习-专题三-数列-理

2019年高三数学专题复习-专题三-数列-理2019年高三数学专题复习专题三数列理真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )A．21 B．42C．63 D．842．(2014·天津高考)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )A．2 B．－2C. D．－1 23．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>04．(2015·高考)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( ) A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若0<a1<a2，则a2>a1a32 / 24D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>05．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm －1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )A．3 B．4C．5 D．66．(2015·福建高考)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )A．9 B．5C．4 D．2二、填空题7．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．8．(2015·湖南高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．9．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．三、解答题10．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an ＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．11．(2015·四川高考)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满3 / 24足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值．12．(2015·天津高考)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q ≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．(1)求q的值和{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．专题三数列经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·济南模拟)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( )A．75 B．90 C．105 D．1202．(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且满足a4a6＝，a7＝，则S4的值为( )A．15 B．14 C．12 D．83．(2015·河北衡水中学调研)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为( )A．2 B．4 C．8 D．164．(2015·效实中学二模)已知数列{an}是等差数列，a3＝5，a9＝17，数列{bn}的前n项和Sn＝3n.若am＝b1＋b4，则正整数m的值为( ) A．26 B．27 C．28 D．295．(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{an}的前n项和为Sn，4 / 24若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则S6＝( )A．44 B．45C.·(46－1)D.·(45－1)6．(2015·西安质检)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn ＝anan＋1，则a2k＝( )A. B.3n（n＋1）2C. D.（n＋3）（n＋5）2二、填空题7．(2015·郑州质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＝，a4＋a5＝6，则S6＝________．8．(2015·潍坊调研)在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 015的值为________．9．(2015·台州联考)各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝________.三、解答题10．(2015·长沙调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．11．(2015·桐乡高级中学模拟)已知数列{an}与{bn}满足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝log2bn(n∈N*)，且数列{an}为等差数列，a1＝2，b3＝64b2.5 / 24(1)求an与bn；(2)设cn＝(an＋n＋1)·2an－2，求数列{cn}的前n项和Tn. 12．(2015·杭州七校大联考)若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，n∈N*.数列{bn}满足bn ＝，Tn为数列{bn}的前n项和．(1)求an和Tn；(2)是否存在正整数m、n(1<m<n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．