研究生数值分析 讲义
第一章绪论上次课要点：§1 数值分析的几个基本问题一、用数学方法解决科学与工程问题的步骤二、研究对象三、研究内容四、研究数值计算方法的意义五、算法设计的基本思想六、算法应具备的特性§2 数值计算的误差一、误差的分类 1．截断误差 2．舍入误差二、误差的概念 1．绝对误差x x x E -=**)(2．相对误差xx E x E r )()(**=（其中0≠x ）本次课继续。
三、数值运算的误差当自变量有误差时，一般地，其函数值也有误差。
误差——可能是截断误差——也可能是舍入误差1．一元函数的误差设*x 是准确值x 的近似值，则函数)(x f 的近似值为)(*x f 。
由于))(()()(**x x f x f x f -'=-ξ，ξ介于x 与*x 之间，所以)()()()(**x x f x f x f -'=-ξ从而)()())((**x f x f εξε'≈2. 多元函数的误差对于多元函数),,,(21n x x x f ，设自变量的近似值分别为**2*1,,,nx x x ，则),,,(),,,(),,,((21**2*1**2*1n nnx x x f x x x f x x x f E -=)(|)(|*),,,(*1),,,(1**2*1**2*1nx x x nx x x x e x f x e x f nn∂∂++∂∂≈于是误差限),,,((**2*1nx x x f ε∑=∂∂≈nk kx x x kx x f n1*),,()(|**2*1ε特别)()()(*2*1*2*1x x x x εεε+≈±)()()(*1*2*2*1*2*1x x x x x x εεε+≈2*2*1*2*2*1*2*1)()()/(xx x x x x x εεε+≈四、病态问题与条件数一个工程或科学计算问题：——往往需要巨量的机器运算——每次运算都可能产生误差——这些误差有正有负，绝对值有大有小误差积累的结果很难定量分析。
首先研究什么条件下误差会恶性积累，从而数值是不稳定的。
1．病态问题条件数对于一个数值问题，如果输入数据有微小的扰动，就能引起输出数据相对误差很大，该问题就称为病态问题。
例如计算函数)(x f 的值，设 输入数据x ——有扰动x ∆，即x x x ∆+=*，其相对误差为x x∆；输出数据)(x f ——相对误差为)()()(*x f x f x f -⇒两者的绝对值的比值*()()()()()pf x f x f x xf x c x f x x-'≈=∆p c 称为计算函数值的条件数。
当条件数p c 很大时，虽然x x∆较小，但函数值的相对误差可能很大。
条件数p c 很大的函数称为病态函数，否则称为良态函数。
例如nx x f =)(，有n c p =。
它表示相对误差可能大约放大n 倍。
这说明多项式函数对于计算函数值而言是病态的。
线性方程组也有病态、良态问题，它可以用系数矩阵的条件数刻画。
2．算法的数值稳定性舍入误差对计算结果的精确性影响小的算法，称为数值稳定的；反之，算法称为数值不稳定性的。
【例7】 计算积分9,,2,1,0,d 11==⎰-n x e x eI xn n由于⎰⎰⎰-+='=1111d d d )(xe xn x e x xe x e xn xnxn所以11--=n n nI I（1）使用递推公式11--=n n nI I先计算0I ，101--=eI若用泰勒展开式!)1(!2)1()1(121k ek-++-+-+≈-并取7=k ，用4位小数计算，则得3679.01≈-e从而6321.03679.01*0=-=I利用递推公式*1*1--=n nnII（9,,2,1 =n ）可依次得到552.77280.02160.01120.01480.01704.02074.02642.03679.0*9*8*7*6*5*4*3*2*1=-========I I I I I I I I I用0E 表示这样计算0I 的绝对误差，则03679.0)1()3679.01(110*00>-=---=-=--ee I I E则11*1*!)1()1()1(E n nE nI nI I I E n n n n n nn -=-=---=-=---由此可见，尽管误差正负交错，但绝对值逐步增大， 说明该迭代公式数值不稳定。