专题三数列专题过关·提升卷第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是数列“{an}为递增数列”的( )A．充分不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则a9等于( ) A．32 B．24C．16 D．83．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－10x＋9＝0的两个根，则S6等于( )6 / 247 / 24 A ．120B ．254C ．364D ．1284．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am ＋1·am －1＝2am(m ≥2)，数列{an}的前n 项积为Tn ，若log2T2m －1＝9，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．75．(2015·太原诊断)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ＝3n ＋1＋a(n ∈N*)，则实数a 的值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．36．(2015·绍兴鲁迅中学模拟)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且a1＋a2＝10，S4＝36，则过点P(n ，an)和Q(n ＋2，an ＋2)(n ∈N*)的直线的一个方向向量是( )A.B ．(－1，－1) C. D.⎝⎛⎭⎪⎫2，12 7．(2015·长沙模拟)数列{an}满足a1＝1，且对任意的m ，n ∈N*都有am ＋n ＝am ＋an ＋mn ，则＋＋＋…＋等于( )A. B.4 0182 012C.D.2 0092 0108．(2015·郑州质检)设数列{an}是首项为1，公比为q(q≠－1)的等比数列，若是等差数列，则＋＋…＋＋＝( )A．2 012 B．2 013C．4 024 D．4 026第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题9．各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝5S2，a2＝2且Sk＝31，则正整数k的值为________．10．(2015·衡水联考)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．11．(2015·天津七校联考)已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为________．12．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．13．(2015·乐清联考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．14．(2015·江苏高考)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n ∈N*)，则数列前10项的和为________．15．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{an}，已知a1＝3，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有8 / 24________人．三、解答题16．(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{an}满足S7＝77，且a1，a3，a11成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.17．(2015·金华模拟)已知等比数列{an}满足：an>0，a1＝5，Sn为其前n项和，且20S1，S3，7S2成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log5a2＋log5a4＋…＋log5a2n＋2，求数列的前n项和Tn. 18．(2015·山东高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn. 19．(2015·杭州外国语学校模拟)已知数列{bn}满足Sn＋bn＝，其中Sn为数列{bn}的前n项和．(1)求证：数列是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)如果对任意n∈N*，不等式≥2n－7恒成立，求实数k的取值范围．20．设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝1－2Sn；将函数y＝sin πx 在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{an}．(1)求{bn}与{an}的通项公式；(2)设cn＝an·bn(n∈N*)，Tn为数列{cn}的前n项和．若a2－2a>4Tn 恒成立，试求实数a的取值范围．专题三数列9 / 2410 / 24 真题体验·引领卷1．B [设等比数列{an}的公比为q ，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21.得3(1＋q2＋q4)＝21.解得q2＝2或q2＝－3(舍)．于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.]2．D [∵S1，S2，S4成等比数列，∴S ＝S1·S4，又Sn 为公差为－1的等差数列的前n 项和．从而(a1＋a1－1)2＝a1，解得a1＝－.]3．B [∵a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)(d ≠0)．整理得a1＝－d ，∴a1d ＝－d2<0，又S4＝4a1＋d ＝－d ＋6d ＝ －.∴dS4＝－<0.]4．C [若数列{an}是递减的等差数列，则A ，B 不一定成立，如果数列{an}的公差d ＝0，则(a2－a1)(a2－a3)＝－d2＝0，D 不成立．对于选项C.由a2>a1>0，得公差d>0.故a2＝>(a1≠a3)，则选项C 正确．]5．C [由题设，am ＝Sm －Sm －1＝2，am ＋1＝Sm ＋1－Sm ＝3.因为数列{an}为等差数列．所以公差d ＝am ＋1－am ＝1.由Sm ＝＝0，得m(a1＋2)＝0，则a1＝－2.又am ＝a1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5.]6．A [依题意知，a ＋b ＝p>0，ab ＝q>0.则a ，b ，－2这三个数的6种排序中成等差数列的情况有：a ，b ，－2；－2，b ，a ；b ，a ，－2；－2，a ，b.三个数成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a.∵或解得或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，故p ＋q ＝9.]7．6 [∵a1＝2，an ＋1＝2an ，∴数列{an}是以公比q ＝2，首项a1＝2的等比数列．则Sn ＝＝126，解得n ＝6.]8．3n －1 [由于3S1，2S2，S3成等差数列．所以4S2＝3S1＋S3，即3(S2－S1)＝S3－S2.∴3a2＝a3，则等比数列{an}的公比q ＝3.故数列{an}的通项公式an ＝a1qn －1＝3n －1.]9．－ [由题意，得S1＝a1＝－1.∵an ＋1＝SnSn ＋1， ∴Sn ＋1－Sn ＝SnSn ＋1，则Sn ≠0，从而－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，因此＝－1－(n －1)＝－n ，所以Sn ＝－.]10．解 (1)由a ＋2an ＝4Sn ＋3，可知a ＋2an ＋1＝4Sn ＋1＋3. 可得a －a ＋2(an ＋1－an)＝4an ＋1，2(an ＋1＋an)＝a －a ＝(an ＋1＋an)(an ＋1－an)．由于an>0，可得an ＋1－an ＝2.又a ＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an ＝2n ＋1.(2)由an ＝2n ＋1可知bn ＝＝＝.设数列{bn}的前n 项和为Tn ，则Tn ＝b1＋b2＋…＋bn＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝.11．(1)解(1)由Sn＝2an－a1，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n ≥2)，∴an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.由|Tn－1|<，得<，即2n>1 000，因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10，于是，使|Tn－1|<成立的n的最小值为10.12．解(1)由已知有2(a3＋a4)＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)即a4－a2＝a5－a3.因此a2(q－1)＝a3(q－1)，又因为q≠1，故a3＝a2＝2.由a3＝a1q，且a1＝1，得q＝2.当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2；当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2.所以，{an}的通项公式为an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数. (2)由(1)得bn ＝＝.设{bn}前n 项和为Sn ，则Sn ＝1×＋2×＋3×＋…＋(n －1)×＋n×，12Sn ＝1×＋2×＋3×＋…＋(n －1)×＋n ×. 上述两式相减得：12Sn ＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－－，整理得，Sn ＝4－，n ∈N*. 所以，数列{bn}的前n 项和为4－，n∈N*.经典模拟·演练卷1．C [设数列{an}的公差为d ，依题设知d>0，则a3>a1， ∵a1＋a2＋a3＝15，则3a2＝15，a2＝5，从而解之得a1＝2，a3＝8.所以公差d ＝＝3.故a11＋a12＋a13＝(a1＋a2＋a3)＋30d ＝15＋90＝105.]2．A [设等比数列{an}的公比为q ，且q>0，an>0.由于a4a6＝，a7＝，则a3＝＝2，q4＝＝，所以q ＝.于是a1＝＝8.故S4＝＝＝15.]3．B [设等比数列{an}的公比为q.由于a3＝a1q2＝2. ∴a4a6＝aq8＝(a1q2)2·q4＝4q4＝16.则q4＝4，故＝＝q4＝4.]4．D [由等差数列的性质，a9＝a3＋6d.∴17＝5＋6d ，得d ＝2， 因此am ＝a3＋2(m －3)＝2m －1.又数列{bn}的前n 项和Sn ＝3n ，∴b1＝S1＝3，b4＝S4－S3＝34－33＝54.由am ＝b1＋b4，得2m －1＝3＋54，则m ＝29.]5．B [由a1＝1，a2＝3a1，得a2＝3，又an ＋1＝3Sn ，知an ＝3Sn －1(n≥2)，∴an ＋1－an ＝3Sn －3Sn －1＝3an ，即an ＋1＝4an(n ≥2)．因此an ＝⎩⎨⎧1 （n ＝1），3·4n－2 （n≥2），故S6＝1＋＝45.]6．B [当n ＝1时，3S1＝a1a2，即3a1＝a1a2，∴a2＝3，当n≥2时，由3Sn ＝anan ＋1，可得3Sn －1＝an －1an ，两式相减得： 3an ＝an(an ＋1－an －1)．