（2）使用递推公式nI I nn -=-11先计算9I ，由于1011091<<-I e我们初略取0684.0)10101(211*9≈+≈-eI则又递推公式nI Inn **11-=-可依次得到6321.03679.02643.02073.01708.01455.01268.01121.01035.0*0*1*2*3*4*5*6*7*8=========I I II I I I II误差n E E n n -=-1!)1(0n E E n n-=该迭代公式是数值稳定的。
3．避免误差危害的几个原则（1）避免两个相近数相减（代数和接近0）。
（2）避免除数绝对值太小。
（3）避免两个绝对值相差很大的数相加减（大吃小，丧失有效数字的位数）。
（4）尽可能减少运算步骤（减少误差积累）。
（5）算法或公式要数值稳定。
下面分别进行讨论。
（1）避免两个相近数相减（代数和接近0）因两数之差x-y 的相对误差为yx y E x E y x E r --=-)()()(，当x 与y 很接近时，两数之差x-y 的相对误差会很大，有效数字位数将严重丢失。
某些情况可以避免。
办法：进行变换。
【例8】.1300384048-= , 如用四位有效数字计算:..131********-=-=,结果只有一位有效数字;如改为:..1113003840130413-===+,有四位有效数字。
新算法避免了两个相近数的相减。
结果仍然有四位有效数字。
（2）避免除数绝对值太小()()2x y y x x y yεεε+⎛⎫= ⎪⎝⎭, 当x y>>时,舍入误差会扩大。
某些情况可通过改变运算次序避免。
（3）避免两个绝对值相差很大的数相加减（大吃小，丧失有效数字的位数）【例10】 一元二次方程010)110(992=++-x x其精确解为1,10291==x x 。
（4）尽可能减少运算步骤（减少误差积累）【例11】 计算255x的值如果逐个相乘要用254次乘法。
若128643216842255xxxxx x x x x⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=只需14次乘法。
【例12】 计算多项式的值:0111)(a x a xa x a x P n n nn n ++++=--如若按kk a x有k 次乘法运算,计算()nP x 共需()1122n n n ++++=次乘法和n 次加法运算。
如写成（秦九韶，公元1202-1261）()()()()121n n n n P x a x a x a x axa--=+++++ ,用递推算法:01, , 1,2,,.n k k n k u a u u x a k n --==+= ,最终()n n P x u =,共需n 次乘法和n 次加法运算。
（5）算法或公式要数值稳定。
研究生数学数值分析2-3
1
(1) x + y = y + x; ( 2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ); ( 3) 在 X 中存在零元素 0 ∀ x ∈ X，都有 x + 0 = x； ，
(4) ∀ x ∈ X，都有 x 的负元素 − x ∈ X，使 x + ( − x ) = 0 ； (5) 1 x = x; (6) λ ( µ x ) = (λµ ) x; ( 7 ) ( λ + µ ) x = λ x + µ x; (8) λ ( x + y ) = λ x + λ y ,
λ x =| λ | x ;
( 3 ) 三角不等式
x+ y ≤ x + y .
则称 X 为赋范线性空间 , x 称为 X 中向量 x 的范数 .