∵an ≠0，∴an ＋1－an －1＝3，∴{a2n}为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a2k ＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n ＝3n ＋×3＝，选B.]7. [∵a1＋a2＝，a4＋a5＝6，q3＝＝8，从而q ＝2，可求a1＝.故S6＝＝.]8．－2 015 [设数列{an}的公差为d ，则＝a1＋d.由－＝2，得－＝2.所以d ＝2，因此S2 015＝2 015a1＋d ＝－2 015.]9．2n －1 [根据题意，由于各项均为正数的等比数列{an}中， 由a2－a1＝1，得a1(q －1)＝1，所以q>1且a1＝，∴a3＝a1q2＝＝（q －1）2＋2（q －1）＋1q －1＝q －1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当q ＝2时取得等号，因此an ＝a1qn －1＝＝2n －1.]10．解 (1)当n ＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝－＝n.由于n ＝1时，a1＝1适合上式，故数列{an}的通项公式为an ＝n.(2)由(1)知，bn ＝2n ＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n 项和为T2n ， 则T2n ＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝2＋22＋23＋…＋22n ＝＝22n ＋1－2.B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n]＝n ，故数列{bn}的前2n 项和Tn ＝22n ＋1＋n －2.11．解 (1)由题设，得a1＋a2＋a3＝log2b3，①a1＋a2＝log2b2，②①－②得，a3＝log2＝log264＝6.又a1＝2，所以公差d ＝2，因此an ＝2＋2(n －1)＝2n. 又a1＋a2＋a3＋…＋an ＝log2bn.所以＝log2bn ，故bn ＝2n(n ＋1)．(2)由题意，得cn ＝(3n ＋1)4n －1，则Tn ＝4＋7·4＋10·42＋…＋(3n ＋1)·4n－1，③4Tn ＝4·4＋7·42＋…＋(3n －2)·4n －1＋(3n ＋1)·4n ，④ 由③－④，得－3Tn ＝4＋3(4＋42＋…＋4n －1)－(3n ＋1)4n ＝4＋3·－(3n ＋1)4n ＝－3n·4n，所以Tn ＝n·4n(n∈N*)．12．解 (1)∵a ＝S2n －1(n ∈N*)，an ≠0.令n ＝1，得a1＝1；令n ＝2，得a2＝3，∴等差数列{an}的公差d ＝2.从而an ＝2n －1，bn ＝，于是Tn ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝.(2)假设存在正整数m ，n(1<m<n)，使得T1，Tm ，Tn 成等比数列． 则＝·，可得＝>0，∴－2m2＋4m ＋1>0，解得1－<m<1＋，由于m∈N*，m>1，得m＝2，此时n＝12.故存在正整数m，n，当且仅当m＝2，n＝12时，满足T1，Tm，Tn成等比数列．专题过关·提升卷1．D [当a1<0，q>1时，数列{an}是递减数列．当{an}为递增数列时，a1<0，0<q<1或a1>0，q>1.因此，“q>1”是{an}为递增数列的既不充分也不必要条件．]2．C [设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，因为a5＝8，S3＝6，所以解得a1＝0，d＝2.所以a9＝a1＋8d＝8×2＝16.]3．C [因为a1，a3是方程x2－10x＋9＝0的两个根，所以又{an}是递增数列，所以a1＝1，a3＝9，所以q＝3，S6＝＝364.]4．B [由等比数列的性质，am＋1·am－1＝a，∴a＝2am(am≠0)，从而am＝2，因此T2m－1＝a1·a2·a3·…·a2m－1＝a＝22m－1，所以log2T2m－1＝log222m－1＝2m－1＝9，则m＝5.]5．A [由Sn＝3n＋1＋a，则Sn－1＝3n＋a.∴an＝Sn－Sn－1＝2·3n(n≥2，n∈N*)．∵a1＝S1＝9＋a，又数列{an}为等比数列，因此a1应满足an＝2·3n，即a1＝6.所以9＋a＝6，∴a＝－3.]6．A [设等差数列{an}的公差为d ，由题意得：⎩⎨⎧2a1＋d ＝10，4a1＋6d ＝36，解之得⎩⎨⎧a1＝3，d ＝4.∴an ＝a1＋(n －1)d ＝4n －1.则P(n ，4n －1)，Q(n ＋2，4n ＋7)，因此过点P 、Q 的直线的一个方向向量坐标＝(2，8)． ∴与共线的一个方向向量为.]7．A [令m ＝1得an ＋1＝an ＋n ＋1，即an ＋1－an ＝n ＋1， 于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an －an －1＝n ，上述n －1个式子相加得an －a1＝2＋3＋…＋n ，所以an ＝1＋2＋3＋…＋n ＝，因此＝＝2，所以＋＋＋…＋1a2 012＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013 ＝2＝.]8．D [因为是等差数列，则＋＝，又{an}是首项为1，公比为q(q≠－1)的等比数列，∴＋＝2·⇒q ＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为1的常数列，则an ＝1. 故＋＋…＋＝4 026.]9．5 [由S4＝5S2，得a3＋a4＝4(a1＋a2)，∴q2(a1＋a2)＝4(a1＋a2)，由于a1＋a2≠0，则q＝2.又a2＝2a1＝2.知a1＝1.∴Sk＝＝31，解得k＝5.]10．an＝[由an＝an－1＋，得3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)．∴数列{3nan}是以3为首项，公差为1的等差数列．因此3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，所以an＝.]11. [设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a7＝a6＋2a5，得q2－q－2＝0，则q＝2.