11
利用三角不等式易推出 x − y ≤ x− y
x = ( x1, x2 ,L, xn )T ,
( 2 .3 .8 )
, 例2.3.3 在线性空间Rn 中 对任意的 可以证明
7
例 2 .3 .2 在 C [ a , b ] 上 , 对任意 f ( x ), g ( x ) ∈ C [ a , b ], 定义 ( f ( x ), g ( x ) ) =
∫
b
a
ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx ,
( 2 .3 .3 )
其中 ρ ( x ) 称为权函数 , 它满足 : (1) ρ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ [ a , b ]; ( 2)
河海大学研究生数值分析课件
若 P(x) 是次数不超过n的多项式，即
P( x) a0 a1 x an x n
则称 P(x)为插值多项式。相应的方法称为多项式插值。 若 P(x) 是分段多项式，则称分段多项式插值。 常用的有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插 值、埃特金插值、三次样条插值等。
定义2 称
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
为 f (x)关于点
x0 , x1 的一阶均差；称
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
为 f (x)的二阶均差；一般的，称
f ( f ( x ,, x )) | ( ) | ( xk ) xk k 1
1 n n
例3 测量得某场地长 l 的值为 110 0.2 ，宽d m 的值为 80 0.1m ，试求面积 s = ld 的绝对误差限与 相对误差限。 （见黑板）
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1 ( n1)
若 x 具有n位有效数字，则相对误差限
r
x 10 (a1 a2 10 an 10
) , a1 0
1 ( n 1) 10 2a1 1 ( n 1) 10 ，则 反之，若 x 的相对误差限 r 2a1
至少具有n位有效数字。 （证明见黑板）
其中数值计算方法是数值分析研究的对象。
主要包括：
（1）函数的数值逼近（包括插值法）；
（2）数值微分和数值积分；
（3）非线性方程（组）数值解； （4）数值线性代数（如线性方程组数值解、矩阵 特征值特征向量的计算）； （5）（偏）微分方程数值解。
《数值分析》完整版讲义
2.1.3 多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 基函数插值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 为什么要插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 什么是插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.2 数值分析的研究内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 学习建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
i
· ii ·
目录
2.2 Lagrange 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Lagrange 基函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 插值余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Lagrange 基函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
数值分析1.1讲义.
方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)
西安科技大学 研究生 数值分析课件
➢优化计算(jì suàn)步骤，提高计算(jì suàn)效率。 ➢严格控制递推公式中误差的传播
简化
(jiǎnhuà)
计 算步骤
n
Pn (x) ak xk x(x((an x an1) an2 ) a1 a0 k 0
1.4.2 算法的稳定性与病态数学问题 1 算法的稳定性
➢ 算法的数值稳定性是指算法对误差的传播（或积累）是否受 到控制(kòngzhì)的问题。如果算法的计算结果对初始数据的误 差及计算中的舍入误差不敏感，则称该算法是稳定的；否 则该算法是不稳定的。
➢ 由于误差不可避免，算法的稳定性在数值计算中是不可回避 的重要问题。
z* e5 0.0067379 , z 0.00673
共二十页
1.2 误差(wùchā)与有效数字
1.2.2 误差的度量
3. 有效数字
• 这种定义方法实际上给出了有效数字与绝对误差的关系。下
面的定理(dìnglǐ)揭示了有效数字与相对误差的关系。
• 定理1-1 设近似值x可写成（1-1）的规格化形式，若x至少有n
1.2.3 误差的传播(chuánbō)
1. 函数的误差
f (x*) f (x) f (x)(x* x)
例1-5
( f (x)) f (x) (x)
r ( f
(x))
( f (x))
f (x)
f (x) (x)
f (x)
P13习题(xítí)3 (1 5)
f (x*, y*) f (x, y) f (x, y) (x* x) f (x, y) ( y* y)
南京大学《数值分析》课件-第2章