又＝4a1，即am·an＝16a，∴a·2m－1·2n－1＝16a，2m＋n－2＝16.则m＋n＝6，即(m＋n)＝1.故＋＝(m＋n)＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥＝(5＋4)＝，当且仅当n＝2m，即m＝2，n＝4时，上式等号成立．因此＋的最小值为.]12．5 [设数列的首项为a1，由等差数列与中位数定义，则a1＋2 015＝2×1 010，∴a1＝5.]13．50 [∵a10a11＋a9a12＝2a1a20＝2e5，∴a1·a20＝e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1·a2·…·a20)＝ln(a1·a20)10＝ln e50＝50.]14. [∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，将上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n.∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n≥2)，又a1＝1适合上式，因此an＝(n∈N*)，令bn＝＝＝2，故S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝2＝.]15．285 [由an＋2－an＝1＋(－1)n，知，当n为奇数时，an＋2－an＝0；当n为偶数时，an＋2－an＝2.所以数列a1，a3，a5，…，a29为常数列；a2，a4，a6，…，a30是公差为2的等差数列．又a1＝3，a2＝2，因此S30＝15×3＋×15＝45＋×15＝285.]16．解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由S7＝7a4＝77，得a4＝11，∴a1＋3d＝11，①因为a1，a3，a11成等比数列，所以a＝a1a11，整理得2d2＝3a1d，又因d≠0.所以2d＝3a1②联立①，②解得a1＝2，d＝3.所以{an}的通项公式an＝3n－1.(2)因为bn＝2an，所以bn ＝23n －1＝·8n，所以数列{bn}是以4为首项，8为公比的等比数列，由等比数列前n 项和公式得，Tn ＝＝.17．解 (1)设数列{an}的公比为q(q>0)．∵20S1，S3，7S2成等差数列，∴2S3＝20S1＋7S2.则2(a1＋a1q ＋a1q2)＝20a1＋7(a1＋a1q)．化简得2q2－5q －25＝0，解得q ＝5或q ＝－.由q>0.舍去q ＝－.所以数列{an}的通项公式an ＝a1qn －1＝5n.(2)由(1)知，a2n ＋2＝52n ＋2，则log5a2n ＋2＝2n ＋2. 因此bn ＝log5a2＋log5a4＋…＋log5a2n ＋2＝2＋4＋…＋2(n ＋1)＝(n ＋1)(n ＋2)．∴＝＝－，∴Tn ＝＋＋…＋1bn＝＋＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝－＝.18．解 (1)∵2Sn ＝3n ＋3，①∴当n ＝1时，2a1＝2S1＝3＋3，∴a1＝3.当n≥2时，2Sn －1＝3n －1＋3.②则①－②得2an ＝2Sn －2Sn －1＝3n －3n －1，则an ＝3n －1.所以an ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n≥2.(2)因为anbn ＝log3an ，所以b1＝，当n≥2时，bn ＝31－nlog33n －1＝(n －1)·31－n.所以T1＝b1＝；当n≥2时，Tn ＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]，所以3Tn ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2Tn ＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n －1)×31－n ＝＋－(n －1)×31－n＝－，所以Tn ＝－，经检验，n ＝1时也适合．综上可得Tn ＝－.19．解 (1)对于任意n ∈N*，Sn ＋bn ＝①Sn ＋1＋bn ＋1＝②②－①得bn ＋1＝bn ＋，所以bn ＋1－＝12⎝⎛⎭⎪⎫bn －12 又由①式知，S1＋b1＝，即b1＝.所以数列是首项为b1－＝3，公比为的等比数列，bn －＝3×，bn ＝3×＋.(2)因为bn＝3×＋1 2所以Sn＝3＋＝＋＝6＋.因为不等式≥2n－7，化简得k≥，对任意n∈N*恒成立，设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝，当n≥5时，cn＋1≤cn，cn为单调递减数列，当1≤n<5时，cn＋1>cn，cn为单调递增数列，116＝c4<c5＝，所以，n＝5时，cn取得最大值，所以，要使k≥对任意n∈N*恒成立，k≥.20．解(1)由bn＝1－2Sn，令n＝1，则b1＝1－2S1＝1－2b1，∴b1＝.又当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，∴bn－bn－1＝(1－2Sn)－(1－2Sn－1)＝－2bn.因此3bn＝bn－1(n≥2，n∈N*)，∴数列{bn}是首项b1＝，公比为q＝的等比数列．所以bn＝b1qn－1＝.令y＝sin πx＝0，x∈(0，＋∞)，得πx＝nπ(n∈N*)，∴x＝n(n∈N*)，它在区间(0，＋∞)内的取值构成以1为首项，以1为公差的等差数列．于是数列{an}的通项公式a n＝n.(2)由(1)知，cn＝an·bn＝，则Tn＝＋＋＋…＋①所以Tn＝＋＋…＋＋②由①－②，得Tn＝＋＋…＋－＝－，于是Tn＝－－<，要使a2－2a>4Tn恒成立，则a2－2a≥3.解之得a≥3或a≤－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。