有限元方法的适用性
有限元方法适用于各种复杂的几何形状和边界 条件，具有较高的灵活性和通用性。
有限元方法的应用
有限元方法广泛应用于各种工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁场等。
04
数值分析的应用案例
线性方程组的求解
线性方程组在科学计算、工程 技术和经济领域有广泛的应用 ，如物理、化学、生物、金融
数值分析的发展历程
1
数值分析的发展可以追溯到古代数学的发展，如 古代中国的算术和代数、古希腊的几何学等。
2
17世纪微积分的出现为数值分析的发展奠定了基 础，而计算机的出现则为数值分析的发展提供了 重要的工具和平台。
3
现代数值分析的研究领域不断扩大，涉及的领域 也越来越广泛，如数值优化、数值逼近、数值线 性代数等。
数值分析的重要性
01 数值分析是解决实际问题的重要工具，如科学计 算、工程设计、金融分析等领域都需要使用数值 分析的方法。
02 数值分析提供了许多实用的数值计算方法和算法 ，这些算法可以快速、准确地求解各种数学问题 和实际问题。
02 数值分析的发展推动了计算机科学技术的发展， 为计算机科学技术的广泛应用提供了重要的支撑 。
数值分析与其他学科的交叉研究
数学物理反问题
数值分析与数学物理反问题相结 合，将为解决实际问题提供更精 确、更可靠的数值方法。
数据科学
数值分析将与数据科学相结合， 为大数据分析和机器学习等领域 提供更有效的算法和工具。
工程应用
数值分析将与各种工程领域相结 合，如流体动力学、电磁学、生 物学等，为解决实际问题提供更 精确的数值模型和算法。
05
数值分析的未来展望
数值分析的发展趋势
高效算法
随着计算机技术的进步，数值分析将不断探索更高效、更精确的算 法，以解决大规模、高维度的数值计算问题。
数值分析课件 (第5、6章)
(1 ( La1n) b11) (2) (2) a L 2n b2 = A(3) : b(3) LM M (3) (3) Lamn bn
[
]
( ( ( aij3) = aij2) −mij a22) j (3) ( bi = bi(2) −mi2b22)
(i = 3,L m j = 3,L n) , ; , (i = 3,L m) ,
[
]
( ( ( aij2) = aij1) − mij a11) j (2) bi = bi(1) − mi1b(1) 1
研究生公共课程数学系列
(i = 2,L m j = 2,L n) , ; , (i = 2,L m) ,
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(2)
[A
(2)
: b(2)
]
(1 (1 a11) a12) (2 0 a22) = M M (2) 0 am2
(n)
续 述 程 到 成 s 消 计 。 继 上 过 , 直 完 第步 元 算
后 到 原 程 等的 单 程 A 最 得 与 方 组 价 简 方 组 (s+1) x = b,(s+1) 中（ ） 上 形 其 A s+1 为 梯 。
(1 (1 (1 a11) a12) L a1n) (2 ( a22) L a22) n = O M (n ann)
( a2k ) k m = (k ) ik akk
(k (akk ) ≠0)
−−−−−→
(i=k+1,Lm) ,
(1 (1 ( a11) a12) L a11) k (2 ( a22) L a22) k O M (k akk ) M 0
数值分析讲义
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
研究生数值分析课件ch
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值方法求解数学问题和近似计算 实际问题的数值解。它为科学研究、工程技术和实际应用等领域提供了重要的数学工具。 数值分析的重要性在于它能够将许多抽象的数学概念和理论转化为具体的数值计算方法，
使得我们能够更加方便地解决各种复杂的实际问题。
数值分析的应用领域
在金融领域，数值分析也被 广泛应用于风险评估、投资 组合优化、期权定价等方面 。通过数值分析的方法，我 们可以更加准确地评估投资 风险和收益，从而做出更加 明智的决策。
数值分析的发展历程
总结词
数值分析的发展历程可以追溯到上世纪初，随着计算 机技术的不断发展，数值分析的理论和方法也在不断 更新和完善。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式与复化求积法
牛顿-莱布尼兹公式
该公式是微积分中的一个基本定理，用于计算定积分。 通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上应 用微积分基本定理，再利用定积分的线性性质进行求和 ，最后取极限得到定积分的值。
复化求积法
当被积函数是复杂函数或者积分区间是复杂形状时，直 接应用牛顿-莱布尼兹公式可能会遇到困难。此时，可以 采用复化求积法，即将积分区间分成若干个小区间，然 后在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式，最后将所有 的结果相加得到定积分的近似值。
改进欧拉法
为了提高欧拉方法的精度，可以对欧拉方法进行改进。一种常见的改进方法是使用二阶 欧拉方法，它考虑了更多的函数值，从而提高了逼近的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高阶数值方法，用于求解常微分方程。它基于泰勒级数的思想，通过迭代的方式逐步逼近方程的精确解 。与欧拉方法相比，龙格-库塔方法具有更高的精度和更好的稳定性。
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。